Penroseov mozaik, ili kako su srednjoazijske arhitekte pet vekova anticipirali otkriće evropskih naučnika. Razno. Penrose mozaik i drevni islamski uzorci Simetrični mozaik

Penrose mozaik, Penrose pločice - neperiodično pregrađivanje ravnine, aperiodične pravilne strukture, popločavanje ravnine rombovima dva tipa - sa uglovima od 72 ° i 108 ° („debeli rombovi“) i 36 ° i 144 ° (“ tanki rombovi"), takvi (podložni proporcijama "zlatni presjek"), da bilo koja dva susjedna (to jest, koja imaju zajedničku stranu) romba ne tvore paralelogram zajedno.Ime je dobio po Rogeru Penroseu, koji je bio zainteresovan za problem "popločavanja", odnosno ispunjavanja ravni figurama istog oblika bez praznina i preklapanja.

Sve takve pločice su neperiodične i lokalno izomorfne jedna drugoj (to jest, bilo koji konačni fragment jedne Penroseove pločice se javlja u bilo kojoj drugoj). "Samosličnost" - možete spojiti susjedne pločice mozaika na način da opet dobijete Penrose mozaik.

Na svakoj od dvije pločice može se nacrtati nekoliko segmenata tako da se pri postavljanju mozaika krajevi ovih segmenata poravnaju i na ravni se formira nekoliko porodica paralelnih ravnih linija (Ammann pruge).

Udaljenosti između susjednih paralelnih linija uzimaju točno dvije različite vrijednosti (i za svaku familiju paralelnih linija, niz ovih vrijednosti ima samosličnost).

Penrose pločice sa rupama pokrivaju cijelu ravan, osim figure konačne površine. Nemoguće je povećati rupu uklanjanjem nekoliko (konačnog broja) pločica, nakon čega je nemoguće potpuno popločiti nepokriveni dio.

Problem je riješen popločavanjem figurama koje stvaraju obrazac koji se periodično ponavlja, ali Penrose je želio pronaći upravo takvu figuru koja, kada se poploči ravninom, ne bi stvarala obrasce koji se ponavljaju. Vjerovalo se da takvih pločica nema, od kojih bi se gradili samo neperiodični mozaici. Penrose je pokupio puno pločica raznih oblika, kao rezultat toga, bilo ih je samo 2, sa "zlatnim presjekom", koji je u osnovi svih harmoničnih odnosa. To su figure u obliku dijamanta sa uglovima od 108° i 72°. Kasnije su figure pojednostavljene u oblik jednostavnog romba (36 ° i 144 °), na osnovu principa "zlatnog trougla".

Rezultirajući uzorci imaju kvazikristalni oblik, koji ima aksijalna simetrija 5. red. Struktura pločica je povezana sa Fibonačijevim nizom.
( Wikipedia)

Penroseov mozaik. Bijela tačka označava centar rotacijske simetrije 5. reda: okretanje oko njega za 72° pretvara pločicu u sebe.

Lanci i mozaici (časopis Nauka i život, 2005. br. 10)

Razmotrimo prvo sljedeći idealizirani model. Neka se čestice u ravnotežnom stanju nalaze duž ose prijenosa z i formiraju linearni lanac sa varijabilni period, mijenja se prema zakonu geometrijske progresije:

an = a1 Dn-1,

gdje je a1 - početni period između čestica, n je redni broj perioda, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1,6180339… je broj zlatnog preseka.

Konstruisani lanac čestica služi kao primer jednodimenzionalnog kvazikristala sa redom simetrije dugog dometa. Struktura je apsolutno uređena, postoji sistematski raspored čestica po osi - njihove koordinate su određene jednim zakonom. Istovremeno, nema ponovljivosti - periodi između čestica su različiti i stalno se povećavaju. Dakle, rezultirajuća jednodimenzionalna struktura nema translacijsku simetriju, a to nije uzrokovano haotičnim rasporedom čestica (kao u amorfnim strukturama), već iracionalnim omjerom dva susjedna perioda (D je iracionalan broj).

Logičan nastavak razmatrane jednodimenzionalne strukture kvazikristala je dvodimenzionalna struktura, koja se može opisati metodom konstruisanja neperiodičnih mozaika (uzoraka) koji se sastoje od dva različita elementa, dvije jedinične ćelije. Takav mozaik razvio je 1974. godine teoretski fizičar sa Univerziteta u Oksfordu. R. Penrose. Pronašao je mozaik od dva romba sa jednakim stranama. Unutrašnji uglovi uskog romba su 36° i 144°, širokog romba - 72° i 108°.

Uglovi ovih rombova povezani su sa zlatnim rezom, koji se algebarski izražava jednačinom x2 - x - 1 = 0 ili jednačinom y2 + y - 1 = 0. Korijeni ovih kvadratnih jednadžbi mogu se napisati u trigonometrijskom obliku :

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Takav nekonvencionalan prikaz korijena jednadžbi pokazuje da se ovi rombovi mogu nazvati uskim i širokim zlatnim rombovima.

