Penroseov mozaik ali kako so srednjeazijski arhitekti za pet stoletij pričakovali odkritje evropskih znanstvenikov Razno. Penrose mozaik in starodavni islamski vzorci simetrični mozaik

Penrose mozaik, Penrose ploščice - neperiodične ploščice ravnine, aperiodične pravilne strukture, ploščice ravnine z rombi dveh vrst - s koti 72 ° in 108 ° ("debeli rombi") ter 36 ° in 144 ° ("tanki" rombov"), takšne (razmerja so v skladu z "zlatim rezom"), da nobena dva sosednja (torej imata skupno stran) romba ne tvorita skupaj paralelograma.Poimenovan po Rogerju Penroseu, ki ga je zanimal problem "polaganja ploščic", to je polnjenje ravnine s figurami enake oblike brez vrzeli in prekrivanja.

Vse takšne ploščice so neperiodične in so med seboj lokalno izomorfne (to pomeni, da se kateri koli končni fragment ene Penroseove ploščice pojavlja v kateri koli drugi). "Samopodobnost" - sosednje ploščice mozaika lahko kombinirate tako, da ponovno ustvarite Penrose mozaik.

Na vsako od dveh ploščic je mogoče narisati več segmentov, tako da se pri polaganju mozaika konci teh segmentov prekrivajo in na ravnini se oblikuje več družin vzporednih ravnih črt (Amanovih črt).

Razdalje med sosednjimi vzporednimi črtami imajo natanko dve različni vrednosti (in za vsako družino vzporednih črt je zaporedje teh vrednosti podobno).

Penrose mozaiki, ki imajo luknje, pokrivajo celotno ravnino, razen figure s končno površino. Luknjo je nemogoče povečati z odstranitvijo nekaj (končnih) ploščic, nato pa nepokritega dela ni mogoče v celoti tlakovati.

Problem rešujemo s polaganjem ploščic s figurami, ki ustvarjajo občasno ponavljajoč se vzorec, vendar je Penrose želel najti ravno takšno figuro, ki pri polaganju ravnine ne bi ustvarila ponavljajočih se vzorcev. Veljalo je, da ni takšnih ploščic, iz katerih bi bili zgrajeni le neperiodični mozaiki. Penrose je ročno izbral veliko ploščic različnih oblik, posledično sta bila le 2, ki imata "zlati rez", ki je osnova vseh harmoničnih odnosov. To so romboidne oblike s kotoma 108 ° in 72 °. Kasneje so bile figure poenostavljene v obliko preprostega romba (36 ° in 144 °), ki temelji na principu "zlatega trikotnika".

Nastali vzorci imajo kvazikristalinično obliko, ki ima aksialna simetrija 5. vrstni red. Mozaična struktura je povezana s Fibonaccijevim zaporedjem.
( Wikipedija)

Penrose mozaik. Bela točka označuje središče rotacijske simetrije 5. reda: vrtenje za 72 ° okoli nje prenese mozaik vase.

Verige in mozaiki (revija Znanost in življenje, 2005 # 10)

Najprej razmislite o naslednjem idealiziranem modelu. Naj se delci v ravnotežju nahajajo vzdolž transportne osi z in tvorijo linearno verigo z spremenljivo obdobje, ki se spreminja po zakonu geometrijske progresije:

аn = a1 Dn-1,

kjer a1 - začetno obdobje med delci je n redna številka obdobja, n = 1, 2,…, D = (1 + √5) / 2 = 1,6180339… je številka zlatega reza.

Zgrajena veriga delcev služi kot primer enodimenzionalnega kvazikristala z redom simetrije na dolge razdalje. Struktura je popolnoma urejena, na osi je sistematična razporeditev delcev - njihove koordinate so določene z enim zakonom. Hkrati pa ni ponovitve – obdobja med delci so različna in se ves čas povečujejo. Zato dobljena enodimenzionalna struktura nima translacijske simetrije in tega ne povzroča kaotična razporeditev delcev (kot v amorfnih strukturah), temveč iracionalno razmerje dveh sosednjih obdobij (D je iracionalno število).

Logično nadaljevanje obravnavane enodimenzionalne strukture kvazikristala je dvodimenzionalna struktura, ki jo lahko opišemo z metodo konstruiranja neperiodičnih mozaikov (vzorcev), sestavljenih iz dveh različnih elementov, dveh enotnih celic. Ta mozaik je leta 1974 razvil teoretični fizik z univerze v Oxfordu. R. Penrose. Našel je mozaik dveh rombov z enakimi stranicami. Notranji koti ozkega romba so 36 ° in 144 °, širokega romba pa 72 ° in 108 °.

Koti teh rombov so povezani z zlatim rezom, ki je algebraično izražen z enačbo x2 - x - 1 = 0 ali z enačbo y2 + y - 1 = 0. Korenine teh kvadratnih enačb lahko zapišemo v trigonometrični obliki :

x1 = 2cos36 °, x2 = 2cos108 °,
y1 = 2cos72 °, y2 = cos144 °.

