"Düzenli çokyüzlüler" konulu sunum - sunum. Geometri "düzenli çokyüzlüler" sunumu Düzenli çokyüzlüler sunumu

10. sınıfta geometri dersi

Doğru

çokyüzlü

Matematik yalnızca gerçeğe değil, aynı zamanda en yüksek güzelliğe de sahiptir - keskinleştirilmiş ve katı, son derece saf ve yalnızca sanatın en büyük örneklerinin karakteristik özelliği olan gerçek mükemmellik için çabalayan güzelliğe.

Bertrand Russell

Düzenli çokyüzlü

• tüm yüzleri eşit düzgün çokgenlere sahip olan ve her köşede aynı sayıda yüz buluşan dışbükey bir çokyüzlüdür.

Düzenli çokyüzlülerin özellikleri:

Çokyüzlü – dışbükey

Bütün yüzleri eşit düzgün çokgenlerdir

Her köşede aynı sayıda yüz birleşiyor

Ortak kenarlı iki yüzü içeren tüm dihedral açılar eşittir.

"edra" - kenar

"tetra" - 4

"altıgen" - 6

"okta" - 8

"İkosi" - 20

"dodeka" - 12

Düzenli çokyüzlülerin beş farklı türü vardır

Onikiyüzlü

dörtyüzlü

Ikozahedron

Altı yüzlü

Doğrunun adı

çokyüzlü

yüz sayısına göre belirlenir

Düzgün çokyüzlülerin yüzlerinin, köşelerinin ve kenarlarının özellikleri

EK 3

Düzenli çokyüzlüler formülü karşılar

dörtyüzlü

Altı yüzlü

Onikiyüzlü

Ikozahedron

Şaşırtıcı bir modelin keşfi

normal çokgenler için

Yüzlerin, köşelerin ve kenarların sayısıyla ilgili teorem

dışbükey çokyüzlü - 1755

Euleriyen

çokyüzlü karakteristik

Düzenli çokyüzlülerin kaç farklı türü vardır?

Bir tepe noktasında n düzlem açısı yakınsar,

ancak çokyüzlü bir açı oluşturmak için toplam

derece ölçüleri 360°'den az olmalıdır;

Hangi çokgenler normal çokyüzlülerin yüzleri olabilir?

Düzgün üçgenin açısı 60°'dir yani

bir zirve birleşebilir 3, 4 veya 5 doğru

üçgenler

dörtyüzlü

Ikozahedron

Yüzleri düzgün üçgen olan çokyüzlüler vardır

Düzenli bir çokyüzlünün tepe noktasında kaç yüz buluşabilir?

Karenin açısı 90°'dir yani bir zirve sadece birleşebilir 3 kare

Yüzleri düzenli dörtgen olan çokyüzlüler vardır

Altı yüzlü

Düzenli bir çokyüzlünün tepe noktasında kaç yüz buluşabilir?

Düzgün beşgenin açısı 108°'dir, yani bir zirve sadece birleşebilir 3 doğru

Pentagon

Yüzleri düzenli beşgen olan çokyüzlüler vardır

Onikiyüzlü

Platonik katılar

Tüm normal çokyüzlüler Antik Yunan'da biliniyordu ve Öklid'in ünlü "Elementler" kitabının son, 13. kitabı onlara ithaf edilmiştir.

Düzenli çokyüzlülere genellikle Platonik katılar da denir - büyük antik Yunan düşünürü Platon tarafından verilen idealist dünya resminde, bunlardan dördü 4 elementi kişileştirmiştir: ateş, su, hava, toprak.

Beşinci çokyüzlü tüm evreni simgeliyordu - Latince'de ona bir şeyin en önemli, temel, gerçek özü anlamına gelen quinta essentia (quinta özü) demeye başladılar.

su

ateş

hava

Toprak

Evren

ateş

su

hava

Toprak

Evren

dörtyüzlü

ikosahedron

altı yüzlü

on iki yüzlü

Platon'un felsefi dünya resminde düzenli çokyüzlüler

Platon, dünyanın dört "elementten" (ateş, toprak, hava ve su) inşa edildiğine ve bu "elementlerin" atomlarının dört düzenli çokyüzlü şeklinde olduğuna inanıyordu.

Tetrahedron, tepe noktası yönlendirildiği için ateşi kişileştirdi

alev gibi yukarı

oktahedron - kişiselleştirilmiş hava

Figürlerin en sağlamı olan küp dünyayı kişileştiriyordu

İkosahedron - en akıcı - kişileştirilmiş su olarak

dodecahedron tüm dünyayı simgeliyordu

Salvador Dali'nin "Son Akşam Yemeği" tablosunun yazıldığı tuval, altın rengi bir dikdörtgen şeklindedir. Sanatçı, on iki havarinin figürlerini yerleştirmek için daha küçük altın dikdörtgenler kullandı. Resmin ortasında bir dodecahedron var.

Dünyanın Icosaidro-dodecaidron yapısı

Platon ve Kepler'in, düzenli çokyüzlülerin çağımızdaki dünyanın uyumlu yapısıyla bağlantısı hakkındaki fikirleri, 80'li yılların başında ortaya çıkan ilginç bir bilimsel hipotezle devam ettirildi. Moskova mühendisleri V. Makarov ve V. Morozov tarafından ifade edildi. Dünyanın çekirdeğinin, gezegende meydana gelen tüm doğal süreçlerin gelişimini etkileyen, büyüyen bir kristalin şekline ve özelliklerine sahip olduğuna inanıyorlar. Bu kristalin ışınları, daha doğrusu kuvvet alanı, Dünya'nın ikosahedron-dodecahedron yapısını belirler. Bu, yerkabuğunda, kürede yazılı olan düzenli çokyüzlülerin projeksiyonlarının ortaya çıkmasıyla kendini gösterir: ikosahedron ve dodekahedron.

Şaşırtıcı derecede az sayıda normal çokyüzlü var, ancak bu çok mütevazı ekip çeşitli bilimlerin derinliklerine girmeyi başardı.

L. Carroll

Ev ödevi:

Düzenli bir çokyüzlünün modelini yapın ve yüzey alanını hesaplayın.

İnternet kaynakları:

900igr.net

http://www.nips.riss-telecom.ru/poly/

Çokyüzlülerin dünyası http://lesavchen. ucoz.ru/

Tanım: Dışbükey çokyüzlüye denir.
tüm yüzleri doğruysa doğrudur
eşit düzenli çokgenler ve
her köşesinde aynı şey birleşir
aynı sayıda kaburga. Doğru
Yalnızca beş çokyüzlü vardır: tetrahedron,
altı yüzlü, oktahedron, dodekahedron, ikosahedron.

dörtyüzlü
Oktahedron
Bir tetrahedron, yüzleri olan en basit çokyüzlüdür
bunlar dört üçgen. sen
tetrahedronun 4 yüzü, 4 köşesi ve 6 ayrıtı vardır. Dörtyüzlü, y
tüm yüzleri eşkenar olan
üçgenler denir
doğru. Doğru olan
tetrahedron kenarlardaki tüm dihedral açılar ve
köşelerdeki tüm üçgen açılar eşittir.
Oktahedron - 8 üçgen yüze, 12 kenara, 6
köşelerde, her köşede 4 kenar birleşir.

Düzenli çokyüzlülere örnekler:

Ikozahedron
Küp
Icosahedron - düzenli dışbükey
çokyüzlü, yirmiyüzlü. Her biri 20
yüzler temsil eder
eşkenar üçgen. Kenar sayısı
30, köşe sayısı - 12. İkosahedron
59 yıldız şekli.
Bir küp düzenli bir çokyüzlüdür ve her yüzü
bu bir kare. Verşin -
8, Kenarlar - 12, Yüzler - 6.

Düzenli çokyüzlülere örnekler:

Onikiyüzlü
Dodecahedron - oluşur
on iki doğru
onun olan beşgenler
kenarlar.
Dodecahedronun her köşesi
sağdaki üçün en üstünde
beşgenler. Böylece,
dodecahedronun 12 yüzü vardır
(beşgen), 30 kenar ve 20
köşeler (her birinde 3 kenar birleşir).

Özellikler ve formüller:

Düzenli bir tetrahedronun simetri unsurları:
Düzenli bir tetrahedronun merkezi yoktur
simetri. Ama üç ekseni var
simetri ve altı düzlem
simetri.

Düzenli bir oktahedronun simetri unsurları:

Düzenli bir oktahedronun bir merkezi vardır
simetri - eksenlerinin kesişme noktası
simetri. 9 uçaktan üçü
tetrahedronun simetrileri geçiyor
oktahedronun her 4 köşesi
bir uçak. Altı uçak
simetriler iki köşeden geçer,
aynı yüze ait olmayan ve
karşıt kaburgaların ortası.

Düzenli bir ikosahedronun simetri unsurları:

Düzenli bir ikosahedronun 15 ekseni vardır
her biri geçen simetriler
karşıtların ortasından
paralel kaburgalar. Kesişim noktası
ikosahedronun tüm simetri eksenlerinin
simetri merkezi. Yüzeyleri
simetri de 15. Düzlemler
simetriler dörtten geçer
Aynı düzlemde bulunan köşeler ve
Zıt paralellerin orta noktaları
pirzola

Küp simetri elemanları:

Küpün bir simetri merkezi vardır.
köşegenlerinin kesişme noktası da
Simetri merkezinden 9 eksen geçer
simetri. Bir küpün simetri düzlemleri
ayrıca 9 ve ikisinden de geçiyorlar
zıt kaburgalar.

Düzenli bir dodecahedronun simetri unsurları:

Düzenli bir dodecahedronun bir merkezi vardır
simetri ve 15 simetri ekseni. Her biri
eksenlerin her biri orta noktalardan geçer
paralel kaburgaların karşısında.
Dodecahedronun 15 düzlemi vardır
simetri. Uçaklardan herhangi biri
Simetri her yüzde çalışır
üst ve orta kısımdan
karşı kaburga.

Tüm bilgiler şu kaynaklardan alınmıştır:

http://licey102.k26.ru/
http://math4school.ru
wikipedia.org
10-11. sınıflar için geometri ders kitabı

Düzenli ve yarı düzenli çokyüzlüler

Faaliyetinde, kişi her yerde mekansal figürlerin şeklini, boyutunu ve göreceli konumunu inceleme ihtiyacıyla karşı karşıya kalır. Önemli bir cisim sınıfı, sınırları çokgenlerden oluşan çokyüzlü cisimler tarafından oluşturulur. Çok yönlü formlardan oluşan geniş okyanusta, beş düzenli çokyüzlü veya Platonik katı, mükemmellikleriyle öne çıkıyor.

Çokyüzlü - her tarafı yüz adı verilen düz çokgenlerle sınırlanan geometrik bir gövde.

Yüzlerin kenarlarına çokyüzlünün kenarları, kenarların uçlarına ise çokyüzlünün köşeleri denir. Yüz sayısına göre tetrahedronlar, pentahedronlar vb. ayırt edilir.

Bir çok yüzlü, her bir yüzünün düzleminin bir tarafında tamamen yer alıyorsa dışbükey olarak adlandırılır. Dışbükey bir çokyüzlüye, tüm yüzleri düzenli aynı çokgenler ise ve köşelerdeki tüm çokyüzlü açılar eşitse, düzenli denir.

Tetrahedron (Yunanca'dan tetra – dört ve hedra – yüz) 4 eşkenar üçgenden oluşan düzenli bir çokyüzlüdür.

Beyaz fosfor kristalleriP4 moleküllerinden oluşur Böyle bir molekül tetrahedron şeklindedir. Laktik asidin ayna izomerlerinin molekülleri de tetrahedronlardır. Metanın kristal kafesi tetrahedron şeklindedir. Metan renksiz bir alevle yanar. Hava ile patlayıcı karışımlar oluşturur. Yakıt olarak kullanılır.

Sfalerit - çinko sülfür (ZnS).Bu mineralin kristalleri tetrahedron şeklindedir, daha az sıklıkla - eşkenar dörtgen dodekahedronlar

Küp (altı yüzlü)

Küpün 8 köşesinin her biri 3 karenin tepe noktasıdır.

Küpün eşit uzunlukta 12 ayrıtı vardır.

Simetri merkeziKüpün köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Simetri merkezinden geçen 9 simetri ekseni vardır. Bir küpün simetri ekseni, aynı yüze ait olmayan paralel kenarların orta noktalarından veya karşıt yüzlerin köşegenlerinin kesişme noktasından geçebilir.

Küp NaCl sofra tuzu kristallerinin şeklini taşır.

Birçok metalin kristal kafesleri küp şeklindedir ( Li, Na, Cr, Pb, Al, Au ve diğerleri)

Oktahedron (Yunanca okto - sekiz ve hedra - yüz kelimesinden) - 8 eşkenar üçgenden oluşan düzenli bir çokyüzlü.

Tek bir potasyum alüminyum kuvars kristali oktahedral bir şekle sahiptir ve formülü şu şekildedir: K (AL (SO 4)2) * 12 H 2 O . Kumaşları aşındırmak ve deriyi işlemek için kullanılırlar.

Polimer karbon molekülünün grafit ile birlikte hallerinden biri elmastır.Elmasların kesim şekli genellikle bir oktahedrondur.

Elmas (Yunanca'dan adamas - yok edilemez) oktahedron şeklinde güçlü bir parlaklığa sahip renksiz veya renkli bir kristaldir.

Elmas kristalleri dev polimer molekülleridir ve genellikle oktahedron, eşkenar dörtgen dodekahedron veya daha az yaygın olarak küp veya tetrahedron şeklindedir.

Dodecahedron (Yunanca dodeka'dan - on iki ve hedra – yüz), on iki eşkenar beşgenden oluşan düzenli bir çokyüzlüdür. Dodecahedronun 20 köşesi ve 30 kenarı vardır

Çocuk felci virüsüon iki yüzlü bir şekle sahiptir. Yalnızca insan ve primat hücrelerinde yaşayabilir ve çoğalabilir.

Mikroskobik düzeyde, dodekahedron ve ikosahedron DNA'nın göreceli parametreleridir. DNA molekülünün dönen bir küp olduğunu da görebilirsiniz. Küp belirli bir modele göre sırayla 72 derece döndürüldüğünde, bir ikosahedron elde edilir ve bu da on iki yüzlü bir çift oluşturur. Böylece, DNA sarmalının çift sarmalı iki yönlü yazışma prensibi üzerine inşa edilmiştir: ikosahedron'u dodekahedron, ardından tekrar ikosahedron takip eder ve bu şekilde devam eder. Küpün içindeki bu dönüş bir DNA molekülü oluşturur.

Dan Winter'ın Heartmath adlı kitabı, DNA molekülünün dodekahedronlar ve ikosahedronların ikili ilişkilerinden oluştuğunu gösteriyor.

Ikozahedron - 20 düzgün üçgenden oluşan düzenli bir dışbükey çokyüzlü. İkosahedronun 30 kenarı vardır.

Platon, diyaloglarından birinde düzenli çokyüzlüleri 4 elementle ilişkilendirdi. Tetrahedron ateşe, küp dünyaya, oktahedron havaya ve ikosahedron suya karşılık geliyordu. Dodecahedron beşinci element olan etere karşılık geliyordu.

Sonsuz sayıda düzenli çokgen vardır: her biri için N =>3 doğru N – bir kare (ve benzerliğe kadar yalnızca bir tane). Yalnızca beş düzenli çokyüzlü vardır.

Dışbükey çokyüzlülerin belki de en önemli özelliği 1620 civarında Rene Descartes tarafından keşfedildi. aynı formül Leonhard Euler tarafından köşe sayısına bağlı olarak dışbükey çokyüzlülerin türlerini tanımlarken yeniden keşfedildi.

Dışbükey bir çokyüzlünün köşe sayısı B, kenarlarının sayısı P ve yüzlerin sayısı G olsun. O halde V-P+G=2 eşitliği doğrudur.

Bu bu sayıya çokyüzlünün Euler karakteristiği denir.

Ancak çokyüzlülerin tarihi beş düzenli cisimle bitmedi. Platon'un düzenli katılarının ardından Arşimet'in yarı düzenli katıları keşfedildi.

Arşimet katıları yarı düzenli, homojen dışbükey çokyüzlülerdir, yani tüm çokyüzlü açıları eşit olan ve yüzleri çeşitli türlerde düzenli çokyüzlüler olan dışbükey çokyüzlülerdir (bu bakımdan yüzleri düzenli çokgen olan Platonik katılardan farklıdırlar) aynı türden). On üç yarı düzenli dışbükey çokyüzlünün keşfi Arşimet'e atfedilir. Johannes Kepler de bu cisimlerin teorisi üzerinde çalıştı.

Arşimet çokyüzlüsünün en basit örneği Arşimet prizmasıdır, yani kare yan yüzleri olan düzenli bir n-gonal prizmadır.

Başka bir örnek, n-gonal Arşimet antiprizması olarak adlandırılan şeydir. Düzenli bir n-gonal prizmanın (n>4) tabanlarından birinin, prizmanın ekseni etrafında bir açıyla döndürülmesi ve ardından bu tabanın her bir köşesinin segmentlerle diğerinin en yakın köşelerine bağlanması durumunda elde edilebilir. temel; bu durumda prizmanın yüksekliği, bu bölümler tabanın kenarına eşit olacak şekilde seçilmelidir (başka bir deyişle antiprizmanın yan yüzleri düzgün üçgenler olmalıdır). N'yi değiştirerek iki sonsuz Arşimet polihedra serisi elde ederiz - prizmalar ve antiprizmalar.

En basit şekiller, normal çokyüzlülerden, çokyüzlünün köşelerinin düzlemlerle kesilmesinden oluşan "kesme" yoluyla elde edilir.

Bir tetrahedronun köşelerini, her biri bir tepe noktasından çıkan kenarlarının üçte birini kesen düzlemlerle kesersek, sekiz yüzü olan kesik bir tetrahedron elde ederiz. Bunlardan dördü düzgün altıgen ve dördü düzgün üçgendir. Bu çokyüzlünün her köşesinde üç yüz buluşuyor.

Bir futbol topunun yüzeyinin kesik bir ikosahedron yüzeyi şeklinde yapıldığını lütfen unutmayın.

Yarı düzenli çokyüzlüler elde etmenin ikinci yolu, küpün parçalarını, bir köşeden çıkan kenarlarının orta noktalarından geçen bir düzlemle kesmektir. Sonuç, küpoktahedron adı verilen yarı düzenli bir çokyüzlüdür. Yüzleri küp gibi altı kare ve oktahedron gibi sekiz düzgün üçgenden oluşuyor.

Üçüncü yöntem ise birinci ve ikinci yöntemlerin birleşimidir. Bir tepe noktasından çıkan kenarların orta noktalarından kesme düzlemleri çizin ve bir "kesme" işlemi gerçekleştirin.

İlginçtir ki ikinci yarıda XX V. Başka bir Arşimet katısı keşfedildi - Platonik katının benzer şekilde kesilmesiyle elde edilemeyen ve bu nedenle 2000 yıl boyunca fark edilmeyen bir psödorombokübooktahedron.

20. yüzyılın 50'li yılların sonlarında - 20. yüzyılın 60'lı yıllarının başlarında, birkaç matematikçi neredeyse aynı anda, birbirlerinden bağımsız olarak, bir psödorhombocubooctahedronun varlığına dikkat çekti. Sözde eşkenar dörtgen, bir küpün yüzlerinden ve buna 12 karenin daha eklendiği bir oktahedrondan oluşur.

Alman gökbilimci Johannes Kepler'in Güneş sisteminin bazı özelliklerini normal çokyüzlülerin özellikleriyle ilişkilendirdiği kozmolojik hipotezi çok orijinaldir. Kepler, o zamanlar bilinen altı gezegen arasındaki mesafelerin, beş düzenli dışbükey çokyüzlünün boyutları cinsinden ifade edildiğini öne sürdü. Bu hipoteze göre gezegenlerin döndüğü her bir "gök küresi" çiftinin arasına Kepler, Platonik katılardan birini yazmıştır. Güneş'e en yakın gezegen olan Merkür küresinin etrafında bir oktahedron tanımlanmaktadır. Bu oktahedron, çevresinde ikosahedron'un tanımlandığı Venüs küresine yazılmıştır. Dünyanın küresi ikosahedron etrafında, dodekahedron ise bu küre etrafında tanımlanmaktadır.

Dodecahedron, çevresinde tetrahedronun tanımlandığı Mars küresinde yazılıdır. Küpün içine yazılan Jüpiter küresi, tetrahedronun etrafında tanımlanmaktadır. Son olarak küpün etrafında Satürn'ün küresi anlatılmaktadır.Bu model kendi zamanına göre oldukça makul görünüyordu. Şu anda bu teori tamamen reddedildi.

Yıldız oktahedron.Leonardo Da Vinci tarafından keşfedilen bu yıldız, yaklaşık 100 yıl sonra I. Kepler tarafından yeniden keşfedilmiş ve ona sekizgen bir yıldız olan “Stella octangula” adını vermiştir. Bu nedenle oktahedronun ikinci adı "Kepler'in stella octangula'sı"dır. Oktahedronun yalnızca bir yıldız şekli vardır. İki tetrahedronun bağlantısı olarak düşünülebilir.

Büyük yıldız şeklindeki dodecahedron, Kepler-Poinsot katıları ailesine, yani düzenli dışbükey olmayan çokyüzlülere aittir. Büyük yıldız şeklinde dodekahedronun yüzleri, küçük yıldız şeklinde dodekahedronun yüzleri gibi pentagramlardır. Her köşenin birbirine bağlı üç yüzü vardır. Büyük yıldız şekilli dodekahedronun köşeleri, tanımlanan dodekahedronun köşeleriyle çakışmaktadır. Büyük yıldız şeklinde dodecahedron ilk kez 1619'da Kepler tarafından tanımlandı.

Kepler elde ettiği rakamın iki katı olduğunun farkında değildi. "Büyük dodecahedron" olarak adlandırılan çokyüzlü, Kepler'in yıldız figürlerinden iki yüz yıl sonra Fransız geometri uzmanı Louis Punchon tarafından inşa edildi.

yıldız şeklinde ikosahedron. İkosahedron'un yirmi yüzü vardır. Bunların her biri süresiz olarak devam ettirilirse, vücut çok çeşitli bölmelerle (yüzlerin düzlemleriyle sınırlı uzay parçaları) çevrelenecektir. İkosahedronun tüm yıldız şekilli formları, bu tür bölmelerin orijinal gövdeye eklenmesiyle elde edilebilir. İkosahedronun kendisi hariç, yüzlerinin uzantıları, on farklı şekil ve boyuttaki 20+30+60+20+60+120+12+30+60+60 bölmeyle uzaydan ayrılmıştır. Büyük ikosahedron (şekle bakın), son altmış tanesi hariç tüm bu parçalardan oluşur.

İkozidodekahedronun 32 yüzü vardır; bunların 12'si normal beşgen yüz ve geri kalan 20'si düzgün üçgendir.

İnsanlık tarihi boyunca düzenli çokyüzlüler, formlarının simetrisi, bilgeliği ve mükemmelliğiyle meraklı zihinleri şaşırtmaktan asla vazgeçmedi.

Slayt 1

Slayt 2

UZAYDA SİMETRİ “Simetri, insanın düzeni, güzelliği ve mükemmelliği kavramaya ve yaratmaya çalıştığı fikirdir” (G. Weil) Simetri (“orantılılık”) herhangi bir dönüşüm sırasında ortaya çıkan yazışma, değişmezliktir (değişmezlik). Örneğin, bir cismin küresel simetrisi, bir noktayı yerinde tutarak uzayda rastgele açılarla döndürülmesi durumunda cismin görünümünün değişmeyeceği anlamına gelir. Lenardo Da Vinci'nin "Vitruvius Adamı" (1490, Venedik)

Slayt 3

UZAYDA SİMETRİ Eğer O, AA1 doğru parçasının ortası ise, A ve A1 noktaları O noktasına (simetri merkezi) göre simetrik olarak adlandırılır. O noktası kendisine simetrik kabul edilir. bir A1

Slayt 4

UZAYDA SİMETRİ Düz çizgi AA1 doğru parçasının ortasından geçiyorsa ve bu parçaya dikse, A ve A1 noktalarına bir düz çizgiye (simetri ekseni) göre simetrik denir. Bir a çizgisinin her noktasının kendisine simetrik olduğu kabul edilir. A1

Slayt 5

UZAYDA SİMETRİ A ve A1 noktaları, eğer bu düzlem AA1 doğru parçasının ortasından geçiyorsa ve bu parçaya dik ise, bir düzleme (simetri düzlemi) göre simetrik olarak adlandırılır. Düzlemin her noktasının kendisine simetrik olduğu kabul edilir

Slayt 6

UZAYDA SİMETRİ Bir şeklin her noktası aynı şeklin bir noktasına göre simetrikse, bir noktaya (düz çizgi, düzlem) şeklin simetri merkezi (eksen, düzlem) denir. Bir şeklin bir simetri merkezi (eksen, düzlem) varsa, o zaman merkezi (eksenel, ayna) simetriye sahip olduğu söylenir.

Slayt 7

PLAKA ŞEKİLLERİNİN SİMETRİ ÖRNEKLERİ Paralelkenarın yalnızca merkezi simetrisi vardır. Simetri merkezi köşegenlerin kesişme noktasıdır.Eşkenar yamuğun yalnızca eksenel simetrisi vardır. Simetri ekseni yamuk tabanlarının orta noktalarından çizilen bir diktir.Eşkenar dörtgen hem merkezi hem de eksenel simetriye sahiptir. Simetri ekseni köşegenlerinden herhangi biridir; simetri merkezi - kesişme noktaları

Slayt 8

DÜZENLİ POLİHEDRONLAR - 5 PLATON KATILARI En uzak galaksinin sakinleri bile, bizim bilmediğimiz düzenli bir dışbükey çokyüzlü şekline sahip olan zarları oynayamazlar. M. Gardner Bir dışbükey çokyüzlüye, eğer tüm yüzleri eşit düzenli çokgenlerse ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli denir. Ayrıca, normal bir çokgenin tüm kenarları eşittir, ortak kenarlı iki yüzü içeren tüm dihedral açılar gibi. n > veya = 6 için yüzleri n-gon olan düzgün bir çokyüzlü mevcut değildir!

Slayt 9

DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ Dört eşkenar üçgenden oluşur. Köşelerinin her biri üç üçgenin tepe noktasıdır. Her köşedeki düzlem açılarının toplamı tam olarak 180°'dir. Simetri elemanları: Tetrahedronun bir simetri merkezi yoktur, ancak 3 simetri ekseni ve 6 simetri düzlemi vardır. S tam Hacim Tepe Noktalarının Yüksekliği – 4 Yüz – 6 Kenar – 4

Slayt 10

KÜP Altı kareden oluşur. Küpün her köşesi üç karenin tepe noktasıdır. Her köşedeki düzlem açılarının toplamı tam olarak 270°'dir. 6 yüz, 8 köşe ve 12 kenar Simetri unsurları: Küpün bir simetri merkezi vardır - küpün merkezi, 9 eksen ve R açıklaması simetri düzlemleri. çevre S dolu. tamam

Slayt 11

DÜZGÜN OKTAHEDRON Sekiz eşkenar üçgenden oluşur. Oktahedronun her köşesi dört üçgenin tepe noktasıdır. Her köşedeki düzlem açılarının toplamı 240°'dir. Simetri unsurları: Oktahedronun bir simetri merkezi vardır - oktahedronun merkezi, 9 simetri ekseni ve 9 simetri düzlemi 8 yüz 6 köşe 12 kenar

G 2-9 N.Yu grubunun bir öğrencisi tarafından tamamlandı. Koblyuk

Baş E.V. Morozova

Tula 2010

"Matematik yalnızca gerçeğe değil, aynı zamanda en yüksek güzelliğe de sahiptir; keskinleştirilmiş ve katı, son derece saf ve yalnızca sanatın en büyük örneklerinin karakteristik özelliği olan gerçek mükemmellik için çabalayan güzelliğe."

Bertrand Russell

Çok yüzlü denir doğru, Eğer:

• Dışbükey.
• Bütün yüzleri eşit düzgün çokgenlerdir.
• Her köşe noktasında aynı sayıda yüz birleşir.
• Tüm dihedral açıları eşittir.

Sadece beş tane var düzenli çokyüzlüler :

• Dört yüzlü (dört yüzlü)
• Küp (altıgen)
• Oktahedron (oktahedron)
• Dodecahedron (dodecahedron)
• Icosahedron (yirmi yüzlü)

Düzenli çokyüzlü mümkün olan en büyük simetriye sahip dışbükey bir çokyüzlüdür.

Antik çağlardan beri güzellik düşüncelerimiz simetriyle ilişkilendirilmiştir. Bu muhtemelen insanların çokyüzlülere olan ilgisini açıklıyor - seçkin düşünürlerin dikkatini çeken şaşırtıcı simetri sembolleri.

Düzenli çokyüzlülerin tarihi eski zamanlara kadar uzanır. Pisagor ve öğrencileri düzenli çokyüzlüler üzerinde çalıştılar. Bu figürlerin güzelliği, mükemmelliği ve uyumu karşısında hayrete düştüler. Pisagorcular düzenli çokyüzlüleri ilahi figürler olarak görüyorlardı ve onları felsefi yazılarında kullanıyorlardı.

Düzenli çokyüzlülerden en eski sözlerden biri Platon'un (MÖ 427-347) "Timaus" adlı eserindedir.

Bu nedenle düzenli çokyüzlülere Platonik katılar da denir. Düzenli çokyüzlülerin her biri ve toplamda beş tane vardır; Platon dört "dünyevi" elementle ilişkilendirilir: toprak (küp), su (ikosahedron), ateş (tetrahedron), hava (oktahedron) ve ayrıca "dünya dışı" ile. öğe - gökyüzü (dodecahedron).

Platon'un zamanına gelindiğinde, antik felsefede dört element (elementler) kavramı - maddi dünyanın temel ilkeleri - olgunlaşmıştı: ateş , hava , su Ve kara .

Küpün şekli dünyanın atomlarıdır, çünkü hem dünya hem de küp, hareketsizlik ve stabilite ile ayırt edilir.

İkosahedronun şekli su atomlarıdır çünkü. Su, akışkanlığıyla ayırt edilir ve tüm düzenli cisimler arasında ikosahedron en "yuvarlanan" olanıdır.

Oktahedronun şekli hava atomlarından oluşur çünkü hava ileri geri hareket eder ve oktahedron aynı anda farklı yönlere yönlendirilmiş gibi görünür.

Dörtyüzlü şekli ateş atomlarıdır çünkü. tetrahedron en keskin olanıdır, görünüşe göre farklı yönlere doğru koşuyor.

Platon, beşinci elementi - "beşinci öz" - atomlarına topa en yakın olanı olarak oniki yüzlü şekil verilen dünya eterini tanıtıyor.

Platonik katılara denir düzenli homojen dışbükey çokyüzlüler, yani tüm yüzleri ve açıları eşit olan dışbükey çokyüzlüler ve yüzler düzenli çokgenlerdir.

Platonik katılar, düz düzenli çokgenlerin üç boyutlu bir analogudur. Bununla birlikte, iki boyutlu ve üç boyutlu durumlar arasında önemli bir fark vardır: Sonsuz sayıda farklı düzgün çokgen vardır, ancak yalnızca beş farklı düzgün çokyüzlü vardır.

MÖ 429 – 347 civarı

yüzleri düzenli olan dışbükey bir çokyüzlü

kenar sayıları aynı olan çokgenler ve her biri

aynı sayıda kenarın birleştiği tepe noktasında.

Ikozahedron

dörtyüzlü

Oktahedron

Altı yüzlü

Onikiyüzlü

Platon'un bedeni

Yüz geometrisi

Sayı

dörtyüzlü

Ikozahedron

Altı yüzlü

Onikiyüzlü

Euler formülü G + B – P = 2

Tetrahedronun yüzeyi her köşede üç tane buluşan dört eşkenar üçgenden oluşur.

sen düzenli tetrahedron tüm yüzler eşkenar üçgendir, kenarlardaki tüm dihedral açılar ve köşelerdeki tüm üçgen açılar eşittir.

Dört yüzlünün özellikleri :

• Bir oktahedron bir tetrahedrona yazılabilir, ayrıca oktahedronun dört (sekizden) yüzü tetrahedronun dört yüzüyle birleştirilecek, oktahedronun altı köşesinin tümü tetrahedronun altı kenarının merkezleriyle birleştirilecektir.
• Kenarı x olan bir tetrahedron, kenarı x/2 olan yazılı bir oktahedron (merkezde) ve kenarı x/2 olan dört tetrahedradan (köşelerde) oluşur.
• Bir tetrahedronun dört köşesi küpün dört köşesiyle aynı hizada olacak şekilde bir küpün içine iki şekilde yazılabilir.

Dört yüzlünün altı kenarının tamamı küpün altı yüzünün tamamında yer alacak ve kare yüzün köşegenine eşit olacaktır.

• Bir tetrahedron bir ikosahedronun içine yazılabilir, ayrıca tetrahedronun dört köşesi ikosahedronun dört köşesi ile birleştirilecektir.

Düzenli çokyüzlü

Düzenli üçgen

Tepe yüzleri

Kaburga uzunluğu

Yüzey alanı

Simetrinin unsurları:

Dört yüzlünün simetri merkezi yoktur.

ancak 3 simetri ekseni ve 6 simetri düzlemi vardır

Tanımlanan kürenin yarıçapı:

Yazılı kürenin yarıçapı:

Yüzey alanı:

Tetrahedron hacmi:

Küp veya altı yüzlü- her yüzü kare olan düzenli bir çokyüzlü. Paralel boru ve prizmanın özel bir durumu. Küpün her köşede üçü buluşan altı kare yüzü vardır.

Küp özellikleri :

• Bir tetrahedronu bir küpün içine iki şekilde yerleştirebilirsiniz; tetrahedronun dört köşesi küpün dört köşesiyle aynı hizada olacaktır. Dört yüzlünün altı kenarının tamamı küpün altı yüzünün tamamında yer alacak ve kare yüzün köşegenine eşit olacaktır.
• Küpün dört bölümü düzgün altıgenlerdir; bu bölümler küpün merkezinden dört köşegenine dik olarak geçer.
• Bir küpün içine bir oktahedron yerleştirebilirsiniz; oktahedronun altı köşesinin tümü küpün altı yüzünün merkezleriyle aynı hizada olacaktır.
• Bir küp bir oktahedronun içine yazılabilir ve küpün sekiz köşesinin tümü, oktahedronun sekiz yüzünün merkezlerine yerleştirilecektir.
• Bir ikosahedron bir küpün içine yazılabilir ve ikosahedron'un karşılıklı olarak paralel altı kenarı sırasıyla küpün altı yüzüne yerleştirilecek, geri kalan 24 kenar küpün içinde, ikosahedronun on iki köşesinin tamamı küpün altı yüzünde yer alacak .

Düzenli çokyüzlü

Tepe yüzleri

Kaburga uzunluğu

Yüzey alanı

Simetrinin unsurları:

Küpün bir simetri merkezi vardır - küpün merkezi, 9 eksen

simetri ve 9 simetri düzlemi .

Tanımlanan kürenin yarıçapı:

Yazılı kürenin yarıçapı:

Küp yüzey alanı:

Küp hacmi:

S= 6 A 2

V =a 3

Oktahedron- beş normal çokyüzlüden biri.

Oktahedronun 8 yüzü vardır (üçgen),

12 kenar, 6 köşe (her köşede 4 kenar birleşir).

Oktahedronun her köşede dördü buluşan sekiz üçgen yüzü vardır. .

Oktahedronun özellikleri :

• Bir oktahedron bir tetrahedrona yazılabilir, ayrıca oktahedronun dört (sekizden) yüzü tetrahedronun dört yüzüyle birleştirilecek, oktahedronun altı köşesinin tümü tetrahedronun altı kenarının merkezleriyle birleştirilecektir.
• Kenarı y olan bir oktahedron, kenarı y:2 olan 6 oktahedradan (köşeler boyunca) ve kenarı y:2 olan 8 tetrahedradan (yüzler boyunca) oluşur
• Bir küpün içine bir oktahedron yazılabilir ve oktahedronun altı köşesinin tümü küpün altı yüzünün merkezleriyle aynı hizada olacaktır.
• Bir küp bir oktahedronun içine yazılabilir ve küpün sekiz köşesinin tümü, oktahedronun sekiz yüzünün merkezlerine yerleştirilecektir.

Düzenli çokyüzlü

üçgen

Tepe yüzleri

Çift çokyüzlü

Simetrinin unsurları:

Oktahedronun bir simetri merkezi vardır - oktahedronun merkezi, 9 simetri eksenleri ve 9 simetri düzlemi.

Tanımlanan kürenin yarıçapı:

Yazılı kürenin yarıçapı:

Yüzey alanı:

Oktahedron hacmi:

Ikozahedron- düzenli dışbükey çokyüzlü, yirmi kenarlı çokyüzlü, Platonik katılardan biri. 20 yüzün her biri eşkenar üçgendir. Kenar sayısı 30, köşe sayısı 12'dir. İkosahedronun yüzeyi, her köşede beş tane buluşan yirmi eşkenar üçgenden oluşur.

Özellikler :

• İkosahedron bir küpün içine yazılabilir, bu durumda ikosahedronun karşılıklı olarak paralel altı kenarı sırasıyla küpün altı yüzüne yerleştirilecek, kalan 24 kenar küpün içinde, ikosahedronun on iki köşesinin tamamı altı yüze uzanacak küpün
• Bir tetrahedron bir ikosahedron içine yazılabilir, ayrıca tetrahedronun dört köşesi ikosahedronun dört köşesi ile birleştirilecektir.
• Bir ikosahedron, bir dodecahedronun içine yazılabilir; ayrıca, ikosahedronun köşeleri, dodecahedronun yüzlerinin merkezleriyle aynı hizada olacaktır.
• Bir dodekahedronun bir ikosahedron içine yazılması mümkündür; ayrıca, dodecahedronun köşeleri icosahedronun yüzlerinin merkezleriyle aynı hizada olacaktır.

Düzenli çokyüzlü

Düzenli üçgen

Tepe yüzleri

Çift çokyüzlü

on iki yüzlü

Simetrinin unsurları:

İkosahedronun bir simetri merkezi vardır - ikosahedronun merkezi, 15 simetri ekseni ve 15 simetri düzlemi.

Tanımlanan kürenin yarıçapı:

Yazılı kürenin yarıçapı:

Yüzey alanı:

İkosahedronun hacmi:

Onikiyüzlü(dodecahedron) - normal bir çokyüzlü, on iki düzenli beşgenden oluşan üç boyutlu geometrik bir şekil. Dodecahedronun her köşesi, üç düzgün beşgenin tepe noktasıdır. Köşelerinde üçlü olarak birleşen on iki beşgen yüzü vardır.

Böylece, dodecahedronun 12 yüzü (beşgen), 30 kenarı ve 20 köşesi vardır (her birinde 3 kenar birleşir. 20 köşenin her birindeki düzlem açılarının toplamı 324°'dir).

On iki yüzlü, masa üstü rol yapma oyunlarında rastgele sayı üreteci (diğer zarlarla birlikte) olarak kullanılır.

Düzenli çokyüzlü

Düzenli beşgen

Tepe yüzleri

Çift çokyüzlü

ikosahedron

Simetrinin unsurları:

Dodecahedronun bir simetri merkezi vardır - dodecahedronun merkezi, 15 simetri ekseni ve 15 simetri düzlemi.

Tanımlanan kürenin yarıçapı:

Yazılı kürenin yarıçapı:

Yüzey alanı:

Dodekahedron hacmi:

Canlı doğada düzenli çokyüzlüler bulunur. Örneğin tek hücreli organizma Feodaria'nın iskeleti ( Circjgjnia icosahtdra ) Şekli bir ikosahedron'a benziyor.

Feodaria'nın bu doğal geometrisine ne sebep oldu? Görünüşe göre, tüm çokyüzlüler aynı sayıda yüze sahip olduğundan, en küçük yüzey alanına sahip en büyük hacme sahip olan ikosahedrondur. Bu özellik deniz organizmasının su sütununun basıncını aşmasına yardımcı olur.

Düzenli çokyüzlüler en "karlı" rakamlardır. Ve doğa bundan geniş ölçüde yararlanıyor. Bu, bazı kristallerin şekliyle doğrulanır.

Örneğin onsuz yapamayacağımız sofra tuzunu ele alalım. Suda çözünebildiği ve elektrik akımının iletkeni olarak görev yaptığı bilinmektedir. Ve sofra tuzu kristalleri ( NaCl ) küp şeklindedir.

Alüminyum üretiminde alüminyum-potasyum kuvars kullanılır. ( k [ Al ( BU YÜZDEN 4 ) 2 ]  12 H 2 Ö ), tek kristali düzenli bir oktahedron şeklindedir.

Sülfürik asit, demir ve özel tip çimento üretimi kükürt piritler olmadan tamamlanmaz ( FeS ). Bu kimyasalın kristalleri on iki yüzlüdür.

Antimon sodyum sülfat çeşitli kimyasal reaksiyonlarda kullanılır ( Hayır 5 ( SbO 4 ( BU YÜZDEN 4 )) - bilim adamlarının sentezlediği bir madde. Sodyum antimon sülfat kristali bir tetrahedron şekline sahiptir.

Son düzenli çokyüzlü - ikosahedron - bor kristallerinin şeklini taşır (İÇİNDE). Bir zamanlar birinci nesil yarı iletkenleri oluşturmak için bor kullanıldı.

Feodariya

( Circjgjnia icosahtdra )

"Şaşırtıcı derecede az sayıda normal çokyüzlü var, ancak bu çok mütevazı ekip çeşitli bilimlerin derinliklerine girmeyi başardı."

L. Carroll

Kullanılan malzemeler:

http://www.vschool.ru

http://center.fio.ru

http://gemsnet.ru

http://alzl.narod.ru

http://ru.wikipedia.org

Kullanılmış