Կառավարման մեջ կազմակերպության ռեսուրսների հաշվառում և վերլուծություն: Հաշվապահական հաշվառում և վերլուծություն (ֆինանսական հաշվառում, կառավարման հաշվառում, ֆինանսական վերլուծություն)

Քառակուսային հավասարման արմատների և գործակիցների միջև, բացի արմատային բանաձևերից, կան նաև այլ օգտակար հարաբերություններ, որոնք սահմանվում են. Վիետայի թեորեմա... Այս հոդվածում մենք կտանք Վիետայի թեորեմի ձևակերպումն ու ապացույցը քառակուսի հավասարման համար։ Հաջորդը, դիտարկեք Վիետայի թեորեմի հակառակ թեորեմը: Դրանից հետո կվերլուծենք ամենաբնորոշ օրինակների լուծումները։ Ի վերջո, մենք գրում ենք Վիետայի բանաձևերը, որոնք սահմանում են իրական արմատների միջև կապը հանրահաշվական հավասարում n աստիճանը և դրա գործակիցները:

Էջի նավարկություն.

Վիետայի թեորեմ, ձևակերպում, ապացույց

a x 2 + b x + c = 0 քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը, որտեղ D = b 2 −4 a c, ենթադրում են x 1 + x 2 = −b / a, x 1 x 2 = c հարաբերությունները. / ա. Այս արդյունքները հաստատված են Վիետայի թեորեմա:

Թեորեմ.

Եթե x 1-ը և x 2-ը ax 2 + bx + c = 0 քառակուսի հավասարման արմատներն են, ապա արմատների գումարը հավասար է b և a գործակիցների հարաբերությանը, վերցված հակառակ նշանով և արդյունքի արտադրյալին: արմատները հավասար են c և a գործակիցների հարաբերությանը, այսինքն՝ ...

Ապացույց.

Վիետայի թեորեմը կապացուցենք հետևյալ սխեմայով. հայտնի արմատական ​​բանաձևերով կազմել քառակուսի հավասարման արմատների գումարը և արտադրյալը, այնուհետև վերափոխել ստացված արտահայտությունները և համոզվել, որ դրանք հավասար են −b/a և. գ / ա, համապատասխանաբար:

Սկսենք արմատների գումարից, կազմենք։ Հիմա կոտորակները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, ունենք։ Ստացված կոտորակի համարիչում, որից հետո՝. Ի վերջո, 2-ից հետո մենք ստանում ենք. Սա ապացուցում է Վիետայի թեորեմի առաջին կապը քառակուսի հավասարման արմատների գումարի համար։ Անցնենք երկրորդին։

Կազմում ենք քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը. Կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն՝ վերջին արտադրյալը կարելի է գրել այսպես. Այժմ մենք բազմապատկում ենք փակագիծը համարիչի փակագծով, բայց ավելի արագ է այս արտադրյալը փլուզել քառակուսիների տարբերության բանաձևը, Ուրեմն . Հետո, հիշելով, կատարում ենք հաջորդ անցումը։ Եվ քանի որ քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը համապատասխանում է D = b 2 −4 · a · c բանաձևին, ապա D-ի փոխարեն վերջին կոտորակում կարող ենք փոխարինել b 2 −4 · a · c, ստանում ենք. Փակագծերը բացելուց և համանման տերմինները փոքրացնելուց հետո գալիս ենք կոտորակի, և դրա կրճատումը 4 · a-ով տալիս է։ Սա ապացուցում է Վիետայի թեորեմի երկրորդ կապը արմատների արտադրյալի համար։

Եթե ​​բաց թողնենք բացատրությունները, ապա Վիետայի թեորեմի ապացույցը ստանում է լակոնիկ ձև.
,
.

