Penrose խճանկարը, կամ ինչպես Կենտրոնական Ասիայի ճարտարապետները ակնկալում էին եվրոպացի գիտնականների հայտնագործությունը հինգ դարից հետո: Տարբեր: Penrose խճանկարը և հնագույն իսլամական նախշերի սիմետրիկ խճանկարը

Penrose խճանկար, Penrose սալիկներ - հարթության ոչ պարբերական սալիկապատում, պարբերական կանոնավոր կառուցվածքներ, ինքնաթիռի սալիկապատում երկու տեսակի ռոմբուսներով՝ 72 ° և 108 ° անկյուններով («հաստ ռոմբուսներ») և 36 ° և 144 ° («բարակ» ռոմբուսներ»), այնպիսի (համամասնությունները հնազանդվում են «Ոսկե հարաբերակցությանը»), որ ցանկացած երկու հարևան (այսինքն՝ ընդհանուր կողմ ունեցող) ռոմբները միասին զուգահեռագիծ չեն կազմում։Ռոջեր Պենրոուզի անունով, ով հետաքրքրված էր «սալիկապատման» խնդրով, այսինքն՝ ինքնաթիռը նույն ձևի ֆիգուրներով առանց բացերի և համընկնումների լցնելու:

Բոլոր նման սալիկապատերը ոչ պարբերական են և տեղայինորեն իզոմորֆ միմյանց նկատմամբ (այսինքն՝ մեկ Penrose սալիկապատման ցանկացած վերջավոր հատված հանդիպում է ցանկացած մյուսի մեջ): «Ինքնատիպություն» - դուք կարող եք համատեղել խճանկարի հարակից սալիկներն այնպես, որ նորից ստեղծեք Penrose խճանկար:

Երկու սալիկների վրա կարելի է գծել մի քանի հատված, որպեսզի երբ խճանկարը դրվի, այս հատվածների ծայրերը համընկնեն և հարթության վրա ձևավորվեն զուգահեռ ուղիղ գծերի մի քանի ընտանիքներ (Ամմանի շերտեր):

Հարակից զուգահեռ գծերի միջև հեռավորությունները վերցնում են ճիշտ երկու տարբեր արժեքներ (և զուգահեռ գծերի յուրաքանչյուր ընտանիքի համար այս արժեքների հաջորդականությունը ինքնին նման է):

Penrose խճանկարները, որոնք ունեն անցքեր, ծածկում են ամբողջ հարթությունը, բացառությամբ վերջավոր տարածքի պատկերի: Անհնար է մեծացնել անցքը՝ հեռացնելով մի քանի (վերջավոր) սալիկ, որից հետո անհնար է ամբողջությամբ սալահատակել չծածկված հատվածը։

Խնդիրը լուծվում է ֆիգուրներով սալիկապատելով, որոնք ստեղծում են պարբերաբար կրկնվող օրինաչափություն, սակայն Փենրոուզը ցանկանում էր գտնել հենց այնպիսի կերպար, որը ինքնաթիռը սալիկապատելիս չստեղծեր կրկնվող նախշեր: Համարվում էր, որ չկան այնպիսի սալիկներ, որոնցից միայն ոչ պարբերական խճանկարներ կկառուցվեն։ Պենրոուզը շատ սալիկներ է ընտրել տարբեր ձևերի, արդյունքում՝ դրանք ընդամենը 2-ն են՝ ունենալով «ոսկե հարաբերակցությունը», որը բոլոր ներդաշնակ հարաբերությունների հիմքն է։ Սրանք ռոմբոիդ ձևեր են 108 ° և 72 ° անկյուններով: Հետագայում թվերը պարզեցվեցին պարզ ռոմբի տեսքով (36 ° և 144 °) ՝ հիմնվելով «ոսկե եռանկյունու» սկզբունքի վրա:

Ստացված նախշերը ունեն քվազիկյուրիստական ​​ձև, որն ունի առանցքային սիմետրիա 5-րդ կարգ. Մոզաիկայի կառուցվածքը կապված է Ֆիբոնաչիի հաջորդականության հետ։
( Վիքիպեդիա)

Պենրոզի խճանկար. Սպիտակ կետը նշում է 5-րդ կարգի պտտվող սիմետրիայի կենտրոնը. նրա շուրջ 72 ° պտույտը խճանկարը փոխանցում է իր մեջ:

Շղթաներ և խճանկարներ («Գիտություն և կյանք» ամսագիր, 2005 # 10)

Նախ, հաշվի առեք հետևյալ իդեալականացված մոդելը. Թող հավասարակշռության մեջ գտնվող մասնիկները տեղակայվեն z տրանսպորտային առանցքի երկայնքով և կազմեն գծային շղթա փոփոխական ժամանակաշրջան, փոփոխվում է ըստ երկրաչափական պրոգրեսիայի օրենքի.

аn = a1 Dn-1,

որտեղ a1 - սկզբնական շրջանՄասնիկների միջև n-ը պարբերության հերթական թիվն է, n = 1, 2,…, D = (1 + √5) / 2 = 1,6180339… ոսկե հարաբերակցության թիվն է:

Կառուցված մասնիկների շղթան ծառայում է որպես երկարաժամկետ համաչափության կարգով միաչափ քվազիկրիստալի օրինակ։ Կառուցվածքը միանգամայն կարգավորված է, առանցքի վրա առկա է մասնիկների համակարգված դասավորվածություն՝ դրանց կոորդինատները որոշվում են մեկ օրենքով։ Միևնույն ժամանակ, կրկնություն չկա՝ մասնիկների միջև ընկած ժամանակահատվածները տարբեր են և անընդհատ աճում են: Հետևաբար, ստացված միաչափ կառուցվածքը չունի թարգմանական համաչափություն, և դա պայմանավորված է ոչ թե մասնիկների քաոսային դասավորությամբ (ինչպես ամորֆ կառույցներում), այլ երկու հարակից ժամանակաշրջանների իռացիոնալ հարաբերությամբ (D-ն իռացիոնալ թիվ է)։

Քվազիկրիստալի դիտարկվող միաչափ կառուցվածքի տրամաբանական շարունակությունը երկչափ կառուցվածքն է, որը կարելի է նկարագրել երկու տարբեր տարրերից, երկու միավոր բջիջներից բաղկացած ոչ պարբերական խճանկարների (նախշերի) կառուցման մեթոդով։ Այս խճանկարը մշակվել է 1974 թվականին Օքսֆորդի համալսարանի տեսական ֆիզիկոսի կողմից։ Ռ. Փենրոուզ.Նա գտել է հավասար կողմերով երկու ռոմբների խճանկար։ Նեղ ռոմբի ներքին անկյունները 36 ° և 144 ° են, իսկ լայն ռոմբիը 72 ° և 108 ° է:

Այս ռոմբների անկյունները կապված են ոսկե հարաբերակցության հետ, որը հանրահաշվորեն արտահայտվում է x2 - x - 1 = 0 կամ y2 + y - 1 = 0 հավասարմամբ: Այս քառակուսային հավասարումների արմատները կարելի է գրել եռանկյունաչափական ձևով: :

x1 = 2cos36 °, x2 = 2cos108 °,
y1 = 2cos72 °, y2 = cos144 °:

