Mozaiku Penrose, ose si arkitektët e Azisë Qendrore e parashikuan zbulimin e shkencëtarëve evropianë për pesë shekuj. Të ndryshme. Mozaiku Penrose dhe Mozaiku Simetrik i Modeleve të Lashta Islame

Mozaik Penrose, Pllaka Penrose - tjegulla jo periodike e avionit, struktura aperiodike të rregullta, pllaka e aeroplanit me rombe të dy llojeve - me kënde 72 ° dhe 108 ° ("rombe të trashë") dhe 36 ° dhe 144 ° ("hollë rombet"), të tilla (përpjesëtimet i binden "raportit të artë") që çdo dy romb ngjitur (d.m.th., që kanë një anë të përbashkët) nuk formojnë një paralelogram së bashku.Emërtuar pas Roger Penrose, i cili ishte i interesuar për problemin e "tjegullave", domethënë mbushjes së një aeroplani me figura të së njëjtës formë pa boshllëqe dhe mbivendosje.

Të gjitha pllakat e tilla janë jo periodike dhe lokalisht izomorfe me njëra-tjetrën (d.m.th., çdo fragment i kufizuar i një tjegull Penrose ndodh në çdo tjetër). "Vetëngjashmëria" - ju mund të kombinoni pllakat ngjitur të mozaikut në një mënyrë të tillë për të krijuar përsëri një mozaik Penrose.

Mund të vizatohen disa segmente në secilën prej dy pllakave në mënyrë që kur të vendoset mozaiku, skajet e këtyre segmenteve do të mbivendosen dhe disa familje të vijave të drejta paralele (shirita Amman) të formohen në plan.

Distancat midis vijave paralele ngjitur marrin saktësisht dy vlera të ndryshme (dhe për secilën familje të vijave paralele, sekuenca e këtyre vlerave është e ngjashme).

Mozaikët me rozë, të cilët kanë vrima, mbulojnë të gjithë rrafshin, me përjashtim të figurës së zonës së fundme. Është e pamundur të zmadhohet vrima duke hequr disa pllaka (të fundme), pas së cilës është e pamundur të shtrohet plotësisht pjesa e pambuluar.

Problemi zgjidhet duke shtruar me pllaka me figura që krijojnë një model të përsëritur periodikisht, por Penrose donte të gjente pikërisht një figurë të tillë që, kur shtronte një plan, të mos krijonte modele të përsëritura. Besohej se nuk ka pllaka të tilla nga të cilat do të ndërtoheshin vetëm mozaikë jo periodikë. Penrose zgjodhi shumë pllaka të formave të ndryshme, si rezultat, ishin vetëm 2 prej tyre, me "raportin e artë", i cili është baza e të gjitha marrëdhënieve harmonike. Këto janë forma romboide me kënde 108 ° dhe 72 °. Më vonë, figurat u thjeshtuan në formën e një rombi të thjeshtë (36 ° dhe 144 °), bazuar në parimin e "trekëndëshit të artë".

Modelet që rezultojnë kanë një formë kuazikristaline, e cila ka simetria boshtore Rendi i 5-të. Struktura e mozaikut është e lidhur me sekuencën Fibonacci.
( Wikipedia)

Mozaiku Penrose. Pika e bardhë shënon qendrën e simetrisë rrotulluese të rendit të 5-të: një rrotullim 72 ° rreth tij e transferon mozaikun në vetvete.

Zinxhirë dhe mozaikë (Revista Science and Life, 2005 # 10)

Së pari, merrni parasysh modelin e idealizuar të mëposhtëm. Le të vendosen grimcat në ekuilibër përgjatë boshtit të transportit z dhe të formojnë një zinxhir linear me periudhë e ndryshueshme, duke ndryshuar sipas ligjit të progresionit gjeometrik:

аn = a1 Dn-1,

ku a1 - periudha fillestare ndërmjet grimcave, n është numri rendor i periudhës, n = 1, 2,…, D = (1 + √5) / 2 = 1,6180339… është numri i raportit të artë.

Zinxhiri i ndërtuar i grimcave shërben si shembull i një kuazikristali njëdimensional me një renditje simetrie me rreze të gjatë. Struktura është absolutisht e renditur, ekziston një rregullim sistematik i grimcave në bosht - koordinatat e tyre përcaktohen nga një ligj. Në të njëjtën kohë, nuk ka përsëritje - periudhat midis grimcave janë të ndryshme dhe rriten gjatë gjithë kohës. Prandaj, struktura njëdimensionale e përftuar nuk ka simetri përkthimore, dhe kjo shkaktohet jo nga rregullimi kaotik i grimcave (si në strukturat amorfe), por nga raporti irracional i dy periudhave ngjitur (D është një numër irracional).

Një vazhdim logjik i strukturës së konsideruar njëdimensionale të një kuazikristali është një strukturë dydimensionale, e cila mund të përshkruhet me metodën e ndërtimit të mozaikëve (modeleve) jo periodike të përbërë nga dy elementë të ndryshëm, dy qeliza njësi. Ky mozaik u zhvillua në vitin 1974 nga një fizikan teorik nga Universiteti i Oksfordit. R. Penrose. Ai gjeti një mozaik me dy romba me anë të barabarta. Këndet e brendshme të rombit të ngushtë janë 36 ° dhe 144 °, dhe rombi i gjerë është 72 ° dhe 108 °.

Këndet e këtyre rombeve shoqërohen me raportin e artë, i cili shprehet algjebrikisht me ekuacionin x2 - x - 1 = 0 ose me ekuacionin y2 + y - 1 = 0. Rrënjët e këtyre ekuacioneve kuadratike mund të shkruhen në formë trigonometrike. :

x1 = 2cos36 °, x2 = 2cos108 °,
y1 = 2cos72 °, y2 = cos144 °.

Kjo formë jokonvencionale e paraqitjes së rrënjëve të ekuacioneve tregon se këto romba mund të quhen rombe të ngushtë dhe të gjerë të artë.

Në mozaikun Penrose, avioni është i mbuluar me rombe të artë pa boshllëqe dhe mbivendosje, dhe mund të përhapet pafundësisht në gjatësi dhe gjerësi. Por, për të ndërtuar një mozaik të pafund, duhet të respektohen disa rregulla, të cilat ndryshojnë dukshëm nga përsëritja monotone e të njëjtave qeliza njësi që përbëjnë kristalin. Nëse shkelet rregulli i montimit të rombit të artë, atëherë pas një kohe rritja e mozaikut do të ndalet, pasi do të shfaqen mospërputhje të pariparueshme.

Në mozaikun e pafund të Penrose, rombët e artë janë rregulluar pa periodicitet të rreptë. Sidoqoftë, raporti i numrit të rombeve të gjera prej ari me numrin e rombeve të ngushta ari është saktësisht i barabartë me numrin e arit D = (1 + √5) / 2 = = 1,6180339…. Meqenëse numri D është irracional, në një mozaik të tillë është e pamundur të veçohet një qelizë elementare me një numër të plotë rombesh të secilit lloj, përkthimi i të cilave mund të marrë të gjithë mozaikun.

Mozaiku Penrose ka hijeshinë e tij të veçantë si objekt i matematikës argëtuese. Pa hyrë në të gjitha aspektet e kësaj çështjeje, vërejmë se edhe hapi i parë - ndërtimi i një mozaiku - është mjaft interesant, pasi kërkon vëmendje, durim dhe një farë zgjuarsie. Dhe shumë shpikje dhe imagjinatë mund të tregohen nëse e bëni mozaikun me shumë ngjyra. Ngjyrosja, e cila kthehet menjëherë në lojë, mund të kryhet me shumë mënyra origjinale, variantet e të cilave janë paraqitur në figurat (më poshtë). Pika e bardhë shënon qendrën e mozaikut, një rrotullim 72 ° rreth të cilit e sjell atë në vetvete.

Mozaiku Penrose është një shembull i shkëlqyeshëm se sa ndërtimi i bukur, i vendosur në kryqëzimin e disiplinave të ndryshme, është i sigurt se do të përdoret. Nëse pikat nodale zëvendësohen me atome, mozaiku Penrose do të bëhet një analog i mirë i një kuazikristali dydimensional, pasi ka shumë veti karakteristike për një gjendje të tillë të materies. Dhe kjo është arsyeja pse.

Së pari, ndërtimi i mozaikut zbatohet sipas një algoritmi të caktuar, si rezultat i të cilit rezulton të jetë jo një strukturë e rastësishme, por e renditur. Çdo pjesë e kufizuar e saj ndodh në të gjithë mozaikun herë të panumërta.

Së dyti, në mozaik mund të dallohen shumë dhjetëkëndësha të rregullt me ​​të njëjtat orientime. Ata krijojnë një rend orientues me rreze të gjatë të quajtur quasiperiodic. Kjo do të thotë se ka ndërveprim midis strukturave të largëta të mozaikut që pajtojnë vendndodhjen dhe orientimin relativ të diamanteve në një mënyrë të mirëpërcaktuar, megjithëse të paqartë.

Së treti, nëse pikturoni vazhdimisht mbi të gjitha rombet me anët paralele me çdo drejtim të zgjedhur, atëherë ato formojnë një seri vijash të thyera. Përgjatë këtyre vijave të thyera, mund të vizatohen vija të drejta paralele, të ndara nga njëra-tjetra në afërsisht të njëjtën distancë. Për shkak të kësaj vetie, ne mund të flasim për disa simetri përkthimore në pllakat Penrose.

Së katërti, rombet e mbushura në mënyrë sekuenciale formojnë pesë familje me vija të ngjashme paralele, që kryqëzohen në kënde që janë shumëfisha të 72 °. Drejtimet e këtyre vijave të thyera korrespondojnë me drejtimet e anëve të një pesëkëndëshi të rregullt. Prandaj, mozaiku Penrose ka në një farë mase simetri rrotulluese të rendit të 5-të dhe në këtë kuptim është i ngjashëm me një kuazikristal.

Turp! Njerëzit e mesjetës tejkaluan shkencëtarët modernë. Menduam se matematika dhe kristalografia e avancuar ishin arritjet tona. Rezulton se asgjë e tillë - e gjithë kjo ishte tashmë gjysmë mijë vjet më parë. Për më tepër, shkenca moderne duket se nuk është tejkaluar nga matematikanët më të mirë, por nga artistë të thjeshtë. Epo, ndoshta jo shumë e thjeshtë ... Por megjithatë!

Jo, mirë, në fakt - matematikanët modernë janë të përfshirë në marrëzi të plotë! Më pas letra paloset 12 herë, më pas thuren me grep ekuacionet e Lorencit, më pas topthat përdredhen në formë krofash. Në përgjithësi, nga njerëzit seriozë, mbetën vetëm Perelman dhe Okunkov - e gjithë shpresa është tek ata ...

Por është interesante që njerëzit kanë arritur arritje matematikore në antikitet, ndonjëherë duke mos u dhënë fare rëndësi të veçantë. Është gjithashtu interesante që shkencëtarët po përsërisin të njëjtat zbulime "të vjetra" sot, pa dyshuar fare se po shpikin diçka që ekziston pa hamendjet e tyre për më shumë se një shekull.

Për shembull, matematikani anglez Roger Penrose doli me një gjë të tillë në 1973 - një mozaik të veçantë të formave gjeometrike. Ai u bë, në përputhje me rrethanat, mozaiku Penrose. Çfarë është kaq specifike në lidhje me të?

Mozaiku Penrose në versionin e krijuesit të tij. Është montuar nga dy lloje rombesh, njëri me kënd 72 gradë, tjetri me kënd 36 gradë. Fotografia prej saj rezulton të jetë simetrike, por jo periodike (ilustrim nga faqja en.wikipedia.org).

Mozaiku Penrose është një model i përbërë nga pllaka poligonale të dy formave specifike (rombe paksa të ndryshëm). Ata mund të shtrojnë një aeroplan të pafund pa boshllëqe.

Imazhi që rezulton duket sikur është një lloj stoli "ritmike" - një foto me simetri përkthimore. Kjo lloj simetrie do të thotë që në model mund të zgjidhni një pjesë të caktuar që mund të "kopjohet" në një aeroplan dhe më pas t'i kombinoni këto "kopje" me njëra-tjetrën me transferim paralel (me fjalë të tjera, pa rrotullim dhe pa zmadhim).

Sidoqoftë, nëse shikoni nga afër, mund të shihni se nuk ka struktura të tilla përsëritëse në modelin Penrose - është periodik. Por çështja nuk është iluzioni optik, por fakti që mozaiku nuk është kaotik: ai ka një simetri rrotulluese të rendit të pestë.

Shembuj të thuajse çeliqeve janë aliazhi AlMnPd dhe Al 60 Li 30 Cu 10 (ilustrim nga Paul J. Steinhardt).

Kjo do të thotë që imazhi mund të rrotullohet në një kënd minimal prej 360 / n gradë ku n- rendi i simetrisë, në këtë rast n= 5. Prandaj, këndi i rrotullimit, i cili nuk ndryshon asgjë, duhet të jetë shumëfish i 360/5 = 72 gradë.

Për rreth një dekadë, shpikja e Penrose u konsiderua pak më shumë se një abstraksion i lezetshëm matematikor. Megjithatë, në vitin 1984, Dan Shechtman, një profesor në Institutin izraelit të Teknologjisë (Technion), duke studiuar strukturën e një lidhjeje alumini-magnez, zbuloi se difraksioni ndodh në rrjetën atomike të kësaj substance.

Konceptet e mëparshme në fizikën e gjendjes së ngurtë përjashtuan një mundësi të tillë: struktura e modelit të difraksionit ka një simetri të rendit të pestë. Pjesët e tij nuk mund të kombinohen me transferim paralel, që do të thotë se nuk është fare kristal. Por difraksioni është karakteristik vetëm për rrjetën kristalore!

Si të jesh këtu? Pyetja nuk është e lehtë, kështu që shkencëtarët ranë dakord që ky opsion do të quhet kuazikristal - diçka si një gjendje e veçantë e materies.

I paraqitur këtu është një nga modelet e pllakave të paraqitura në një dorëshkrim arab të shekullit të 15-të. Studiuesit theksuan zonat e përsëritura me ngjyra. Të gjitha modelet gjeometrike të mjeshtrave arabë mesjetarë të studiuar nga Lou dhe Steinhardt bazohen në këto pesë elemente. Siç mund ta shihni, elementët përsëritës nuk përputhen domosdoshmërisht me kufijtë e pllakave (ilustrim nga Peter J. Lu).

Epo, e gjithë bukuria e zbulimit, e keni marrë me mend, është se një model matematikor ka qenë prej kohësh gati për të. Dhe, siç e keni kuptuar me siguri, ky është një mozaik Penrose. Por ky nuk është aspak dhjetë vjeç, por shumë më tepër. Kjo u bë e njohur vetëm në ditët tona, në agimin e shekullit XXI, dhe ky model doli të ishte shumë më i vjetër nga sa mund të imagjinohej.

Në vitin 2007, Peter J. Lu, një fizikant i Universitetit të Harvardit, u bashkua me një fizikant tjetër, Paul J. Steinhardt, por nga Universiteti Princeton, për të botuar një artikull në Science mbi mozaikët. Penrose (Lou duhet të jetë i njohur për lexuesit e rregullt të "Membranes " - ne kemi folur tashmë për zbulimet e tij të prerjes së diamantit të sëpatave të lashta dhe makinave të vjetra më komplekse). Duket se nuk ka shumë të papritura këtu: zbulimi i kuazikristaleve tërhoqi një interes të madh për këtë temë, gjë që çoi në shfaqjen e një grumbulli botimesh në shtypin shkencor.

Megjithatë, kulmi i punës është se ajo është larg nga të qenit të përkushtuar shkenca moderne... Dhe në përgjithësi - jo një shkencë.

Modelet "kuazikristaline" kanë gjetur vendin e tyre jo vetëm në arkitekturë. Këtu mund të shihni kopertinën e Kuranit të viteve 1306-1315 dhe vizatimin e fragmenteve gjeometrike mbi të cilat bazohet modeli. Ky dhe shembujt e mëposhtëm nuk korrespondojnë me grilat Penrose, por kanë simetri rrotulluese të rendit të pestë (ilustrim nga Peter J. Lu).

Lu tërhoqi vëmendjen te modelet që mbulojnë xhamitë në Azi, të ndërtuara në mesjetë. Këto dizajne lehtësisht të dallueshme janë bërë nga pllaka mozaiku. Ata quhen girihi (nga fjala arabe për "nyjë") dhe janë një model gjeometrik që është karakteristik për artin islam dhe përbëhet nga forma poligonale.

Për një kohë të gjatë besohej se këto modele u krijuan duke përdorur një sundimtar dhe busulla. Sidoqoftë, disa vjet më parë, ndërsa udhëtonte në Uzbekistan, Lu u interesua për modelet e mozaikut që zbukuronin arkitekturën mesjetare lokale dhe vuri re diçka të njohur në to.

Pas kthimit në Harvard, shkencëtari filloi të merrte në konsideratë motive të ngjashme në mozaikët në muret e ndërtesave mesjetare në Afganistan, Iran, Irak dhe Turqi.

Ai zbuloi se këto modele ishin pothuajse të njëjta dhe ishte në gjendje të nxjerrë në pah elementet bazë të girihëve të përdorur në të gjitha dizajnet gjeometrike. Përveç kësaj, ai gjeti vizatime të këtyre imazheve në dorëshkrimet e lashta, të cilat artistët e lashtë i përdornin si një lloj fletë mashtrimi për dekorimin e mureve.

Por e gjithë kjo, rezulton, nuk është aq e rëndësishme. Për të krijuar këto modele, ata përdorën jo konturet e thjeshta, të shpikura rastësisht, por figura të renditura në një rend të caktuar. Dhe kjo nuk është veçanërisht e habitshme.

Ajo që është vërtet interesante është se, pasi kishin harruar skema të tilla, njerëzit u takuan përsëri me ta më vonë. Po, po, modelet e lashta nuk janë asgjë më shumë se ato që shekuj më vonë do të quhen grila Penrose dhe do të gjenden në strukturën e kuazikristaleve!

Të njëjtat zona theksohen në këto imazhe, megjithëse ato janë fotografi nga një shumëllojshmëri e gjerë xhamish (ilustrim nga Peter J. Lu).

Në traditën islame, kishte një ndalim të rreptë për imazhin e njerëzve dhe kafshëve, prandaj, modelet gjeometrike janë bërë shumë të njohura në hartimin e ndërtesave. Mjeshtrit mesjetarë arritën ta bënin disi ndryshe. Por cili ishte sekreti i "strategjisë" së tyre - askush nuk e dinte. Pra, sekreti rezulton të jetë në përdorimin e mozaikëve të veçantë, të cilët munden, duke mbetur simetrik, të mbushin avionin pa u përsëritur.

Një tjetër "mashtrim" i këtyre imazheve është se, ndërsa "kopjojnë" skema të tilla në kisha të ndryshme sipas vizatimeve, artistëve do t'u duhej të pranonin në mënyrë të pashmangshme shtrembërimin. Por shkeljet e kësaj natyre janë minimale. Kjo shpjegohet vetëm me faktin se nuk kishte kuptim në vizatimet në shkallë të gjerë: gjëja kryesore është parimi me të cilin të ndërtohet një fotografi.

Për montimin e gjirishëve u përdorën pllaka të pesë llojeve (rombe dhjetë dhe pesëkëndëshe dhe "flutura"), të cilat ishin ndërtuar në mozaikun ngjitur me njëra-tjetrën pa hapësirë ​​të lirë midis tyre. Mozaikët e krijuar prej tyre mund të kishin simetri rrotulluese dhe përkthimore njëherësh, dhe vetëm simetri rrotulluese të rendit të pestë (d.m.th., ata ishin mozaikë Penrose).

Fragment i ornamentit të mauzoleumit iranian të vitit 1304. Në të djathtë është rindërtimi i giriçëve (ilustrim nga Peter J. Lu).

Pas ekzaminimit të qindra fotografive të monumenteve myslimane mesjetare, Lou dhe Steinhardt ishin në gjendje të datojnë një prirje të ngjashme në shekullin e 13-të. Gradualisht, kjo metodë u bë gjithnjë e më e popullarizuar dhe në shekullin e 15-të ishte bërë e përhapur.

Studiuesit e konsideruan shenjtëroren e Imam Darb-i në qytetin iranian të Isfahanit, që daton që nga viti 1453, si një shembull i një strukture pothuajse ideale pothuajse kristalore.

Ky zbulim u bëri përshtypje shumë njerëzve. Shoqata Amerikane për Avancimin e Shkencës (

Pjesëmarrësit e projektit

Nikiforov Kirill, student i klasës 8

Rudneva Oksana, studente e klasës 8

Poturaeva Ksenia, studente e klasës 8

Tema e kërkimit

Mozaiku Penrose

Pyetje problematike

Çfarë është Penrose Mozaiku?

Hipoteza e hulumtimit

Ka një tjegull jo periodike të avionit

Objektivat e Kërkimit

Njihuni me mozaikun Penrose dhe zbuloni pse quhet mozaiku "i artë".

Rezultatet

Mozaiku Penrose

Një tjegull aeroplani është mbulimi i një rrafshi të tërë me forma që nuk mbivendosen. Në matematikë, problemi i mbushjes së ngurtë të një rrafshi me shumëkëndësha pa boshllëqe dhe mbivendosje quhet parket ose mozaikë. Ndoshta, interesi i parë për shtrimin u ngrit në lidhje me ndërtimin e mozaikëve, stolive dhe modeleve të tjera. Edhe grekët e lashtë e dinin se ky problem zgjidhej lehtësisht duke e mbuluar aeroplanin me trekëndësha, katrorë dhe gjashtëkëndësha të rregullt.

Një tjegull e tillë e aeroplanit quhet periodike. Më vonë ata mësuan se si të kryenin tjegulla duke përdorur një kombinim të disa poligoneve të rregullt.

Një detyrë më e vështirë ishte krijimi i një parketi jo mjaft "korrekt" ose "pothuajse" periodik. Për një kohë të gjatë besohej se ky problem nuk kishte zgjidhje. Sidoqoftë, në vitet 60 të shekullit të kaluar, ajo ishte ende e zgjidhur, por kjo kërkonte një grup prej mijëra poligonesh tipe te ndryshme... Hap pas hapi, numri i specieve u zvogëlua dhe më në fund, në mesin e viteve 1970, profesori i Universitetit të Oksfordit Roger Penrose, një shkencëtar i shquar i kohës sonë, duke punuar në mënyrë aktive në fusha të ndryshme të matematikës dhe fizikës, zgjidhi problemin duke përdorur vetëm dy lloje. të rombeve.

Roger Penrose

Ne hetuam një metodë për ndërtimin e një mozaiku të tillë, i cili tani quhet mozaiku Penrose. Për ta bërë këtë, vizatoni diagonale në një pesëkëndësh të rregullt (pentagon). Ne marrim - një pesëkëndësh të ri dhe dy lloje trekëndëshash izosceles, të cilët quhen "të artë". Raporti i kofshës me bazën në trekëndësha të tillë është i barabartë me raportin "e artë". Këndet në trekëndëshat janë 36 °, 72 ° dhe 72 ° në një dhe 108 °, 36 ° dhe 36 ° në tjetrin. Le të lidhim dy trekëndësha identikë dhe të marrim rombe "të artë". Shkencëtari i përdori ato në hartimin e parketit, dhe vetë parketi u quajt "i artë".

Mozaiku Penrose

Mozaiku Penrose ka vetitë:

1. raporti i numrit të rombeve të hollë me numrin e atyre të trashë është gjithmonë i barabartë me të ashtuquajturin numër "të artë" 1.618 ...

Dhe të lashtët
modelet islame
Prezantimi u bë nga
nxënëse e klasës 7B, Qendra Arsimore Qendrore nr.1679
Gerder Marina.
Drejtuesit e projektit
Sinyukova E.V. dhe Zherder V.M.
5klass.net

Çfarë është mozaiku

Mozaiku paraqet
një model,
montuar nga pllaka
forma të ndryshme. Nga ata
mund të shtrohet
pafund
aeroplan pa
hapësirat.

Mozaiku periodik është një mozaik,
vizatimi i të cilit përsëritet përmes
intervale të barabarta.
Mozaiku jo periodik është një mozaik,
cili model mund të përsëritet
në intervale të parregullta.

Mozaikë në natyrë

Ka edhe shumë shembuj në natyrë.
mozaik periodik. Kryesisht
kristalet e lëndëve të ngurta - për shembull:
Kristal kripe
Kristal diamanti
Kristal grafiti
Kristal grafeni

Mozaikët në pikturat e Escher

Mozaikët janë një temë e rëndësishme në
art. Artist
M.K. Escher është i njohur për të
mozaik dhe jo real
piktura.

Çfarë është Penrose Mozaiku?

Në vitin 1973
anglisht
matematikani Roger
Penrose (Roger
Penrose) krijuar
mozaik i veçantë
nga gjeometrike
shifrat, të cilat dhe
u bë i njohur si mozaiku Penrose.

Pllaka mozaiku poligonale

Mozaiku Penrose është
mozaik i montuar nga poligonal
pllaka me dy forma specifike.

Simetria e mozaikut

Imazhi që rezulton duket si
sikur të jetë një lloj "ritmike"
stoli - një foto,
duke poseduar
përkthimore
simetri.

Simetria

Simetri përkthimore do të thotë
çfarë në model mund të zgjidhni
një pjesë të caktuar që mundeni
“kopje” në avion dhe më pas
kombinoni këto "dublikatë" me njëra-tjetrën
transferim paralel.

10. Struktura e Mozaikëve

Megjithatë, nëse shikoni nga afër, mundeni
shikoni që nuk ka të tilla
struktura të përsëritura - ajo
jo periodike. Por çështja nuk ka të bëjë fare
iluzion optik, por që mozaiku
jo kaotike: ajo
zotëron
rrotulluese
simetria e të pestës
urdhëroj.

11. Këndi minimal

Do të thotë se
imazhi mund
ndez
këndi minimal,
e barabartë me 360 ​​/ n gradë,
ku n është rendi
simetri, në këtë
rasti n = 5.
Prandaj, këndi
duke e kthyer atë asgjë
nuk ndryshon, duhet të jetë
shumëfishi i 360/5 = 72
gradë.

12. Dukuri e pazakontë

Në vitin 1984 Dan
Shechtman po bën
studimi i strukturës
aliazh alumini-magnez,
gjeti se në
grilë atomike
të kësaj lënde
duke vazhduar
e pazakontë për
kristalet
fenomen fizik.

13. Kristale “të gabuara”.

Një mostër e një lënde që i nënshtrohet
metodë e veçantë e shpejtë
ftohja, shpërndau rreze elektronike
ashtu që u formua pllaka fotografike
e theksuar
difraktive
foto me simetri
renditja e pestë në
vendndodhjen
difraktive
lartësitë
(simetria e ikozaedrit).

14. Kuazikristalet

Shkencëtarët kanë rënë dakord për
atë të dhënë
opsioni do të ishte
emri
kuazikristalet -
diçka të veçantë
gjendjen e materies. DHE
për të për një kohë të gjatë
ishte gati
modeli matematik
- Mozaik Penrose.

15.

Botim 2007
Në vitin 2007, fizikanët Peter Lou dhe Paul
Steinhardt botuar në revistë
Artikulli shkencor mbi mozaikët
Penrose.

16. Interesi për kuazikristalet

Me sa duket,
e papritur këtu
pak: hapje
kuazikristalet
tërhoqi një gjallëri
interes për këtë
temë që çoi
tek pamja e grumbullit
publikimet në
shtypi shkencor.

17. Modelet në Azi

Megjithatë, pika kryesore e punës është se ajo
nuk i kushtohet shkencës moderne.
Dhe në përgjithësi - jo një shkencë. Peter Lou
tërhoqi vëmendjen te modelet,
duke mbuluar xhamitë
në Azi, i ndërtuar
përsëri në mesjetë.

18.

Stilet. Girih
Në stolitë islame, janë dy
stil:
Girikh (pers.) - e vështirë
stoli gjeometrike,
e përbërë nga stilizuar në
drejtkëndëshe dhe poligonale
forma vijash. Në shumicën e rasteve
përdoret për të jashtme
dekorimi i xhamive dhe librave në masë
botim.

19. Islimi

Islimi (pers.) - një lloj stoli,
e ndërtuar në kryqëzimin e barërave të lidhura dhe
spirale. Mishëron në të stilizuar
ose një formë natyraliste e një ideje
lulëzim në zhvillim të vazhdueshëm
lastar gjetherënës. Më e madhe
ai u përhap në rroba,
libra, dekorime të brendshme të xhamive,
enët.

20. Mozaikët e Uzbekistanit

Gjatë udhëtimit në
Uzbekistani, Lu u interesua për modelet
mozaikë që zbukuronin vendasin
arkitekturës mesjetare, dhe vërehet në
atyre diçka të njohur.
Kopertina e Kuranit 13061315 dhe
vizatim
gjeometrike
fragmente,
mbi të cilën
model.

21. Mozaikë nga vende të ndryshme

Përsëri në
Harvard, shkencëtar u bë
konsideroni
motive të ngjashme në
mozaikë në mure
mesjetare
ndërtesat
Afganistani, Irani,
Iraku dhe Turqia.

22. Mozaikët islamikë

Ky mostër është datuar në një datë të mëvonshme.
periudha - 1622 (xhamia indiane).

23. Skemat e giriheve

Peter Lou zbuloi atë gjeometrik
skemat e girih janë praktikisht të njëjta, dhe
ishte në gjendje të nënvizonte elementet kryesore,
përdoret në të gjitha
stolitë gjeometrike. Për më tepër,
ai gjeti vizatime të këtyre imazheve në
dorëshkrime të lashta, të cilat
artistët e lashtë kënaqeshin
si një lloj fletë mashtrimi për
dekorimi i murit.

24. Rendi i ndërtimit

Për të krijuar këto modele, jo
konturet e thjeshta, të shpikura rastësisht,
dhe figurat që ndodheshin në
një rend të caktuar. Modele të lashta
rezultuan të ishin konstruksione të sakta mozaikësh
Penrose!

25.

traditat islame
Në traditën islame
kishte një të rreptë
ndalimi i imazhit
njerëzit dhe kafshët,
prandaj në dizajn
ndërtesa të mëdha
fitoi popullaritet
gjeometrike
stoli.

26. Sekreti i mjeshtrave të lashtë

Mjeshtrit mesjetarë
e bëri atë
të ndryshme. Por çfarë
ishte sekreti i tyre
"strategjitë" - askush
dinte. Pra, sekreti është se si
sapo të rezultojë
duke përdorur
mozaikë të veçantë,
kush mund të qëndrojë
simetrike,
mbush avionin, jo
duke përsëritur.

27. "Fokus"

Një tjetër “mashtrim” i këtyre
"Fokusi" i imazheve është se,
duke "kopjuar" skema të tilla në
tempuj të ndryshëm në
vizatime, artistë
në mënyrë të pashmangshme do të duhej
lejojnë shtrembërimin. Por
shkelje e kësaj
karakteret janë minimale.
Kjo shpjegohet vetëm me faktin
se zotërit nuk janë
përdorur vizatimet kur
ndërtimin e një mozaiku.

28. Pllaka

Për montimin e girihëve
pllaka te perdorura nga pese
specie (dhjetë- dhe
rombet pesëkëndëshe dhe
"fluturat"), të cilat në
u përpiluan mozaikë,
ngjitur me njëra-tjetrën
pa falas
hapësira ndërmjet
ato.

29. Simetria e mozaikëve

Mozaikë të bërë prej tyre,
mund të posedohej sa më shpejt
rrotulluese dhe
përkthimore
simetri, dhe vetëm
simetria rrotulluese
rendi i pestë (d.m.th.
ishin mozaikë
Penrose).

30. Girihi

Fragment i ornamentit të mauzoleumit iranian
1304 vjet. Në të djathtë - rindërtimi i girikhëve

31. Data e shfaqjes së mozaikëve

Duke ekzaminuar qindra
datë
paraqitjet
Fotografitë
mozaikët
mesjetare
musliman
atraksionet,
Lou dhe Steinhardt mundën
datën e paraqitjes
një tendencë e ngjashme XIII
shekulli. Gradualisht kjo
mënyra se si fitoi gjithçka
popullaritet të madh dhe të
Shekulli XV u përhap gjerësisht
i zakonshëm.

32. Pllaka qeramike

Takim afërsisht
përkon me periudhën
zhvillimin e teknologjisë
duke dekoruar
pallate, xhami,
të ndryshme të rëndësishme
ndërtesat me xham
ngjyrë
pllaka qeramike
në formë të ndryshme
shumëkëndëshat. Se
kanë qeramikë
pllaka speciale
format e krijuara
posaçërisht për girikhët.
Qeramike
tjegull

33. Përfundim

Çfarë ka mundur të zbulojë shkenca perëndimore
bazuar në përgjithësim të madh
përvojë me gjemba, shkencë orientale
bërë në bazë të intuitës dhe ndjenjës
e bukur. Dhe rezultatet janë të dukshme: në
mishërimi i ligjeve të gjeometrisë në
praktikojnë mendimtarët orientalë
përpara Perëndimit me pesë shekuj!

Në vitin 1973, matematikani anglez Roger Penrose krijoi një mozaik të veçantë të formave gjeometrike, i cili u bë i njohur si mozaiku Penrose.
Mozaiku Penrose është një model i përbërë nga pllaka poligonale të dy formave specifike (rombe paksa të ndryshëm). Ata mund të shtrojnë një aeroplan të pafund pa boshllëqe.

Mozaiku Penrose në versionin e krijuesit të tij.
Është mbledhur nga dy lloje rombesh,
njëri në 72 gradë, tjetri në 36 gradë.
Fotografia është simetrike, por jo periodike.

Imazhi që rezulton duket sikur është një lloj stoli "ritmike" - një foto me simetri përkthimore. Kjo lloj simetrie do të thotë që ju mund të zgjidhni një pjesë të caktuar në model, e cila mund të "kopjohet" në një aeroplan, dhe më pas këto "dublikatë" mund të kombinohen me njëra-tjetrën me transferim paralel (me fjalë të tjera, pa rrotullim dhe pa zgjerimi).

Sidoqoftë, nëse shikoni nga afër, mund të shihni se nuk ka struktura të tilla përsëritëse në modelin Penrose - është periodik. Por çështja nuk është iluzioni optik, por fakti që mozaiku nuk është kaotik: ai ka një simetri rrotulluese të rendit të pestë.

Kjo do të thotë që imazhi mund të rrotullohet me një kënd minimal prej 360 / n gradë, ku n është rendi i simetrisë, në këtë rast n = 5. Prandaj, këndi i rrotullimit, i cili nuk ndryshon asgjë, duhet të jetë shumëfish i 360/5 = 72 gradë.

Për rreth një dekadë, shpikja e Penrose u konsiderua pak më shumë se një abstraksion i lezetshëm matematikor. Megjithatë, në vitin 1984, Dan Shechtman, një profesor në Institutin izraelit të Teknologjisë (Technion), duke studiuar strukturën e një lidhjeje alumini-magnez, zbuloi se difraksioni ndodh në rrjetën atomike të kësaj substance.

Konceptet e mëparshme në fizikën e gjendjes së ngurtë përjashtuan një mundësi të tillë: struktura e modelit të difraksionit ka një simetri të rendit të pestë. Pjesët e tij nuk mund të kombinohen me transferim paralel, që do të thotë se nuk është fare kristal. Por difraksioni është karakteristik vetëm për rrjetën kristalore! Shkencëtarët kanë rënë dakord që ky opsion do të quhet kuazikristal - diçka si një gjendje e veçantë e materies. Epo, e gjithë bukuria e zbulimit është se një model matematikor ishte tashmë gati për të - mozaiku Penrose.

Dhe kohët e fundit u bë e qartë se ky ndërtim matematikor është shumë më i vjetër se sa mund të imagjinohej. Në vitin 2007, Peter J. Lu, një fizikant i Universitetit të Harvardit, u bashkua me një fizikant tjetër, Paul J. Steinhardt, por nga Universiteti Princeton, për të botuar një artikull në Science mbi mozaikët.Penrose. Duket se nuk ka shumë të papritura këtu: zbulimi i kuazikristaleve tërhoqi një interes të madh për këtë temë, gjë që çoi në shfaqjen e një grumbulli botimesh në shtypin shkencor.

Sidoqoftë, pika kryesore e punës është se ajo është larg nga t'i kushtohet shkencës moderne. Dhe në përgjithësi - jo një shkencë. Peter Lu tërhoqi vëmendjen te modelet që mbulonin xhamitë në Azi, të ndërtuara në mesjetë. Këto dizajne lehtësisht të dallueshme janë bërë nga pllaka mozaiku. Ata quhen girihi (nga fjala arabe për "nyjë") dhe janë një model gjeometrik që është karakteristik për artin islam dhe përbëhet nga forma poligonale.

Modeli i pllakave i paraqitur në një dorëshkrim arab të shekullit të 15-të.
Studiuesit theksuan zonat e përsëritura me ngjyra.
Të gjitha modelet gjeometrike janë ndërtuar mbi bazën e këtyre pesë elementeve.
mjeshtër arabë mesjetarë. Elemente që përsëriten
nuk përputhen domosdoshmërisht me kufijtë e pllakave.

Në ornamentin islam dallohen dy stile: gjeometrik - girih dhe lule - islimi.
Girih(pers.) - stoli gjeometrike komplekse e përbërë nga vija të stilizuara në figura drejtkëndëshe dhe poligonale. Në shumicën e rasteve përdoret për dizajn i jashtëm xhamitë dhe librat në një botim të madh.
Islimi(pers.) - lloj ornamenti i ndërtuar mbi lidhjen e barit dhe një spiraleje. Mishëron në formë të stilizuar ose natyraliste idenë e një fidani me gjethe gjithnjë në rritje dhe të lulëzuar dhe përfshin një larmi të pafund opsionesh. Përdoret më gjerësisht në veshje, libra, dekorimin e brendshëm të xhamive dhe enëve.

Kopertina e Kuranit 1306-1315 dhe vizatimi i fragmenteve gjeometrike,
në të cilën bazohet modeli. Ky dhe shembujt e mëposhtëm nuk përputhen
Rrjeta penrose, por kanë simetri rrotulluese të rendit të pestë

Para zbulimit të Peter Lou, besohej se arkitektët e lashtë krijuan modele girih duke përdorur një vizore dhe busulla (nëse jo në mënyrë intuitive). Sidoqoftë, disa vjet më parë, ndërsa udhëtonte në Uzbekistan, Lu u interesua për modelet e mozaikut që zbukuronin arkitekturën mesjetare lokale dhe vuri re diçka të njohur në to. Pas kthimit në Harvard, shkencëtari filloi të merrte në konsideratë motive të ngjashme në mozaikët në muret e ndërtesave mesjetare në Afganistan, Iran, Irak dhe Turqi.

Ky mostër datohet në një periudhë të mëvonshme - 1622 (xhamia indiane).
Duke e parë atë dhe duke vizatuar strukturën e tij, nuk mund të mos admirosh punën e palodhur
Kërkuesit. Dhe, natyrisht, vetë mjeshtrat.

Peter Lou zbuloi se modelet gjeometrike të girichs ishin praktikisht të njëjta dhe ishte në gjendje të nxjerrë në pah elementët bazë të përdorur në të gjitha dizajnet gjeometrike. Përveç kësaj, ai gjeti vizatime të këtyre imazheve në dorëshkrimet e lashta, të cilat artistët e lashtë i përdornin si një lloj fletë mashtrimi për dekorimin e mureve.
Për të krijuar këto modele, ata përdorën jo konturet e thjeshta, të shpikura rastësisht, por figura të renditura në një rend të caktuar. Modelet e lashta doli të ishin ndërtime të sakta të mozaikëve Penrose!

Në këto foto theksohen të njëjtat zona,
edhe pse këto janë fotografi nga një shumëllojshmëri xhamish

Në traditën islame, kishte një ndalim të rreptë për imazhin e njerëzve dhe kafshëve, prandaj, modelet gjeometrike janë bërë shumë të njohura në hartimin e ndërtesave. Mjeshtrit mesjetarë arritën ta bënin disi ndryshe. Por cili ishte sekreti i "strategjisë" së tyre - askush nuk e dinte. Pra, sekreti rezulton të jetë në përdorimin e mozaikëve të veçantë, të cilët munden, duke mbetur simetrik, të mbushin avionin pa u përsëritur.

Një tjetër "mashtrim" i këtyre imazheve është se, ndërsa "kopjojnë" skema të tilla në kisha të ndryshme sipas vizatimeve, artistëve do t'u duhej të pranonin në mënyrë të pashmangshme shtrembërimin. Por shkeljet e kësaj natyre janë minimale. Kjo shpjegohet vetëm me faktin se nuk kishte kuptim në vizatimet në shkallë të gjerë: gjëja kryesore është parimi me të cilin të ndërtohet një fotografi.

Për montimin e gjirishëve u përdorën pllaka të pesë llojeve (rombe dhjetë dhe pesëkëndëshe dhe "flutura"), të cilat ishin ndërtuar në mozaikun ngjitur me njëra-tjetrën pa hapësirë ​​të lirë midis tyre. Mozaikët e krijuar prej tyre mund të kishin simetri rrotulluese dhe përkthimore njëherësh, dhe vetëm simetri rrotulluese të rendit të pestë (d.m.th., ata ishin mozaikë Penrose).

Fragment i ornamentit të mauzoleumit iranian të vitit 1304. Në të djathtë - rindërtimi i girikhëve

Pas ekzaminimit të qindra fotografive të monumenteve myslimane mesjetare, Lou dhe Steinhardt ishin në gjendje të datojnë një prirje të ngjashme në shekullin e 13-të. Gradualisht, kjo metodë u bë gjithnjë e më e popullarizuar dhe në shekullin e 15-të ishte bërë e përhapur. Datimi përkon përafërsisht me periudhën e zhvillimit të teknikës së dekorimit të pallateve, xhamive, ndërtesave të ndryshme të rëndësishme me pllaka qeramike me ngjyra të xhamosura në formën e shumëkëndëshave të ndryshëm. Kjo do të thotë, pllaka qeramike të formave të veçanta u krijuan posaçërisht për giriçët.

Studiuesit e konsideruan shenjtëroren e Imam Darb-i në qytetin iranian të Isfahanit, që daton që nga viti 1453, si një shembull i një strukture pothuajse ideale pothuajse kristalore.

Portali i shenjtërores së Imam Darb-i në Isfahan (Iran).
Këtu, dy sisteme girih janë mbivendosur mbi njëri-tjetrin menjëherë.

Kolona e oborrit të një xhamie në Turqi (rreth 1200)
dhe muret e medreseve në Iran (1219). Këto janë vepra të hershme
dhe ata përdorin vetëm dy nga elementët strukturorë të gjetur nga Lu

Tani mbetet për të gjetur përgjigje për një sërë misteresh në historinë e mozaikëve girih dhe Penrose. Si dhe pse matematikanët e lashtë zbuluan strukturat kuazikristaline? A i dhanë arabët mesjetarë mozaikëve ndonjë kuptim tjetër përveç atij artistik? Pse një koncept kaq interesant matematikor u harrua për gjysmë mijëvjeçari? Dhe gjëja më interesante - cilat zbulime të tjera moderne janë të reja, që në fakt është një e vjetër e harruar mirë?