Մնում է միայն նշել, որ երբ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, քառակուսի հավասարումն ունի մեկ արմատ: Այնուամենայնիվ, եթե ենթադրենք, որ այս դեպքում հավասարումը ունի երկու նույնական արմատներ, ապա Վիետայի թեորեմի հավասարությունները նույնպես գործում են։ Իսկապես, D = 0-ի համար քառակուսի հավասարման արմատն է, ապա և, և քանի որ D = 0, այսինքն՝ b 2 −4 · a · c = 0, որտեղից b 2 = 4 · a · c, ուրեմն:

Գործնականում Վիետայի թեորեմն ամենից հաճախ օգտագործվում է x 2 + p x + q = 0 ձևի կրճատված քառակուսի հավասարման (առաջատար գործակիցով a հավասար է 1-ի) առնչությամբ: Երբեմն այն ձևակերպվում է հենց այս ձևի քառակուսի հավասարումների համար, ինչը չի սահմանափակում ընդհանրությունը, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարող է փոխարինվել համարժեք հավասարմամբ՝ բաժանելով դրա երկու մասերը ոչ զրոյական թվի վրա: Տանք Վիետայի թեորեմի համապատասխան ձևակերպումը.

Թեորեմ.

Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը x 2 + px + q = 0 հավասար է x գործակիցին, որը վերցված է հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը ազատ անդամն է, այսինքն՝ x 1 + x 2: = −p, x 1 x 2 = q.

Վիետայի թեորեմի հակադարձը

Վիետայի թեորեմի երկրորդ ձևակերպումը, տրված նախորդ պարբերությունում, ցույց է տալիս, որ եթե x 1 և x 2 կրճատված քառակուսային հավասարման արմատներն են x 2 + px + q = 0, ապա հարաբերությունները x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q. Մյուս կողմից, x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q գրավոր հարաբերություններից հետևում է, որ x 1 և x 2 x 2 + p x + q = 0 քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այսինքն՝ Վիետայի թեորեմի հակառակը ճիշտ է։ Եկեք այն ձևակերպենք թեորեմի տեսքով և ապացուցենք։

Թեորեմ.

Եթե ​​x 1 և x 2 թվերն այնպիսին են, որ x 1 + x 2 = −p և x 1 x 2 = q, ապա x 1 և x 2 կրճատված քառակուսային հավասարման արմատներն են x 2 + p x + q = 0:

Ապացույց.

x 2 + p x + q = 0 հավասարման մեջ p և q գործակիցները փոխարինելուց հետո դրանց արտահայտությունները x 1 և x 2-ներով վերածվում է համարժեք հավասարման։

Ստացված հավասարման մեջ x-ի փոխարեն x 1 թիվը փոխարինելով՝ ունենք հավասարություն x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0, որը ցանկացած x 1-ի և x 2-ի համար իրական թվային հավասարություն է 0 = 0, քանի որ x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0... Հետևաբար, x 1-ը հավասարման արմատն է x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, ինչը նշանակում է, որ x 1-ը x 2 + p x + q = 0 համարժեք հավասարման արմատն է։

Եթե ​​հավասարումը x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 x-ին փոխարինում ենք x 2 թիվը, ապա ստանում ենք հավասարություն x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0... Սա վավերական հավասարություն է, քանի որ x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 + x 1 x 2 = 0... Հետևաբար, x 2-ը նույնպես հավասարման արմատ է x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, և, հետևաբար, x 2 + p x + q = 0 հավասարումները:

Սա ավարտում է Վիետայի թեորեմին հակադրվող թեորեմի ապացուցումը:

Վիետայի թեորեմի օգտագործման օրինակներ

Ժամանակն է խոսել Վիետայի թեորեմի և դրա հակադարձ թեորեմի գործնական կիրառման մասին։ Այս պարբերությունում մենք կվերլուծենք մի քանի առավել բնորոշ օրինակների լուծումները:

Մենք սկսում ենք Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմ կիրառելով: Հարմար է այն օգտագործել՝ ստուգելու համար, թե արդյոք տրված երկու թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այս դեպքում հաշվարկվում է դրանց գումարն ու տարբերությունը, որից հետո ստուգվում է գործակիցների վավերականությունը։ Եթե ​​այս երկու հարաբերություններն էլ բավարարված են, ապա Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմի ուժով եզրակացվում է, որ այս թվերը հավասարման արմատներն են։ Եթե ​​հարաբերություններից գոնե մեկը բավարարված չէ, ապա այս թվերը քառակուսի հավասարման արմատները չեն։ Այս մոտեցումը կարող է օգտագործվել քառակուսի հավասարումներ լուծելիս՝ գտնված արմատները ստուգելու համար։

Օրինակ.