Հավասարումների արմատների ներկայացման այս ոչ սովորական ձևը ցույց է տալիս, որ այդ ռոմբուսները կարելի է անվանել նեղ և լայն ոսկե ռոմբուսներ։

Պենրոզի խճանկարում ինքնաթիռը պատված է ոսկե ռոմբուսներով՝ առանց բացերի և համընկնումների, և այն կարող է անսահման տարածվել երկարությամբ և լայնությամբ։ Բայց անսահման խճանկար կառուցելու համար պետք է պահպանել որոշակի կանոններ, որոնք էապես տարբերվում են բյուրեղը կազմող նույն միավոր բջիջների միապաղաղ կրկնությունից։ Եթե ​​խախտվի ոսկե ռոմբուսների տեղադրման կանոնը, ապա որոշ ժամանակ անց խճանկարի աճը կդադարի, քանի որ կառաջանան անվերականգնելի անհամապատասխանություններ։

Պենրոզի անվերջ խճանկարում ոսկե ռոմբուսները դասավորված են առանց խիստ պարբերականության։ Այնուամենայնիվ, լայն ոսկյա ռոմբուսների և նեղ ոսկե ռոմբների թվի հարաբերակցությունը ճիշտ հավասար է D = (1 + √5) / 2 = = 1,6180339 ոսկու թվին: Քանի որ D թիվը իռացիոնալ է, նման խճանկարում անհնար է առանձնացնել տարրական բջիջ յուրաքանչյուր տեսակի ռոմբուսների ամբողջ թվով, որի թարգմանությամբ կարելի է ստանալ ամբողջ խճանկարը:

Penrose խճանկարն ունի իր առանձնահատուկ հմայքը որպես ժամանցային մաթեմատիկայի առարկա։ Չխորանալով այս հարցի բոլոր ասպեկտների մեջ՝ մենք նշում ենք, որ նույնիսկ առաջին քայլը՝ խճանկար կառուցելը, բավականին հետաքրքիր է, քանի որ այն պահանջում է ուշադրություն, համբերություն և որոշակի հնարամտություն։ Եվ շատ գյուտ ու երևակայություն կարելի է ցույց տալ, եթե խճանկարը դարձնես բազմագույն։ Գունավորումը, որն անմիջապես վերածվում է խաղի, կարելի է կատարել բազմաթիվով օրիգինալ ուղիներ, որոնց տարբերակները ներկայացված են նկարներում (ստորև)։ Սպիտակ կետը նշում է խճանկարի կենտրոնը, 72 ° պտույտ, որի շուրջ այն բերում է իր մեջ:

Penrose խճանկարը հիանալի օրինակ է այն բանի, թե որքան գեղեցիկ շինարարություն, որը գտնվում է տարբեր առարկաների խաչմերուկում, անպայման կօգտագործվի: Եթե ​​հանգույցային կետերը փոխարինվեն ատոմներով, ապա Պենրոզի խճանկարը կդառնա երկչափ քվազիկրիստալի լավ անալոգը, քանի որ այն ունի նյութի նման վիճակին բնորոշ բազմաթիվ հատկություններ: Եվ ահա թե ինչու։

Նախ՝ խճանկարի կառուցումն իրականացվում է որոշակի ալգորիթմի համաձայն, ինչի արդյունքում պարզվում է, որ այն ոչ թե պատահական, այլ պատվիրված կառույց է։ Դրա ցանկացած վերջավոր մաս հանդիպում է ամբողջ խճանկարում անթիվ անգամ:

Երկրորդ, խճանկարում կարելի է առանձնացնել շատ կանոնավոր տասնանկյուններ՝ ճիշտ նույն կողմնորոշմամբ։ Նրանք ստեղծում են հեռահար կողմնորոշման կարգ, որը կոչվում է քվազեպարբերական: Սա նշանակում է, որ գոյություն ունի հեռավոր խճանկարային կառույցների միջև փոխազդեցություն, որը լավ սահմանված, թեև ոչ միանշանակ կերպով համատեղում է ադամանդների գտնվելու վայրը և հարաբերական կողմնորոշումը:

Երրորդ, եթե դուք հետևողականորեն նկարում եք բոլոր ռոմբուսների վրա, որոնց կողմերը զուգահեռ են ընտրված ուղղությանը, ապա դրանք ձևավորում են մի շարք կոտրված գծեր: Այս կոտրված գծերի երկայնքով կարող են գծվել ուղիղ զուգահեռ գծեր՝ միմյանցից մոտավորապես նույն հեռավորության վրա: Այս հատկության շնորհիվ մենք կարող ենք խոսել Penrose սալիկապատման որոշ թարգմանական համաչափության մասին:

Չորրորդ, հաջորդաբար լցված ռոմբուսները կազմում են նմանատիպ զուգահեռ գծերի հինգ ընտանիքներ, որոնք հատվում են 72 °-ի բազմապատիկ անկյուններով: Այս կոտրված գծերի ուղղությունները համապատասխանում են կանոնավոր հնգանկյունի կողմերի ուղղություններին։ Հետևաբար, Պենրոզի խճանկարը որոշ չափով ունի 5-րդ կարգի պտտվող սիմետրիա և այս առումով նման է քվազիկյուրիստալին:

Ամոթ! Միջին դարերի մարդիկ գերազանցել են ժամանակակից գիտնականներին։ Մենք կարծում էինք, որ առաջադեմ մաթեմատիկան և բյուրեղագիտությունը մեր ձեռքբերումներն են: Պարզվում է, որ նման բան չկա, այս ամենն արդեն կես հազար տարի առաջ էր: Բացի այդ, ժամանակակից գիտությանը կարծես թե գերազանցել են ոչ թե լավագույն մաթեմատիկոսները, այլ պարզ արվեստագետները։ Դե, գուցե ոչ շատ պարզ ... Բայց դեռ!

