Menejmentda tashkilot resurslarini hisobga olish va tahlil qilish. Buxgalteriya hisobi va tahlili (moliyaviy hisob, boshqaruv hisobi, moliyaviy tahlil)

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida, ildiz formulalaridan tashqari, boshqa foydali munosabatlar mavjud Vyeta teoremasi. Ushbu maqolada biz kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasining formulasini va isbotini keltiramiz. Keyinchalik, Veta teoremasiga qarama-qarshi teoremani ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng biz eng xarakterli misollarning echimlarini tahlil qilamiz. Nihoyat, biz haqiqiy ildizlar orasidagi bog'lanishni aniqlaydigan Viet formulalarini yozamiz algebraik tenglama n daraja va uning koeffitsientlari.

Sahifani navigatsiya qilish.

Vyeta teoremasi, formulasi, isboti

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan a x 2 +b x+c=0 ko‘rinishdagi, bu yerda D=b 2 −4 a c , munosabatlar x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a. Bu natijalar tasdiqlangan Vyeta teoremasi:

Teorema.

Agar x 1 va x 2 - ax 2 +b x+c=0 kvadrat tenglamaning ildizlari, u holda ildizlar yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan b va a koeffitsientlarining nisbati va ko'paytmasiga teng bo'ladi. ildizlar c va a koeffitsientlarining nisbatiga teng, ya'ni.

Isbot.

Vyeta teoremasini quyidagi sxema bo‘yicha isbotlaymiz: ma’lum ildiz formulalari yordamida kvadrat tenglama ildizlarining yig‘indisi va ko‘paytmasini tuzamiz, shundan so‘ng hosil bo‘lgan ifodalarni o‘zgartiramiz va ularning −b ga teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz. /a va c/a.

Keling, ildizlarning yig'indisidan boshlaylik, uni tuzing. Endi biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz, bizda bor. Olingan kasrning payida, undan keyin:. Nihoyat, 2 dan keyin biz olamiz. Bu kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisiga Vyeta teoremasining birinchi munosabatini isbotlaydi. Keling, ikkinchisiga o'tamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari ko'paytmasini tuzamiz:. Kasrlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, oxirgi ko'paytmani quyidagicha yozish mumkin. Endi biz qavsni hisoblagichdagi qavsga ko'paytiramiz, ammo bu mahsulotni yiqitish tezroq bo'ladi. kvadratlar farqi formulasi, Shunday qilib. Keyin, eslab, biz keyingi o'tishni amalga oshiramiz. Va D=b 2 −4 a·c formulasi kvadrat tenglamaning diskriminantiga to‘g‘ri kelganligi sababli, oxirgi kasrga D o‘rniga b 2 −4·a·c ni qo‘yish mumkin, ni olamiz. Qavslarni ochib, o'xshash hadlarni kamaytirgandan so'ng, kasrga kelamiz va uning 4·a ga kamayishi ni beradi. Bu ildizlar hosilasi uchun Vyeta teoremasining ikkinchi munosabatini isbotlaydi.

Agar biz tushuntirishlarni o'tkazib yuborsak, Veta teoremasining isboti qisqacha shaklga ega bo'ladi:
,
.

Shuni ta'kidlash kerakki, diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama bitta ildizga ega. Ammo, agar bu holda tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb hisoblasak, Veta teoremasidagi tengliklar ham amal qiladi. Darhaqiqat, D=0 uchun kvadrat tenglamaning ildizi , u holda va , D=0 bo'lgani uchun, ya'ni b 2 −4·a·c=0 , bundan b 2 =4·a·c , u holda .

Amalda Vyeta teoremasi ko'pincha x 2 +p·x+q=0 ko'rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga (eng yuqori koeffitsient a 1 ga teng) nisbatan qo'llaniladi. Ba'zan u faqat shu turdagi kvadrat tenglamalar uchun tuziladi, bu umumiylikni cheklamaydi, chunki har qanday kvadrat tenglama uning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish orqali ekvivalent tenglama bilan almashtirilishi mumkin. Mana Viet teoremasining tegishli formulasi:

Teorema.

Qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 + px + q \u003d 0 qarama-qarshi belgi bilan olingan x koeffitsientiga teng va ildizlarning mahsuloti bo'sh muddat, ya'ni x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Vyeta teoremasiga teskari teorema

Oldingi paragrafda keltirilgan Vyeta teoremasining ikkinchi formulasi shuni ko'rsatadiki, agar x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 +p x+q=0 bo'lsa, u holda x 1 +x 2 = - munosabatlari p , x 1 x 2=q. Boshqa tomondan, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yozma munosabatlardan x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning x 2 +p x+q=0 ildizlari ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan tasdiq haqiqatdir. Biz uni teorema shaklida tuzamiz va isbotlaymiz.