U Penrose pločicama, ravnina je prekrivena zlatnim rombovima bez razmaka ili preklapanja i može se neograničeno širiti po dužini i širini. Ali da bi se izgradio beskonačan mozaik, moraju se poštovati određena pravila koja se značajno razlikuju od monotonog ponavljanja identičnih elementarnih ćelija koje čine kristal. Ako se prekrši pravilo postavljanja zlatnih rombova, tada će nakon nekog vremena rast mozaika prestati, jer će se pojaviti nepopravljive nedosljednosti.

U beskonačnim Penroseovim pločicama, zlatni rombovi su raspoređeni bez stroge periodičnosti. Međutim, omjer broja širokih zlatnih rombova i broja uskih zlatnih rombova tačno je jednak zlatnom broju D = (1 + √5)/2= = 1,6180339…. Kako je broj D iracionalan, u takvom mozaiku nemoguće je izdvojiti elementarnu ćeliju sa cijelim brojem rombova svake vrste, prevođenjem kojih bi se dobio cijeli mozaik.

Penrose mozaik ima svoj poseban šarm kao predmet zabavne matematike. Ne ulazeći u sve aspekte ovog pitanja, napominjemo da je čak i prvi korak - izrada mozaika - prilično zanimljiv, jer zahtijeva pažnju, strpljenje i određenu domišljatost. I puno fikcije i fantazije može se pokazati ako mozaik napravite višebojnim. Bojanje, koje se odmah pretvara u igru, može raditi brojni na originalne načine, opcije za koje su prikazane na slikama (ispod). Bijela tačka označava centar mozaika, rotacija oko koje ga za 72° pretvara u sebe.

Penrose mozaik je odličan primjer kako će lijepa građevina, na raskrsnici različitih disciplina, sigurno pronaći upotrebu za sebe. Ako se čvorne tačke zamijene atomima, Penroseova pločica će postati dobar analog dvodimenzionalnog kvazikristala, budući da ima mnoga svojstva karakteristična za takvo stanje materije. I zato.

Prvo, izgradnja mozaika se provodi prema određenom algoritmu, zbog čega se ispostavlja da nije slučajna, već uređena struktura. Bilo koji njegov konačni dio pojavljuje se u cijelom mozaiku bezbroj puta.

Drugo, u mozaiku se mogu razlikovati mnogi pravilni desetouglovi koji imaju potpuno istu orijentaciju. Oni stvaraju orijentacijski poredak dugog dometa, koji se naziva kvaziperiodični. To znači da postoji interakcija između udaljenih popločanih struktura koja pregovara o lokaciji i relativnoj orijentaciji rombova na dobro definiran, iako dvosmislen način.

Treće, ako uzastopno slikate preko svih rombova sa stranicama paralelnim s bilo kojim odabranim smjerom, onda oni formiraju niz isprekidanih linija. Duž ovih izlomljenih linija mogu se povući ravne paralelne linije koje su međusobno razmaknute približno na istoj udaljenosti. Zbog ove osobine može se govoriti o nekoj translacijskoj simetriji u Penroseovim pločicama.

Četvrto, sukcesivno ispunjeni dijamanti formiraju pet porodica sličnih paralelnih linija koje se seku pod uglovima koji su višestruki od 72°. Smjerovi ovih izlomljenih linija odgovaraju smjerovima stranica pravilnog petougla. Stoga Penroseova pločica ima u određenoj mjeri rotacijsku simetriju 5. reda i u tom smislu je slična kvazikristalu.

Sramota! Ljudi srednjeg vijeka nadmašili su moderne naučnike. Mislili smo da su napredna matematika i kristalografija naša dostignuća. Ispostavilo se da ništa od toga - sve je to bilo prije pola hiljade godina. Osim toga, čini se da modernu nauku nisu nadmašili najbolji matematičari, već jednostavni umjetnici. Pa, možda nije baš jednostavno... Ali ipak!

Ne, pa, u stvari - savremeni matematičari se bave čistim glupostima! Ili se papir presavije 12 puta, zatim se heklaju Lorencove jednadžbe, zatim se kuglice uvijaju u krofne. Generalno, od ozbiljnih ljudi ostali su samo Perelman i Okounkov - sva nada je na njima ...

Ali zanimljivo je da su ljudi ostvarivali matematička dostignuća u antici, ponekad ne pridajući im nikakav poseban značaj. Zanimljivo je i da naučnici danas ponavljaju ista „stara” otkrića, a da uopšte ne sumnjaju da izmišljaju nešto što postoji bez njihovih nagađanja više od jednog veka.

Na primjer, engleski matematičar Roger Penrose smislio je tako nešto 1973. godine - poseban mozaik geometrijskih oblika. Postao je poznat kao Penrose mozaik. Šta je tako posebno kod nje?

Mozaik Penrosea u verziji njegovog tvorca. Sastavljen je od rombova dva tipa, jedan sa uglom od 72 stepena, drugi sa uglom od 36 stepeni. Slika s nje ispada simetrična, ali ne periodična (ilustracija sa stranice en.wikipedia.org).

Penrose mozaik je uzorak sastavljen od poligonalnih pločica dva specifična oblika (malo različitih rombova). Oni mogu popločati beskonačnu ravan bez praznina.

Dobivena slika izgleda kao neka vrsta "ritmičkog" ornamenta - slika s translacijskom simetrijom. Ova vrsta simetrije znači da u šablonu možete odabrati određeni komad koji se može "kopirati" na ravan, a zatim kombinovati te "duplikate" jedan s drugim paralelnim prevođenjem (drugim riječima, bez rotacije i bez povećanja).

Međutim, ako pažljivo pogledate, možete vidjeti da Penroseov obrazac nema takve ponavljajuće strukture - on je aperiodičan. Ali poenta uopće nije u optičkoj iluziji, već u činjenici da mozaik nije haotičan: ima rotacijsku simetriju petog reda.

Primjeri kvazi-kristala su AlMnPd i Al 60 Li 30 Cu 10 legura (ilustracija Paul J. Steinhardt).

To znači da se slika može rotirati za minimalni ugao od 360 / n stepeni, gde n je red simetrije, u ovom slučaju n= 5. Dakle, ugao rotacije, koji ništa ne menja, mora biti višekratnik od 360 / 5 = 72 stepena.

Otprilike jednu deceniju, Penroseova fikcija se smatrala samo slatkom matematičkom apstrakcijom. Međutim, 1984. Dan Shechtman, profesor na Izraelskom institutu za tehnologiju (Technion), dok je proučavao strukturu legure aluminijum-magnezijum, otkrio je da se difrakcija dešava na atomskoj rešetki ove supstance.

Prethodne ideje koje su postojale u fizici čvrstog stanja isključile su takvu mogućnost: struktura difrakcionog uzorka ima simetriju petog reda. Njegovi dijelovi se ne mogu kombinirati paralelnim prijenosom, što znači da uopće nije kristal. Ali difrakcija je karakteristična samo za kristalnu rešetku!

Kako biti ovdje? Pitanje nije lako, pa su se naučnici složili da bi se ova opcija nazvala kvazikristali – nešto poput posebnog stanja materije.

Ovdje je prikazan jedan od uzoraka pločica prikazanih u arapskom rukopisu iz 15. stoljeća. Istraživači su bojama istakli područja koja se ponavljaju. Na osnovu ovih pet elemenata izgrađeni su svi geometrijski obrasci srednjovjekovnih arapskih majstora koje su proučavali Lu i Steinhardt. Kao što vidite, elementi koji se ponavljaju ne moraju nužno biti u liniji sa ivicama pločica (ilustracija Peter J. Lu).

Pa, sva ljepota otkrića, kao što ste i pretpostavili, je u tome što je matematički model odavno spreman za to. I, kao što ste vjerovatno shvatili, ovo je Penrose mozaik. Ali ovaj nema ni deset godina, već mnogo više. To je postalo poznato tek u naše dane, u osvit 21. vijeka, a ovaj model se pokazao mnogo starijim nego što se moglo zamisliti.

Godine 2007. Peter J. Lu, fizičar sa Univerziteta Harvard (sa kolegom fizičarom Paulom J. Steinhardtom, ali sa Univerziteta Princeton), objavio je članak u Science o mozaicima Penrose. Čini se da ovdje nema iznenađenja: otkriće kvazikristala je izazvalo veliko interesovanje za ovu temu, što je dovelo do pojave gomile publikacija u naučnoj štampi.

Međutim, vrhunac rada je da je posvećen daleko od moderna nauka. I generalno - ne nauka.

"Kvazikristalni" uzorci su našli svoje mjesto ne samo u arhitekturi. Ovdje možete vidjeti naslovnicu Kur'ana iz 1306.-1315. godine i crtež geometrijskih fragmenata na kojima je dizajn zasnovan. Ovaj i sljedeći primjeri ne odgovaraju Penroseovim rešetkama, ali imaju rotacijsku simetriju petog reda (ilustracija Peter J. Lu).

Lu je skrenuo pažnju na šare koje pokrivaju džamije u Aziji, izgrađene u srednjem vijeku. Ovi lako prepoznatljivi dizajni napravljeni su od mozaik pločica. Zovu se girihi (od arapske riječi za "čvor") i predstavljaju geometrijski ornament, karakterističan za islamsku umjetnost, koji se sastoji od poligonalnih figura.

Dugo se vjerovalo da su ovi uzorci stvoreni pomoću ravnala i kompasa. Međutim, prije nekoliko godina, putujući po Uzbekistanu, Lu se zainteresirao za uzorke mozaika koji su krasili lokalnu srednjovjekovnu arhitekturu i primijetio nešto poznato u njima.

Vrativši se na Harvard, naučnik je počeo da razmatra slične motive u mozaicima na zidovima srednjovekovnih zgrada u Avganistanu, Iranu, Iraku i Turskoj.

Otkrio je da su ove šeme bile skoro iste, i bio je u stanju da identifikuje glavne elemente giriha koji se koriste u svim geometrijskim dizajnom. Osim toga, pronašao je crteže ovih slika u drevnim rukopisima, koje su drevni umjetnici koristili kao neku vrstu varalice za ukrašavanje zidova.

Ali sve to, ispostavilo se, nije toliko važno. Da bi stvorili ove uzorke, koristili su ne jednostavne, nasumično izmišljene konture, već figure koje su raspoređene određenim redoslijedom. I to nije posebno iznenađujuće.

Ono što je zaista interesantno jeste da su se ljudi, zaboravivši na takve šeme, kasnije ponovo sreli sa njima. Da, da, drevni uzorci nisu ništa drugo do ono što će se stoljećima kasnije zvati Penroseove rešetke i naći u strukturi kvazikristala!

Ove fotografije ističu ista područja, iako su to fotografije iz raznih džamija (ilustracija Peter J. Lu).

U islamskoj tradiciji postojala je stroga zabrana slika ljudi i životinja, pa su geometrijski ornamenti postali veoma popularni u dizajnu zgrada. Srednjovjekovni majstori uspjeli su ga nekako učiniti raznolikim. Ali u čemu je bila tajna njihove "strategije" - niko nije znao. Dakle, ispostavilo se da je tajna samo u korištenju posebnih mozaika koji mogu, a da ostanu simetrični, ispuniti ravan bez ponavljanja.

Još jedan "trik" ovih slika je da bi umjetnici, "kopirajući" takve sheme u raznim hramovima prema crtežima, neizbježno morali priznati izobličenja. Ali ova kršenja su minimalna. To se objašnjava samo činjenicom da nije bilo smisla u crtežima velikih razmjera: glavna stvar je princip po kojem se gradi slika.

Za sastavljanje giriha korištene su pločice pet vrsta (desetougaoni i peterokutni rombovi i "leptiri"), koji su u mozaiku bili poredani jedan uz drugi bez slobodnog prostora između njih. Mozaici stvoreni od njih mogli su istovremeno imati i rotacijsku i translacijsku simetriju, ili samo rotacijsku simetriju petog reda (to jest, bili su Penrose mozaici).

Fragment ornamenta iranskog mauzoleja iz 1304. Desno je rekonstrukcija giriha (ilustrovao Peter J. Lu).

Ispitujući stotine fotografija srednjovjekovnih muslimanskih lokaliteta, Lou i Steinhardt su uspjeli datiraju pojavu sličnog trenda u 13. vijek. Postepeno, ova metoda je dobijala sve veću popularnost i do 15. veka postala je široko rasprostranjena.

Istraživači su smatrali svetilište Imama Darb-ija u iranskom gradu Isfahanu, koje datira iz 1453. godine, kao primjer gotovo idealne kvazi-kristalne strukture.

Ovo otkriće impresioniralo je mnoge ljude. Američko udruženje za unapređenje nauke (

Učesnici projekta

Nikiforov Kiril, učenik 8. razreda

Rudneva Oksana, učenica 8. razreda

Poturaeva Ksenia, učenica 8. razreda

Tema istraživanja

Penrose mozaik

problem pitanje

Šta je Penrose pločica?

Istraživačka hipoteza

Postoji neperiodično popločavanje ravnine

Ciljevi istraživanja

Upoznajte se sa Penrose mozaikom i saznajte zašto ga zovu "zlatni" mozaik

Rezultati

Penrose mozaik

Popločavanje ravnine je pokrivanje cijele ravnine sa oblicima koji se ne preklapaju. U matematici se problem kontinuiranog ispunjavanja ravnine poligonima bez praznina i preklapanja naziva parketi ili mozaici. Vjerovatno se prvo zanimanje za popločavanje pojavilo u vezi s izgradnjom mozaika, ornamenata i drugih uzoraka. Čak su i stari Grci znali da se ovaj problem može lako riješiti prekrivanjem ravnine pravilnim trokutima, kvadratima i šesterokutima.

Takvo popločavanje ravnine naziva se periodično. Kasnije su naučili da izvode popločavanje koristeći kombinaciju nekoliko pravilnih poligona.

Teži zadatak je bio stvaranje ne baš "ispravnog" ili "skoro" periodičnog parketa. Dugo se vjerovalo da ovaj problem nema rješenja. Međutim, 60-ih godina prošlog vijeka to je ipak riješeno, ali je za to bio potreban skup hiljada poligona razne vrste. Korak po korak, broj vrsta se smanjivao i, konačno, sredinom 1970-ih, profesor sa Oksfordskog univerziteta Roger Penrose, izvanredni naučnik našeg vremena, koji je aktivno radio u različitim oblastima matematike i fizike, rešio je problem koristeći samo dva vrste rombova.

Roger Penrose

Istražili smo metodu za konstruisanje takvog popločavanja, koji se sada zove Penrose popločavanje. Da biste to učinili, nacrtajte dijagonale u pravilnom pentagonu (pentagon). Dobijamo - novi pentagon i dvije vrste jednakokračnih trouglova, koji se nazivaju "zlatni". Omjer kuka i baze u takvim trouglovima jednak je "zlatnoj" proporciji. Uglovi u trouglovima su 36°, 72° i 72° u jednom i 108°, 36° i 36° u drugom. Spojimo dva identična trougla i dobijemo "zlatne" rombove. Koristio ih je naučnik u dizajnu parketa, a sam parket je nazvan "zlatni".

Penrose mozaik

Penrose mozaik ima sljedeća svojstva:

1. Omjer broja tankih rombova i broja debelih uvijek se ispostavi da je jednak takozvanom "zlatnom" broju 1,618...

I drevni
islamski obrasci
Prezentaciju je napravio
učenik odeljenja 7B TsO br.1679
Zherder Marina.
Vođe projekta
Sinyukova E.V. i Zherder V.M.
5class.net

Šta je mozaik

Mozaik predstavlja
uzorak,
sastavljen od pločica
različite forme. Imi
može biti popločan
beskrajno
avion bez
prostori.

Periodično postavljanje pločica je popločavanje
čiji se obrazac ponavlja
jednakim intervalima.
Neperiodično postavljanje pločica je popločavanje
obrazac koji se može ponoviti
u nepravilnim intervalima.

Mozaici u prirodi

Mnogo je primjera u prirodi
periodični mozaik. Uglavnom
kristali čvrstih materija - na primjer:
kristal soli
dijamantski kristal
kristal grafita
kristal grafena

Mozaici na Escherovim slikama

Mozaici su važna tema
art. Umjetnik
M.C. Escher je poznat po svojim
mozaici a ne stvarni
slike.

Šta je Penrose pločica?

Godine 1973
engleski
matematičar Roger
Penrose (Rodžer
Penrose kreirao
specijalni mozaik
od geometrijskog
figure, koje
postao poznat kao Penrose popločavanje.

Poligonalne mozaik ploče

Penrose mozaik jeste
mozaik od poligona
pločice dva specifična oblika.

Mozaička simetrija

Rezultirajuća slika izgleda ovako
kao da je to neka vrsta "ritmice"
ukras - slika,
posjedovanje
prevoditeljski
simetrija.

Simetrija

Translacijska simetrija znači,
šta se može izabrati u uzorku
određeni komad koji može
"kopiju" u avionu i onda
kombinovati ove "duplikate" jedni s drugima
paralelni transfer.

10. Mozaička struktura

Međutim, ako dobro pogledate, možete
vidi da takvih nema
strukture koje se ponavljaju
neperiodični. Ali poenta uopšte nije
optička iluzija, ali u tom mozaiku
nije haotično: to
ima
rotacijski
simetrija kvinte
red.

11. Minimalni ugao

To znači da
slika može
uključiti
minimalni ugao
jednako 360/n stepeni,
gdje je n red
simetrija, u ovome
slučaj n = 5.
Dakle, ugao
okret, što nije ništa
ne menja, trebalo bi da bude
višestruko od 360 / 5 = 72
stepeni.

12. Neobičan fenomen

Godine 1984. Dan
Šehtman je veren
proučavanje strukture
legura aluminijuma i magnezijuma,
našao to na
atomska rešetka
ovu supstancu
ide
neobično za
kristali
fizički fenomen.

13. "Pogrešni" kristali

Uzorak supstance koja je podvrgnuta
posebna brza metoda
hlađenje, raspršio elektronski snop
tako da se na fotografskoj ploči formirala
izgovoreno
difrakcijski
slika sa simetrijom
peti red u
lokacija
difrakcijski
highs
(simetrija ikosaedra).

14. Kvazikristali

Naučnici se slažu oko toga
da ovo
opcija bi bila
biti imenovan
kvazikristali -
nešto posebno
stanje materije. I
za njega davno
bio spreman
matematički model
- Penrose mozaik.

15.

Publikacija 2007
2007. fizičari Peter Lu i Paul
Steinhardt objavljen u časopisu
Naučni članak o mozaicima
Penrose.

16. Interes za kvazikristale

naizgled,
neočekivano ovdje
malo: otvaranje
kvazikristali
privukao uživo
interesovanje za ovo
tema koja je vodila
na gomilu
publikacije u
naučna štampa.

17. Obrasci u Aziji

Međutim, vrhunac rada je da je
posvećena daleko od moderne nauke.
I generalno - ne nauka. Peter Lu
obratite pažnju na šare
pokrivanje džamija
u Aziji, izgrađen
čak i u srednjem veku.

18.

Stilovi. Girih
U islamskoj ornamentici postoje dvije
stil:
Girih (osoba) - kompleks
geometrijski ornament,
sastavljen od stilizovanih
pravougaone i poligonalne
oblici linija. U većini slučajeva
koristi se za eksterno
dekoracija džamija i knjiga u velikom
izdanje.

19. Islimi

Islimi (pers.) - vrsta ukrasa,
izgrađen na kombinaciji vijuga i
spirale. Utjelovljuje u stiliziranom
ili ideja naturalističke forme
kontinuirano razvijajuće cvjetanje
lisnati bijeg. Greatest
dobio je distribuciju u odjeći,
knjige, unutrašnje uređenje džamija,
posuđe.

20. Mozaici Uzbekistana

Tokom putovanja u
Uzbekistan, Lou se zainteresovao za šablone
mozaici koji su krasili lokal
srednjovjekovne arhitekture, a zapažene u
im nešto poznato.
Korica Kur'ana 13061315 i
crtanje
geometrijski
fragmenti,
po kojoj
uzorak.

21. Mozaici iz različitih zemalja

Nazad u
Harvard, naučnik je postao
razmotriti
slični motivi u
mozaici na zidovima
srednjovjekovni
zgrade
Avganistan, Iran,
Irak i Turska.

22. Islamski mozaici

Ovaj uzorak je datiran kasnije.
period - 1622. (indijska džamija).

23. Girih šeme

Peter Lu je otkrio tu geometriju
girih šeme su skoro iste, i
bio u stanju da identifikuje glavne elemente,
koristi se u svemu
geometrijski ornamenti. Štaviše,
pronašao je crteže ovih slika u
drevni rukopisi, koji
koristili su se drevni umjetnici
kao neka vrsta varalice za
zidna dekoracija.

24. Redoslijed izgradnje

Ovi uzorci su kreirani pomoću
jednostavne, nasumično izmišljene konture,
i figure koje su se nalazile u
određenim redosledom. drevni obrasci
ispostavilo se da su točne konstrukcije mozaika
Penrose!

25.

islamske tradicije
U islamskoj tradiciji
postojala je stroga
zabrana slike
ljudi i životinje
tako i u dizajnu
zgrade
stekao popularnost
geometrijski
ornament.

26. Tajna drevnih majstora

srednjovekovnih majstora
to uradio
raznoliko. Ali u čemu
bila njihova tajna
"strategija" - niko
znao. Dakle, evo tajne
kada se pojavi u
koristiti
specijalni mozaici,
ko može da ostane
simetrično
napuni avion
ponavljanje.

27. "fokus"

Još jedan od ovih "trik".
"Fokus" slika je da,
"kopiranje" takvih shema u
razni hramovi u
crteži, umjetnici
neizbežno bi morao
dozvoliti izobličenje. Ali
kršenja ovoga
karaktera su minimalni.
Ovo se objašnjava samo sa
da majstori nisu
korišteni su crteži
pravljenje mozaika.

28. Pločice

Za sastavljanje utega
rabljenih pločica od pet
vrste (deset i
peterokutni rombovi i
"leptiri"), koji
napravljeni su mozaici,
jedna uz drugu
bez besplatnog
razmaci između
njima.

29. Simetrija mozaika

Mozaici stvoreni od njih,
mogao odmah
rotacijski i
prevoditeljski
simetrija, i samo
rotaciona simetrija
peti red (tj.
bili mozaici
Penrose).

30. Girihi

Fragment ornamenta iranskog mauzoleja
1304. Desno - rekonstrukcija giriha

31. Datum nastanka mozaika

Istraživši stotine
datum
izgled
fotografije
mozaici
srednjovjekovni
Musliman
atrakcije,
Lou i Steinhardt su uspjeli
dati datum pojavljivanja
sličan trend XIII
veka. Postepeno ovo
način je dobio sve
veliku popularnost i
XV vijek je postao široko rasprostranjen
često.