Ta nekonvencionalna oblika predstavitve korenin enačb kaže, da lahko te rombove imenujemo ozki in široki zlati rombovi.

V Penroseovem mozaiku je ravnina prekrita z zlatimi rombi brez vrzeli in prekrivanj in se lahko neskončno razprostira po dolžini in širini. Toda za izgradnjo neskončnega mozaika je treba upoštevati določena pravila, ki se bistveno razlikujejo od monotonega ponavljanja istih enotnih celic, ki sestavljajo kristal. Če je kršeno pravilo prileganja zlatih rombov, se bo čez nekaj časa rast mozaika ustavila, saj se bodo pojavile nepopravljive nedoslednosti.

V neskončnem Penrosovem mozaiku so zlati rombovi razporejeni brez stroge periodičnosti. Vendar je razmerje med številom širokih zlatih rombov in številom ozkih zlatih rombov natančno enako zlatemu številu D = (1 + √5) / 2 = = 1,6180339…. Ker je število D iracionalno, je v takem mozaiku nemogoče izpostaviti elementarno celico s celim številom rombov vsake vrste, s prevodom katerih bi lahko dobili celoten mozaik.

Penroseov mozaik ima svoj poseben čar kot predmet zabavne matematike. Ne da bi se spuščali v vse vidike tega vprašanja, ugotavljamo, da je že prvi korak - gradnja mozaika - precej zanimiv, saj zahteva pozornost, potrpežljivost in določeno iznajdljivost. In veliko izuma in domišljije se lahko pokaže, če mozaik naredite večbarven. Barvanje, ki se takoj spremeni v igro, lahko izvajamo s številnimi izvirne načine, katerih različice so predstavljene na slikah (spodaj). Bela pika označuje središče mozaika, vrtenje za 72 ° okoli katerega ga pripelje vase.

Mozaik Penrose je odličen primer, kako lepa konstrukcija, ki se nahaja na stičišču različnih disciplin, je zagotovo uporabljena. Če se vozlišča zamenjajo z atomi, bo Penroseov mozaik postal dober analog dvodimenzionalnega kvazikristala, saj ima številne lastnosti, značilne za takšno stanje snovi. In zato.

Prvič, gradnja mozaika se izvaja po določenem algoritmu, zaradi česar se izkaže, da ni naključna, ampak urejena struktura. Vsak njen končni del se neštetokrat pojavi v celotnem mozaiku.

Drugič, v mozaiku je mogoče razlikovati veliko pravilnih desetkotnikov s popolnoma enakimi orientacijami. Ustvarjajo orientacijski red dolgega dosega, imenovan kvaziperiodični. To pomeni, da obstaja interakcija med oddaljenimi mozaičnimi strukturami, ki usklajuje lokacijo in relativno orientacijo diamantov na dobro opredeljen, čeprav dvoumen način.

Tretjič, če dosledno prebarvate vse rombove s stranicami, vzporednimi s katero koli izbrano smerjo, potem tvorijo vrsto prelomljenih črt. Vzdolž teh lomljenih črt je mogoče narisati ravne vzporedne črte, ki so med seboj oddaljene približno na enaki razdalji. Zaradi te lastnosti lahko govorimo o neki translacijski simetriji v Penroseovem tilingu.

Četrtič, zaporedno napolnjeni rombovi tvorijo pet družin podobnih vzporednih črt, ki se sekajo pod koti, ki so večkratniki 72 °. Smeri teh lomljenih črt ustrezajo smerem stranic pravilnega peterokotnika. Zato ima Penrosov mozaik do neke mere rotacijsko simetrijo 5. reda in je v tem smislu podoben kvazikristalu.

Sramota! Ljudje srednjega veka so presegli sodobne znanstvenike. Mislili smo, da sta napredna matematika in kristalografija naša dosežka. Izkazalo se je, da nič takega - vse to je bilo že pred pol tisoč leti. Poleg tega se zdi, da sodobno znanost niso presegli najboljši matematiki, ampak preprosti umetniki. No, morda ne zelo preprosto ... Ampak vseeno!

Ne, no, pravzaprav - sodobni matematiki se ukvarjajo s čisto neumnostjo! Nato se papir prepogne 12-krat, nato se kvačkajo Lorenzove enačbe, nato se kroglice zvijejo v krofe. Na splošno sta od resnih ljudi ostala le Perelman in Okunkov - vse upanje je na njih ...

Zanimivo pa je, da so ljudje matematične dosežke dosegli že v antiki, včasih pa jim sploh niso pripisovali posebnega pomena. Zanimivo je tudi, da znanstveniki danes ponavljajo ista »stara« odkritja, ne da bi sploh posumili, da izumljajo nekaj, kar brez njihovih ugibanj obstaja že več kot eno stoletje.