1) x 1 = −5, x 2 = 3 կամ 2), կամ 3) թվերի զույգերից ո՞րն է 4 x 2 −16 x + 9 = 0 քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ։

Լուծում.

Տրված քառակուսային հավասարման 4 x 2 −16 x + 9 = 0 գործակիցներն են a = 4, b = −16, c = 9։ Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ քառակուսի հավասարման արմատների գումարը պետք է հավասար լինի −b/a-ի, այսինքն՝ 16/4 = 4, իսկ արմատների արտադրյալը պետք է հավասար լինի c/a-ի, այսինքն՝ 9-ի։ /4.

Հիմա եկեք հաշվարկենք տրված երեք զույգերից յուրաքանչյուրի թվերի գումարն ու արտադրյալը և համեմատենք դրանք հենց նոր ստացված արժեքների հետ։

Առաջին դեպքում մենք ունենք x 1 + x 2 = −5 + 3 = −2: Ստացված արժեքը տարբերվում է 4-ից, ուստի հետագա ստուգում չի կարող իրականացվել, և Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմի համաձայն, կարելի է անմիջապես եզրակացնել, որ թվերի առաջին զույգը տրված քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ չէ:

Անցնենք երկրորդ դեպքին. Այստեղ, այսինքն, առաջին պայմանը կատարվում է. Մենք ստուգում ենք երկրորդ պայմանը՝ ստացված արժեքը տարբերվում է 9/4-ից։ Հետևաբար, թվերի երկրորդ զույգը քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ չէ։

Մնում է վերջին դեպքը. Այստեղ և. Երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ուստի այս x 1 և x 2 թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Պատասխան.

Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմը գործնականում կարող է օգտագործվել քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու համար։ Սովորաբար, ամբողջ թվով գործակիցներով կրճատված քառակուսի հավասարումների ամբողջ արմատներն են ընտրվում, քանի որ այլ դեպքերում դա անելը բավականին դժվար է: Այս դեպքում նրանք օգտագործում են այն փաստը, որ եթե երկու թվերի գումարը հավասար է մինուս նշանով վերցված քառակուսի հավասարման երկրորդ գործակցին, և այդ թվերի արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին, ապա այդ թվերը այս քառակուսի հավասարման արմատները: Սրան նայենք օրինակով։

Վերցրեք քառակուսի հավասարումը x 2 −5 x + 6 = 0: Որպեսզի x 1 և x 2 թվերը լինեն այս հավասարման արմատները, պետք է պահպանվեն x 1 + x 2 = 5 և x 1 x 2 = 6 երկու հավասարությունները: Մնում է գտնել նման թվեր։ Այս դեպքում դա անելը բավականին պարզ է. այդպիսի թվերն են 2 և 3, քանի որ 2 + 3 = 5 և 2 · 3 = 6: Այսպիսով, 2-ը և 3-ը այս քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Վիետայի թեորեմին հակառակ թեորեմը հատկապես հարմար է օգտագործել կրճատված քառակուսի հավասարման երկրորդ արմատը գտնելու համար, երբ արմատներից մեկն արդեն հայտնի է կամ ակնհայտ: Այս դեպքում երկրորդ արմատը հայտնաբերվում է հարաբերություններից որևէ մեկից։

Օրինակ՝ վերցնենք 512 x 2 −509 x − 3 = 0 քառակուսային հավասարումը։ Այստեղ հեշտ է տեսնել, որ մեկը հավասարման արմատն է, քանի որ այս քառակուսի հավասարման գործակիցների գումարը զրո է։ Այսպիսով, x 1 = 1: Երկրորդ արմատը x 2 կարելի է գտնել, օրինակ, x 1 x 2 = c / a հարաբերությունից: Մենք ունենք 1 x 2 = −3 / 512, որտեղից x 2 = −3 / 512: Այսպես մենք որոշեցինք քառակուսի հավասարման երկու արմատները՝ 1 և −3/512:

Հասկանալի է, որ արմատների ընտրությունը նպատակահարմար է միայն ամենապարզ դեպքերում։ Այլ դեպքերում, արմատները գտնելու համար կարող եք կիրառել քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը դիսկրիմինանտի միջոցով:

Եւս մեկ գործնական օգտագործումթեորեմը, ընդհակառակը Վիետայի թեորեմի, բաղկացած է տրված x 1 և x 2 արմատների համար քառակուսային հավասարումներ կազմելուց: Դա անելու համար բավական է հաշվարկել արմատների գումարը, որը տալիս է x-ի գործակիցը կրճատված քառակուսի հավասարման հակառակ նշանով, և արմատների արտադրյալը, որը տալիս է ազատ անդամը։

Օրինակ.

Գրի՛ր քառակուսի հավասարում −11 և 23 թվերով որպես արմատ:

Լուծում.

Մենք սահմանում ենք x 1 = −11 և x 2 = 23: Գնահատե՛ք այս թվերի գումարը և արտադրյալը՝ x 1 + x 2 = 12 և x 1 x 2 = −253: Հետևաբար, նշված թվերը −12 երկրորդ գործակցով և −253-ի միջնապատով կրճատված քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այսինքն՝ x 2 −12 x − 253 = 0 ցանկալի հավասարումն է։

Պատասխան.

x 2 −12 x − 253 = 0։

Վիետայի թեորեմը շատ հաճախ օգտագործվում է քառակուսի հավասարումների արմատների նշանների հետ կապված խնդիրներ լուծելու համար։ Ինչպե՞ս է Վիետայի թեորեմը կապված x 2 + p x + q = 0 կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների նշանների հետ: Ահա երկու համապատասխան հայտարարություն.

• Եթե ​​q հատվողը դրական թիվ է, և եթե քառակուսային հավասարումն ունի իրական արմատներ, ապա երկուսն էլ դրական են, կամ երկուսն էլ բացասական են։
• Եթե ​​q ազատ անդամը բացասական թիվ է, և եթե քառակուսի հավասարումն ունի իրական արմատներ, ապա դրանց նշանները տարբեր են, այլ կերպ ասած՝ մի արմատը դրական է, մյուսը՝ բացասական։

Այս պնդումները բխում են x 1 x 2 = q բանաձեւից, ինչպես նաեւ տարբեր նշաններով դրական, բացասական թվերը եւ թվերը բազմապատկելու կանոններից։ Դիտարկենք դրանց կիրառման օրինակները:

Օրինակ.

R դա դրական է: Օգտագործելով տարբերակիչ բանաձևը, մենք գտնում ենք D = (r + 2) 2 −4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4−4 r + 4 = r 2 +8, r 2 + արտահայտության արժեքը: 8-ը դրական է ցանկացած իրական r-ի համար, հետևաբար D> 0 ցանկացած իրական r-ի համար: Հետևաբար, սկզբնական քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ r պարամետրի ցանկացած իրական արժեքի համար:

Հիմա եկեք պարզենք, թե երբ են արմատները տարբեր նշաններ... Եթե ​​արմատների նշանները տարբեր են, ապա դրանց արտադրյալը բացասական է, իսկ Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Հետևաբար, մեզ հետաքրքրում են r-ի այն արժեքները, որոնց համար r − 1 ազատ տերմինը բացասական է: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող r-ի արժեքները գտնելու համար մեզ անհրաժեշտ է լուծել գծային անհավասարությունը r - 1<0 , откуда находим r<1 .

Պատասխան.

ժամը r<1 .

Վիետայի բանաձևեր

Վերևում մենք խոսեցինք Վիետայի թեորեմի մասին քառակուսի հավասարման համար և վերլուծեցինք նրա պնդումների հարաբերությունները: Բայց կան ոչ միայն քառակուսի հավասարումների, այլև խորանարդ հավասարումների, քառակի հավասարումների իրական արմատներն ու գործակիցները կապող բանաձևեր և ընդհանրապես. հանրահաշվական հավասարումներաստիճան n. Նրանք կոչվում են Վիետայի բանաձևեր.