Ոչ, լավ, իրականում, ժամանակակից մաթեմատիկոսները զբաղված են բացարձակ անհեթեթությամբ: Այնուհետև թուղթը ծալվում է 12 անգամ, այնուհետև լորենցի հավասարումները հյուսում են, այնուհետև գնդիկները ոլորում են բլիթների: Ընդհանրապես, լուրջ մարդկանցից մնացին միայն Պերելմանը և Օկունկովը. ամբողջ հույսը նրանց վրա է…

Բայց հետաքրքիր է, որ մարդիկ հնում մաթեմատիկական նվաճումներ են կատարել՝ երբեմն ընդհանրապես առանձնակի նշանակություն չտալով դրանց։ Հետաքրքիր է նաև, որ գիտնականներն այսօր կրկնում են նույն «հին» հայտնագործությունները՝ բոլորովին չկասկածելով, որ հորինում են մի բան, որն առանց իրենց գուշակությունների գոյություն ունի արդեն մեկ դարից ավելի։

Օրինակ, անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Պենրոուզը 1973 թվականին նման բան է հորինել՝ երկրաչափական ձևերի հատուկ խճանկար։ Այն դարձավ, համապատասխանաբար, Պենրոուզի խճանկարը։ Ի՞նչն է այդքան կոնկրետ դրա մեջ:

The Penrose Mosaic-ը իր ստեղծողի տարբերակում։ Այն հավաքվում է երկու տեսակի ռոմբուսներից՝ մեկը 72 աստիճան, մյուսը՝ 36 աստիճան։ Դրանից նկարը սիմետրիկ է, բայց ոչ պարբերական (նկարազարդումը en.wikipedia.org կայքից):

The Penrose Mosaic-ը նախշ է, որը կազմված է երկու հատուկ ձևի բազմանկյուն սալիկներից (մի փոքր տարբեր ռոմբուսներ): Նրանք կարող են հարթել անսահման հարթություն՝ առանց բացերի։

Ստացված պատկերը կարծես մի տեսակ «ռիթմիկ» զարդանախշ է՝ թարգմանական համաչափությամբ նկար։ Համաչափության այս տեսակը նշանակում է, որ օրինաչափության մեջ կարող եք ընտրել որոշակի կտոր, որը կարելի է «պատճենել» հարթության վրա, այնուհետև այդ «կրկնօրինակները» համատեղել միմյանց հետ զուգահեռ փոխանցման միջոցով (այլ կերպ ասած՝ առանց պտտման և առանց մեծացման):

Այնուամենայնիվ, եթե ուշադիր նայեք, կարող եք տեսնել, որ Penrose-ի օրինաչափության մեջ նման կրկնվող կառույցներ չկան. այն պարբերական է: Բայց բանը օպտիկական պատրանքը չէ, այլ այն, որ խճանկարը քաոսային չէ. այն ունի հինգերորդ կարգի պտտվող սիմետրիա:

Քվազի պողպատների օրինակներ են AlMnPd և Al 60 Li 30 Cu 10 համաձուլվածքը (պատկերազարդումը Փոլ Ջ. Շտայնհարդտի կողմից):

Սա նշանակում է, որ պատկերը կարող է պտտվել 360 / նվազագույն անկյան տակ nաստիճաններ, որտեղ n- սիմետրիայի կարգը, այս դեպքում n= 5. Հետեւաբար, պտտման անկյունը, որը ոչինչ չի փոխում, պետք է լինի 360/5 = 72 աստիճանի բազմապատիկ։

Մոտ մեկ տասնամյակ Պենրոուզի գյուտը համարվում էր ոչ ավելին, քան գեղեցիկ մաթեմատիկական աբստրակցիա: Այնուամենայնիվ, 1984 թվականին Իսրայելի տեխնոլոգիական ինստիտուտի (Technion) պրոֆեսոր Դեն Շեխտմանը, ուսումնասիրելով ալյումին-մագնեզիումի համաձուլվածքի կառուցվածքը, պարզեց, որ դիֆրակցիան տեղի է ունենում այս նյութի ատոմային ցանցի վրա:

Պինդ վիճակի ֆիզիկայի նախկին հասկացությունները բացառում էին նման հնարավորությունը. դիֆրակցիոն օրինաչափության կառուցվածքն ունի հինգերորդ կարգի սիմետրիա։ Դրա մասերը հնարավոր չէ համատեղել զուգահեռ փոխանցման միջոցով, ինչը նշանակում է, որ այն ամենևին էլ բյուրեղ չէ։ Բայց դիֆրակցիան բնորոշ է միայն բյուրեղային ցանցին:

Ինչպե՞ս լինել այստեղ: Հարցը հեշտ չէ, ուստի գիտնականները համաձայնեցին, որ այս տարբերակը կկոչվի քվազիկրիստալներ՝ նյութի հատուկ վիճակի նման մի բան:

Այստեղ ցուցադրված է 15-րդ դարի արաբական ձեռագրում ներկայացված սալիկների նախշերից մեկը: Հետազոտողները գույներով ընդգծել են կրկնվող հատվածները։ Լուի և Շտայնհարդտի կողմից ուսումնասիրված միջնադարյան արաբ վարպետների բոլոր երկրաչափական նախշերը հիմնված են այս հինգ տարրերի վրա։ Ինչպես տեսնում եք, կրկնվող տարրերը պարտադիր չէ, որ համընկնեն սալիկների եզրագծերի հետ (նկարազարդումը` Փիթեր Ջ. Լուի):

Դե, հայտնագործության ողջ գեղեցկությունը, դուք կռահեցիք, այն է, որ մաթեմատիկական մոդելը վաղուց պատրաստ է դրան: Եվ, ինչպես հավանաբար հասկացաք, սա Penrose խճանկարն է։ Բայց այս մեկն ամենևին էլ տասը տարեկան չէ, այլ շատ ավելին։ Սա հայտնի դարձավ միայն մեր օրերում՝ XXI դարի արշալույսին, և պարզվեց, որ այս մոդելը շատ ավելի հին է, քան կարելի էր պատկերացնել։

2007 թվականին Հարվարդի համալսարանի ֆիզիկոս Փիթեր Ջ. Լուն միավորվեց մեկ այլ ֆիզիկոսի՝ Փոլ Ջ. Սթայնհարդի հետ, բայց Փրինսթոնի համալսարանից՝ Science ամսագրում հոդված հրապարակելու խճանկարների մասին: Փենրոուզը (Լուն պետք է հայտնի լինի «Թաղանթների» կանոնավոր ընթերցողներին - մենք արդեն խոսել ենք հնագույն կացինների ադամանդագործության և ամենաբարդ հին մեքենաների նրա հայտնագործությունների մասին): Թվում է, թե այստեղ շատ անսպասելի բան չկա. քվազիկրիստալների հայտնաբերումը մեծ հետաքրքրություն առաջացրեց այս թեմայի նկատմամբ, ինչը հանգեցրեց գիտական ​​մամուլում հրապարակումների կույտի հայտնվելուն:

Այնուամենայնիվ, աշխատանքի կարևորագույն կետն այն է, որ այն հեռու է նվիրված լինելուց ժամանակակից գիտ... Իսկ ընդհանրապես՝ ոչ գիտություն։

«Քվազաբյուրեղային» նախշերն իրենց տեղն են գտել ոչ միայն ճարտարապետության մեջ։ Այստեղ կարելի է տեսնել 1306-1315 թվականների Ղուրանի կազմը և այն երկրաչափական բեկորների գծանկարը, որոնց վրա հիմնված է նախշը։ Այս և հաջորդ օրինակները չեն համապատասխանում Penrose վանդակավորներին, բայց ունեն հինգերորդ կարգի պտտվող համաչափություն (նկարազարդումը՝ Փիթեր Ջ. Լուի):