Na primer, angleški matematik Roger Penrose je leta 1973 pripravil takšno stvar - poseben mozaik geometrijskih oblik. V skladu s tem je postal Penroseov mozaik. Kaj je pri tem tako specifičnega?

Mozaik Penrose v različici njegovega ustvarjalca. Sestavljen je iz dveh vrst rombov, enega s kotom 72 stopinj, drugega s kotom 36 stopinj. Slika iz nje se izkaže za simetrično, vendar ne periodično (ilustracija s spletnega mesta en.wikipedia.org).

Mozaik Penrose je vzorec, sestavljen iz poligonalnih ploščic dveh specifičnih oblik (malo različnih rombov). Lahko tlakujejo neskončno ravnino brez vrzeli.

Nastala slika je videti, kot da je nekakšen "ritmični" ornament - slika s translacijsko simetrijo. Ta vrsta simetrije pomeni, da lahko v vzorcu izberete določen kos, ki ga lahko "kopirate" na ravnino, nato pa te "dvojnike" med seboj kombinirate z vzporednim prenosom (z drugimi besedami, brez vrtenja in brez povečanja).

Vendar, če pogledate natančno, lahko vidite, da v Penrosovem vzorcu ni takšnih ponavljajočih se struktur - je aperiodična. Toda poanta ni optična iluzija, ampak dejstvo, da mozaik ni kaotičen: ima rotacijsko simetrijo petega reda.

Primera kvazi jekel sta zlitina AlMnPd in ​​Al 60 Li 30 Cu 10 (ilustracija Paul J. Steinhardt).

To pomeni, da je mogoče sliko zasukati pod najmanjšim kotom 360/ n stopinje kjer n- v tem primeru vrstni red simetrije n= 5. Zato mora biti kot vrtenja, ki ne spremeni ničesar, večkratnik 360/5 = 72 stopinj.

Približno desetletje je Penroseov izum veljal za malo več kot za srčkano matematično abstrakcijo. Vendar je leta 1984 Dan Shechtman, profesor na Izraelskem inštitutu za tehnologijo (Technion), ki je preučeval strukturo aluminijeve in magnezijeve zlitine, odkril, da se na atomski mreži te snovi pojavlja difrakcija.

Prejšnji koncepti v fiziki trdnega telesa so izključevali takšno možnost: struktura difrakcijskega vzorca ima simetrijo petega reda. Njegovih delov ni mogoče kombinirati z vzporednim prenosom, kar pomeni, da sploh ni kristal. Toda difrakcija je značilna samo za kristalno mrežo!

Kako biti tukaj? Vprašanje ni enostavno, zato so se znanstveniki strinjali, da se bo ta možnost imenovala kvazikristali - nekaj takega kot posebno stanje snovi.

Tukaj je prikazan eden od vzorcev ploščic, prikazanih v arabskem rokopisu iz 15. stoletja. Raziskovalci so z barvami poudarili ponavljajoča se področja. Vsi geometrijski vzorci srednjeveških arabskih mojstrov, ki sta jih preučevala Lou in Steinhardt, temeljijo na teh petih elementih. Kot lahko vidite, se ponavljajoči se elementi ne ujemajo nujno z obrobami ploščic (ilustracija Peter J. Lu).

No, vsa lepota odkritja, kot ste uganili, je v tem, da je matematični model že dolgo pripravljen nanj. In, kot ste verjetno razumeli, je to mozaik Penrose. A ta sploh ni star deset let, ampak veliko več. To je postalo znano šele v naših dneh, na zori XXI stoletja, in ta model se je izkazal za veliko starejši, kot bi si lahko predstavljali.

Leta 2007 se je Peter J. Lu, fizik Univerze Harvard, združil z drugim fizikom, Paulom J. Steinhardtom, vendar z univerze Princeton, da bi objavil članek v Science on mosaics. Penrose (Lou bi moral biti znan rednim bralcem "Membranes « - govorili smo že o njegovih odkritjih diamantnega rezanja starodavnih sekir in najkompleksnejših starih strojev). Zdi se, da tukaj ni veliko nepričakovanega: odkritje kvazikristalov je pritegnilo veliko zanimanje za to temo, kar je povzročilo kopico objav v znanstvenem tisku.

Vendar je vrhunec dela, da mu še zdaleč ni posvečeno sodobna znanost... In na splošno - ni znanost.

"Kvazikristalni" vzorci so našli svoje mesto ne le v arhitekturi. Tukaj si lahko ogledate naslovnico Korana iz let 1306-1315 in risbo geometrijskih fragmentov, na katerih temelji vzorec. Ta in naslednji primeri ne ustrezajo Penroseovim mrežam, imajo pa rotacijsko simetrijo petega reda (ilustracija Peter J. Lu).

Lu je opozoril na vzorce, ki pokrivajo mošeje v Aziji, zgrajene v srednjem veku. Ti zlahka prepoznavni dizajni so narejeni iz mozaičnih ploščic. Imenujejo se girihi (iz arabske besede za "vozel") in so geometrijski vzorec, ki je značilen za islamsko umetnost in je sestavljen iz poligonalnih oblik.