Եկեք գրենք Վիետայի բանաձևերը ձևի n աստիճանի հանրահաշվական հավասարման համար, այս դեպքում ենթադրում ենք, որ այն ունի n իրական արմատ x 1, x 2, ..., x n (դրանց թվում կարող են լինել համընկնողներ).

Ստացեք Վիետայի բանաձևերը թույլ են տալիս գծային գործոնացման թեորեմ, ինչպես նաև հավասար բազմանդամների սահմանումը նրանց բոլոր համապատասխան գործակիցների հավասարության միջոցով։ Այսպիսով, բազմանդամը և նրա գործակցումը ձևի գծային գործակիցների մեջ հավասար են: Ընդլայնելով վերջին արտադրյալի փակագծերը և հավասարեցնելով համապատասխան գործակիցները՝ ստանում ենք Վիետայի բանաձևերը։

Մասնավորապես, n = 2-ի համար մենք ունենք քառակուսի հավասարման Վիետայի բանաձևերը, որոնք արդեն ծանոթ են մեզ:

Խորանարդային հավասարման համար Վիետայի բանաձևերն են

Մնում է միայն նշել, որ Վիետայի բանաձեւերի ձախ կողմում այսպես կոչված տարրականն է սիմետրիկ բազմանդամներ.

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:ուսումնասիրություն. համար 8 cl. հանրակրթական. հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008 .-- 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Ա.Գ.ՄորդկովիչՀանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա.Գ. Մորդկովիչ. - 11-րդ հրատ., Ջնջված: - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 p .: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։
• Հանրահաշիվև մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը: Դասարան 10: Դասագիրք. հանրակրթության համար։ հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ / [Յու. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; խմբ. A. B. Ժիժչենկո. - 3-րդ հրատ. - Մ .: Կրթություն, 2010.- 368 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-022771-1։

Մինչ Վիետայի թեորեմին անցնելը ներկայացնում ենք սահմանում. Ձևի քառակուսի հավասարումը x² + px + ք= 0-ը կոչվում է կրճատված: Այս հավասարման մեջ առաջատար գործակիցը մեկն է։ Օրինակ, հավասարումը x² - 3 x- 4 = 0 կրճատվում է: Ձևի ցանկացած քառակուսային հավասարում կացին² + բ x + գ= 0-ը կարելի է կրճատել, դրա համար մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք ա≠ 0. Օրինակ՝ 4-րդ հավասարումը x² + 4 x- 3 = 0-ը 4-ի բաժանելով կրճատվում է ձևի. x² + x- 3/4 = 0: Մենք ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը, դրա համար օգտագործում ենք ընդհանուր ձևի քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը. կացին² + bx + գ = 0

Հավասարումը կրճատվել է x² + px + ք= 0 համընկնում է ընդհանուր հավասարման հետ, որում ա = 1, բ = էջ, գ = ք.Հետևաբար, տրված քառակուսի հավասարման համար բանաձևը ստանում է ձևը.

վերջին արտահայտությունը կոչվում է կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների բանաձև, հատկապես հարմար է օգտագործել այս բանաձևը, երբ. Ռ- զույգ թիվ. Օրինակ՝ լուծենք հավասարումը x² - 14 x — 15 = 0

Ի պատասխան՝ մենք գրում ենք, որ հավասարումը երկու արմատ ունի։

Դրականով կրճատված քառակուսի հավասարման համար ճշմարիտ է հետևյալ թեորեմը.

Վիետայի թեորեմա

Եթե x 1 և x 2 - հավասարման արմատները x² + px + ք= 0, ապա հետևյալ բանաձևերը վավեր են.

x 1 + x 2 = — Ռ

x 1 * x 2 = q,այսինքն՝ տրված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին՝ վերցված հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։

Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևի հիման վրա մենք ունենք.

Այս հավասարությունները գումարելով՝ մենք ստանում ենք. x 1 + x 2 = —Ռ.