Teorema.

Agar x 1 va x 2 raqamlari x 1 +x 2 =−p va x 1 x 2 =q bo‘lsa, x 1 va x 2 qisqartirilgan x 2 +p x+q=0 kvadrat tenglamaning ildizlari bo‘ladi. .

Isbot.

Ularning ifodalanishining x 2 +p x+q=0 tenglamasidagi p va q koeffitsientlarini x 1 va x 2 orqali almashtirib, ekvivalent tenglamaga aylantiriladi.

Olingan tenglamaga x o'rniga x 1 raqamini qo'yamiz, biz tenglikka egamiz x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, bu har qanday x 1 va x 2 uchun to'g'ri sonli tenglik 0=0, chunki x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Demak, x 1 tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, bu x 1 ekvivalent x 2 +p x+q=0 tenglamaning ildizi ekanligini bildiradi.

Agar tenglamada bo'lsa x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x o'rniga x 2 raqamini qo'ying, shunda biz tenglikni olamiz x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Bu to'g'ri tenglama, chunki x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Demak, x 2 ham tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, va demak, x 2 +p x+q=0 tenglamalar.

Bu Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teoremani isbotlashni yakunlaydi.

Vyeta teoremasidan foydalanishga misollar

Vyeta teoremasi va uning teskari teoremasini amaliy qo'llash haqida gapirish vaqti keldi. Ushbu kichik bo'limda biz bir nechta eng tipik misollarning echimlarini tahlil qilamiz.

Biz teoremani Veta teoremasiga qarama-qarshi qo'llashdan boshlaymiz. Berilgan ikki raqam berilgan kvadrat tenglamaning ildizi ekanligini tekshirish uchun undan foydalanish qulay. Bunday holda, ularning yig'indisi va farqi hisoblab chiqiladi, shundan so'ng munosabatlarning haqiqiyligi tekshiriladi. Agar bu munosabatlarning ikkalasi ham qanoatlansa, Veta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teorema tufayli bu raqamlar tenglamaning ildizlari ekanligi to'g'risida xulosa chiqariladi. Agar munosabatlarning kamida bittasi bajarilmasa, bu raqamlar kvadrat tenglamaning ildizi emas. Ushbu yondashuv topilgan ildizlarni tekshirish uchun kvadrat tenglamalarni echishda qo'llanilishi mumkin.

Misol.

1) x 1 =−5, x 2 =3 yoki 2), yoki 3) son juftlaridan qaysi biri 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning ildiz juftidir?

Yechim.

Berilgan 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a=4 , b=−16 , c=9 ga teng. Vyeta teoremasiga ko‘ra, kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi −b/a ga, ya’ni 16/4=4 ga, ildizlarning ko‘paytmasi c/a ga, ya’ni 9 ga teng bo‘lishi kerak. /4.

Keling, berilgan uchta juftlikning har biridagi raqamlarning yig'indisi va mahsulotini hisoblab chiqamiz va ularni hozirgina olingan qiymatlar bilan solishtiramiz.

Birinchi holda, bizda x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Olingan qiymat 4 dan farq qiladi, shuning uchun keyingi tekshirishni amalga oshirib bo'lmaydi, lekin teorema bo'yicha, Veta teoremasining teskarisi, biz darhol birinchi juft raqamlar berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari emas degan xulosaga kelishimiz mumkin. .

Keling, ikkinchi holatga o'tamiz. Bu erda, ya'ni birinchi shart bajariladi. Ikkinchi shartni tekshiramiz: , natijada olingan qiymat 9/4 dan farq qiladi. Demak, ikkinchi juft sonlar kvadrat tenglamaning ildizlari jufti emas.

Oxirgi holat qolmoqda. Bu erda va. Ikkala shart ham bajariladi, shuning uchun bu x 1 va x 2 raqamlari berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob:

Vyeta teoremasining teskari teoremasidan kvadrat tenglamaning ildizlarini tanlashda amalda foydalanish mumkin. Odatda, butun sonli koeffitsientli berilgan kvadrat tenglamalarning butun son ildizlari tanlanadi, chunki boshqa hollarda buni qilish juda qiyin. Shu bilan birga, ular ikkita sonning yig'indisi kvadrat tenglamaning minus belgisi bilan olingan ikkinchi koeffitsientiga teng bo'lsa va bu sonlarning ko'paytmasi bo'sh hadga teng bo'lsa, u holda bu raqamlardan foydalanadilar. bu kvadrat tenglamaning ildizlari. Keling, bu bilan bir misol bilan shug'ullanamiz.

