Rachunkowość i analiza zasobów organizacji w zarządzaniu. Rachunkowość i analizy (rachunkowość finansowa, rachunkowość zarządcza, analiza finansowa)

Pomiędzy pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego, oprócz formuł pierwiastkowych, istnieją inne przydatne relacje, które są podane przez Twierdzenie Viety. W tym artykule przedstawimy sformułowanie i dowód twierdzenia Viety dla równania kwadratowego. Następnie rozważymy twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety. Następnie przeanalizujemy rozwiązania najbardziej charakterystycznych przykładów. Na koniec spisujemy formuły Vieta, które definiują związek między rzeczywistymi pierwiastkami równanie algebraiczne stopień n i jego współczynniki.

Nawigacja po stronach.

Twierdzenie Viety, sformułowanie, dowód

Ze wzorów pierwiastków równania kwadratowego a x 2 +b x+c=0 postaci , gdzie D=b 2 −4 a c , relacje x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a. Te wyniki są potwierdzone Twierdzenie Viety:

Twierdzenie.

Jeśli x 1 i x 2 są pierwiastkami równania kwadratowego ax 2 +b x+c=0, to suma pierwiastków jest równa stosunkowi współczynników b i a, wziętych ze znakiem przeciwnym, i iloczynu pierwiastki są równe stosunkowi współczynników c i a, czyli .

Dowód.

Udowodnimy twierdzenie Vieta według następującego schematu: ułożymy sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego używając znanych wzorów pierwiastkowych, następnie przekształcimy otrzymane wyrażenia i upewnimy się, że są równe -b /a i c/a, odpowiednio.

Zacznijmy od sumy pierwiastków, skomponuj ją. Teraz łączymy ułamki ze wspólnym mianownikiem. W liczniku ułamka wynikowego , po którym : . Wreszcie po 2 otrzymujemy . Dowodzi to pierwszego związku twierdzenia Viety z sumą pierwiastków równania kwadratowego. Przejdźmy do drugiego.

Tworzymy iloczyn pierwiastków równania kwadratowego:. Zgodnie z zasadą mnożenia ułamków ostatni iloczyn można zapisać jako. Teraz mnożymy nawias przez nawias w liczniku, ale szybciej zwinąć ten iloczyn o wzór różnicy kwadratów, Więc . Następnie pamiętając , wykonujemy kolejne przejście . A ponieważ wzór D=b 2-4 a·c odpowiada dyskryminatorowi równania kwadratowego, to b 2-4·a·c można zastąpić w ostatnim ułamku zamiast D, otrzymujemy . Po otwarciu nawiasów i zmniejszeniu wyrazów podobnych otrzymujemy ułamek , a jego zmniejszenie o 4·a daje . Dowodzi to drugiej relacji twierdzenia Viety dla iloczynu pierwiastków.

Jeśli pominiemy wyjaśnienia, to dowód twierdzenia Vieta przybierze zwięzłą formę:
,
.

Pozostaje tylko zauważyć, że gdy dyskryminator jest równy zero, równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek. Jeśli jednak przyjmiemy, że równanie w tym przypadku ma dwa identyczne pierwiastki, to obowiązują również równości z twierdzenia Vieta. Rzeczywiście, dla D=0 pierwiastkiem równania kwadratowego jest , wtedy i , a ponieważ D=0 , czyli b 2 -4·a·c=0 , skąd b 2 =4·a·c , to .

W praktyce twierdzenie Viety jest najczęściej używane w odniesieniu do zredukowanego równania kwadratowego (o największym współczynniku a równym 1 ) postaci x 2 +p·x+q=0 . Czasami formułuje się je dla równań kwadratowych właśnie tego typu, co nie ogranicza ogólności, ponieważ dowolne równanie kwadratowe można zastąpić równaniem równoważnym, dzieląc obie jego części przez niezerową liczbę a. Oto odpowiednie sformułowanie twierdzenia Viety:

Twierdzenie.

Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego x 2 + px + q \u003d 0 jest równa współczynnikowi przy x, przyjętemu z przeciwnym znakiem, a iloczynem pierwiastków jest wyraz wolny, to znaczy x 1 + x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q .