Բազմապատկելով այս հավասարությունները՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը, ստանում ենք.

Նկատի ունեցեք, որ Վիետայի թեորեմը նույնպես վավեր է, երբ դիսկրիմինանտը զրոյական է, եթե ենթադրենք, որ այս դեպքում քառակուսի հավասարումն ունի երկու նույնական արմատներ. x 1 = x 2 = — Ռ/2.

Առանց հավասարումների լուծելու x² - 13 x+ 30 = 0 գտե՛ք նրա արմատների գումարը և արտադրյալը x 1 և x 2. այս հավասարումը Դ= 169 - 120 = 49> 0, ուստի Վիետայի թեորեմը կարող է կիրառվել. x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Դիտարկենք ևս մի քանի օրինակ: Հավասարման արմատներից մեկը x² — px- 12 = 0 հավասար է x 1 = 4. Գտեք գործակիցը Ռիսկ երկրորդ արմատը x 2 այս հավասարման. Վիետայի թեորեմով x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — Ռ.Որովհետեւ x 1 = 4, ապա 4 x 2 = - 12, որտեղից x 2 = — 3, Ռ = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. Ի պատասխան գրիր երկրորդ արմատը x 2 = - 3, գործակից p = - 1.

Առանց հավասարումների լուծելու x² + 2 x- 4 = 0 գտե՛ք նրա արմատների քառակուսիների գումարը: Թող x 1 և x 2 - հավասարման արմատները: Վիետայի թեորեմով x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Որովհետեւ x 1 ² + x 2 ² = ( x 1 + x 2) ² - 2 x 1 x 2, ապա x 1 ² + x 2 ² = (- 2) ² -2 (- 4) = 12:

Գտե՛ք 3-րդ հավասարման արմատների գումարը և արտադրյալը x² + 4 x- 5 = 0: Այս հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ, քանի որ դիսկրիմինանտը Դ= 16 + 4 * 3 * 5> 0. Հավասարումը լուծելու համար օգտագործում ենք Վիետայի թեորեմը։ Այս թեորեմն ապացուցված է կրճատված քառակուսի հավասարման համար։ Այսպիսով, մենք այս հավասարումը բաժանում ենք 3-ի:

Հետևաբար, արմատների գումարը -4/3 է, իսկ դրանց արտադրյալը՝ -5/3։

Ընդհանուր դեպքում՝ հավասարման արմատները կացին² + բ x + գ= 0-ը կապված են հետևյալ հավասարումներով. x 1 + x 2 = — բ / ա, x 1 * x 2 = գ / ա,Այս բանաձևերը ստանալու համար բավական է բաժանել այս քառակուսի հավասարման երկու կողմերը ա ≠ 0 և կիրառել Վիետայի թեորեմը ստացված կրճատված քառակուսային հավասարման վրա: Դիտարկենք մի օրինակ, պահանջվում է կազմել կրճատված քառակուսի հավասարումը, որի արմատները x 1 = 3, x 2 = 4. Որովհետեւ x 1 = 3, x 2 = 4 - քառակուսի հավասարման արմատները x² + px + ք= 0, ապա Վիետայի թեորեմով Ռ = — (x 1 + x 2) = — 7, ք = x 1 x 2 = 12. Ի պատասխան գրիր x² - 7 x+ 12 = 0. Որոշ խնդիրներ լուծելիս կիրառվում է հետևյալ թեորեմը.