X 2 −5 x+6=0 kvadrat tenglamani olaylik. X 1 va x 2 raqamlari ushbu tenglamaning ildizi bo'lishi uchun ikkita tenglik x 1 + x 2 \u003d 5 va x 1 x 2 \u003d 6 bajarilishi kerak. Bunday raqamlarni tanlash qoladi. Bunday holda, buni qilish juda oddiy: bunday raqamlar 2 va 3 ga teng, chunki 2+3=5 va 2 3=6 . Shunday qilib, 2 va 3 - bu kvadrat tenglamaning ildizlari.

Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teorema, ayniqsa, ildizlardan biri ma'lum yoki aniq bo'lsa, qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ikkinchi ildizini topish uchun qulaydir. Bunda ikkinchi ildiz har qanday munosabatdan topiladi.

Masalan, 512 x 2 −509 x−3=0 kvadrat tenglamani olaylik. Bu erda birlik tenglamaning ildizi ekanligini ko'rish oson, chunki bu kvadrat tenglamaning koeffitsientlari yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, x 1 = 1. Ikkinchi ildiz x 2 ni, masalan, x 1 x 2 =c/a munosabatidan topish mumkin. Bizda 1 x 2 =−3/512 , bundan x 2 =−3/512 . Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ikkala ildizini ham aniqladik: 1 va -3/512.

Ildizlarni tanlash faqat eng oddiy hollarda maqsadga muvofiq ekanligi aniq. Boshqa hollarda, ildizlarni topish uchun kvadrat tenglamaning ildizlari formulalarini diskriminant orqali qo'llash mumkin.

Yana bir bor amaliy foydalanish teorema, Veta teoremasining teskarisi, berilgan x 1 va x 2 ildizlari uchun kvadrat tenglamalar tuzishdan iborat. Buning uchun berilgan kvadrat tenglamaning qarama-qarshi belgisi bilan x koeffitsientini beradigan ildizlarning yig'indisini va erkin muddatni beradigan ildizlarning ko'paytmasini hisoblash kifoya.

Misol.

Ildizlari −11 va 23 raqamlari boʻlgan kvadrat tenglamani yozing.

Yechim.

x 1 =−11 va x 2 =23 ni belgilang. Biz ushbu raqamlarning yig'indisini va mahsulotini hisoblaymiz: x 1 + x 2 \u003d 12 va x 1 x 2 \u003d -253. Demak, bu sonlar ikkinchi koeffitsienti -12 va erkin hadi -253 bo'lgan berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Ya’ni, x 2 −12·x−253=0 kerakli tenglamadir.

Javob:

x 2 −12 x−253=0 .

Vyeta teoremasi kvadrat tenglamalar ildizlari belgilari bilan bog'liq vazifalarni hal qilishda juda tez-tez ishlatiladi. X 2 +p x+q=0 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari belgilari bilan Vyeta teoremasi qanday bog‘langan? Mana ikkita tegishli bayonot:

• Agar q kesma musbat son bo'lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lsa, ularning ikkalasi ham ijobiy yoki ikkalasi ham manfiy bo'ladi.
• Agar q erkin atamasi manfiy son bo’lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lsa, ularning belgilari boshqacha, boshqacha aytganda, bir ildiz musbat, ikkinchisi manfiy bo’ladi.

Bu gaplar x 1 x 2 =q formulasidan, shuningdek, musbat, manfiy sonlar va turli belgilarga ega sonlarni ko‘paytirish qoidalaridan kelib chiqadi. Ularni qo'llash misollarini ko'rib chiqing.

Misol.

R ijobiy. Diskriminant formulaga asosan D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 ni, r 2 ifoda qiymatini topamiz. +8 har qanday haqiqiy r uchun ijobiy, shuning uchun har qanday haqiqiy r uchun D>0. Shuning uchun dastlabki kvadrat tenglama r parametrining har qanday haqiqiy qiymatlari uchun ikkita ildizga ega.

