Dacă în problemă este necesar să se efectueze un studiu complet al funcției f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 cu construcția graficului său, atunci vom lua în considerare acest principiu în detaliu.

Pentru a rezolva o problemă de acest tip, ar trebui să folosiți proprietățile și graficele principalelor funcții elementare. Algoritmul de cercetare include următorii pași:

Găsirea domeniului definiției

Deoarece cercetarea se efectuează pe domeniul funcției, este necesar să începem cu acest pas.

Exemplul 1

Exemplul dat implică găsirea zerourilor numitorului pentru a le exclude din DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ca rezultat, puteți obține rădăcini, logaritmi și așa mai departe. Atunci ODZ poate fi căutată pentru rădăcina unui grad par de tip g (x) 4 prin inegalitatea g (x) ≥ 0 , pentru logaritmul log a g (x) prin inegalitatea g (x) > 0 .

Investigarea limitelor ODZ și găsirea asimptotelor verticale

Există asimptote verticale la limitele funcției, când limitele unilaterale în astfel de puncte sunt infinite.

Exemplul 2

De exemplu, considerați punctele de frontieră egale cu x = ± 1 2 .

Apoi este necesar să se studieze funcția pentru a găsi limita unilaterală. Atunci obținem că: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Aceasta arată că limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că liniile x = ± 1 2 sunt asimptotele verticale ale graficului.

Investigarea funcției și pentru par sau impar

Când condiția y (- x) = y (x) este îndeplinită, funcția este considerată a fi pară. Aceasta sugerează că graficul este situat simetric în raport cu O y. Când condiția y (- x) = - y (x) este îndeplinită, funcția este considerată impară. Aceasta înseamnă că simetria merge în raport cu originea coordonatelor. Dacă cel puțin o inegalitate eșuează, obținem o funcție de formă generală.

Îndeplinirea egalității y (- x) = y (x) indică faptul că funcția este pară. La construcție, este necesar să se țină cont de faptul că va exista simetrie față de O y.

Pentru a rezolva inegalitatea, se folosesc intervale de creștere și descreștere cu condițiile f „(x) ≥ 0 și, respectiv, f” (x) ≤ 0.

Definiția 1

Puncte staționare sunt puncte care transformă derivata la zero.

Puncte critice sunt puncte interioare din domeniul în care derivata funcției este egală cu zero sau nu există.

Atunci când luați o decizie, trebuie luate în considerare următoarele aspecte:

• pentru intervalele existente de creștere și scădere a inegalității de forma f „(x) > 0, punctele critice nu sunt incluse în soluție;
• punctele la care funcția este definită fără o derivată finită trebuie incluse în intervalele de creștere și scădere (de exemplu, y \u003d x 3, unde punctul x \u003d 0 face ca funcția să fie definită, derivata are valoarea infinitului în acest moment, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 este inclus în intervalul de creștere);
• pentru a evita neînțelegerile, se recomandă utilizarea literaturii matematice, care este recomandată de Ministerul Educației.

Includerea punctelor critice în intervalele de creștere și scădere în cazul în care acestea satisfac domeniul funcției.

Definiția 2

Pentru determinand intervalele de crestere si scadere a functiei, este necesar sa se gaseasca:

• derivat;
• puncte critice;
• spargeți domeniul definiției cu ajutorul punctelor critice în intervale;
• determinați semnul derivatei la fiecare dintre intervale, unde + este o creștere și - este o scădere.

Exemplul 3

Aflați derivata pe domeniul f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Soluţie

Pentru a rezolva ai nevoie de:

• găsiți puncte staționare, acest exemplu are x = 0 ;
• găsiți zerourile numitorului, exemplul ia valoarea zero la x = ± 1 2 .

Expunem puncte de pe axa numerică pentru a determina derivata pe fiecare interval. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați orice punct din interval și să faceți un calcul. Dacă rezultatul este pozitiv, desenăm + pe grafic, ceea ce înseamnă o creștere a funcției și - înseamnă scăderea acesteia.

De exemplu, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ceea ce înseamnă că primul interval din stânga are semnul +. Luați în considerare numărul linia.