Լուն ուշադրություն է հրավիրել Ասիայի մզկիթները ծածկող նախշերի վրա, որոնք կառուցվել են միջնադարում։ Այս հեշտությամբ ճանաչելի նմուշները պատրաստված են խճանկարային սալիկներից: Դրանք կոչվում են girihi (արաբերեն «հանգույց» բառից) և երկրաչափական նախշ են, որը բնորոշ է իսլամական արվեստին և բաղկացած է բազմանկյուն ձևերից։

Երկար ժամանակ համարվում էր, որ այդ նախշերը ստեղծվել են քանոնի և կողմնացույցի միջոցով: Այնուամենայնիվ, մի քանի տարի առաջ, Ուզբեկստանում ճանապարհորդելիս, Լուն հետաքրքրվեց տեղական միջնադարյան ճարտարապետությունը զարդարող խճանկարային նախշերով և նրանց մեջ նկատեց ինչ-որ ծանոթ բան։

Վերադառնալով Հարվարդ՝ գիտնականը սկսեց նմանատիպ մոտիվներ դիտարկել Աֆղանստանի, Իրանի, Իրաքի և Թուրքիայի միջնադարյան շենքերի պատերի խճանկարներում։

Նա գտավ, որ այս նախշերը գրեթե նույնն են և կարողացավ ընդգծել գիրիխների հիմնական տարրերը, որոնք օգտագործվում են բոլոր երկրաչափական ձևավորումներում: Բացի այդ, նա գտավ այդ պատկերների գծագրերը հնագույն ձեռագրերում, որոնք հին արվեստագետներն օգտագործում էին որպես խաբեբա թերթ՝ պատերը զարդարելու համար:

Բայց այս ամենը, պարզվում է, այնքան էլ էական չէ։ Այս նախշերը ստեղծելու համար նրանք օգտագործել են ոչ թե պարզ, պատահականորեն հորինված ուրվագծեր, այլ որոշակի հերթականությամբ դասավորված ֆիգուրներ։ Եվ սա առանձնապես զարմանալի չէ.

Իսկապես հետաքրքիրն այն է, որ մարդիկ, մոռանալով նման սխեմաների մասին, հետո նորից հանդիպեցին նրանց հետ։ Այո, այո, հնագույն նախշերը ոչ այլ ինչ են, քան այն, ինչը դարեր անց կկոչվի Penrose վանդակաճաղեր և կգտնվի քվազիկյուրիստալների կառուցվածքում:

Այս նկարներում ընդգծված են նույն տարածքները, թեև դրանք մզկիթների լայն տեսականիի լուսանկարներ են (նկարազարդումը` Փիթեր Ջ. Լուի):

Իսլամական ավանդույթում կար մարդկանց և կենդանիների պատկերի խիստ արգելք, հետևաբար, երկրաչափական նախշերը շատ տարածված են դարձել շենքերի ձևավորման մեջ: Միջնադարյան արհեստավորներին հաջողվել է ինչ-որ կերպ տարբերել այն։ Բայց ո՞րն էր նրանց «ռազմավարության» գաղտնիքը՝ ոչ ոք չգիտեր։ Այսպիսով, գաղտնիքը, պարզվում է, հատուկ խճանկարների կիրառման մեջ է, որոնք կարող են, սիմետրիկ մնալով հանդերձ, առանց կրկնելու ինքնաթիռը լցնել։

Այս պատկերների մեկ այլ «հնարք» այն է, որ տարբեր եկեղեցիներում նման սխեմաներ «պատճենելով»՝ ըստ գծագրերի, արվեստագետներն անխուսափելիորեն պետք է ընդունեն աղավաղումը։ Բայց այս բնույթի խախտումները նվազագույն են։ Սա բացատրվում է միայն նրանով, որ մեծածավալ գծագրերի մեջ իմաստ չկար. գլխավորը նկարը կառուցելու սկզբունքն է։

Գիրիչների հավաքման համար օգտագործվել են հինգ տեսակի սալիկներ (տասը և հնգանկյուն ռոմբուսներ և «թիթեռներ»), որոնք կազմվել են իրար կից խճանկարում՝ առանց դրանց միջև ազատ տարածության։ Դրանցից ստեղծված խճանկարները կարող էին միաժամանակ ունենալ և՛ պտտվող, և՛ թարգմանական համաչափություն, և միայն հինգերորդ կարգի պտտվող սիմետրիա (այսինքն՝ դրանք Penrose խճանկարներ էին)։

Իրանական դամբարանի 1304 թվականի զարդաքանդակի հատված. Աջ կողմում պատկերված է գիրիչների վերակառուցումը (նկարազարդումը՝ Փիթեր Ջ. Լուի)։

Միջնադարյան մուսուլմանական տեսարժան վայրերի հարյուրավոր լուսանկարներ ուսումնասիրելուց հետո Լուին և Սթայնհարդը կարողացան թվագրել 13-րդ դարի նմանատիպ միտումը: Աստիճանաբար այս մեթոդը դառնում է ավելի ու ավելի տարածված, և 15-րդ դարում այն ​​լայն տարածում է գտել։

Հետազոտողները համարել են իրանական Սպահան քաղաքի Իմամ Դարբ-ի սրբավայրը, որը թվագրվում է 1453 թվականին, գրեթե իդեալական քվազիբյուրեղային կառուցվածքի օրինակ։

Այս հայտնագործությունը տպավորել է շատերին։ Գիտության առաջընթացի ամերիկյան ասոցիացիա (

Ծրագրի մասնակիցներ

Նիկիֆորով Կիրիլ, 8-րդ դասարանի աշակերտ

Ռուդնևա Օքսանա, 8-րդ դասարանի աշակերտ

Պոտուրաևա Քսենիա, 8-րդ դասարանի աշակերտուհի

Հետազոտության թեմա

Պենրոզի խճանկար

Խնդրահարույց հարց

Ի՞նչ է Penrose Mosaic-ը:

Հետազոտության վարկած

Կատարվում է ինքնաթիռի ոչ պարբերական սալիկապատում

Հետազոտության նպատակները

Ծանոթացե՛ք Պենրոուզի խճանկարին և իմացե՛ք, թե ինչու է այն կոչվում «ոսկե» խճանկար

Արդյունքներ

Պենրոզի խճանկար

Ինքնաթիռի սալիկապատումը մի ամբողջ հարթության ծածկույթն է՝ չհամընկնող ձևերով: Մաթեմատիկայում հարթությունը առանց բացերի և համընկնումների բազմանկյուններով պինդ լցնելու խնդիրը կոչվում է մանրահատակ կամ խճանկար։ Հավանաբար, սալահատակի նկատմամբ առաջին հետաքրքրությունն առաջացել է խճանկարների, զարդանախշերի և այլ նախշերի կառուցման հետ կապված։ Նույնիսկ հին հույները գիտեին, որ այս խնդիրը հեշտությամբ լուծվում է՝ ինքնաթիռը կանոնավոր եռանկյուններով, քառակուսիներով և վեցանկյուններով ծածկելով։

Ինքնաթիռի նման սալիկապատումը կոչվում է պարբերական։ Ավելի ուշ նրանք սովորեցին, թե ինչպես կատարել սալիկապատում` օգտագործելով մի քանի կանոնավոր բազմանկյունների համադրություն:

Ավելի բարդ խնդիր էր ոչ այնքան «ճիշտ» կամ «գրեթե» պարբերական մանրահատակի ստեղծումը։ Երկար ժամանակ համարվում էր, որ այս խնդիրը լուծում չունի։ Այնուամենայնիվ, անցյալ դարի 60-ականներին այն դեռ լուծված էր, բայց դրա համար պահանջվում էր հազարավոր պոլիգոնների մի շարք. տարբեր տեսակներ... Քայլ առ քայլ տեսակների թիվը կրճատվեց, և վերջապես, 1970-ականների կեսերին, Օքսֆորդի համալսարանի պրոֆեսոր Ռոջեր Պենրոուզը, մեր ժամանակների ականավոր գիտնականը, ակտիվորեն աշխատելով մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի տարբեր ոլորտներում, լուծեց խնդիրը՝ օգտագործելով միայն երկու տեսակ։ ռոմբուսների.