Endi ildizlar qachon borligini bilib olaylik turli belgilar. Agar ildizlarning belgilari har xil bo'lsa, ularning ko'paytmasi manfiy bo'ladi va Vyeta teoremasiga ko'ra, berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari ko'paytmasi erkin hadga tengdir. Shuning uchun bizni r ning o'sha qiymatlari qiziqtiradi, ular uchun r-1 erkin atamasi manfiy bo'ladi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan r qiymatlarini topish uchun biz kerak chiziqli tengsizlikni yeching r−1<0 , откуда находим r<1 .

Javob:

da r<1 .

Vieta formulalari

Yuqorida biz kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi haqida gapirdik va u tasdiqlaydigan munosabatlarni tahlil qildik. Ammo faqat kvadrat tenglamalar emas, balki kub tenglamalar, to'rtlik tenglamalar va umuman, haqiqiy ildiz va koeffitsientlarni bog'laydigan formulalar mavjud. algebraik tenglamalar daraja n. Ular chaqiriladi Vieta formulalari.

Shaklning n darajali algebraik tenglamasi uchun Veta formulalarini yozamiz, shu bilan birga uning n ta haqiqiy ildizi x 1, x 2, ..., x n bor deb faraz qilamiz (ular orasida bir xil bo'lishi mumkin):

Vieta formulalarini oling polinomni faktorizatsiya qilish teoremasi, shuningdek, barcha mos keladigan koeffitsientlarning tengligi orqali teng ko'phadlarni aniqlash. Demak, polinom va uning shaklning chiziqli omillariga kengayishi tengdir. Oxirgi mahsulotdagi qavslarni ochib, mos keladigan koeffitsientlarni tenglashtirib, biz Vieta formulalarini olamiz.

Xususan, n=2 uchun biz kvadrat tenglama uchun allaqachon tanish Viet formulalariga egamiz.

Kubik tenglama uchun Vieta formulalari shaklga ega

Shuni ta'kidlash kerakki, Vyeta formulalarining chap tomonida elementar deb ataladiganlar mavjud simmetrik polinomlar.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - M.: Ma'rifat, 2010.- 368 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Viet teoremasiga o'tishdan oldin biz ta'rifni kiritamiz. Shaklning kvadrat tenglamasi x² + px + q= 0 qisqartirilgan deb ataladi. Ushbu tenglamada etakchi koeffitsient birga teng. Masalan, tenglama x² - 3 x- 4 = 0 kamayadi. Shaklning istalgan kvadrat tenglamasi bolta² + b x + c= 0 ni qisqartirish mumkin, buning uchun tenglamaning ikkala tomonini ga ajratamiz a≠ 0. Masalan, 4-tenglama x² + 4 x- 3 \u003d 0 4 ga bo'lingan holda quyidagi shaklga keltiriladi: x² + x- 3/4 = 0. Berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini olamiz, buning uchun umumiy kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanamiz: bolta² + bx + c = 0

Qisqartirilgan tenglama x² + px + q= 0 umumiy tenglama bilan mos keladi a = 1, b = p, c = q. Shunday qilib, berilgan kvadrat tenglama uchun formula quyidagi shaklni oladi:

oxirgi ifoda qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi deb ataladi, bu formuladan foydalanish ayniqsa qulaydir R- juft son. Masalan, tenglamani yechamiz x² - 14 x — 15 = 0

Bunga javoban tenglamaning ikkita ildizi borligini yozamiz.

Musbat bilan qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun quyidagi teorema bajariladi.

Vyeta teoremasi

Agar x 1 va x 2 - tenglamaning ildizlari x² + px + q= 0 bo'lsa, formulalar amal qiladi:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q, ya'ni berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin hadga teng.

Yuqoridagi kvadrat tenglamaning ildizlari formulasiga asoslanib, biz:

Ushbu tengliklarni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz: x 1 + x 2 = —R.

Kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, ushbu tengliklarni ko'paytirib, biz quyidagilarni olamiz:

E'tibor bering, Viet teoremasi diskriminant nolga teng bo'lganda ham amal qiladi, agar bu holda kvadrat tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb hisoblasak: x 1 = x 2 = — R/2.

Tenglamalarni yechmaslik x² - 13 x+ 30 = 0 uning ildizlarining yig'indisini va mahsulotini toping x 1 va x 2. bu tenglama D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, shuning uchun siz Vyeta teoremasini qo'llashingiz mumkin: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Yana bir nechta misollarni ko'rib chiqing. Tenglamaning ildizlaridan biri x² — px- 12 = 0 x 1 = 4. Koeffitsientni toping R va ikkinchi ildiz x Ushbu tenglamaning 2. Vyeta teoremasiga ko'ra x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Chunki x 1 = 4, keyin 4 x 2 = - 12, qaerdan x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Bunga javoban biz ikkinchi ildizni yozamiz x 2 = - 3, koeffitsient p = - 1.