Վիետայի թեորեմի հակադարձը

Եթե ​​թվերը Ռ, ք, x 1 , x 2-ն այնպիսին է, որ x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, ապա x 1և x 2- հավասարման արմատները x² + px + ք= 0. Փոխարինել ձախ կողմում x² + px + քփոխարեն Ռարտահայտություն - ( x 1 + x 2), և փոխարենը ք- աշխատանք x 1 * x 2.Մենք ստանում ենք. x² + px + ք = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2):Այսպիսով, եթե թվերը Ռ, ք, x 1 և x 2-ը կապված են այս հարաբերություններով, հետո բոլորի համար Xհավասարությունը պահպանվում է x² + px + ք = (x - x 1) (x - x 2),որից բխում է, որ x 1 և x 2 - հավասարման արմատները x² + px + ք= 0. Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմ օգտագործելով՝ երբեմն ընտրությամբ հնարավոր է գտնել քառակուսի հավասարման արմատները: Դիտարկենք մի օրինակ, x² - 5 x+ 6 = 0. Այստեղ Ռ = — 5, ք= 6. Եկեք ընտրենք երկու թիվ x 1 և x 2 այնպես որ x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Նկատելով, որ 6 = 2 * 3, և 2 + 3 = 5, Վիետայի թեորեմին հակասող թեորեմով մենք ստանում ենք, որ. x 1 = 2, x 2 = 3 - հավասարման արմատները x² - 5 x + 6 = 0.

Վիետայի թեորեմա

Եկեք և նշանակենք կրճատված քառակուսի հավասարման արմատները
(1) .
Այնուհետև արմատների գումարը հավասար է գործակցին, որը վերցված է հակառակ նշանով։ Արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ տերմինին.
;
.

Մի քանի արմատների մասին նշում

Եթե ​​(1) հավասարման դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, ապա այս հավասարումն ունի մեկ արմատ։ Բայց ծանր ձևակերպումներից խուսափելու համար ընդհանուր առմամբ ընդունված է, որ այս դեպքում հավասարումը (1) ունի երկու բազմակի կամ հավասար արմատներ.
.

Ապացույց առաջին

Գտնենք (1) հավասարման արմատները։ Դա անելու համար կիրառեք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը.
;
;
.

Մենք գտնում ենք արմատների գումարը.
.

Աշխատանք գտնելու համար կիրառեք բանաձևը.
.
Հետո

.

Թեորեմն ապացուցված է.

Երկրորդի ապացույցը

Եթե ​​թվերը և (1) քառակուսի հավասարման արմատներն են, ապա
.
Մենք ընդլայնում ենք փակագծերը:

.
Այսպիսով, հավասարումը (1) կունենա հետևյալ ձևը.
.
Համեմատելով (1)-ի հետ՝ մենք գտնում ենք.
;
.

Թեորեմն ապացուցված է.

Վիետայի հակադարձ թեորեմը

Թող լինեն կամայական թվեր։ Այնուհետև և են քառակուսի հավասարման արմատները
,
որտեղ
(2) ;
(3) .

Վիետայի հակադարձ թեորեմի ապացույց

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումը
(1) .
Մենք պետք է ապացուցենք, որ եթե և, ապա u-ն (1) հավասարման արմատներն են:

Փոխարինողներ (2) և (3) (1)-ում.
.
Մենք խմբավորում ենք հավասարման ձախ կողմում գտնվող տերմինները.
;
;
(4) .

Փոխարինել (4):
;
.

Փոխարինել (4):
;
.
Հավասարումը կատարված է. Այսինքն՝ թիվը (1) հավասարման արմատն է։

Թեորեմն ապացուցված է.

Վիետայի թեորեմը ամբողջական քառակուսի հավասարման համար

Այժմ դիտարկենք ամբողջական քառակուսի հավասարումը
(5) ,
որտեղ, և կան որոշ թվեր: Ավելին.

Եկեք (5) հավասարումը բաժանենք հետևյալի.
.
Այսինքն՝ ստացանք կրճատված հավասարումը
,
որտեղ; ...

Այնուհետև Վիետայի թեորեմը ամբողջական քառակուսի հավասարման համար ունի հետևյալ ձևը.

Եկեք և նշանակենք ամբողջական քառակուսի հավասարման արմատները
.
Այնուհետև արմատների գումարը և արտադրյալը որոշվում են բանաձևերով.
;
.

Վիետայի թեորեմը խորանարդի հավասարման համար

Նման կերպ մենք կարող ենք կապեր հաստատել խորանարդ հավասարման արմատների միջև: Դիտարկենք խորանարդ հավասարումը
(6) ,
որտեղ,,, որոշ թվեր են: Ավելին.
Եկեք այս հավասարումը բաժանենք.
(7) ,
որտեղ , , .
Թող լինենք (7) (և (6) հավասարման) (և հավասարման) արմատները։ Հետո

.