32. Keramičke pločice

Zabavljanje otprilike
poklapa se sa periodom
razvoj tehnologije
dekoracija
palate, džamije,
razne važne
zastakljene zgrade
boja
keramičke pločice
u obliku raznih
poligoni. To
postoji keramika
pločice specijalne
kreirane su forme
samo za girihov.
keramika
pločica

33. Zaključak

Šta je zapadna nauka otkrila
zasnovano na velikoj generalizaciji
trnovito iskustvo, orijentalna nauka
napravljeno na osnovu intuicije i osjećaja
predivno. A rezultati su jasni:
oličenje zakona geometrije
praktikuju istočnjačke mislioce
ispred zapadnih za pet vekova!

Godine 1973. engleski matematičar Roger Penrose stvorio je poseban mozaik geometrijskih oblika, koji je postao poznat kao Penrose popločavanje.
Penrose mozaik je uzorak sastavljen od poligonalnih pločica dva specifična oblika (malo različitih rombova). Oni mogu popločati beskonačnu ravan bez praznina.

Mozaik Penrosea u verziji njegovog tvorca.
Sastavljen je od rombova dvije vrste,
jedan pod uglom od 72 stepena, drugi pod uglom od 36 stepeni.
Slika je simetrična, ali ne periodična.

Dobivena slika izgleda kao neka vrsta "ritmičkog" ornamenta - slika s translacijskom simetrijom. Ova vrsta simetrije znači da u uzorku možete odabrati određeni komad koji se može "kopirati" na ravan, a zatim kombinovati te "duplikate" jedan s drugim paralelnim prevođenjem (drugim riječima, bez rotacije i bez povećanja).

Međutim, ako pažljivo pogledate, možete vidjeti da Penroseov obrazac nema takve ponavljajuće strukture - on je aperiodičan. Ali poenta uopće nije u optičkoj iluziji, već u činjenici da mozaik nije haotičan: ima rotacijsku simetriju petog reda.

To znači da se slika može rotirati za minimalni ugao jednak 360 / n stepeni, gde je n red simetrije, u ovom slučaju n = 5. Dakle, ugao rotacije, koji ništa ne menja, mora biti višestruki od 360 / 5 = 72 stepena.

Otprilike jednu deceniju, Penroseova fikcija se smatrala samo slatkom matematičkom apstrakcijom. Međutim, 1984. Dan Shechtman, profesor na Izraelskom institutu za tehnologiju (Technion), dok je proučavao strukturu legure aluminijum-magnezijum, otkrio je da se difrakcija dešava na atomskoj rešetki ove supstance.

Prethodne ideje koje su postojale u fizici čvrstog stanja isključile su takvu mogućnost: struktura difrakcionog uzorka ima simetriju petog reda. Njegovi dijelovi se ne mogu kombinirati paralelnim prijenosom, što znači da uopće nije kristal. Ali difrakcija je karakteristična samo za kristalnu rešetku! Naučnici su se složili da će se ova opcija nazvati kvazikristalima - nešto poput posebnog stanja materije. Pa, cijela ljepota otkrića je u tome što je matematički model već odavno spreman za to - Penroseova pločica.

A nedavno je postalo jasno da je ova matematička konstrukcija mnogo starija nego što se moglo zamisliti. Godine 2007. Peter J. Lu, fizičar sa Univerziteta Harvard (sa kolegom fizičarom Paulom J. Steinhardtom, ali sa Univerziteta Princeton), objavio je članak u Science o mozaicima Penrose. Čini se da ovdje nema iznenađenja: otkriće kvazikristala je izazvalo veliko interesovanje za ovu temu, što je dovelo do pojave gomile publikacija u naučnoj štampi.

Međutim, vrhunac rada je da je daleko od toga da je posvećen modernoj nauci. I generalno - ne nauka. Peter Lu je skrenuo pažnju na šare koje pokrivaju džamije u Aziji, izgrađene u srednjem vijeku. Ovi lako prepoznatljivi dizajni napravljeni su od mozaik pločica. Zovu se girihi (od arapske riječi za "čvor") i predstavljaju geometrijski ornament, karakterističan za islamsku umjetnost, koji se sastoji od poligonalnih figura.

Primjer rasporeda pločica prikazanog u arapskom rukopisu iz 15. stoljeća.
Istraživači su bojama istakli područja koja se ponavljaju.
Na osnovu ovih pet elemenata grade se svi geometrijski uzorci.
srednjovjekovni arapski majstori. Elementi koji se ponavljaju
ne moraju se nužno poklapati sa ivicama pločica.

U islamskoj ornamentici razlikuju se dva stila: geometrijski - girih i floralni - islimi.
Girih(osoba) - složen geometrijski ornament, sastavljen od linija stilizovanih u pravougaone i poligonalne oblike. Uglavnom se koristi za vanjski dizajn džamije i knjige u velikom izdanju.
Islimi(perzijski) - vrsta ornamenta izgrađena na kombinaciji vijuga i spirale. Utjelovljuje u stiliziranom ili naturalističkom obliku ideju kontinuirano evoluirajućeg cvjetnog lisnatog izdanka i uključuje beskrajnu raznolikost opcija. Najviše se koristio u odjeći, knjigama, unutrašnjoj dekoraciji džamija, posuđu.