Tenglamalarni yechmaslik x² + 2 x- 4 = 0 uning ildizlari kvadratlari yig'indisini toping. Mayli x 1 va x 2 - tenglamaning ildizlari. Vyeta teoremasiga ko'ra x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Chunki x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, keyin x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

3-tenglama ildizlarining yig‘indisi va ko‘paytmasini toping x² + 4 x- 5 \u003d 0. Bu tenglama ikki xil ildizga ega, chunki diskriminant D= 16 + 4*3*5 > 0. Tenglamani yechish uchun Vieta teoremasidan foydalanamiz. Bu teorema qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun isbotlangan. Shunday qilib, bu tenglamani 3 ga bo'lamiz.

Demak, ildizlarning yig’indisi -4/3, hosilasi esa -5/3 ga teng.

Umuman olganda, tenglamaning ildizlari bolta² + b x + c= 0 quyidagi tenglik bilan bog'langan: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Ushbu formulalarni olish uchun ushbu kvadrat tenglamaning ikkala tomonini ga bo'lish kifoya a ≠ 0 va olingan qisqartirilgan kvadrat tenglamaga Vyeta teoremasini qo‘llang. Misolni ko'rib chiqing, siz ildizlari bo'lgan berilgan kvadrat tenglamani tuzishingiz kerak x 1 = 3, x 2 = 4. Chunki x 1 = 3, x 2 = 4 kvadrat tenglamaning ildizlari x² + px + q= 0, keyin Vyeta teoremasi bo'yicha R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Bunga javoban biz yozamiz x² - 7 x+ 12 = 0. Ayrim masalalarni yechishda quyidagi teoremadan foydalaniladi.

Vyeta teoremasiga teskari teorema

Agar raqamlar R, q, x 1 , x 2 shunday x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, keyin x 1 va x2 tenglamaning ildizlaridir x² + px + q= 0. Chap tomonda almashtiring x² + px + q ning o'rniga R ifoda - ( x 1 + x 2), lekin o'rniga q- ish x 1 * x 2. Biz olamiz: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Shunday qilib, raqamlar bo'lsa R, q, x 1 va x 2 bu munosabatlar bilan bog'liq, keyin hamma uchun X tenglik x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), shundan kelib chiqadiki x 1 va x 2 - tenglamaning ildizlari x² + px + q= 0. Vyeta teoremasiga qarama-qarshi teoremadan foydalanib, ba'zan tanlash yo'li bilan kvadrat tenglamaning ildizlarini topish mumkin. Bir misolni ko'rib chiqing, x² - 5 x+ 6 = 0. Bu erda R = — 5, q= 6. Ikkita raqamni tanlang x 1 va x 2 shunday x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. 6 = 2 * 3 va 2 + 3 = 5 ekanligini e'tiborga olsak, teorema bo'yicha Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan holda biz shuni olamiz. x 1 = 2, x 2 = 3 - tenglamaning ildizlari x² - 5 x + 6 = 0.

Vyeta teoremasi

Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlarini belgilaymiz
(1) .
Keyin ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan koeffitsientga teng bo'ladi. Ildizlarning mahsuloti erkin muddatga teng:
;
.

Bir nechta ildizlar haqida eslatma

Agar (1) tenglamaning diskriminanti nolga teng bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega. Ammo, noqulay formulalarga yo'l qo'ymaslik uchun, odatda, bu holda (1) tenglama ikkita ko'p yoki teng ildizga ega ekanligi qabul qilinadi:
.

Bir dalil

(1) tenglamaning ildizlarini topamiz. Buning uchun kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani qo'llang:
;
;
.

Ildizlarning yig'indisini toping:
.

Mahsulotni topish uchun formulani qo'llaymiz:
.
Keyin

.

Teorema isbotlangan.

Ikki dalil

Agar va raqamlari (1) kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsa, u holda
.
Biz qavslarni ochamiz.

.
Shunday qilib, (1) tenglama quyidagi shaklni oladi:
.
(1) bilan taqqoslab, biz quyidagilarni topamiz:
;
.

Teorema isbotlangan.

Teskari Vyeta teoremasi

Ixtiyoriy raqamlar bo'lsin. U holda va kvadrat tenglamaning ildizlari
,
qayerda
(2) ;
(3) .