Răspuns:

• are loc o creştere a funcţiei pe intervalul - ∞ ; - 1 2 și (- 1 2 ; 0 ] ;
• are loc o scădere a intervalului [ 0 ; 1 2) și 1 2 ; +∞ .

În diagramă, folosind + și -, sunt prezentate pozitivitatea și negativitatea funcției, iar săgețile indică scăderea și creșterea.

Punctele extreme ale unei funcții sunt punctele în care funcția este definită și prin care derivata își schimbă semnul.

Exemplul 4

Dacă luăm în considerare un exemplu în care x \u003d 0, atunci valoarea funcției din aceasta este f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Când semnul derivatei se schimbă de la + la - și trece prin punctul x \u003d 0, atunci punctul cu coordonatele (0; 0) este considerat punctul maxim. Când semnul este schimbat de la - la +, obținem punctul minim.

Convexitatea și concavitatea se determină prin rezolvarea inegalităților de forma f "" (x) ≥ 0 și f "" (x) ≤ 0 . Mai rar folosesc denumirea de umflare în jos în loc de concavitate și umflare în loc de bombare.

Definiția 3

Pentru determinarea golurilor de concavitate si convexitate necesar:

• găsiți derivata a doua;
• găsiți zerourile funcției derivatei a doua;
• rupe domeniul definirii prin punctele care apar pe intervale;
• determina semnul decalajului.

Exemplul 5

Găsiți derivata a doua din domeniul definiției.

Soluţie

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Găsim zerourile numărătorului și numitorului, unde, folosind exemplul nostru, avem că zerourile numitorului x = ± 1 2

Acum trebuie să puneți puncte pe dreapta numerică și să determinați semnul derivatei a doua din fiecare interval. Înțelegem asta

Răspuns:

• funcţia este convexă din intervalul - 1 2 ; 12;
• funcţia este concavă din golurile - ∞ ; - 1 2 și 1 2 ; +∞ .

Definiția 4

punct de inflexiune este un punct de forma x 0 ; f(x0). Când are o tangentă la graficul funcției, atunci când trece prin x 0, funcția își schimbă semnul opus.

Cu alte cuvinte, acesta este un astfel de punct prin care derivata a doua trece și își schimbă semnul, iar în punctele în sine este egală cu zero sau nu există. Toate punctele sunt considerate a fi domeniul funcției.

În exemplu, s-a văzut că nu există puncte de inflexiune, deoarece derivata a doua își schimbă semnul în timp ce trece prin punctele x = ± 1 2 . Ele, la rândul lor, nu sunt incluse în domeniul definiției.

Găsirea asimptotelor orizontale și oblice

Când definiți o funcție la infinit, trebuie să căutați asimptote orizontale și oblice.

Definiția 5

Asimptote oblice sunt trasate folosind drepte date de ecuația y = k x + b, unde k = lim x → ∞ f (x) x și b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Pentru k = 0 și b nu este egal cu infinitul, aflăm că asimptota oblică devine orizontală.

Cu alte cuvinte, asimptotele sunt liniile pe care graficul funcției se apropie la infinit. Aceasta contribuie la construirea rapidă a graficului funcției.

Dacă nu există asimptote, dar funcția este definită la ambele infinitate, este necesar să se calculeze limita funcției la aceste infinitități pentru a înțelege cum se va comporta graficul funcției.

Exemplul 6

Ca exemplu, luați în considerare asta

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

este o asimptotă orizontală. După ce ați cercetat funcția, puteți începe să o construiți.

Calcularea valorii unei funcții în puncte intermediare

Pentru a face graficul cel mai precis, se recomandă să găsiți mai multe valori ale funcției în puncte intermediare.

Exemplul 7

Din exemplul pe care l-am luat în considerare, este necesar să găsim valorile funcției în punctele x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Deoarece funcția este pară, obținem că valorile coincid cu valorile din aceste puncte, adică obținem x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Să scriem și să rezolvăm:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Pentru a determina maximele și minimele funcției, punctele de inflexiune, punctele intermediare, este necesar să se construiască asimptote. Pentru o desemnare convenabilă, intervalele de creștere, scădere, convexitate, concavitate sunt fixe. Luați în considerare figura de mai jos.

Este necesar să trasați linii grafice prin punctele marcate, ceea ce vă va permite să vă apropiați de asimptote, urmând săgețile.