Dolgo časa je veljalo, da so ti vzorci ustvarjeni z ravnilom in šestilom. Pred nekaj leti pa se je Lu med potovanjem po Uzbekistanu začel zanimati za mozaične vzorce, ki so krasili lokalno srednjeveško arhitekturo, in v njih opazil nekaj znanega.

Ko se je vrnil na Harvard, je znanstvenik začel razmišljati o podobnih motivih v mozaikih na stenah srednjeveških zgradb v Afganistanu, Iranu, Iraku in Turčiji.

Ugotovil je, da so ti vzorci skoraj enaki in je lahko poudaril osnovne elemente girihov, uporabljenih v vseh geometrijskih modelih. Poleg tega je v starodavnih rokopisih našel risbe teh slik, ki so jih starodavni umetniki uporabljali kot nekakšno goljufijo za okrasitev sten.

A vse to, se izkaže, ni tako pomembno. Za ustvarjanje teh vzorcev niso uporabili preprostih, naključno izumljenih kontur, temveč figure, ki so bile razporejene v določenem vrstnem redu. In to ni posebej presenetljivo.

Res je zanimivo, da so se ljudje, ki so pozabili na takšne sheme, pozneje spet srečali z njimi. Da, da, starodavni vzorci niso nič drugega kot tisto, kar se bo stoletja pozneje imenovalo Penroseove rešetke in ga bomo našli v strukturi kvazikristalov!

Na teh slikah so poudarjena ista območja, čeprav gre za fotografije iz najrazličnejših mošej (ilustracija Peter J. Lu).

V islamski tradiciji je obstajala stroga prepoved podobe ljudi in živali, zato so geometrijski vzorci postali zelo priljubljeni pri oblikovanju stavb. Srednjeveški obrtniki so jo uspeli nekako spremeniti. Toda kaj je bila skrivnost njihove "strategije" - nihče ni vedel. Torej se izkaže, da je skrivnost v uporabi posebnih mozaikov, ki lahko, čeprav ostanejo simetrični, napolnijo ravnino brez ponavljanja.

Druga "trika" teh podob je, da bi morali umetniki ob "prepisovanju" takšnih shem v različnih cerkvah po risbah neizogibno priznati popačenje. Toda kršitve te narave so minimalne. To je razloženo le z dejstvom, da obsežne risbe niso imele smisla: glavna stvar je načelo, po katerem je treba zgraditi sliko.

Za montažo girichov so bile uporabljene ploščice petih vrst (deset- in peterokotni rombovi in ​​"metulji"), ki so bili sestavljeni v mozaiku, ki so mejili drug na drugega, brez prostega prostora med njimi. Mozaiki, ustvarjeni iz njih, so lahko imeli tako rotacijsko kot translacijsko simetrijo naenkrat in le rotacijsko simetrijo petega reda (torej so bili mozaiki Penrose).

Odlomek ornamenta iranskega mavzoleja iz leta 1304. Na desni je rekonstrukcija girichov (ilustracija Peter J. Lu).

Po preučitvi na stotine fotografij srednjeveških muslimanskih znamenitosti sta Lou in Steinhardt lahko datirala podoben trend v 13. stoletje. Postopoma je ta metoda postajala vse bolj priljubljena in do 15. stoletja je postala razširjena.

Raziskovalci so menili, da je svetišče Imama Darb-i v iranskem mestu Isfahan, ki sega v leto 1453, primer skoraj idealne kvazikristalne strukture.

To odkritje je marsikoga navdušilo. Ameriško združenje za napredek znanosti (

Udeleženci projekta

Nikiforov Kirill, učenec 8. razreda

Rudneva Oksana, učenka 8. razreda

Poturaeva Ksenia, učenka 8. razreda

Raziskovalna tema

Penrose mozaik

Problematično vprašanje

Kaj je Penrose mozaik?

Raziskovalna hipoteza

Obstaja neperiodično oblaganje ravnine

Raziskovalni cilji

Spoznajte mozaik Penrose in ugotovite, zakaj se imenuje "zlati" mozaik

Rezultati

Penrose mozaik

Ploščad je prekrivanje celotne ravnine z oblikami, ki se ne prekrivajo. V matematiki se problem trdnega polnjenja ravnine s poligoni brez vrzeli in prekrivanj imenuje parketi ali mozaiki. Verjetno se je prvo zanimanje za tlakovanje pojavilo v povezavi z gradnjo mozaikov, okraskov in drugih vzorcev. Že stari Grki so vedeli, da je ta problem enostavno rešiti s prekrivanjem ravnine s pravilnimi trikotniki, kvadrati in šesterokotniki.

Takšno polaganje ravnine se imenuje periodično. Kasneje so se naučili izvajati polaganje ploščic s kombinacijo več pravilnih poligonov.

Težja naloga je bila ustvariti ne čisto "pravilen" ali "skoraj" periodičen parket. Dolgo časa je veljalo, da ta problem nima rešitve. Vendar je bila v 60. letih prejšnjega stoletja še vedno rešena, vendar je to zahtevalo nabor tisočev poligonov različni tipi... Korak za korakom se je število vrst zmanjševalo in končno je sredi sedemdesetih let prejšnjega stoletja profesor Univerze v Oxfordu Roger Penrose, izjemen znanstvenik našega časa, ki je aktivno delal na različnih področjih matematike in fizike, rešil problem samo z dvema vrstama. iz rombov.

Roger Penrose

Raziskali smo metodo za izdelavo takšnega mozaika, ki se danes imenuje Penrose mozaik. Če želite to narediti, narišite diagonale v običajnem peterokotniku (pentagonu). Dobimo - nov peterokotnik in dve vrsti enakokrakih trikotnikov, ki ju imenujemo "zlati". Razmerje med stegno in osnovo v takih trikotnikih je enako "zlatemu" razmerju. Koti v trikotniku so 36°, 72° in 72° v enem ter 108°, 36° in 36° v drugem. Povežimo dva enaka trikotnika in dobimo "zlate" rombove. Znanstvenik jih je uporabil pri oblikovanju parketa, sam parket pa je bil imenovan "zlati".

Penrose mozaik

Penrose mozaik ima naslednje lastnosti:

1. razmerje med številom tankih rombov in številom debelih je vedno enako tako imenovanemu "zlatemu" številu 1,618 ...

In starodavni
islamski vzorci
Predstavitev je opravila
učenec 7B razreda, Centralni izobraževalni center št. 1679
Gerder Marina.
Vodje projektov
Sinyukova E.V. in Zherder V.M.
5klass.net

Kaj je mozaik

Mozaik darila
vzorec,
sestavljen iz ploščic
različne oblike. Po njih
je mogoče tlakovati
neskončno
letalo brez
prostori.

Periodični mozaik je mozaik,
katerega risba se ponavlja skozi
enakih intervalih.
Neperiodični mozaik je mozaik,
kateri vzorec se lahko ponovi
v nepravilnih intervalih.

Mozaiki v naravi

Veliko primerov je tudi v naravi.
periodični mozaik. V glavnem
kristali trdnih snovi - na primer:
Kristal soli
Diamantni kristal
Grafitni kristal
Grafenski kristal

Mozaiki na Escherjevih slikah

Mozaiki so pomembna tema
umetnost. Umetnik
M.K. Escher je znan po svojih
mozaiki in niso resnični
slike.

Kaj je Penrose mozaik?

Leta 1973
angleščina
matematik Roger
Penrose (Roger
Penrose) ustvarjen
poseben mozaik
iz geometrijske
številke, ki in
postal znan kot Penroseov mozaik.

Poligonalne mozaične plošče

Mozaik Penrose je
mozaik sestavljen iz poligonal
ploščice dveh specifičnih oblik.

Mozaična simetrija

Nastala slika izgleda tako
kot da je nekakšna "ritmična"
ornament - slika,
posest
prevodni
simetrija.

simetrija

Translacijska simetrija pomeni
kaj v vzorcu lahko izberete
določen kos, ki ga lahko
"kopiraj" na letalu in potem
združite te "dvojnike" med seboj
vzporedni prenos.

10. Struktura mozaikov

Vendar, če natančno pogledate, lahko
glej, da takih ni
ponavljajoče se strukture - it
neperiodična. Ampak bistvo sploh ni v tem
optična iluzija, ampak da je mozaik
ni kaotična: ona
poseduje
rotacijski
simetrija kvinte
naročilo.

11. Najmanjši kot

To pomeni, da
slika lahko
vklopiti
minimalni kot,
enako 360 / n stopinj,
kjer je n vrstni red
simetrija v tem
primer n = 5.
Zato kot
obrneš, da nič
se ne spremeni, mora biti
večkratnik 360/5 = 72
stopinj.

12. Nenavaden pojav

Leta 1984 Dan
Shechtman dela
študij strukture
aluminij-magnezijeva zlitina,
našel to na
atomska mreža
te snovi
nadaljevati
nenavadno za
kristali
fizični pojav.

13. "Napačni" kristali

Vzorec snovi, ki je bil izpostavljen
posebna metoda hitrega
hlajenje, razpršila elektronski žarek
tako da je nastala fotografska plošča
izrečen
difrakcijski
slika s simetrijo
peti vrstni red v
lokacija
difrakcijski
visoke
(simetrija ikosaedra).

14. Kvazikristali

Znanstveniki so se strinjali
to dano
možnost bi bila
ime
kvazikristali -
nekaj posebnega
stanje snovi. IN
zanj že dolgo
je bil pripravljen
matematični model
- Penrose mozaik.

15.