Ռոջեր Փենրոուզ

Մենք ուսումնասիրեցինք նման խճանկարի կառուցման մեթոդ, որն այժմ կոչվում է Պենրոզի խճանկար: Դա անելու համար գծեք շեղանկյուններ սովորական հնգանկյունում (հնգանկյուն): Մենք ստանում ենք նոր հնգանկյուն և երկու տեսակի հավասարաչափ եռանկյուններ, որոնք կոչվում են «ոսկե»: Նման եռանկյունիներում ազդրի և հիմքի հարաբերակցությունը հավասար է «ոսկե» հարաբերակցությանը։ Եռանկյունների անկյունները մեկում 36 °, 72 ° և 72 ° են, իսկ մյուսում 108 °, 36 ° և 36 °: Միացնենք երկու միանման եռանկյուններ և ստանանք «ոսկե» ռոմբուսներ։ Գիտնականը դրանք օգտագործել է մանրահատակի ձևավորման մեջ, իսկ բուն մանրահատակն անվանվել է «ոսկե»։

Պենրոզի խճանկար

Penrose խճանկարն ունի հետևյալ հատկությունները.

1. Բարակ ռոմբուսների և հաստ ռոմբների թվի հարաբերակցությունը միշտ հավասար է, այսպես կոչված, «ոսկե» 1,618 թվին ...

Իսկ հինավուրց
իսլամական նախշեր
Շնորհանդեսը կատարեց
թիվ 1679 կենտրոնական ուսումնական կենտրոնի 7Բ դասարանի աշակերտ
Գերդեր Մարինա.
Ծրագրի ղեկավարներ
Սինյուկովա Է.Վ. and Zherder V.M.
5klass.net

Ինչ է խճանկարը

Մոզաիկա նվերներ
օրինակ,
հավաքված սալիկներից
տարբեր ձևեր. Նրանց կողմից
կարելի է ասֆալտապատել
անվերջ
ինքնաթիռ առանց
տարածություններ.

Պարբերական խճանկարը խճանկար է,
որի նկարը կրկնվում է միջոցով
հավասար ընդմիջումներով:
Ոչ պարբերական խճանկարը խճանկար է,
որը օրինակ կարող է կրկնվել
անկանոն ընդմիջումներով:

Մոզաիկա բնության մեջ

Բնության մեջ նույնպես շատ օրինակներ կան։
պարբերական խճանկար. Հիմնականում
պինդ մարմինների բյուրեղներ - օրինակ.
Աղի բյուրեղ
Ադամանդի բյուրեղյա
Գրաֆիտ բյուրեղյա
Գրաֆենի բյուրեղ

Մոզաիկա Էշերի նկարներում

Մոզաիկաները կարևոր թեմա են
արվեստ. Նկարիչ
Մ.Կ.Էշերը հայտնի է իր
խճանկարներ և ոչ իրական
նկարներ.

Ի՞նչ է Penrose Mosaic-ը:

1973 թ
Անգլերեն
մաթեմատիկոս Ռոջեր
Պենրոուզ (Ռոջեր
Penrose) ստեղծվել է
հատուկ խճանկար
երկրաչափականից
թվեր, որոնք և
հայտնի դարձավ որպես Պենրոզի խճանկար։

Բազմանկյուն խճանկարային սալեր

The Penrose խճանկարն է
խճանկար՝ հավաքված բազմանկյունից
երկու կոնկրետ ձևի սալիկներ.

Մոզաիկայի համաչափություն

Ստացված պատկերը նման է
ասես դա ինչ-որ «ռիթմիկ» է
զարդ - նկար,
տիրապետելով
թարգմանական
համաչափություն.

Համաչափություն

Թարգմանական համաչափություն նշանակում է
ինչ օրինակ կարող եք ընտրել
որոշակի կտոր, որը դուք կարող եք
«պատճենել» ինքնաթիռում եւ հետո
միավորել այս «կրկնօրինակները» միմյանց հետ
զուգահեռ փոխանցում.

10. Խճանկարների կառուցվածքը

Այնուամենայնիվ, եթե ուշադիր նայեք, կարող եք
տեսեք, որ այդպիսիք չկան
կրկնվող կառույցներ - դա
ոչ պարբերական. Բայց բանն ամենևին էլ դրա մասին չէ
օպտիկական պատրանք, բայց որ խճանկարը
քաոսային չէ. նա
տիրապետում է
ռոտացիոն
հինգերորդի սիմետրիա
պատվեր.

11. Նվազագույն անկյուն

Դա նշանակում է որ
պատկերը կարող է
միացնել
նվազագույն անկյուն,
հավասար է 360 / n աստիճանի,
որտեղ n-ը կարգն է
սիմետրիա, այս
դեպք n = 5:
Հետեւաբար, անկյունը
վերածելով, որ ոչինչ
չի փոխվում, պետք է լինի
360/5 = 72-ի բազմապատիկ
աստիճաններ։

12. Անսովոր երեւույթ

1984 թվականին Դան
Շեխտմանը անում է
կառուցվածքի ուսումնասիրություն
ալյումին-մագնեզիումի համաձուլվածք,
գտել է, որ
ատոմային ցանց
այս նյութից
շարունակվում է
անսովոր համար
բյուրեղներ
ֆիզիկական երևույթ.

13. «Սխալ» բյուրեղներ

Ենթարկված նյութի նմուշ
արագության հատուկ մեթոդ
սառեցումը, ցրված է էլեկտրոնային ճառագայթը
այնպես, որ ձևավորվեց լուսանկարչական թիթեղը
արտասանված
դիֆրակցիոն
նկար սիմետրիկությամբ
հինգերորդ կարգը
գտնվելու վայրը
դիֆրակցիոն
բարձրություններ
(իկոսաեդրոնի համաչափություն):

14. Քվազիբյուրեղներ

Գիտնականները համաձայնության են եկել
որ տրված է
տարբերակ կլիներ
Անուն
քվազիկրիստալներ -
ինչ-որ հատուկ բան
նյութի վիճակ. ԵՎ
նրա համար երկար ժամանակ
պատրաստ էր
մաթեմատիկական մոդել
- Penrose խճանկար.

