Yönetimde organizasyonun kaynaklarının muhasebeleştirilmesi ve analizi. Muhasebe ve analiz (finansal muhasebe, yönetim muhasebesi, finansal analiz)

İkinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında, kök formüllerine ek olarak, aşağıdakiler tarafından verilen başka yararlı ilişkiler vardır. Vieta teoremi. Bu yazıda, ikinci dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir formülasyonunu ve kanıtını vereceğiz. Sonra, Vieta teoreminin tersi olan bir teorem düşünelim. Ardından en karakteristik örneklerin çözümlerini inceleyeceğiz. Son olarak, gerçek kökler arasındaki bağlantıyı tanımlayan Vieta formüllerini yazıyoruz. cebirsel denklem derece n ve katsayıları.

Sayfa gezintisi.

Vieta teoremi, formülasyon, ispat

D=b 2 −4 a c formun a x 2 +b x+c=0 ikinci dereceden denkleminin köklerinin formüllerinden, x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = ilişkileri CA . Bu sonuçlar doğrulandı Vieta teoremi:

Teorem.

Eğer x 1 ve x 2, ikinci dereceden ax 2 +b x+c=0 denkleminin kökleridir, bu durumda köklerin toplamı, zıt işaretle alınan b ve a katsayılarının oranına ve çarpımına eşittir. kökler, c ve a katsayılarının oranına eşittir, yani .

Kanıt.

Vieta teoremini aşağıdaki şemaya göre kanıtlayacağız: bilinen kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını oluşturuyoruz, bundan sonra ortaya çıkan ifadeleri dönüştürüyoruz ve −b'ye eşit olduklarından emin oluyoruz. sırasıyla /a ve c/a.

Köklerin toplamı ile başlayalım, onu oluşturalım. Şimdi kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz. Ortaya çıkan kesrin payında, bundan sonra:. Sonunda, 2'den sonra alırız. Bu, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı için Vieta teoreminin ilk ilişkisini kanıtlar. İkinciye geçelim.

İkinci dereceden denklemin köklerinin ürününü oluşturuyoruz: Kesirlerde çarpma kuralına göre son ürün olarak yazılabilir. Şimdi parantezi paydaki parantez ile çarpıyoruz, ancak bu çarpımı şu şekilde daraltmak daha hızlıdır: kareler farkı formülü, Böyle . Daha sonra hatırlayarak bir sonraki geçişi gerçekleştiriyoruz. Ve D=b 2 −4 a·c formülü ikinci dereceden denklemin diskriminantına karşılık geldiğinden, son kesre D yerine b 2 −4·a·c ikame edilebilir, elde ederiz. Köşeli parantezleri açıp benzer terimleri indirdikten sonra kesre ulaşıyoruz ve 4·a ile indirgenmesi 'yi veriyor. Bu, köklerin çarpımı için Vieta teoreminin ikinci ilişkisini kanıtlar.

Açıklamaları atlarsak, Vieta teoreminin ispatı kısa ve öz bir şekil alacaktır:
,
.

Sadece ayrımcı sıfıra eşit olduğunda, ikinci dereceden denklemin bir kökü olduğunu belirtmek için kalır. Ancak, bu durumda denklemin iki özdeş köke sahip olduğunu varsayarsak, o zaman Vieta teoremindeki eşitlikler de geçerlidir. Gerçekten de, D=0 için ikinci dereceden denklemin kökü , o zaman ve 'dir ve D=0 olduğundan, yani b 2 −4 a c=0 , buradan b 2 =4 a c , o zaman .

Pratikte, Vieta teoremi çoğunlukla x 2 +p·x+q=0 formunun indirgenmiş ikinci dereceden denklemiyle (en yüksek katsayılı a 1 'e eşittir) ilişkili olarak kullanılır. Bazen, herhangi bir ikinci dereceden denklem, her iki parçasını da sıfır olmayan bir sayı a ile bölerek eşdeğer bir denklemle değiştirilebileceğinden, genelliği sınırlamayan sadece bu türden ikinci dereceden denklemler için formüle edilir. İşte Vieta teoreminin karşılık gelen formülasyonu:

Teorem.

İndirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 + px + q \u003d 0'ın köklerinin toplamı, zıt işaretle alınan x'deki katsayıya eşittir ve köklerin ürünü serbest terimdir, yani x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teorem Vieta teoreminin tersi

Vieta teoreminin önceki paragrafta verilen ikinci formülasyonu, x 1 ve x 2, x 2 +p x+q=0 indirgenmiş ikinci dereceden denklemin kökleriyse, x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. Öte yandan, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yazılı ilişkilerinden, x 1 ve x 2'nin x 2 +p x+q=0 ikinci dereceden denkleminin kökleri olduğu sonucu çıkar. Başka bir deyişle, Vieta teoreminin tersi iddia doğrudur. Bunu bir teorem şeklinde formüle edip ispatlıyoruz.

Teorem.

x 1 ve x 2 sayıları, x 1 +x 2 =−p ve x 1 x 2 =q olacak şekilde ise, x 1 ve x 2, x 2 +p x+q=0 indirgenmiş ikinci dereceden denklemin kökleridir. .

Kanıt.

İfadelerinin x 2 +p x+q=0 denklemindeki p ve q katsayılarını x 1 ve x 2 ile değiştirdikten sonra eşdeğer bir denkleme dönüştürülür.

Elde edilen denklemde x yerine x 1 sayısını değiştiririz, eşitliği elde ederiz. x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, herhangi bir x 1 ve x 2 için 0=0 doğru sayısal eşitliktir, çünkü x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Bu nedenle, x 1 denklemin köküdür x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 bu, x 1'in x 2 +p x+q=0 eşdeğer denkleminin kökü olduğu anlamına gelir.

denklemde ise x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x yerine x 2 sayısını koyarsak eşitliği elde ederiz x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Bu doğru denklem çünkü x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Bu nedenle, x 2 aynı zamanda denklemin köküdür. x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ve dolayısıyla x 2 +p x+q=0 denklemleri.

Bu, Vieta teoreminin tersi olan teoremin ispatını tamamlar.

Vieta teoremini kullanma örnekleri

Vieta teoremi ve ters teoreminin pratik uygulaması hakkında konuşmanın zamanı geldi. Bu alt bölümde, en tipik örneklerin birkaçının çözümlerini analiz edeceğiz.

Vieta teoreminin tersini bir teoremi uygulayarak başlıyoruz. Verilen iki sayının belirli bir ikinci dereceden denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmek için kullanmak uygundur. Bu durumda, toplamları ve farkları hesaplanır, ardından ilişkilerin geçerliliği kontrol edilir. Bu bağıntıların her ikisi de karşılanırsa, o zaman, Vieta teoreminin tersi olan teorem sayesinde, bu sayıların denklemin kökleri olduğu sonucuna varılır. İlişkilerden en az biri sağlanmazsa, bu sayılar ikinci dereceden denklemin kökleri değildir. Bu yaklaşım, bulunan kökleri kontrol etmek için ikinci dereceden denklemleri çözerken kullanılabilir.

Örnek.

1) x 1 =-5, x 2 =3 veya 2) veya 3) sayı çiftlerinden hangisi, 4 x 2 −16 x+9=0 ikinci dereceden denklemin bir kök çiftidir?

Çözüm.

Verilen ikinci dereceden 4 x 2 −16 x+9=0 denkleminin katsayıları a=4 , b=−16 , c=9 . Vieta teoremine göre, ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı −b/a'ya, yani 16/4=4'e eşit olmalı ve köklerin çarpımı c/a'ya, yani 9'a eşit olmalıdır. /4.