Objava 2007
Leta 2007 sta fizika Peter Lou in Paul
Steinhardt objavil v reviji
Znanstveni članek o mozaikih
Penrose.

16. Zanimanje za kvazikristale

na videz,
nepričakovano tukaj
malo: odpiranje
kvazikristali
pritegnila živahno
zanimanje za to
tema, ki je vodila
na videz kupa
objave v
znanstveni tisk.

17. Vzorci v Aziji

Vendar je vrhunec dela, da je
ni posvečen sodobni znanosti.
In na splošno - ni znanost. Peter Lou
opozoril na vzorce,
pokrivanje mošej
v Aziji, zgrajena
nazaj v srednjem veku.

18.

Slogi. Girih
V islamskem ornamentu sta dva
slog:
Girikh (pers.) - težko
geometrijski ornament,
sestavljen iz stiliziranih v
pravokotne in poligonalne
črtne oblike. V večini primerov
uporablja za zunanje
okrasitev mošej in knjig v velikem obsegu
izdaja.

19. Islimi

Islimi (pers.) - vrsta ornamenta,
zgrajena na stičišču vrvja in
spirale. Uteleša v stilizirani
ali naturalistična oblika ideje
nenehno razvijajoče se cvetenje
listopadni poganjek. Največji
se je razprostrl v oblačilih,
knjige, notranja dekoracija mošej,
jedi.

20. Mozaiki Uzbekistana

Med potovanjem v
Uzbekistan, Lu se je začel zanimati za vzorci
mozaiki, ki so krasili domačin
srednjeveške arhitekture, in opazili v
jim nekaj znanega.
Naslovnica Korana 13061315 in
risanje
geometrijski
drobci,
na katerem je
vzorec.

21. Mozaiki iz različnih držav

Nazaj v
Harvard, znanstvenik je postal
razmisliti
podobni motivi v
mozaiki na stenah
srednjeveški
zgradbe
Afganistan, Iran,
Irak in Turčija.

22. Islamski mozaiki

Ta vzorec je datiran pozneje.
obdobje - 1622 (indijska mošeja).

23. Sheme girihov

Peter Lou je odkril to geometrijo
sheme giriha so praktično enake in
uspel poudariti glavne elemente,
uporablja v vseh
geometrijski okraski. Poleg tega
je našel risbe teh slik v
starodavni rokopisi, ki
starodavni umetniki uživali
kot neke vrste goljufija za
stenska dekoracija.

24. Vrstni red gradnje

Za ustvarjanje teh vzorcev ne
preproste, naključno izumljene konture,
in figure, ki so se nahajale v
določenem vrstnem redu. Starodavni vzorci
izkazali za natančne konstrukcije mozaikov
Penrose!

25.

islamske tradicije
V islamski tradiciji
obstajala je stroga
prepoved slike
ljudi in živali,
torej v dizajnu
stavbe velike
pridobil popularnost
geometrijski
ornament.

26. Skrivnost starodavnih mojstrov

Srednjeveški obrtniki
naredil
pestro. Ampak kaj
je bila njihova skrivnost
»strategije« – nihče
vedel. Torej, skrivnost je, kako
ko se izkaže
z uporabo
posebni mozaiki,
kdo lahko ostane
simetrično,
napolni letalo, ne
ponavljanje.

27. "fokus"

Še en "trik" teh
"Fokus" slik je v tem,
s "kopiranjem" takšnih shem v
različni templji v
risbe, umetniki
bi neizogibno moral
dovoli popačenje. Ampak
kršitev tega
znaki so minimalni.
To je razloženo samo z dejstvom
da mojstri niso
uporabljene risbe, ko
izdelava mozaika.

28. Ploščice

Za sestavljanje girihov
rabljene ploščice od petih
vrste (deset- in
peterokotnih rombov in
"metulji"), ki v
mozaiki so bili sestavljeni,
sosednji drug drugemu
brez zastonj
presledki med
njim.

29. Simetrija mozaikov

Mozaiki iz njih,
bi bilo mogoče čim prej posedovati
rotacijski in
prevodni
simetrija in samo
rotacijsko simetrijo
peti vrstni red (tj.
so bili mozaiki
Penrose).

30. Girihi

Odlomek ornamenta iranskega mavzoleja
1304 let. Na desni - rekonstrukcija girikhov

31. Datum nastanka mozaikov

Pregledovanje na stotine
datum
nastopi
fotografije
mozaiki
srednjeveški
musliman
znamenitosti,
Lou in Steinhardt sta zmogla
datum nastopa
podoben trend XIII
stoletja. Postopoma to
način pridobil vse
velika priljubljenost in do
XV stoletje je postalo zelo razširjeno
običajni.

32. Keramične ploščice

Zmenki približno
sovpada z obdobjem
razvoj tehnologije
okrasitev
palače, mošeje,
različne pomembne
stavbe zastekljene
barva
keramične ploščice
v obliki različnih
poligoni. To
imajo keramiko
posebne ploščice
oblikovane obrazce
posebej za girike.
Keramične
ploščice

33. Zaključek

Kaj je zahodna znanost uspela odkriti
na podlagi velikega posploševanja
trnove izkušnje, orientalska znanost
narejeno na podlagi intuicije in občutka
lepa. In rezultati so očitni: v
utelešenje zakonov geometrije v
vadite orientalske mislece
pred Zahodom za pet stoletij!

Leta 1973 je angleški matematik Roger Penrose ustvaril poseben mozaik geometrijskih oblik, ki je postal znan kot Penroseov mozaik.
Mozaik Penrose je vzorec, sestavljen iz poligonalnih ploščic dveh specifičnih oblik (malo različnih rombov). Lahko tlakujejo neskončno ravnino brez vrzeli.

Mozaik Penrose v različici njegovega ustvarjalca.
Sestavljen je iz dveh vrst rombov,
ena pri 72 stopinjah, druga pri 36 stopinjah.
Slika je simetrična, vendar ne periodična.

Nastala slika je videti, kot da je nekakšen "ritmični" ornament - slika s translacijsko simetrijo. Ta vrsta simetrije pomeni, da lahko v vzorcu izberete določen kos, ki ga lahko "kopirate" na ravnino, nato pa lahko te "dvojnike" kombinirate med seboj z vzporednim prenosom (z drugimi besedami, brez vrtenja in brez širitev).

Vendar, če pogledate natančno, lahko vidite, da v Penrosovem vzorcu ni takšnih ponavljajočih se struktur - je aperiodična. Toda poanta ni optična iluzija, ampak dejstvo, da mozaik ni kaotičen: ima rotacijsko simetrijo petega reda.

To pomeni, da je mogoče sliko zasukati za najmanjši kot 360 / n stopinj, kjer je n vrstni red simetrije, v tem primeru n = 5. Zato mora biti rotacijski kot, ki ne spremeni ničesar, večkratnik 360/5 = 72 stopinj.

Približno desetletje je Penroseov izum veljal za malo več kot za srčkano matematično abstrakcijo. Vendar je leta 1984 Dan Shechtman, profesor na Izraelskem inštitutu za tehnologijo (Technion), ki je preučeval strukturo aluminijeve in magnezijeve zlitine, odkril, da se na atomski mreži te snovi pojavlja difrakcija.

Prejšnji koncepti v fiziki trdnega telesa so izključevali takšno možnost: struktura difrakcijskega vzorca ima simetrijo petega reda. Njegovih delov ni mogoče kombinirati z vzporednim prenosom, kar pomeni, da sploh ni kristal. Toda difrakcija je značilna samo za kristalno mrežo! Znanstveniki so se strinjali, da se bo ta možnost imenovala kvazikristali - nekaj podobnega posebnemu stanju snovi. No, vsa lepota odkritja je v tem, da je bil zanj že pripravljen matematični model – Penroseov mozaik.

In pred kratkim je postalo jasno, da je ta matematična konstrukcija stara veliko več let, kot bi si lahko predstavljali. Leta 2007 se je Peter J. Lu, fizik univerze Harvard, združil z drugim fizikom, Paulom J. Steinhardtom, vendar z univerze Princeton, da bi objavil članek v Science on mosaics. Penrose. Zdi se, da tukaj ni veliko nepričakovanega: odkritje kvazikristalov je pritegnilo veliko zanimanje za to temo, kar je povzročilo kopico objav v znanstvenem tisku.

Vendar je vrhunec dela, da še zdaleč ni posvečeno sodobni znanosti. In na splošno - ni znanost. Peter Lu je opozoril na vzorce, ki pokrivajo mošeje v Aziji, zgrajene v srednjem veku. Ti zlahka prepoznavni dizajni so narejeni iz mozaičnih ploščic. Imenujejo se girihi (iz arabske besede za "vozel") in so geometrijski vzorec, ki je značilen za islamsko umetnost in je sestavljen iz poligonalnih oblik.

Vzorec ploščic, prikazan v arabskem rokopisu iz 15. stoletja.
Raziskovalci so z barvami poudarili ponavljajoča se področja.
Vsi geometrijski vzorci so zgrajeni na podlagi teh petih elementov.
srednjeveški arabski mojstri. Ponavljajoči se elementi
Ni nujno, da se ujemajo z mejami ploščic.

V islamskem ornamentu se razlikujeta dva sloga: geometrijski - girih in cvetlični - islimi.
Girih(pers.) - kompleksen geometrijski ornament, sestavljen iz črt, stiliziranih v pravokotne in mnogokotne figure. V večini primerov se uporablja za zunanji dizajn mošeje in knjige v veliki nakladi.
Islimi(pers.) - vrsta ornamenta, zgrajena na povezavi vezice in spirale. V stilizirani ali naturalistični obliki uteleša idejo o nenehno rastočem, cvetočem listnatem poganjku in vključuje neskončno raznolikost možnosti. Najpogosteje se uporablja v oblačilih, knjigah, notranji dekoraciji mošej in jedi.