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety

Drugie sformułowanie twierdzenia Vieta, podane w poprzednim akapicie, wskazuje, że jeśli x 1 i x 2 są pierwiastkami zredukowanego równania kwadratowego x 2 +p x+q=0, to relacje x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. Z drugiej strony, z zapisanych relacji x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q wynika, że ​​x 1 i x 2 są pierwiastkami równania kwadratowego x 2 +p x+q=0. Innymi słowy, twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety jest prawdziwe. Formułujemy to w formie twierdzenia i dowodzimy.

Twierdzenie.

Jeśli liczby x 1 i x 2 są takie, że x 1 +x 2 =−p i x 1 x 2 =q, to ​​x 1 i x 2 są pierwiastkami zredukowanego równania kwadratowego x 2 +p x+q=0 .

Dowód.

Po zastąpieniu współczynników p i q w równaniu x 2 +p x+q=0 ich wyrażenia przez x 1 i x 2, zostaje ono przekształcone w równanie równoważne.

Podstawiamy liczbę x 1 zamiast x do otrzymanego równania, mamy równość x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, co dla dowolnych x 1 i x 2 jest poprawną równością liczbową 0=0, ponieważ x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Dlatego x 1 jest pierwiastkiem równania x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, co oznacza, że ​​x 1 jest pierwiastkiem równoważnego równania x 2 +p x+q=0 .

Jeśli w równaniu x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 podstawiamy liczbę x 2 zamiast x, to otrzymujemy równość x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. To jest poprawne równanie, ponieważ x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Dlatego x 2 jest również pierwiastkiem równania x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, a więc równania x 2 +p x+q=0 .

To kończy dowód twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety.

Przykłady użycia twierdzenia Viety

Czas porozmawiać o praktycznym zastosowaniu twierdzenia Viety i jego twierdzenia odwrotnego. W tym podrozdziale przeanalizujemy rozwiązania kilku najbardziej typowych przykładów.

Zaczynamy od zastosowania twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety. Wygodnie jest go używać do sprawdzania, czy podane dwie liczby są pierwiastkami danego równania kwadratowego. W takim przypadku obliczana jest ich suma i różnica, po czym sprawdzana jest poprawność relacji. Jeżeli obie te zależności są spełnione, to na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety wyciąga się wniosek, że liczby te są pierwiastkami równania. Jeżeli przynajmniej jedna z relacji nie jest spełniona, to liczby te nie są pierwiastkami równania kwadratowego. Takie podejście można zastosować podczas rozwiązywania równań kwadratowych w celu sprawdzenia znalezionych pierwiastków.

Przykład.

Która z par liczb 1) x 1 =−5, x 2 =3 lub 2) lub 3) jest parą pierwiastków równania kwadratowego 4 x 2 −16 x+9=0?

Rozwiązanie.

Współczynniki danego równania kwadratowego 4 x 2 −16 x+9=0 wynoszą a=4 , b=−16 , c=9 . Zgodnie z twierdzeniem Viety suma pierwiastków równania kwadratowego musi być równa −b/a, czyli 16/4=4, a iloczyn pierwiastków musi być równy c/a, czyli 9 /4.

Teraz obliczmy sumę i iloczyn liczb w każdej z trzech podanych par i porównajmy je z właśnie uzyskanymi wartościami.

W pierwszym przypadku mamy x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Otrzymana wartość jest różna od 4, więc dalszej weryfikacji nie można przeprowadzić, ale z twierdzenia, odwrotności twierdzenia Viety, możemy od razu wnioskować, że pierwsza para liczb nie jest parą pierwiastków danego równania kwadratowego.

Przejdźmy do drugiego przypadku. W tym przypadku spełniony jest pierwszy warunek. Sprawdzamy drugi warunek: , wynikowa wartość jest inna niż 9/4 . Dlatego druga para liczb nie jest parą pierwiastków równania kwadratowego.

Ostatnia sprawa pozostaje. Tutaj i . Oba warunki są spełnione, więc liczby x 1 i x 2 są pierwiastkami danego równania kwadratowego.

Odpowiedź:

Twierdzenie, odwrotność twierdzenia Viety, może być użyte w praktyce do wybrania pierwiastków równania kwadratowego. Zwykle wybiera się pierwiastki całkowite danych równań kwadratowych o współczynnikach całkowitych, ponieważ w innych przypadkach jest to dość trudne do wykonania. Jednocześnie wykorzystują fakt, że jeśli suma dwóch liczb jest równa drugiemu współczynnikowi równania kwadratowego, wziętemu ze znakiem minus, a iloczyn tych liczb jest równy członowi wolnemu, to liczby te są pierwiastki tego równania kwadratowego. Spójrzmy na to na przykładzie.