Korice Kur'ana 1306-1315 i crtež geometrijskih fragmenata,
na kojoj se zasniva obrazac. Ovaj i sljedeći primjeri se ne podudaraju
Penroseove rešetke, ali imaju rotacijsku simetriju petog reda

Prije otkrića Petera Loua, vjerovalo se da su drevni arhitekti kreirali uzorke giriha pomoću ravnala i kompasa (ako ne iz hira). Međutim, prije nekoliko godina, putujući po Uzbekistanu, Lu se zainteresirao za uzorke mozaika koji su krasili lokalnu srednjovjekovnu arhitekturu i primijetio nešto poznato u njima. Vrativši se na Harvard, naučnik je počeo da razmatra slične motive u mozaicima na zidovima srednjovekovnih zgrada u Avganistanu, Iranu, Iraku i Turskoj.

Ovaj uzorak je datiran u kasniji period - 1622. (indijska džamija).
Gledajući njega i crtež njegove strukture, čovjek ne može a da se ne divi napornom radu
istraživači. I, naravno, sami majstori.

Peter Lu je otkrio da su geometrijske sheme giriha bile gotovo iste, te je uspio identificirati glavne elemente korištene u svim geometrijskim dizajnom. Osim toga, pronašao je crteže ovih slika u drevnim rukopisima, koje su drevni umjetnici koristili kao neku vrstu varalice za ukrašavanje zidova.
Da bi stvorili ove uzorke, koristili su ne jednostavne, nasumično izmišljene konture, već figure koje su raspoređene određenim redoslijedom. Pokazalo se da su drevni uzorci točne konstrukcije Penrose mozaika!

Ove slike ističu ista područja,
iako su to fotografije iz raznih džamija

U islamskoj tradiciji postojala je stroga zabrana slika ljudi i životinja, pa su geometrijski ornamenti postali veoma popularni u dizajnu zgrada. Srednjovjekovni majstori uspjeli su ga nekako učiniti raznolikim. Ali u čemu je bila tajna njihove "strategije" - niko nije znao. Dakle, ispostavilo se da je tajna samo u korištenju posebnih mozaika koji mogu, a da ostanu simetrični, ispuniti ravan bez ponavljanja.

Još jedan "trik" ovih slika je da bi umjetnici, "kopirajući" takve sheme u raznim hramovima prema crtežima, neizbježno morali priznati izobličenja. Ali ova kršenja su minimalna. To se objašnjava samo činjenicom da nije bilo smisla u crtežima velikih razmjera: glavna stvar je princip po kojem se gradi slika.

Za sastavljanje giriha korištene su pločice pet vrsta (desetougaoni i peterokutni rombovi i "leptiri"), koji su u mozaiku bili poredani jedan uz drugi bez slobodnog prostora između njih. Mozaici stvoreni od njih mogli su istovremeno imati i rotacijsku i translacijsku simetriju, ili samo rotacijsku simetriju petog reda (to jest, bili su Penrose mozaici).

Fragment ornamenta iranskog mauzoleja iz 1304. Desno - rekonstrukcija giriha

Ispitujući stotine fotografija srednjovjekovnih muslimanskih lokaliteta, Lou i Steinhardt su uspjeli datiraju pojavu sličnog trenda u 13. vijek. Postepeno, ova metoda je dobijala sve veću popularnost i do 15. veka postala je široko rasprostranjena. Datiranje se približno poklapa sa periodom razvoja tehnike ukrašavanja palača, džamija, raznih značajnih građevina glaziranim keramičkim pločicama u obliku raznih poligona. Odnosno, keramičke pločice posebnih oblika stvorene su posebno za girihe.

Istraživači su smatrali svetilište Imama Darb-ija u iranskom gradu Isfahanu, koje datira iz 1453. godine, kao primjer gotovo idealne kvazi-kristalne strukture.

Portal svetišta Imama Darb-ija u Isfahanu (Iran).
Ovdje su dva sistema giriha postavljena jedan na drugi odjednom.

Stub u dvorištu džamije u Turskoj (oko 1200.)
i zidovi medrese u Iranu (1219). Ovo su rani radovi.
i koriste samo dva strukturna elementa koje je pronašao Lou

Sada preostaje pronaći odgovore na brojne misterije u historiji mozaika Girih i Penrose. Kako i zašto su drevni matematičari otkrili kvazikristalne strukture? Da li su srednjovjekovni Arapi mozaicima pridavali neko drugo značenje osim umjetničkog? Zašto je tako zanimljiv matematički koncept zaboravljen pola milenijuma? I najzanimljivije - koja su još moderna otkrića nova, a koja su u stvari dobro zaboravljena stara?