Naslovnica Korana 1306-1315 in risba geometrijskih fragmentov,
na kateri temelji vzorec. Ta in naslednji primeri se ne ujemajo
Penroseove rešetke, vendar imajo rotacijsko simetrijo petega reda

Pred odkritjem Petra Louja je veljalo, da so starodavni arhitekti ustvarili vzorce girih z ravnilom in šestilom (če ne intuitivno). Pred nekaj leti pa se je Lu med potovanjem po Uzbekistanu začel zanimati za mozaične vzorce, ki so krasili lokalno srednjeveško arhitekturo, in v njih opazil nekaj znanega. Ko se je vrnil na Harvard, je znanstvenik začel razmišljati o podobnih motivih v mozaikih na stenah srednjeveških zgradb v Afganistanu, Iranu, Iraku in Turčiji.

Ta vzorec je datiran v poznejše obdobje - 1622 (indijska mošeja).
Če ga pogledamo in narišemo njegovo strukturo, človek ne more občudovati trdega dela
raziskovalci. In seveda mojstri sami.

Peter Lou je odkril, da so geometrijski vzorci girichov praktično enaki in je lahko poudaril osnovne elemente, uporabljene v vseh geometrijskih modelih. Poleg tega je v starodavnih rokopisih našel risbe teh slik, ki so jih starodavni umetniki uporabljali kot nekakšno goljufijo za okrasitev sten.
Za ustvarjanje teh vzorcev niso uporabili preprostih, naključno izumljenih kontur, temveč figure, ki so bile razporejene v določenem vrstnem redu. Starodavni vzorci so se izkazali za natančne konstrukcije Penroseovih mozaikov!

Na teh slikah so poudarjena ista področja,
čeprav so to fotografije iz različnih mošej

V islamski tradiciji je obstajala stroga prepoved podobe ljudi in živali, zato so geometrijski vzorci postali zelo priljubljeni pri oblikovanju stavb. Srednjeveški obrtniki so jo uspeli nekako spremeniti. Toda kaj je bila skrivnost njihove "strategije" - nihče ni vedel. Torej se izkaže, da je skrivnost v uporabi posebnih mozaikov, ki lahko, čeprav ostanejo simetrični, napolnijo ravnino brez ponavljanja.

Druga "trika" teh podob je, da bi morali umetniki ob "prepisovanju" takšnih shem v različnih cerkvah po risbah neizogibno priznati popačenje. Toda kršitve te narave so minimalne. To je razloženo le z dejstvom, da obsežne risbe niso imele smisla: glavna stvar je načelo, po katerem je treba zgraditi sliko.

Za sestavljanje girichov so bile uporabljene ploščice petih vrst (deset- in peterokotni rombovi in ​​"metulji"), ki so bili sestavljeni v mozaiku, ki so mejili drug na drugega, brez prostega prostora med njimi. Mozaiki, ustvarjeni iz njih, so lahko imeli tako rotacijsko kot translacijsko simetrijo naenkrat in le rotacijsko simetrijo petega reda (torej so bili mozaiki Penrose).

Odlomek ornamenta iranskega mavzoleja iz leta 1304. Na desni - rekonstrukcija girikhov

Po preučitvi na stotine fotografij srednjeveških muslimanskih znamenitosti sta Lou in Steinhardt lahko datirala podoben trend v 13. stoletje. Postopoma je ta metoda postajala vse bolj priljubljena in do 15. stoletja je postala razširjena. Datacija približno sovpada z obdobjem razvoja tehnike okrasitve palač, mošej, različnih pomembnih zgradb z glaziranimi barvnimi keramičnimi ploščicami v obliki različnih poligonov. To pomeni, da so bile keramične ploščice posebnih oblik ustvarjene posebej za giriche.

Raziskovalci so menili, da je svetišče Imama Darb-i v iranskem mestu Isfahan, ki sega v leto 1453, primer skoraj idealne kvazikristalne strukture.

Portal svetišča Imama Darb-ija v Isfahanu (Iran).
Tukaj sta dva sistema girihov prekrita drug na drugega naenkrat.

Steber dvorišča mošeje v Turčiji (približno 1200)
in zidovi medres v Iranu (1219). To so zgodnja dela
in uporabljajo le dva strukturna elementa, ki jih je našel Lu

Zdaj je treba najti odgovore na številne skrivnosti v zgodovini mozaikov girih in Penrose. Kako in zakaj so stari matematiki odkrili kvazikristalne strukture? Ali so srednjeveški Arabci dajali mozaikom kakšen pomen razen umetniškega? Zakaj je bil tako zanimiv matematični koncept pozabljen za pol tisočletja? In kar je najbolj zanimivo - katera druga sodobna odkritja so nova, kar je pravzaprav dobro pozabljeno staro?