Weźmy równanie kwadratowe x 2 -5 x+6=0 . Aby liczby x 1 i x 2 były pierwiastkami tego równania, muszą być spełnione dwie równości x 1 +x 2 \u003d 5 i x 1 x 2 \u003d 6. Pozostaje wybrać takie liczby. W tym przypadku jest to dość proste: takie liczby to 2 i 3, ponieważ 2+3=5 i 2 3=6 . Zatem 2 i 3 są pierwiastkami tego równania kwadratowego.

Twierdzenie, odwrotność twierdzenia Viety, jest szczególnie wygodne do zastosowania do znalezienia drugiego pierwiastka zredukowanego równania kwadratowego, gdy jeden z pierwiastków jest już znany lub oczywisty. W tym przypadku drugi korzeń znajduje się w dowolnej relacji.

Na przykład weźmy równanie kwadratowe 512 x 2 -509 x−3=0 . Tutaj łatwo zauważyć, że jednostka jest pierwiastkiem równania, ponieważ suma współczynników tego równania kwadratowego wynosi zero. Więc x 1 =1 . Drugi pierwiastek x 2 można znaleźć na przykład z relacji x 1 x 2 = c/a. Mamy 1 x 2 =−3/512 , skąd x 2 =−3/512 . Tak więc zdefiniowaliśmy oba pierwiastki równania kwadratowego: 1 i -3/512.

Oczywiste jest, że wybór korzeni jest celowy tylko w najprostszych przypadkach. W innych przypadkach, aby znaleźć pierwiastki, możesz zastosować formuły pierwiastków równania kwadratowego poprzez dyskryminator.

Jeszcze jeden praktyczne użycie twierdzenie, odwrotność twierdzenia Viety, polega na sporządzeniu równań kwadratowych dla danych pierwiastków x 1 i x 2. Aby to zrobić, wystarczy obliczyć sumę pierwiastków, co daje współczynnik x o przeciwnym znaku danego równania kwadratowego, oraz iloczyn pierwiastków, co daje wyraz wolny.

Przykład.

Napisz równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są liczby -11 i 23.

Rozwiązanie.

Oznaczmy x1 =−11 i x2=23 . Obliczamy sumę i iloczyn tych liczb: x 1 + x 2 \u003d 12 i x 1 x 2 \u003d -253. Dlatego liczby te są pierwiastkami danego równania kwadratowego o drugim współczynniku -12 i członie swobodnym -253. Oznacza to, że pożądanym równaniem jest x2-12·x-253=0.

Odpowiedź:

x2-12 x-253=0 .

Twierdzenie Viety jest bardzo często wykorzystywane przy rozwiązywaniu zadań związanych ze znakami pierwiastków równań kwadratowych. Jak twierdzenie Viety ma się do znaków pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego x 2 +p x+q=0 ? Oto dwa istotne stwierdzenia:

• Jeśli punkt przecięcia q jest liczbą dodatnią, a równanie kwadratowe ma pierwiastki rzeczywiste, to albo oba są dodatnie, albo oba są ujemne.
• Jeśli wyraz wolny q jest liczbą ujemną, a równanie kwadratowe ma pierwiastki rzeczywiste, to ich znaki są różne, czyli jeden pierwiastek jest dodatni, a drugi ujemny.

Stwierdzenia te wynikają ze wzoru x 1 x 2 =q, a także z zasad mnożenia liczb dodatnich, ujemnych oraz liczb o różnych znakach. Rozważ przykłady ich zastosowania.

Przykład.

R jest dodatnie. Zgodnie ze wzorem dyskryminacyjnym znajdujemy D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , wartość wyrażenia r 2 +8 jest dodatnie dla dowolnego rzeczywistego r , stąd D>0 dla dowolnego rzeczywistego r . Dlatego oryginalne równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki dla dowolnych rzeczywistych wartości parametru r.

Teraz dowiedzmy się, kiedy mają korzenie różne znaki. Jeżeli znaki pierwiastków są różne, to ich iloczyn jest ujemny i zgodnie z twierdzeniem Vieta iloczyn pierwiastków danego równania kwadratowego jest równy członowi wolnemu. Dlatego interesują nas te wartości r, dla których wyraz wolny r−1 jest ujemny. Tak więc, aby znaleźć wartości r, które nas interesują, musimy: rozwiązać nierówność liniową r−1<0 , откуда находим r<1 .

Odpowiedź:

w r<1 .

Formuły Vieta

Powyżej omówiliśmy twierdzenie Viety dla równania kwadratowego i przeanalizowaliśmy relacje, które zapewnia. Ale istnieją wzory, które łączą rzeczywiste pierwiastki i współczynniki nie tylko równań kwadratowych, ale także równań sześciennych, równań poczwórnych i ogólnie, równania algebraiczne stopień n. Nazywają się Formuły Vieta.

Formuły Vieta zapisujemy dla równania algebraicznego stopnia n postaci, przy założeniu, że ma ono n pierwiastków rzeczywistych x 1, x 2, ..., x n (wśród nich może być to samo):

Uzyskaj formuły Vieta pozwala twierdzenie o faktoryzacji wielomianowej, a także definicję równych wielomianów poprzez równość wszystkich odpowiadających im współczynników. Czyli wielomian i jego rozwinięcie na czynniki liniowe postaci są sobie równe. Otwierając nawiasy w ostatnim produkcie i zrównując odpowiednie współczynniki, otrzymujemy wzory Vieta.

W szczególności, dla n=2 znamy już wzory Vieta dla równania kwadratowego .

W przypadku równania sześciennego wzory Vieta mają postać

Pozostaje tylko zauważyć, że po lewej stronie formuł Vieta znajdują się tak zwane elementarne wielomiany symetryczne.

Bibliografia.

• Algebra: badanie. na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M.: Edukacja, 2008 .-- 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra. 8 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / A.G. Mordkovich. - Wydanie 11, skasowane. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 p.: ch. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 10: podręcznik. do kształcenia ogólnego. instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [Ju. M. Kolagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; wyd. A. B. Zhizhchenko. - 3. ed. - M.: Oświecenie, 2010.- 368 s. : chory. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Zanim przejdziemy do twierdzenia Viety, wprowadzimy definicję. Równanie kwadratowe postaci x² + px + Q= 0 nazywa się zredukowanym. W tym równaniu wiodący współczynnik jest równy jeden. Na przykład równanie x² - 3 x- 4 = 0 jest zredukowane. Dowolne równanie kwadratowe postaci topór² + b x + C= 0 można zmniejszyć, w tym celu dzielimy obie strony równania przez a≠ 0. Na przykład równanie 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 podzielone przez 4 jest zredukowane do postaci: x² + x- 3/4 = 0. Wyprowadzamy wzór na pierwiastki zredukowanego równania kwadratowego, w tym celu używamy wzoru na pierwiastki ogólnego równania kwadratowego: topór² + bx + C = 0

Zredukowane równanie x² + px + Q= 0 pokrywa się z ogólnym równaniem, w którym a = 1, b = P, C = Q. Dlatego dla danego równania kwadratowego wzór przyjmuje postać:

ostatnie wyrażenie nazywa się wzorem pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego, szczególnie wygodnie jest używać tego wzoru, gdy r- Liczba parzysta. Na przykład rozwiążmy równanie x² - 14 x — 15 = 0

W odpowiedzi piszemy, że równanie ma dwa pierwiastki.

Dla zredukowanego równania kwadratowego z wartością dodatnią obowiązuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie Viety

Jeśli x 1 i x 2 - pierwiastki równania x² + px + Q= 0, to obowiązują formuły:

x 1 + x 2 = — r

x 1 * x 2 \u003d q, to znaczy suma pierwiastków danego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi, przyjętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi wolnemu.

Na podstawie wzoru pierwiastków powyższego równania kwadratowego mamy:

Dodając te równości, otrzymujemy: x 1 + x 2 = —R.

Mnożąc te równości, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, otrzymujemy:

Zauważ, że twierdzenie Vieta jest również ważne, gdy dyskryminator wynosi zero, jeśli założymy, że w tym przypadku równanie kwadratowe ma dwa identyczne pierwiastki: x 1 = x 2 = — r/2.

Nie rozwiązuję równań x² - 13 x+ 30 = 0 znajdź sumę i iloczyn jej pierwiastków x 1 i x 2. to równanie D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, więc możesz zastosować twierdzenie Vieta: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Rozważ jeszcze kilka przykładów. Jeden z pierwiastków równania x² — px- 12 = 0 to x 1 = 4. Znajdź współczynnik r i drugi korzeń x 2 tego równania. Zgodnie z twierdzeniem Viety x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Bo x 1 = 4 potem 4 x 2 = - 12, skąd x 2 = — 3, r = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. W odpowiedzi zapisujemy drugi korzeń x 2 = - 3, współczynnik p = - 1.