Şimdi verilen üç çiftin her birindeki sayıların toplamını ve çarpımını hesaplayalım ve az önce elde edilen değerlerle karşılaştıralım.

İlk durumda, elimizde x 1 +x 2 =−5+3=−2 var. Ortaya çıkan değer 4'ten farklıdır, bu nedenle daha fazla doğrulama yapılamaz, ancak Vieta teoreminin tersi olan teorem ile hemen ilk sayı çiftinin belirli bir ikinci dereceden denklemin bir çift kökü olmadığı sonucuna varabiliriz. .

Gelelim ikinci duruma. Burada, yani birinci koşul sağlanmıştır. İkinci koşulu kontrol ediyoruz: , elde edilen değer 9/4 'den farklı. Bu nedenle, ikinci sayı çifti, ikinci dereceden bir denklemin bir çift kökü değildir.

Son durum kaldı. Burada ve . Her iki koşul da karşılanır, dolayısıyla bu x 1 ve x 2 sayıları verilen ikinci dereceden denklemin kökleridir.

Yanıt vermek:

Vieta teoreminin tersi olan teorem, ikinci dereceden bir denklemin köklerini seçmek için pratikte kullanılabilir. Genellikle, verilen ikinci dereceden denklemlerin tamsayı katsayılı tamsayı kökleri seçilir, çünkü diğer durumlarda bunu yapmak oldukça zordur. Aynı zamanda, iki sayının toplamı, eksi işaretiyle alınan ikinci dereceden denklemin ikinci katsayısına eşitse ve bu sayıların çarpımı serbest terime eşitse, o zaman bu sayıların olduğunu kullanırlar. bu ikinci dereceden denklemin kökleri. Bunu bir örnekle ele alalım.

İkinci dereceden x 2 −5 x+6=0 denklemini alalım. x 1 ve x 2 sayılarının bu denklemin kökleri olması için, iki x 1 +x 2 \u003d 5 ve x 1 x 2 \u003d 6 eşitliğinin sağlanması gerekir. Bu tür sayıları seçmek için kalır. Bu durumda, bunu yapmak oldukça basittir: 2+3=5 ve 2 3=6 olduğundan bu tür sayılar 2 ve 3'tür. Böylece, 2 ve 3 bu ikinci dereceden denklemin kökleridir.

Vieta teoreminin tersi olan teorem, köklerden biri zaten biliniyorsa veya açıksa, indirgenmiş ikinci dereceden denklemin ikinci kökünü bulmak için özellikle uygundur. Bu durumda, herhangi bir bağıntıdan ikinci kök bulunur.

Örneğin, 512 x 2 −509 x−3=0 ikinci dereceden denklemi alalım. Burada birimin denklemin kökü olduğunu görmek kolaydır, çünkü bu ikinci dereceden denklemin katsayılarının toplamı sıfırdır. Yani x 1 =1 . İkinci x 2 kökü, örneğin x 1 x 2 =c/a bağıntısından bulunabilir. 1 x 2 =−3/512 var, buradan x 2 =−3/512. Böylece, ikinci dereceden denklemin her iki kökünü de tanımladık: 1 ve -3/512.

Kök seçiminin yalnızca en basit durumlarda uygun olduğu açıktır. Diğer durumlarda, kökleri bulmak için, ikinci dereceden denklemin köklerinin formüllerini diskriminant aracılığıyla uygulayabilirsiniz.

Bir tane daha pratik kullanım Vieta teoreminin tersi olan teorem, verilen x 1 ve x 2 kökleri için ikinci dereceden denklemler oluşturmaktan ibarettir. Bunu yapmak için, verilen ikinci dereceden denklemin zıt işaretiyle x katsayısını veren köklerin toplamını ve serbest terimi veren köklerin çarpımını hesaplamak yeterlidir.

Örnek.

Kökleri -11 ve 23 olan ikinci dereceden bir denklem yazın.

Çözüm.

x 1 =-11 ve x 2 =23'ü belirtin. Bu sayıların toplamını ve ürününü hesaplıyoruz: x 1 + x 2 \u003d 12 ve x 1 x 2 \u003d −253. Bu nedenle, bu sayılar, ikinci katsayı -12 ve serbest terim -253 ile verilen ikinci dereceden denklemin kökleridir. Yani, x 2 −12·x−253=0 istenen denklemdir.

Yanıt vermek:

x 2 −12 x−253=0 .

Vieta teoremi, ikinci dereceden denklemlerin köklerinin işaretleri ile ilgili görevlerin çözümünde çok sık kullanılır. Vieta teoremi, x 2 +p x+q=0 indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin işaretleri ile nasıl ilişkilidir? İşte iki ilgili açıklama:

• q kesişimi pozitif bir sayıysa ve ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri varsa, o zaman ikisi de pozitiftir veya ikisi de negatiftir.
• Serbest q terimi negatif bir sayıysa ve ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri varsa, işaretleri farklıdır, başka bir deyişle, bir kök pozitif, diğeri negatiftir.

Bu ifadeler, x 1 x 2 =q formülünün yanı sıra pozitif, negatif sayıları ve farklı işaretli sayıları çarpma kurallarını takip eder. Uygulamalarının örneklerini düşünün.

Örnek.

R pozitiftir. Diskriminant formülüne göre, D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , r 2 ifadesinin değerini buluyoruz +8 herhangi bir gerçek r için pozitiftir, dolayısıyla herhangi bir gerçek r için D>0. Bu nedenle, orijinal ikinci dereceden denklemin, r parametresinin herhangi bir gerçek değeri için iki kökü vardır.

Şimdi köklerin ne zaman olduğunu öğrenelim. farklı işaretler. Köklerin işaretleri farklıysa, ürünleri negatiftir ve Vieta teoremi ile verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin ürünü serbest terime eşittir. Bu nedenle, serbest terim r-1'in negatif olduğu r değerleriyle ilgileniyoruz. Bu nedenle, bizi ilgilendiren r değerlerini bulabilmemiz için, doğrusal eşitsizliği çözmek r-1<0 , откуда находим r<1 .

Yanıt vermek:

r'de<1 .

Vietnam formülleri

Yukarıda, ikinci dereceden bir denklem için Vieta teoremi hakkında konuştuk ve öne sürdüğü ilişkileri analiz ettik. Ancak, yalnızca ikinci dereceden denklemlerin değil, aynı zamanda kübik denklemlerin, dörtlü denklemlerin ve genel olarak, gerçek kökleri ve katsayıları birbirine bağlayan formüller vardır. cebirsel denklemler derece Arandılar Vietnam formülleri.

Formun n dereceli cebirsel denklemi için Vieta formüllerini yazıyoruz, bunun n gerçek kökü olduğunu varsayıyoruz x 1, x 2, ..., x n (aralarında aynı olabilir):

Get Vieta formülleri izin verir polinom çarpanlara ayırma teoremi, tüm karşılık gelen katsayılarının eşitliği yoluyla eşit polinomların tanımı. Yani polinom ve formun lineer faktörlerine genişlemesi eşittir. Son üründeki parantezleri açıp karşılık gelen katsayıları eşitleyerek Vieta formüllerini elde ederiz.

Özellikle, n=2 için, ikinci dereceden denklem için zaten bilinen Vieta formüllerine sahibiz.

Kübik bir denklem için, Vieta formülleri şu şekildedir:

Sadece, Vieta formüllerinin sol tarafında, sözde temel formüllerin bulunduğunu not etmek kalır. simetrik polinomlar.

Bibliyografya.

• Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 de Bölüm 1. Eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - E.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; ed. A.B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - M.: Aydınlanma, 2010.- 368 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Vieta teoremine geçmeden önce bir tanım veriyoruz. formun ikinci dereceden denklemi x² + piksel + Q= 0 indirgenmiş olarak adlandırılır. Bu denklemde, lider katsayı bire eşittir. Örneğin, denklem x² - 3 x- 4 = 0 azaltılır. Formun herhangi bir ikinci dereceden denklemi balta² + b x + C= 0 indirgenebilir, bunun için denklemin her iki tarafını da şuna böleriz a≠ 0. Örneğin, Denklem 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0'ın 4'e bölünmesi şu şekle indirgenir: x² + x- 3/4 = 0. Verilen ikinci dereceden denklemin kökleri için formülü türetiyoruz, bunun için genel bir ikinci dereceden denklemin kökleri için formülü kullanıyoruz: balta² + sevgili + C = 0

İndirgenmiş Denklem x² + piksel + Q= 0, içinde bulunduğu genel bir denklemle çakışmaktadır. a = 1, B = P, C = Q. Bu nedenle, verilen ikinci dereceden denklem için formül şu şekli alır:

son ifadeye indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin formülü denir, bu formülün kullanılması özellikle uygundur. r- çift sayı. Örneğin, denklemi çözelim x² - 14 x — 15 = 0

Cevap olarak, denklemin iki kökü olduğunu yazıyoruz.

Pozitif ile indirgenmiş ikinci dereceden bir denklem için aşağıdaki teorem geçerlidir.

Vieta teoremi

Eğer x 1 ve x 2 - denklemin kökleri x² + piksel + Q= 0 ise formüller geçerlidir:

x 1 + x 2 = — r

x 1 * x 2 \u003d q, yani, verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, zıt işaretle alınan ikinci katsayıya eşittir ve köklerin ürünü, serbest terime eşittir.

Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin köklerinin formülüne dayanarak, elimizde:

Bu eşitlikleri toplayarak şunları elde ederiz: x 1 + x 2 = —R.

Bu eşitlikleri kareler farkı formülünü kullanarak çarparsak:

Bu durumda ikinci dereceden denklemin iki özdeş köke sahip olduğunu varsayarsak, Vieta teoreminin diskriminant sıfır olduğunda da geçerli olduğuna dikkat edin: x 1 = x 2 = — r/2.

denklemleri çözmemek x² - 13 x+ 30 = 0 köklerinin toplamını ve çarpımını bulun x 1 ve x 2. bu denklem D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, böylece Vieta teoremini uygulayabilirsiniz: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Birkaç örnek daha düşünün. Denklemin köklerinden biri x² — piksel- 12 = 0 x 1 = 4. katsayısını bul r ve ikinci kök x Bu denklemin 2. Vieta teoremine göre x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R.Çünkü x 1 = 4 sonra 4 x 2 = - 12, nereden x 2 = — 3, r = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Yanıt olarak ikinci kökü yazıyoruz x 2 = - 3, katsayı p = - 1.

denklemleri çözmemek x² + 2 x- 4 = 0 köklerinin karelerinin toplamını bulun. İzin vermek x 1 ve x 2 denklemin kökleridir. Vieta teoremine göre x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Çünkü x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, o zaman x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

3. denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını bulun x² + 4 x- 5 \u003d 0. Diskriminant olduğundan bu denklemin iki farklı kökü vardır. D= 16 + 4*3*5 > 0. Denklemi çözmek için Vieta teoremini kullanırız. Bu teorem, indirgenmiş ikinci dereceden denklem için kanıtlanmıştır. Bu denklemi 3'e bölelim.

Bu nedenle, köklerin toplamı -4/3 ve ürünleri -5/3'tür.

Genel olarak, denklemin kökleri balta² + b x + C= 0, aşağıdaki eşitliklerle ilişkilidir: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Bu formülleri elde etmek için, bu ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da a ≠ 0 ve Vieta teoremini elde edilen indirgenmiş ikinci dereceden denkleme uygulayın. Bir örnek düşünün, kökleri olan belirli bir ikinci dereceden denklem oluşturmanız gerekir. x 1 = 3, x 2 = 4. Çünkü x 1 = 3, x 2 = 4 ikinci dereceden denklemin kökleridir x² + piksel + Q= 0, sonra Vieta teoremi ile r = — (x 1 + x 2) = — 7, Q = x 1 x 2 = 12. Cevap olarak yazıyoruz x² - 7 x+ 12 = 0. Bazı problemlerin çözümünde aşağıdaki teorem kullanılır.

Teorem Vieta teoreminin tersi

eğer sayılar r, Q, x 1 , x 2 öyle ki x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, sonra x 1 ve x2 denklemin kökleri x² + piksel + Q= 0. Sol tarafta değiştirin x² + piksel + Q onun yerine r ifade - ( x 1 + x 2), ancak bunun yerine Q- İş x 1 * x 2 . Alırız: x² + piksel + Q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Böylece, eğer sayılar r, Q, x 1 ve x 2 bu ilişkilerle ilişkilidir, o zaman herkes için x eşitlik x² + piksel + Q = (x - x 1) (x - x 2), bunu takip eden x 1 ve x 2 - denklemin kökleri x² + piksel + Q= 0. Vieta teoreminin tersi olan teoremi kullanarak, bazen ikinci dereceden bir denklemin köklerini seçim yoluyla bulmak mümkündür. Bir örnek düşünün, x² - 5 x+ 6 = 0. İşte r = — 5, Q= 6. İki sayı seçin x 1 ve x 2 böylece x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Vieta teoreminin tersi teorem ile 6 = 2 * 3 ve 2 + 3 = 5 olduğuna dikkat ederek, şunu elde ederiz: x 1 = 2, x 2 = 3 - denklemin kökleri x² - 5 x + 6 = 0.

Vieta teoremi

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerini gösterelim ve gösterelim
(1) .
O zaman köklerin toplamı, zıt işaretle alınan katsayıya eşittir. Köklerin çarpımı serbest terime eşittir:
;
.

Birden çok kök hakkında bir not

(1) denkleminin diskriminantı sıfır ise, bu denklemin bir kökü vardır. Ancak, hantal formülasyonlardan kaçınmak için, bu durumda, denklem (1)'in iki çoklu veya eşit köke sahip olduğu genel olarak kabul edilir:
.

Kanıt bir

(1) denkleminin köklerini bulalım. Bunu yapmak için, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülü uygulayın:
;
;
.

Köklerin toplamını bulma:
.

Ürünü bulmak için formülü uygularız:
.
O zamanlar

.

Teorem kanıtlanmıştır.

Kanıt iki

Sayılar ve ikinci dereceden denklemin (1) kökleri ise, o zaman
.
Parantezleri açıyoruz.

.
Böylece denklem (1) şu şekli alacaktır:
.
(1) ile karşılaştırarak şunları buluruz:
;
.

Teorem kanıtlanmıştır.

Ters Vieta teoremi

Rastgele sayılar olsun. Sonra ve ikinci dereceden denklemin kökleri
,
nerede
(2) ;
(3) .

Vieta'nın converse teoreminin kanıtı

İkinci dereceden denklemi düşünün
(1) .
Eğer ve , o zaman ve denkleminin (1) kökleri olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

(2) ve (3)'ü (1) ile değiştirin:
.
Denklemin sol tarafındaki terimleri gruplandırıyoruz:
;
;
(4) .

(4)'teki yerine koyun:
;
.

(4)'teki yerine koyun:
;
.
Denklem yerine getirilir. Yani sayı (1) denkleminin köküdür.

Teorem kanıtlanmıştır.

Tam ikinci dereceden denklem için Vieta teoremi

Şimdi tam ikinci dereceden denklemi düşünün
(5) ,
nerede , ve bazı sayılardır. Ve .

Denklemi (5) şuna böleriz:
.
Yani, yukarıdaki denklemi elde ettik.
,
nerede ; .

Daha sonra tam ikinci dereceden denklem için Vieta teoremi aşağıdaki forma sahiptir.

Tam ikinci dereceden denklemin köklerini gösterelim ve gösterelim
.
Daha sonra köklerin toplamı ve ürünü aşağıdaki formüllerle belirlenir:
;
.

Bir kübik denklem için Vieta teoremi

Benzer şekilde, bir kübik denklemin kökleri arasında bağlantılar kurabiliriz. Kübik denklemi düşünün
(6) ,
nerede , , , bazı sayılardır. Ve .
Bu denklemi şuna bölelim:
(7) ,
nerede , , .
(7) numaralı denklemin (ve (6) numaralı denklemin) kökleri , , olsun. O zamanlar

.

Denklem (7) ile karşılaştırarak şunları buluruz:
;
;
.

n'inci dereceden bir denklem için Vieta teoremi

Aynı şekilde, n'inci dereceden denklem için , , ... , , kökleri arasındaki bağlantıları bulabilirsiniz.
.

n'inci dereceden bir denklem için Vieta teoremi aşağıdaki forma sahiptir:
;
;
;

.

Bu formülleri elde etmek için denklemi aşağıdaki biçimde yazıyoruz:
.
Sonra katsayıları , , , ... 'de eşitleriz ve serbest terimi karşılaştırırız.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Öğretim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.
SANTİMETRE. Nikolsky, M.K. Potapov ve diğerleri, Cebir: 8. sınıf eğitim kurumları için bir ders kitabı, Moskova, Eğitim, 2006.

İkinci dereceden bir denklemi çözme yöntemlerinden biri uygulamadır. VIETA formülleri adını FRANCOIS VIETE'den almıştır.

Ünlü bir avukattı ve 16. yüzyılda Fransız kralıyla birlikte görev yaptı. Boş zamanlarında astronomi ve matematik okudu. İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir bağlantı kurdu.

Formülün avantajları:

1 . Formülü uygulayarak hızlı bir şekilde çözüme ulaşabilirsiniz. Çünkü ikinci katsayıyı kareye girmeniz, ardından ondan 4ac çıkarmanız, diskriminantı bulmanız, değerini kök bulmak için formülde yerine koymanız gerekmemektedir.

2 . Çözüm olmadan köklerin işaretlerini belirleyebilir, köklerin değerlerini alabilirsiniz.

3 . İki kayıt sistemini çözdükten sonra, kökleri kendileri bulmak zor değildir. Yukarıdaki ikinci dereceden denklemde, köklerin toplamı, eksi işaretli ikinci katsayının değerine eşittir. Yukarıdaki ikinci dereceden denklemdeki köklerin ürünü, üçüncü katsayının değerine eşittir.

4 . Verilen köklere göre ikinci dereceden bir denklem yazın, yani ters problemi çözün. Örneğin, bu yöntem teorik mekanikteki problemlerin çözümünde kullanılır.

5 . Önde gelen katsayı bire eşit olduğunda formülü uygulamak uygundur.

Kusurlar:

1 . Formül evrensel değildir.

Vieta teoremi 8. Sınıf

formül
x 1 ve x 2, verilen ikinci dereceden denklem x 2 + px + q \u003d 0'ın kökleriyse, o zaman:

Örnekler
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - denklemin kökleri x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

ters teoremi

formül
x 1 , x 2 , p, q sayıları koşullara bağlıysa:

O halde x 1 ve x 2, x 2 + px + q = 0 denkleminin kökleridir.

Örnek
Köklerine göre ikinci dereceden bir denklem yapalım:

X 1 \u003d 2 -? 3 ve x 2 \u003d 2 +? 3.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

İstenen denklem şu şekildedir: x 2 - 4x + 1 = 0.