Vietaning qarama-qarshi teoremasini isbotlash

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
(1) .
(1) tenglamaning ildizlari bo'lsa va bo'lsa, va bo'lishini isbotlashimiz kerak.

(1) ga (2) va (3) ni almashtiring:
.
Biz tenglamaning chap tomonining shartlarini guruhlaymiz:
;
;
(4) .

(4) o'rniga:
;
.

(4) o'rniga:
;
.
Tenglama bajarildi. Ya'ni, raqam (1) tenglamaning ildizidir.

Teorema isbotlangan.

To'liq kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi

Endi to'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
(5) ,
qaerda va ba'zi raqamlar. Va .

(5) tenglamani quyidagilarga ajratamiz:
.
Ya'ni yuqoridagi tenglamani oldik
,
qayerda; .

U holda to'liq kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi.

To'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini belgilaymiz
.
Keyin ildizlarning yig'indisi va mahsuloti quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
;
.

Kubik tenglama uchun Vyeta teoremasi

Xuddi shunday, biz kub tenglamaning ildizlari o'rtasida bog'lanishlarni o'rnatishimiz mumkin. Kub tenglamasini ko'rib chiqing
(6) ,
bu yerda , , , ba'zi raqamlar. Va .
Keling, bu tenglamani quyidagilarga ajratamiz:
(7) ,
qayerda , ,.
(7) tenglamaning (va (6) tenglamaning) ildizlari , , bo'lsin. Keyin

.

(7) tenglama bilan taqqoslab, biz quyidagilarni topamiz:
;
;
.

n-darajali tenglama uchun Vyeta teoremasi

Xuddi shunday n-darajali tenglama uchun , , ... , , ildizlari orasidagi bog‘lanishlarni topish mumkin.
.

n-darajali tenglama uchun Vyeta teoremasi quyidagi shaklga ega:
;
;
;

.

Ushbu formulalarni olish uchun tenglamani quyidagi shaklda yozamiz:
.
Keyin , , , ... da koeffitsientlarni tenglashtiramiz va erkin hadni solishtiramiz.

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.
SM. Nikolskiy, M.K. Potapov va boshqalar, Algebra: ta'lim muassasalarining 8-sinfi uchun darslik, Moskva, Ta'lim, 2006 yil.

Kvadrat tenglamani yechish usullaridan biri ilovadir VIETA formulalari, FRANCOIS VIETE sharafiga nomlangan.

U mashhur huquqshunos bo'lib, 16-asrda frantsuz qiroli bilan birga xizmat qilgan. Bo'sh vaqtlarida u astronomiya va matematikani o'rgangan. U kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatdi.

Formulaning afzalliklari:

1 . Formulani qo'llash orqali siz tezda yechim topishingiz mumkin. Chunki kvadratga ikkinchi koeffitsientni kiritish shart emas, keyin undan 4ac ayirish, diskriminantni topish, uning qiymatini ildizlarni topish formulasiga almashtirish kerak.

2 . Yechimsiz siz ildizlarning belgilarini aniqlashingiz, ildizlarning qiymatlarini olishingiz mumkin.

3 . Ikki yozuv tizimini hal qilib, ildizlarni o'zlari topish qiyin emas. Yuqoridagi kvadrat tenglamada ildizlarning yig'indisi ikkinchi koeffitsientning minus belgisi bilan qiymatiga teng. Yuqoridagi kvadrat tenglamadagi ildizlarning mahsuloti uchinchi koeffitsientning qiymatiga teng.

4 . Berilgan ildizlarga ko'ra kvadrat tenglama yozing, ya'ni teskari masalani yeching. Masalan, bu usul nazariy mexanika masalalarini yechishda qo'llaniladi.

5 . Etakchi koeffitsient birga teng bo'lganda formulani qo'llash qulay.

Kamchiliklari:

1 . Formula universal emas.

Vyeta teoremasi 8-sinf

Formula
Agar x 1 va x 2 berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 + px + q \u003d 0 bo'lsa, u holda:

Misollar
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - tenglamaning ildizlari x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Teskari teorema

Formula
Agar x 1 , x 2 , p, q raqamlari shartlar bilan bog'langan bo'lsa:

U holda x 1 va x 2 tenglamaning ildizlari x 2 + px + q = 0.

Misol
Uning ildizlari bo‘yicha kvadrat tenglama tuzamiz:

X 1 \u003d 2 -? 3 va x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Istalgan tenglama quyidagi ko'rinishga ega: x 2 - 4x + 1 = 0.