Nie rozwiązuję równań x² + 2 x- 4 = 0 znajdź sumę kwadratów jego pierwiastków. Pozwalać x 1 i x 2 to pierwiastki równania. Zgodnie z twierdzeniem Viety x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Bo x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, więc x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

Znajdź sumę i iloczyn pierwiastków równania 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. To równanie ma dwa różne pierwiastki, ponieważ dyskryminator D= 16 + 4*3*5 > 0. Aby rozwiązać równanie, używamy twierdzenia Vieta. Twierdzenie to zostało udowodnione dla zredukowanego równania kwadratowego. Więc podzielmy to równanie przez 3.

Dlatego suma korzeni wynosi -4/3, a ich iloczyn -5/3.

Ogólnie pierwiastki równania topór² + b x + C= 0 są powiązane następującymi równościami: x 1 + x 2 = — b/rok, x 1 * x 2 = c/rok, Aby otrzymać te wzory, wystarczy podzielić obie strony tego równania kwadratowego przez a ≠ 0 i zastosuj twierdzenie Viety do otrzymanego zredukowanego równania kwadratowego. Rozważmy przykład, musisz skomponować dane równanie kwadratowe, którego pierwiastki x 1 = 3, x 2 = 4. Bo x 1 = 3, x 2 = 4 są pierwiastkami równania kwadratowego x² + px + Q= 0, następnie przez twierdzenie Vieta r = — (x 1 + x 2) = — 7, Q = x 1 x 2 = 12. W odpowiedzi piszemy x² - 7 x+ 12 = 0. Poniższe twierdzenie służy do rozwiązywania niektórych problemów.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety

Jeśli liczby r, Q, x 1 , x 2 są takie, że x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, następnie x 1 oraz x2 są pierwiastkami równania x² + px + Q= 0. Zastąp po lewej stronie x² + px + Q zamiast r wyrażenie - ( x 1 + x 2), ale zamiast tego Q- Praca x1*x2. Otrzymujemy: x² + px + Q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Tak więc, jeśli liczby r, Q, x 1 i x 2 są powiązane tymi relacjami, to dla wszystkich x obowiązuje równość x² + px + Q = (x - x 1) (x - x 2), z czego wynika, że x 1 i x 2 - pierwiastki równania x² + px + Q= 0. Używając twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety, czasami można znaleźć pierwiastki równania kwadratowego przez wybór. Rozważ przykład, x² - 5 x+ 6 = 0. Tutaj r = — 5, Q= 6. Wybierz dwie liczby x 1 i x 2 tak, że x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Zauważając, że 6 = 2 * 3 i 2 + 3 = 5, przez twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety, otrzymujemy, że x 1 = 2, x 2 = 3 - pierwiastki równania x² - 5 x + 6 = 0.

Twierdzenie Viety

Niech i oznacz pierwiastki zredukowanego równania kwadratowego
(1) .
Wtedy suma pierwiastków jest równa współczynnikowi w przyjętym z przeciwnym znakiem. Iloczyn korzeni jest równy członowi wolnemu:
;
.

Uwaga o wielu korzeniach

Jeżeli dyskryminator równania (1) wynosi zero, to równanie to ma jeden pierwiastek. Jednak, aby uniknąć kłopotliwych sformułowań, ogólnie przyjmuje się, że w tym przypadku równanie (1) ma dwa wielokrotne lub równe pierwiastki:
.

Dowód jeden

Znajdźmy pierwiastki równania (1). Aby to zrobić, zastosuj wzór na pierwiastki równania kwadratowego:
;
;
.

Znalezienie sumy pierwiastków:
.

Aby znaleźć produkt, stosujemy formułę:
.
Następnie

.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Dowód dwa

Jeśli liczby i są pierwiastkami równania kwadratowego (1), to
.
Rozbudowujemy wsporniki.

.
Zatem równanie (1) przyjmie postać:
.
W porównaniu z (1) znajdujemy:
;
.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Odwrotne twierdzenie Vieta

Niech będą dowolne liczby. Wtedy i są pierwiastkami równania kwadratowego
,
gdzie
(2) ;
(3) .

Dowód twierdzenia odwrotnego Viety

Rozważ równanie kwadratowe
(1) .
Musimy udowodnić, że jeśli i , to i są pierwiastkami równania (1).

Zastąpić (2) i (3) w (1):
.
Grupujemy wyrazy lewej strony równania:
;
;
(4) .

Zastąp w (4):
;
.

Zastąp w (4):
;
.
Równanie jest spełnione. Oznacza to, że liczba jest pierwiastkiem równania (1).

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie Viety dla pełnego równania kwadratowego

Rozważmy teraz całe równanie kwadratowe
(5) ,
gdzie , i to kilka liczb. I .

Równanie (5) dzielimy przez:
.
Oznacza to, że otrzymaliśmy powyższe równanie
,
gdzie ; .

Wtedy twierdzenie Vieta dla pełnego równania kwadratowego ma następującą postać.

Niech i oznacz pierwiastki pełnego równania kwadratowego
.
Następnie sumę i iloczyn pierwiastków określają wzory:
;
.

Twierdzenie Viety dla równania sześciennego

Podobnie możemy ustalić połączenia między pierwiastkami równania sześciennego. Rozważ równanie sześcienne
(6) ,
gdzie , , , to niektóre liczby. I .
Podzielmy to równanie przez:
(7) ,
gdzie , , .
Niech , , będą pierwiastkami równania (7) (i równania (6)). Następnie

.

Porównując z równaniem (7) znajdujemy:
;
;
.

Twierdzenie Viety dla równania n-tego stopnia

W ten sam sposób można znaleźć połączenia między pierwiastkami , , ... , , dla równania n-tego stopnia
.

Twierdzenie Viety dla równania n-tego stopnia ma następującą postać:
;
;
;

.

Aby uzyskać te formuły, zapisujemy równanie w następującej postaci:
.
Następnie zrównujemy współczynniki w , , , ... i porównujemy wyraz wolny.

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów wyższych uczelni, Lan, 2009.
CM. Nikolski, M.K. Potapov i in., Algebra: podręcznik dla 8. klasy instytucji edukacyjnych, Moskwa, Edukacja, 2006.

Jedną z metod rozwiązywania równania kwadratowego jest użycie Formuły VIETA, który został nazwany na cześć FRANCOIS VIET.

Był znanym prawnikiem i służył pod rządami króla francuskiego w XVI wieku. W wolnym czasie studiował astronomię i matematykę. Ustalił związek między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego.

Zalety formuły:

1 . Stosując formułę, szybko znajdziesz rozwiązanie. Ponieważ nie musisz wpisywać drugiego współczynnika do kwadratu, odejmij od niego 4ac, znajdź dyskryminator, podstaw jego wartość we wzorze, aby znaleźć pierwiastki.

2 . Bez rozwiązania możesz określić znaki korzeni, odebrać znaczenie korzeni.

3 . Po rozwiązaniu systemu dwóch rekordów łatwo jest znaleźć same korzenie. W danym równaniu kwadratowym suma pierwiastków jest równa wartości drugiego współczynnika ze znakiem minus. Iloczyn pierwiastków w danym równaniu kwadratowym jest równy wartości trzeciego współczynnika.

4 . Korzystając z tych pierwiastków, zapisz równanie kwadratowe, czyli rozwiąż zadanie odwrotne. Na przykład ta metoda służy do rozwiązywania problemów w mechanice teoretycznej.

5 . Wygodnie jest zastosować wzór, gdy wiodący współczynnik jest równy jeden.

Wady:

1 . Formuła nie jest uniwersalna.

Twierdzenie Viety, stopień 8

Formuła
Jeżeli x 1 i x 2 są pierwiastkami zredukowanego równania kwadratowego x 2 + px + q = 0, to:

Przykłady
x 1 = -1; x 2 = 3 - pierwiastki równania x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Twierdzenie odwrotne

Formuła
Jeżeli liczby x 1, x 2, p, q są powiązane warunkami:

Wtedy x 1 i x 2 są pierwiastkami równania x 2 + px + q = 0.

Przykład
Utwórzmy równanie kwadratowe dla jego pierwiastków:

X 1 = 2 -? 3 i x 2 = 2 +? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 -? 3) (2 +? 3) = 4 - 3 = 1.

Wymagane równanie to: x 2 - 4x + 1 = 0.