Aceasta încheie studiul complet al funcției. Există cazuri de construire a unor funcții elementare pentru care se folosesc transformări geometrice.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

De ceva timp, în TheBat (nu este clar din ce motiv), baza de date de certificate încorporată pentru SSL a încetat să funcționeze corect.

La verificarea postării, apare o eroare:

Certificat CA necunoscut
Serverul nu a prezentat un certificat rădăcină în sesiune și certificatul rădăcină corespunzător nu a fost găsit în agenda de adrese.
Această conexiune nu poate fi secretă. Vă rog
contactați administratorul serverului dvs.

Și se oferă o gamă de răspunsuri - DA / NU. Și așa de fiecare dată când trageți corespondență.

Soluţie

În acest caz, trebuie să înlocuiți standardul de implementare S/MIME și TLS cu Microsoft CryptoAPI în TheBat!

Deoarece trebuia să îmbin toate fișierele într-unul singur, mai întâi am convertit totul fișiere docîntr-un singur fișier pdf (folosind programul Acrobat) și apoi transferat în fb2 printr-un convertor online. De asemenea, puteți converti fișiere individual. Formatele pot fi absolut orice (sursă) și doc, și jpg și chiar arhiva zip!

Numele site-ului corespunde esenței:) Online Photoshop.

Actualizare mai 2015

Am gasit un alt site grozav! Și mai convenabil și mai funcțional pentru a crea un colaj complet arbitrar! Acest site este http://www.fotor.com/ru/collage/ . Utilizați pentru sănătate. Și îl voi folosi și eu.

Confruntat în viață cu repararea sobelor electrice. Am făcut deja o mulțime de lucruri, am învățat multe, dar nu aveam cumva treabă cu plăcile. A fost necesară înlocuirea contactelor de pe regulatoare și arzătoare. A apărut întrebarea - cum se determină diametrul arzătorului pe aragazul electric?

Răspunsul s-a dovedit a fi simplu. Nu este nevoie să măsori nimic, poți determina cu ochiul calm ce dimensiune ai nevoie.

Cel mai mic arzător este de 145 milimetri (14,5 centimetri)

Arzător mediu este de 180 milimetri (18 centimetri).

Și în sfârșit cel mai mult arzător mare este de 225 milimetri (22,5 centimetri).

Este suficient să determinați dimensiunea prin ochi și să înțelegeți ce diametru aveți nevoie de un arzător. Când nu știam asta, mă plimbam cu aceste dimensiuni, nu știam cum să măsor, pe ce margine să navighez etc. Acum sunt intelept :) Sper ca te-a ajutat si pe tine!

În viața mea m-am confruntat cu o astfel de problemă. Cred că nu sunt singurul.

Reşebnik Kuzneţov.
III Grafice

Sarcina 7. Efectuați un studiu complet al funcției și construiți graficul acesteia.

        Înainte de a începe să descărcați opțiunile, încercați să rezolvați problema urmând exemplul de mai jos pentru opțiunea 3. Unele dintre opțiuni sunt arhivate în format .rar

        7.3 Efectuați un studiu complet al funcției și trasați-o

Soluţie.

        1) Domeniu de aplicare:         sau        , adică        .
.
Astfel:         .

        2) Nu există puncte de intersecție cu axa Ox. Într-adevăr, ecuația         nu are soluții.
Nu există puncte de intersecție cu axa Oy deoarece        .

        3) Funcţie nici par, nici impar. Nu există simetrie în jurul axei y. Nu există nicio simetrie în privința originii. pentru că
.
Vedem că         și        .

        4) Funcția este continuă în domeniu
.

; .

; .
Prin urmare, punctul         este un punct de discontinuitate de al doilea fel (discontinuitate infinită).

5) Asimptote verticale:       

Găsiți asimptota oblică        . Aici

;
.
Prin urmare, avem o asimptotă orizontală: y=0. Nu există asimptote oblice.

        6) Găsiți prima derivată. Prima derivată:
.
Si de aceea
.
Să găsim puncte staționare în care derivata este egală cu zero, adică
.

        7) Găsiți derivata a doua. Derivata a doua:
.
Și acest lucru este ușor de verificat, deoarece