15.

Հրատարակություն 2007 թ
2007 թվականին ֆիզիկոսներ Փիթեր Լուն և Փոլը
Շտայնհարդը հրապարակել է ամսագրում
Գիտական ​​հոդված խճանկարների մասին
Պենրոուզ.

16. Հետաքրքրություն քվազիկրիստալների նկատմամբ

Կարծես,
այստեղ անսպասելի է
մի քիչ՝ բացում
քվազիկրիստալներ
գրավեց աշխույժ
հետաքրքրություն այս հարցում
թեման, որը հանգեցրել է
դեպի կույտի տեսքը
հրապարակումներ
գիտական ​​մամուլ.

17. Նախշերը Ասիայում

Այնուամենայնիվ, աշխատանքի կարևորությունն այն է, որ այն
նվիրված չէ ժամանակակից գիտությանը։
Իսկ ընդհանրապես՝ ոչ գիտություն։ Փիթեր Լու
ուշադրություն հրավիրեց օրինաչափությունների վրա,
ծածկելով մզկիթները
Ասիայում, կառուց
դեռ միջնադարում։

18.

Ոճեր. Գիրիհ
Իսլամական զարդանախշում կան երկու
ոճը:
Գիրիխ (անձ.) – դժվար
երկրաչափական զարդ,
կազմված է ոճավորված մեջ
ուղղանկյուն և բազմանկյուն
գծերի ձևեր. Շատ դեպքերում
օգտագործվում է արտաքին
մզկիթների և գրքերի մեծ ձևավորում
հրատարակություն։

19. Իսլիմի

Իսլիմի (pers.) - զարդի տեսակ,
կառուցված է միացման վրա, որովայնի և
պարույրներ. Մարմնավորում է ոճավորված
կամ գաղափարի նատուրալիստական ​​ձև
շարունակաբար զարգացող ծաղկում
տերեւաթափ կրակոց. Մեծագույն
նա փռվել է հագուստի մեջ,
գրքեր, մզկիթների ներքին հարդարում,
ճաշատեսակներ.

20. Ուզբեկստանի խճանկարներ

Ներս ճանապարհորդելիս
Ուզբեկստանը, Լուն հետաքրքրվեց նախշերով
խճանկարներ, որոնք զարդարում էին տեղականը
միջնադարյան ճարտարապետությունը, և նկատել է
նրանց ինչ-որ ծանոթ բան:
Ղուրանի կազմ 13061315 և
նկարչություն
երկրաչափական
բեկորներ,
որի վրա
օրինակը.

21. Խճանկարներ տարբեր երկրներից

Վերադարձ ներս
Հարվարդ, գիտնական դարձավ
հաշվի առնել
նմանատիպ դրդապատճառներով
խճանկարներ պատերին
միջնադարյան
շենքեր
Աֆղանստան, Իրան,
Իրաք և Թուրքիա.

22. Իսլամական խճանկարներ

Այս նմուշը թվագրվում է ավելի ուշ:
ժամանակաշրջան - 1622 (հնդկական մզկիթ):

23. Գիրիխների սխեմաներ

Փիթեր Լուն հայտնաբերեց այդ երկրաչափությունը
girih սխեմաները գործնականում նույնն են, և
կարողացավ ընդգծել հիմնական տարրերը,
օգտագործվում է բոլորի մեջ
երկրաչափական զարդանախշեր. Ավելին,
նա գտել է այս պատկերների գծագրերը
հնագույն ձեռագրեր, որոնք
հնագույն արվեստագետները վայելում էին
որպես խաբեության թերթիկի մի տեսակ
պատի ձևավորում.

24. Կառուցման կարգը

Այս նախշերը ստեղծելու համար ոչ
պարզ, պատահականորեն հորինված ուրվագծեր,
և այն թվերը, որոնք գտնվում էին
որոշակի պատվեր. Հին նախշեր
պարզվել է, որ խճանկարների ճշգրիտ կոնստրուկցիաներ են
Փենրոուզ!

25.

Իսլամական ավանդույթները
Իսլամական ավանդույթի համաձայն
կար խիստ
պատկերի արգելք
մարդիկ և կենդանիներ,
հետևաբար դիզայնի մեջ
մեծ շենքեր
ձեռք բերեց ժողովրդականություն
երկրաչափական
զարդ.

26. Հին վարպետների գաղտնիքը

Միջնադարյան արհեստավորներ
արեց դա
բազմազան. Բայց ինչ
նրանց գաղտնիքն էր
«ստրատեգիաներ»՝ ոչ ոք
գիտեր. Այսպիսով, գաղտնիքն այն է, թե ինչպես
մեկ անգամ պարզվում է
օգտագործելով
հատուկ խճանկարներ,
ով կարող է մնալ
սիմետրիկ,
լցնել ինքնաթիռը, ոչ
կրկնելով.

27. «կենտրոնանալ»

Սրանց հերթական «հնարքը».
Պատկերների «կենտրոնացումն» այն է, որ.
«պատճենելով» նման սխեմաները
տարբեր տաճարներում
նկարներ, նկարիչներ
անխուսափելիորեն պետք է
թույլ տալ աղավաղում. Բայց
սրա խախտում
բնավորությունը նվազագույն է:
Սա բացատրվում է միայն փաստով
որ վարպետները չեն
օգտագործված գծագրերը, երբ
խճանկարի կառուցում.

28. Սալիկներ

Գիրիխների հավաքման համար
օգտագործված սալիկներ հինգից
տեսակներ (տաս- և
հնգանկյուն ռոմբուսներ և
«թիթեռներ»), որը ներս
կազմվել են խճանկարներ,
իրար կից
առանց անվճար
միջեւ տարածություններ
նրանց.

29. Խճանկարների համաչափություն

Դրանցից պատրաստված խճանկարներ,
հնարավոր է շուտ տիրապետել
ռոտացիոն և
թարգմանական
համաչափություն և միայն
ռոտացիոն սիմետրիա
հինգերորդ կարգը (այսինքն.
խճանկարներ էին
Պենրոուզ):

30. Գիրիհի

Իրանական դամբարանի զարդաքանդակի հատված
1304 տարի: Աջ կողմում՝ գիրիխների վերակառուցումը

31. Խճանկարների առաջացման տարեթիվը

Քննելով հարյուրավոր
ամսաթիվը
տեսքը
նկարներ
խճանկարներ
միջնադարյան
մահմեդական
տեսարժան վայրեր,
Լուն ու Շտայնհարդը կարողացան
ամսաթիվը տեսքը
նմանատիպ միտում XIII
դարում։ Աստիճանաբար սա
ճանապարհը ձեռք բերեց ամեն ինչ
մեծ ժողովրդականություն և դեպի
լայն տարածում գտավ XV դ
ընդհանուր.

32. Կերամիկական սալիկներ

Ժամադրություն մոտավորապես
համընկնում է ժամանակաշրջանի հետ
տեխնոլոգիայի զարգացում
զարդարում
պալատներ, մզկիթներ,
տարբեր կարևոր
շենքերը ապակեպատ
գույն
կերամիկական սալիկներ
զանազան տեսքով
բազմանկյուններ. Դա
ունեն կերամիկա
հատուկ սալիկներ
ստեղծված ձևերը
հատուկ գիրիխների համար։
Կերամիկական
կղմինդր

33. Եզրակացություն

Այն, ինչ կարողացել է բացահայտել արևմտյան գիտությունը
հիմնված հսկայական ընդհանրացման վրա
փշոտ փորձ, արեւելագիտ
պատրաստված է ինտուիցիայի և զգացմունքի հիման վրա
գեղեցիկ. Իսկ արդյունքներն ակնհայտ են՝ in
երկրաչափության օրենքների մարմնավորումը
պրակտիկա արևելյան մտածողներ
Արևմուտքից հինգ դար առաջ:

1973 թվականին անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Պենրոուզը ստեղծեց երկրաչափական ձևերի հատուկ խճանկար, որը հայտնի դարձավ որպես Պենրոուզի խճանկար։
The Penrose Mosaic-ը նախշ է, որը կազմված է երկու հատուկ ձևի բազմանկյուն սալիկներից (մի փոքր տարբեր ռոմբուսներ): Նրանք կարող են հարթել անսահման հարթություն՝ առանց բացերի։

The Penrose Mosaic-ը իր ստեղծողի տարբերակում։
Այն հավաքվում է երկու տեսակի ռոմբուսներից.
մեկը 72 աստիճան, մյուսը՝ 36 աստիճան:
Նկարը սիմետրիկ է, բայց ոչ պարբերական։

Ստացված պատկերը կարծես մի տեսակ «ռիթմիկ» զարդանախշ է՝ թարգմանական համաչափությամբ նկար։ Համաչափության այս տեսակը նշանակում է, որ դուք կարող եք ընտրել օրինաչափության որոշակի կտոր, որը կարելի է «պատճենել» հարթության վրա, այնուհետև այդ «կրկնօրինակները» կարող են համակցվել միմյանց հետ զուգահեռ փոխանցման միջոցով (այլ կերպ ասած՝ առանց ռոտացիայի և առանց ընդլայնում):

Այնուամենայնիվ, եթե ուշադիր նայեք, կարող եք տեսնել, որ Penrose-ի օրինաչափության մեջ նման կրկնվող կառույցներ չկան. այն պարբերական է: Բայց բանը օպտիկական պատրանքը չէ, այլ այն, որ խճանկարը քաոսային չէ. այն ունի հինգերորդ կարգի պտտվող սիմետրիա:

Սա նշանակում է, որ պատկերը կարող է պտտվել 360/ն աստիճանի նվազագույն անկյան տակ, որտեղ n-ը համաչափության կարգն է, այս դեպքում՝ n=5։ Հետևաբար, պտտման անկյունը, որը ոչինչ չի փոխում, պետք է լինի բազմապատիկ։ 360/5 = 72 աստիճան:

Մոտ մեկ տասնամյակ Պենրոուզի գյուտը համարվում էր ոչ ավելին, քան գեղեցիկ մաթեմատիկական աբստրակցիա: Այնուամենայնիվ, 1984 թվականին Իսրայելի տեխնոլոգիական ինստիտուտի (Technion) պրոֆեսոր Դեն Շեխտմանը, ուսումնասիրելով ալյումին-մագնեզիումի համաձուլվածքի կառուցվածքը, պարզեց, որ դիֆրակցիան տեղի է ունենում այս նյութի ատոմային ցանցի վրա:

Պինդ վիճակի ֆիզիկայի նախկին հասկացությունները բացառում էին նման հնարավորությունը. դիֆրակցիոն օրինաչափության կառուցվածքն ունի հինգերորդ կարգի սիմետրիա։ Դրա մասերը հնարավոր չէ համատեղել զուգահեռ փոխանցման միջոցով, ինչը նշանակում է, որ այն ամենևին էլ բյուրեղ չէ։ Բայց դիֆրակցիան բնորոշ է միայն բյուրեղային ցանցին: Գիտնականները համաձայնել են, որ այս տարբերակը կկոչվի քվազիկրիստալներ՝ նյութի հատուկ վիճակի նման մի բան: Դե, հայտնագործության ողջ գեղեցկությունն այն է, որ դրա համար արդեն պատրաստ էր մաթեմատիկական մոդելը՝ Պենրոուզի խճանկարը:

Եվ բոլորովին վերջերս պարզ դարձավ, որ այս մաթեմատիկական շինարարությունը շատ ավելի հին է, քան կարելի էր պատկերացնել։ 2007 թվականին Հարվարդի համալսարանի ֆիզիկոս Փիթեր Ջ. Թվում է, թե այստեղ շատ անսպասելի բան չկա. քվազիկրիստալների հայտնաբերումը մեծ հետաքրքրություն առաջացրեց այս թեմայի նկատմամբ, ինչը հանգեցրեց գիտական ​​մամուլում հրապարակումների կույտի հայտնվելուն:

Այնուամենայնիվ, աշխատության կարևորագույն կետն այն է, որ այն հեռու է ժամանակակից գիտությանը նվիրված լինելուց: Իսկ ընդհանրապես՝ ոչ գիտություն։ Փիթեր Լուն ուշադրություն է հրավիրել միջնադարում կառուցված Ասիայի մզկիթները ծածկող նախշերի վրա։ Այս հեշտությամբ ճանաչելի նմուշները պատրաստված են խճանկարային սալիկներից: Դրանք կոչվում են girihi (արաբերեն «հանգույց» բառից) և երկրաչափական նախշ են, որը բնորոշ է իսլամական արվեստին և բաղկացած է բազմանկյուն ձևերից։

Սալիկի նախշը ցուցադրված է 15-րդ դարի արաբական ձեռագրում։
Հետազոտողները գույներով ընդգծել են կրկնվող հատվածները։
Բոլոր երկրաչափական նախշերը կառուցված են այս հինգ տարրերի հիման վրա։
միջնադարյան արաբ վարպետներ. Կրկնվող տարրեր
պարտադիր չէ, որ համապատասխանեն սալիկների սահմաններին:

Իսլամական զարդանախշում առանձնանում են երկու ոճ՝ երկրաչափական՝ գիրիհ, և ծաղկային՝ իսլիմի։
Գիրիհ(անձ.) - ուղղանկյուն և բազմանկյուն պատկերներով ոճավորված գծերից կազմված բարդ երկրաչափական զարդանախշ։ Շատ դեպքերում այն ​​օգտագործվում է արտաքին դիզայնմզկիթներ և գրքեր մեծ տպաքանակով:
Իսլիմի(անձ.) - զարդանախշի և պարույրի միացման վրա կառուցված զարդի տեսակ։ Ոճավորված կամ նատուրալիստական ​​ձևով մարմնավորում է անընդհատ աճող, ծաղկող տերևավոր ընձյուղի գաղափարը և ներառում է տարբերակների անսահման բազմազանություն: Այն առավել լայնորեն օգտագործվում է հագուստի, գրքերի, մզկիթների ներքին հարդարման և ճաշատեսակների մեջ:

Ղուրանի շապիկ 1306-1315 թթ. և երկրաչափական բեկորների գծանկար,
որի վրա հիմնված է օրինաչափությունը: Այս և հաջորդ օրինակները չեն համընկնում
Penrose վանդակավոր, բայց ունեն պտտվող սիմետրիա հինգերորդ կարգի

Մինչ Փիթեր Լուի հայտնագործությունը, ենթադրվում էր, որ հնագույն ճարտարապետները գիրիխի նախշեր են ստեղծել՝ օգտագործելով քանոն և կողմնացույց (եթե ոչ ինտուիտիվ): Այնուամենայնիվ, մի քանի տարի առաջ, Ուզբեկստանում ճանապարհորդելիս, Լուն հետաքրքրվեց տեղական միջնադարյան ճարտարապետությունը զարդարող խճանկարային նախշերով և նրանց մեջ նկատեց ինչ-որ ծանոթ բան։ Վերադառնալով Հարվարդ՝ գիտնականը սկսեց նմանատիպ մոտիվներ դիտարկել Աֆղանստանի, Իրանի, Իրաքի և Թուրքիայի միջնադարյան շենքերի պատերի խճանկարներում։

Այս նմուշը թվագրվում է ավելի ուշ ժամանակաշրջանով՝ 1622 թվականին (հնդկական մզկիթ):
Նայելով նրան ու գծելով նրա կառուցվածքը՝ չի կարելի չհիանալ աշխատասիրությամբ
հետազոտողներ. Եվ, իհարկե, իրենք՝ վարպետները։

Փիթեր Լուն հայտնաբերեց, որ գիրիչների երկրաչափական նախշերը գործնականում նույնն էին և կարողացավ ընդգծել բոլոր երկրաչափական ձևավորումներում օգտագործվող հիմնական տարրերը: Բացի այդ, նա գտավ այդ պատկերների գծագրերը հնագույն ձեռագրերում, որոնք հին արվեստագետներն օգտագործում էին որպես խաբեբա թերթ՝ պատերը զարդարելու համար:
Այս նախշերը ստեղծելու համար նրանք օգտագործել են ոչ թե պարզ, պատահականորեն հորինված ուրվագծեր, այլ որոշակի հերթականությամբ դասավորված ֆիգուրներ։ Պարզվեց, որ հնագույն նախշերը Penrose խճանկարների ճշգրիտ կառուցումներ են:

Այս նկարներում ընդգծված են նույն տարածքները,
չնայած սրանք տարբեր մզկիթների լուսանկարներ են

Իսլամական ավանդույթում կար մարդկանց և կենդանիների պատկերի խիստ արգելք, հետևաբար, երկրաչափական նախշերը շատ տարածված են դարձել շենքերի ձևավորման մեջ: Միջնադարյան արհեստավորներին հաջողվել է ինչ-որ կերպ տարբերել այն։ Բայց ո՞րն էր նրանց «ռազմավարության» գաղտնիքը՝ ոչ ոք չգիտեր։ Այսպիսով, գաղտնիքը, պարզվում է, հատուկ խճանկարների կիրառման մեջ է, որոնք կարող են, սիմետրիկ մնալով հանդերձ, առանց կրկնելու ինքնաթիռը լցնել։

Այս պատկերների մեկ այլ «հնարք» այն է, որ տարբեր եկեղեցիներում նման սխեմաներ «պատճենելով»՝ ըստ գծագրերի, արվեստագետներն անխուսափելիորեն պետք է ընդունեն աղավաղումը։ Բայց այս բնույթի խախտումները նվազագույն են։ Սա բացատրվում է միայն նրանով, որ մեծածավալ գծագրերի մեջ իմաստ չկար. գլխավորը նկարը կառուցելու սկզբունքն է։

Գիրիչ հավաքելու համար օգտագործվել են հինգ տիպի սալիկներ (տասը և հնգանկյուն ռոմբուսներ և «թիթեռներ»), որոնք կազմված են միմյանց կից խճանկարում, առանց նրանց միջև ազատ տարածության։ Դրանցից ստեղծված խճանկարները կարող էին միաժամանակ ունենալ և՛ պտտվող, և՛ թարգմանական համաչափություն, և միայն հինգերորդ կարգի պտտվող սիմետրիա (այսինքն՝ դրանք Penrose խճանկարներ էին)։

Իրանական դամբարանի 1304 թվականի զարդաքանդակի հատված. Աջ կողմում՝ գիրիխների վերակառուցումը

Միջնադարյան մուսուլմանական տեսարժան վայրերի հարյուրավոր լուսանկարներ ուսումնասիրելուց հետո Լուին և Սթայնհարդը կարողացան թվագրել 13-րդ դարի նմանատիպ միտումը: Աստիճանաբար այս մեթոդը դառնում է ավելի ու ավելի տարածված, և 15-րդ դարում այն ​​լայն տարածում է գտել։ Ժամադրությունը մոտավորապես համընկնում է պալատները, մզկիթները, տարբեր կարևոր շինությունները ջնարակապատ գունավոր կերամիկական սալիկներով զանազան բազմանկյունների ձևով զարդարելու տեխնիկայի զարգացման ժամանակաշրջանին։ Այսինքն՝ հատուկ ձևերի կերամիկական սալիկներ ստեղծվել են հատուկ գիրիչների համար։

Հետազոտողները համարել են իրանական Սպահան քաղաքի Իմամ Դարբ-ի սրբավայրը, որը թվագրվում է 1453 թվականին, գրեթե իդեալական քվազիբյուրեղային կառուցվածքի օրինակ։

Իմամ Դարբ-ի սրբավայրի պորտալ Սպահանում (Իրան):
Այստեղ գիրիխների երկու համակարգերը դրված են միմյանց վրա միանգամից։

Թուրքիայում մզկիթի բակի սյունը (մոտ 1200 թ.)
և Իրանի մեդրեսեների պարիսպները (1219 թ.)։ Սրանք վաղ շրջանի աշխատանքներ են
և նրանք օգտագործում են Լուի հայտնաբերած կառուցվածքային տարրերից միայն երկուսը

Այժմ մնում է գտնել մի շարք առեղծվածների պատասխանները գիրիխի և Պենրոուզի խճանկարների պատմության մեջ։ Ինչպե՞ս և ինչու են հին մաթեմատիկոսները հայտնաբերել քվազիկյուրիստական ​​կառուցվածքներ: Արդյո՞ք միջնադարյան արաբները խճանկարներին գեղարվեստականից այլ նշանակություն են տվել: Ինչու՞ մաթեմատիկական այդքան հետաքրքիր հայեցակարգը մոռացվեց կես հազարամյակի ընթացքում: Եվ ամենահետաքրքիրը՝ էլի ի՞նչ ժամանակակից բացահայտումներ են նոր, որն իրականում լավ մոռացված հին է։