Համեմատելով (7) հավասարման հետ՝ մենք գտնում ենք.
;
;
.

Վիետայի թեորեմը n-րդ աստիճանի հավասարման համար

Նույն կերպ, դուք կարող եք կապեր գտնել արմատների միջև,, ...,, n-րդ աստիճանի հավասարման համար
.

Վիետայի թեորեմը n-րդ աստիճանի հավասարման համար ունի հետևյալ ձևը.
;
;
;

.

Այս բանաձևերը ստանալու համար մենք հավասարումը գրում ենք հետևյալ ձևով.
.
Այնուհետև մենք հավասարեցնում ենք գործակիցները,,, ... և համեմատում ենք ազատ անդամը:

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ Տեխնիկական հաստատությունների ճարտարագետների և ուսանողների համար, «Լան», 2009 թ.
ՍՄ. Նիկոլսկին, Մ.Կ. Պոտապով և այլք, Հանրահաշիվ: Դասագիրք 8-րդ դասարանի ուսումնական հաստատությունների համար, Մոսկվա, Կրթություն, 2006 թ.

Քառակուսային հավասարման լուծման մեթոդներից է օգտագործել VIETA բանաձեւեր, որն անվանվել է ՖՐԱՆՍՈՒԱ ՎԻԵՏԻ անունով։

Նա հայտնի իրավաբան էր և ծառայում էր ֆրանսիական թագավորի օրոք 16-րդ դարում։ Ազատ ժամանակ սովորել է աստղագիտություն և մաթեմատիկա։ Նա կապ է հաստատել քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև։

Բանաձևի առավելությունները.

1 ... Կիրառելով բանաձև՝ դուք կարող եք արագ լուծում գտնել։ Որովհետև ձեզ հարկավոր չէ երկրորդ գործակիցը մուտքագրել քառակուսի, այնուհետև դրանից հանել 4ac, գտնել տարբերակիչը, փոխարինել դրա արժեքը արմատները գտնելու համար:

2 ... Առանց լուծման, դուք կարող եք որոշել արմատների նշանները, վերցնել արմատների իմաստները:

3 ... Լուծելով երկու գրառումների համակարգը՝ հեշտ է ինքնուրույն գտնել արմատները: Տրված քառակուսային հավասարման մեջ արմատների գումարը հավասար է մինուս նշանով երկրորդ գործակցի արժեքին։ Արմատների արտադրյալը տրված քառակուսային հավասարման մեջ հավասար է երրորդ գործակցի արժեքին։

4 ... Օգտագործելով այս արմատները՝ գրի՛ր քառակուսի հավասարում, այսինքն՝ լուծի՛ր հակադարձ խնդիրը։ Օրինակ, այս մեթոդը օգտագործվում է տեսական մեխանիկայի խնդիրների լուծման համար։

5 ... Հարմար է կիրառել բանաձեւը, երբ առաջատար գործակիցը հավասար է մեկի։

Թերություններ:

1 ... Բանաձևը համընդհանուր չէ.

Վիետայի թեորեմի 8-րդ դասարան

Բանաձև
Եթե ​​x 1 և x 2 կրճատված քառակուսի հավասարման արմատներն են x 2 + px + q = 0, ապա.

Օրինակներ
x 1 = -1; x 2 = 3 - հավասարման արմատները x 2 - 2x - 3 = 0:

P = -2, q = -3:

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Հակադարձ թեորեմը

Բանաձև
Եթե ​​x 1, x 2, p, q թվերը կապված են պայմաններով.

Այնուհետև x 1-ը և x 2-ը x 2 + px + q = 0 հավասարման արմատներն են:

Օրինակ
Եկեք դրա արմատների համար կազմենք քառակուսային հավասարում.

X 1 = 2 -? 3 և x 2 = 2 +? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 -? 3) (2 +? 3) = 4 - 3 = 1:

Պահանջվող հավասարումն է` x 2 - 4x + 1 = 0: