Ներկայացումներ Թվային համակարգերի ներկայացում ինֆորմատիկայի և ՏՏ դասի համար (10-րդ դասարան) թեմայի շուրջ: Թվային համակարգերի պատմություն ներկայացում, հաշվետվություն Ներկայացում թեմայի շուրջ Բաբելոնյան թվային համակարգ

«Որովհետև իմաստի բոլոր երանգները

խելացի համարը փոխանցում է»

Նիկոլայ Գումիլյով.

Թվային համակարգեր

Նյութի խմբագիր, ՏՀՏ ուսուցիչ MBOU CO - Գիմնազիա թիվ 11 Տուլա Ակիմով Դ.Ֆ.

Ի՞նչ է թիվը:

Թիվգրավոր նշան է, որը ներկայացնում է թիվ:

Համարակալման համակարգ- մեծ թվեր ներկայացնելու համար թվերը միացնելու միջոց:

Դիտարկենք որոշ ժողովուրդների համարակալման համակարգերը։

Հին հունական ձեղնահարկ համարակալում

1,2,3,4 թվերը նշվում էին I, II, III, IIII գծիկներով, իսկ 5 թիվը գրվում էր G նշանով («Փի» տառի հնագույն մակագրությունը, որով սկսվում է «պենտե» բառը։ - հինգ.

6,7,8,9 թվերը նշանակվում էին ГI, ГII, ГIII, ГIIII, իսկ 10 թիվը՝ ▲ («տաս» բառի սկզբնական տառը)

100,1000 և 10000 թվերը նշանակվել են H, X, M՝ համապատասխան բառերի սկզբնական տառերով։

50,500 և 5000 թվերը նշանակվել են 5 և 10, 5 և 100, 5 և 1000 նիշերի համակցություններով, մասնավորապես.

Առաջին տասը հազարի մեջ մնացած թվերը գրվել են հետևյալ կերպ.

H H GI = 256; XXI = 2051;

Հ Հ Հ ▲ ▲ ▲ Ես Ես = 382; X X H H H= 7800 և այլն:

Իոնական համարակալում

III դարում մ.թ.ա. Ձեղնահարկի համարակալումը փոխարինվեց այսպես կոչված հոնիական համակարգով: Դրանում 1-9 թվերը նշվում են այբուբենի առաջին ինը տառերով.

10, 20, 30,…, 90 թվերը հետևյալ ինը տառերով.

100, 200, 300,…, 900 համարները վերջին ինը տառերով.

Հազարավոր և տասնյակ հազարներ նշանակելու համար նրանք օգտագործեցին նույն թվերը՝ կողքին հատուկ պատկերակ ավելացնելով.

’ α=1000’ β=2000 և այլն:

Իոնական համարակալում

Թվերը բառեր կազմող տառերից տարբերելու համար թվերի վերևում գծիկներ էին գրում։

Ιη=18; մզ=47; υζ=407; χκα=621; χκ=620 և այլն։

α=1 β=2 γ=3 δ=4 ε=5 ς =6 ζ=7 η=8 θ=9

Ալֆա բետա Գամմա դելտա էպսիլոն ֆաու զետա և թետա

ι=10 կ=20 λ=30 մ=40 ν=50 ξ=60 ο=70 π=80 Ϥ=90

iota kappa lambda mu nu xi omicron pi kappa

ρ=100 σ=200 τ=300 υ=400 φ=500 χ=600 ψ=700 ω=800 ϡ=900

ro sigma tau upsilon fi chi psi omega sampy

Հրեաները, արաբները և Մերձավոր Արևելքի շատ այլ ժողովուրդներ հնության ժամանակ ունեցել են նույն այբբենական համարը, և հայտնի չէ, թե որ ժողովուրդն է այն առաջինն ունեցել։

Սլավոնական համարակալում

Հարավային և արևելյան սլավոնները թվեր գրելու համար օգտագործում էին այբբենական համարակալում։ Ռուս ժողովուրդների մեջ ոչ բոլոր տառերն էին խաղում թվերի դերը, այլ միայն նրանք, որոնք հունական այբուբենում են: Տառը նշող տառի վերևում տեղադրվել է հատուկ. պատկերակ - " կոչում ”.

Ռուսաստանում սլավոնական համարակալումը գոյատևել է մինչև 17-րդ դարի վերջը։ Պետրոս I-ի օրոք գերակշռում էր արաբական համարակալումը (մենք օգտագործում ենք հիմա)։ Սլավոնական համարակալումը պահպանվել է միայն պատարագի գրքերում։ Ահա սլավոնական թվերը.

Ա

• 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Կ Ա =21 ՄԵ=45 ՓԲ=702 ՍԲ=202

Հին Բաբելոնում, մեր ժամանակներից ≈ 40 դար առաջ, ստեղծվել է տեղական (դիրքային) համարակալում, այսինքն. թվերի ներկայացման այնպիսի եղանակ, որում նույն թվանշանը կարող է նշանակել տարբեր թվեր՝ կախված այս թվանշանի զբաղեցրած տեղից։ Բաբելոնյան համակարգում 10 թիվը մեզ համար խաղում էր 60 թիվը, ուստի այս համարակալումը կոչվում է. սեքսուալ .

60-ից փոքր թվերը նշվում էին երկու նշանով՝ մեկի և տասի համար:

Նրանք սեպաձեւ տեսք ունեին, քանի որ. Բաբելոնացիները եռանկյունաձող փայտերով կավե տախտակների վրա գրում էին. Այս նշանները կրկնվել են անհրաժեշտ քանակությամբ անգամ

Բաբելոնյան տեղական համարակալում

60-ից մեծ թվեր նշանակելու եղանակը ներկայացված է Նկ.

5*60+2=302 21*60+35=1295

1*60*60 + 2*60 +5 =3725

Բաբելոնյան տեղական համարակալում

Միջանկյալ թվանշանի բացակայության դեպքում օգտագործվել է զրոյի դեր կատարող նշան։

Օրինակ, մուտքը նշանակում էր 2*60*60 + 0*60 +3 = 7203

Ամբողջ թվերի 60 տասնորդական նշումը լայն տարածում չգտավ Ասորա-բաբելոնական թագավորությունից դուրս, բայց 60 տասնորդական կոտորակները թափանցեցին շատ ավելի հեռու՝ Մերձավոր Արևելքի երկրներ, Կենտրոնական Ասիա, հյուսիս: Աֆրիկա և Արևմտյան Եվրոպա. Անկյունային և աղեղային աստիճանների 60 րոպեով բաժանման մեջ դեռ պահպանվել են 60 տասնորդական կոտորակների հետքերը։ և րոպեից մինչև 60 վայրկյան:

Հռոմեական թվեր

Հին հռոմեացիները օգտագործում էին համարակալում, որը պահպանվել է մինչ օրս «հռոմեական համարակալում» անվան տակ։ Մենք այն օգտագործում ենք տարեդարձեր նշանակելու, համագումարների անունները, գրքերի համարների գլուխները և այլն:

Իր հետագա ձևով հռոմեական թվերն այսպիսի տեսք ունեն.

I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000

Հռոմեական թվերի ծագման մասին հավաստի տեղեկություններ չկան։ V թիվը կարող է ծառայել որպես ձեռքի պատկեր, իսկ X թիվը կարող է կազմված լինել երկու հինգից։

Հռոմեական թվաքանակում հստակորեն ազդում են հնգապատիկ համակարգի հետքերը: Հռոմեացիների լեզվում (լատիներեն) 5-արյան համակարգի հետքեր չկան։ Սա նշանակում է, որ այս թվերը հռոմեացիները փոխառել են այլ ժողովրդից (հավանաբար էտրուսկներից)։

Հռոմեական թվեր

Բոլոր ամբողջ թվերը (մինչև 5000) գրվում են վերը նշված թվանշանները կրկնելով։ Միևնույն ժամանակ, եթե փոքրի դիմաց մեծ թիվ է, ապա դրանք գումարվում են, իսկ եթե փոքրը գտնվում է ավելի մեծի դիմաց (այս դեպքում այն ​​չի կարող կրկնվել), ապա փոքրը հանվում է. ավելի մեծից: Օրինակ:

VI=6, այսինքն. 5+1 IV=4, այսինքն. 5-1

XL=40, այսինքն. 50-10 LX=60, այսինքն. 50+10

Նույն թիվը տեղադրվում է ոչ ավելի, քան 3 անգամ անընդմեջ:

LXX=70;LXXX=80;90 համարը գրված է XC (ոչ LXX):

Օրինակներ՝ XXVIII=28; XXXIX=39; CCCXCVII=397;

MDCCCXVIII=1818 թ.

Այս համակարգում բազմանիշ թվաբանություն կատարելը շատ դժվար է։ Սակայն հռոմեական համարակալումը գերակշռում էր Իտալիայում մինչև 13-րդ դարը, իսկ Արևմտյան Եվրոպայի այլ երկրներում մինչև 16-րդ դարը։

Հնդկական տեղական համարակալում

Հնդկաստանի տարբեր մասերում տարբեր համակարգեր կային։ Դրանցից մեկը տարածվել է աշխարհով մեկ ու այժմ ընդհանուր ընդունված է։ Դրանում թվերը նման էին հին հնդկական լեզվի՝ սանսկրիտի («Դեւանագարի» այբուբեն) համապատասխան թվերի սկզբնական տառերին։

Սկզբում այս նշանները ներկայացնում էին 1,2,3,…9,10,20,30,…90,100,1000 թվերը; նրանց օգնությամբ գրվել են այլ թվեր։

Այնուհետև ներմուծվեց հատուկ նշան (թավ կետ, շրջան), որը ցույց է տալիս դատարկ թվանշանը. 9-ից մեծ թվերի նշանները չօգտագործվեցին, և Devanagari-ի համարակալումը վերածվեց 10-ամյա տեղական համակարգի:

Թե ինչպես և երբ է տեղի ունեցել այս անցումը, դեռևս հայտնի չէ։ 8-րդ դարի կեսերին Հնդկաստանում լայնորեն կիրառվում էր դիրքային համարակալման համակարգը։

Հնդկական տեղական համարակալում

Մոտավորապես այս ժամանակահատվածում այն ​​թափանցում է այլ երկրներ (Ինդոքինա, Չինաստան, Տիբեթ, Իրան, Կենտրոնական Ասիայի հանրապետությունների տարածք): Հնդկական համակարգի տարածման գործում որոշիչ դեր է խաղացել 9-րդ դարի սկզբին ուզբեկ գիտնական Ալ-Խվարեզմիի կողմից կազմված ձեռնարկը (Kitab al-jabr v’alnukabala): Այս ուղեցույցը գտնվում է Zap-ում: Եվրոպան թարգմանվել է լատ. լեզուն 12-րդ դարում։ 13-րդ դարում Իտալիայում գրավում է հնդկական համարակալումը։ Այլ երկրներում Զապ. Եվրոպա, այն հաստատվել է 16-րդ դ.

եվրոպացիները, ովքեր փոխառել են հնդ. համարակալելով արաբներից, այն անվանել է «արաբ»։ Այս պատմական սխալ անունը պահպանվել է մինչ օրս։

Հնդկական տեղական համարակալում

Թիվ բառը (արաբերենում «syfr») նույնպես փոխառվել է արաբերենից, որը բառացիորեն նշանակում է «դատարկ տարածք»:

Այս բառն ի սկզբանե օգտագործվել է դատարկ արտահոսքի նշան անվանելու համար և պահպանել է այս իմաստը դեռևս 18-րդ դարում, չնայած լատիներեն «զրո» (nullum - ոչինչ) տերմինը հայտնվել է արդեն 15-րդ դարում:

Հնդկական թվանշանների ձևը բազմաթիվ փոփոխությունների է ենթարկվել։ Այն ձևը, որով մենք հիմա գրում ենք դրանք, հաստատվել է 16-րդ դարում։

Թվային համակարգը թվերի և նշանների միջոցով թվեր գրելու եղանակ է:

Ք.Կ. բաժանված են դիրքային և ոչ դիրքային

Պաշտոնական Ս.Ս. թվանշանի կշիռը կախված է նրա գտնվելու վայրից, թվի «դիրքից» (բաբելոնյան 60, մեր 10)

Հիմքը (հիմքը) Ս.Ս. դրանում օգտագործվող թվանշանների և նշանների քանակն է։ Հիմնադրամի Ս.Ս. ցույց է տալիս, թե տվյալ թվի միավորի թվային արժեքը քանի անգամ է մեծ նախորդ թվի միավորի թվային արժեքից։

Մեզ այնքան ծանոթ 10 Ս.Ս. պարզվեց, որ անհարմար է համակարգչի համար (դժվար է 10 վիճակով տարր իրականացնել, իսկ երկուսով՝ հեշտ): Հետևաբար, համակարգչային հիշողության մեջ տեղեկատվությունը ներկայացված է երկուական S.S.

Երկուական թվային համակարգ

IN 2 ս.ս. օգտագործվում է ընդամենը երկու թվանշան՝ 0 և 1. Հիմք 2 ս.ս. գրված է որպես 10։ Օրինակ՝ 8 թվի ներկայացումը in 2 ս.ս. կարծես այսպիսին է՝ 1000 2 = 8 10

1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +0*2 0 =8

Թվաբանական գործողություններ 2 ս.ս. իրականացվում է նույն կանոններով, ինչ 10 ս.ս. , միայն ներս 2 ս.ս. միավորների փոխանցումը ամենաբարձր թվանշանին տեղի է ունենում ավելի հաճախ, քան ներսում 10 ս.ս.

Գումարների աղյուսակ Հանման աղյուսակ Բազմապատկման աղյուսակ

0+0=0 0-0=0 0*0=0

0+1=1 1-0=1 0*1=0

1+0=1 1-1=0 1*0=0

1+1=10 10-1=1 1*1=1

Տասնորդական Երկուական

Տասնորդական Երկուական

Երկուական թվային համակարգի օրինակներ

1. Քանի որ բազան 2 ս.ս. փոքր, նույնիսկ ոչ շատ մեծ թվեր գրելու համար պետք է շատ նշաններ օգտագործել։ Օրինակ՝ 1000 թիվը գրված է 2 ս.ս. տասը թվանշաններով.

1000 10 = 1111101000 2 = 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 5 +2 3

Այնուամենայնիվ, այս թերությունը փոխհատուցվում է ապարատային ներդրման հետ կապված առավելություններով (բոլոր կիսահաղորդչային տարրերն աշխատում են «Այո-Ոչ» սկզբունքով):

2. Մարդկային մտածողության բնական հնարավորությունները թույլ չեն տալիս արագ և ճշգրիտ գնահատել թվի արժեքը, որը ներկայացված է, օրինակ, 16 զրոների և մեկերի համադրությամբ:

Երկուական թվային համակարգի թերությունը

Անձի կողմից երկուական թվի ընկալումը հեշտացնելու համար որոշվեց այն բաժանել թվանշանների խմբերի, օրինակ՝ յուրաքանչյուրը 3 կամ 4 նիշ։ Այս գաղափարը հաջողվեց, քանի որ. 3-բիթանոց հաջորդականությունն ունի 8 համակցություն, իսկ 4-բիթանոցը՝ 16 համակցություն: 8 և 16 թվերը երկուսի ուժեր են, ուստի հեշտ կլինի համընկնել երկուական թվերի հետ:

Այս գաղափարը մշակելով՝ մենք եկանք այն եզրակացության, որ թվանշանների խմբերը կարող են կոդավորվել՝ միաժամանակ կրճատելով նիշերի հաջորդականության երկարությունը: Երեք բիթ (եռյակներ) կոդավորելու համար անհրաժեշտ է 8 նիշ, և հետևաբար վերցվել են 0-ից մինչև 7 տասնորդական s թվերը: Չորս բիթ (տետրադ) կոդավորելու համար անհրաժեշտ է 16 նիշ, դրա համար վերցվել է տասնորդական ss-ի 10 նիշ: և 6 տառ լատ. այբուբենները A, B, C, D, E, F. Ստացված համակարգերը կոչվում էին 8-ary և 16-ary:

Տասնորդական

8 նիշանոց համար

թիվ

Եռյակների հաջորդականությունը

տասնվեցական թիվ

Հերթականություն տետրադներից

Եռյակների և քառյակների մեթոդ

DV-ն փոխարկելու համար. թվերը ութնիշ թվի, անհրաժեշտ է երկուական հաջորդականությունը բաժանել եռյակների աջից ձախ և յուրաքանչյուր եռյակը փոխարինել համապատասխան 8 նիշով։ Նմանապես, տասնվեցական կոդի վերածելիս միայն երկուական հաջորդականությունը բաժանվում է տետրադների, իսկ փոխարինման համար օգտագործում ենք տասնվեցական նիշեր։

Օրինակ:

պետք է թարգմանել 1101011101 dv-ից: դեպի 8-արի ս.ս.

• Մենք այն բաժանում ենք եռյակների՝ աջից ձախ:

2. Յուրաքանչյուր եռյակը փոխարինում ենք համապատասխան 8 նիշ թվով 1 5 3 5։ Սա կլինի պատասխանը։

001 101 011 101 2 =1535 8

Եռյակների և քառյակների մեթոդ

Հակադարձ փոխարկումը նույնքան հեշտ է. դրա համար 8 կամ տասնվեցական թվի յուրաքանչյուր նիշ փոխարինվում է 3 կամ 4 բիթանոց խմբով: Օրինակ:

AB51 16 =1010 1011 0101 0001 2

177204 8 = 1 111 111 010 000 100 2

Թվաբանական գործողություններ կատարելը

8- և տասնվեցական ս.ս.-ում աշխատելիս. պետք է հիշել, որ եթե կա փոխանցում, ապա փոխանցվում է ոչ թե 10, այլ 8 կամ 16: Օրինակներ.

27,2643 8 _ 115,3564 8

46,1154 8 55,7674 8

75,4017 8 37,3670 8

287,AB _ EC2A,82

2ED,0D 16 2EAD,E8

Թվերի փոխակերպում մի թվային համակարգից մյուսը

Այսպիսով, մենք յուրացրել ենք 4 թվային համակարգեր»

«մեքենա» - երկուական;

«մարդ» - տասնորդական

և երկու միջանկյալ՝ 8 և 16-րդ։

Նրանցից յուրաքանչյուրն օգտագործվում է համակարգչի հետ կապված տարբեր գործընթացներում.

2 ս.ս. - կազմակերպել մեքենայական գործողություններ տեղեկատվության փոխակերպման համար.

8 և 16 ս.ս. - ներկայացնել մեքենայի կոդերը պրոֆեսիոնալ օգտագործողների (ծրագրավորողների և ապարատչիկների) աշխատանքի համար հարմար ձևով.

10 ս.ս. – ներկայացնել մուտքային/ելքային սարքերում ցուցադրվող համակարգչային գործունեության արդյունքները:

Ուստի մեքենայում անընդհատ տեղի են ունենում մեկ ս.ս. թվերի փոխակերպման գործընթացներ։ մյուսին։

Թվերը վերածելով 10 ս.ս. կատարվում է գումարման մեթոդով՝ հաշվի առնելով թվանշանների քաշը

1101,011 2 =1*2 3 +1*2 2 +1*2 0 +1*2 -2 +1*2 -3 = =8+4+1+0,25+0,125= 13,375

142,4 8 =1*8 2 +4*8 1 +2*8 0 +4*8 -1 = =64+32+2+0,5= 98,5

12E.6 16 =1*16 2 +2*16 1 +14*16 0 +6*16 -1 = =256+32+14+0.375= 302.375

Թվերի թարգմանություն 10 ս.ս. մեկ այլ համակարգի

Սովորաբար կատարվում է սկզբնական թվի հաջորդական բաժանման մեթոդով ս.ս. Առաջին բաժանումից հետո ստացված մնացորդը նոր թվի ամենաքիչ նշանակալի թվանշանն է: Ստացված գործակիցը կրկին բաժանվում է այս հիմքով: Մնացածից ստանում ենք նոր թվի հաջորդ թվանշանը և այլն։

Օրինակ՝ _212 2 212 10 =11010100 2

31318 տասնորդական թիվը թարգմանենք 8 ս.ս.

Օրինակ 2. _31318 8 31318 10 =75126 8

286 տասնորդական թիվը թարգմանենք 16 ս.ս.

Օրինակ 3. _286 16 286 10 = 11E 16

Օգտագործված գրականության ցանկ

• Ս.Ի. Ֆոմին. Հանրաճանաչ դասախոսություններ մաթեմատիկայից. Թողարկում 40. Թվային համակարգեր. Մոսկվա: Նաուկա, 1980 թ.
• Մ.Յա. Վիգոդսկին. Մաթեմատիկայի ձեռնարկ.

Թվերի առաջացումը Դժվար է ասել, թե երբ, և ամենակարևորը, ինչպես է մարդը սովորել հաշվել (ինչպես հնարավոր չէ հստակ պարզել, թե երբ և ամենակարևորը, թե ինչպես է առաջացել լեզուն): Հայտնի է միայն, որ բոլոր հնագույն քաղաքակրթություններն արդեն ունեին իրենց հաշվման համակարգերը, ինչը նշանակում է, որ թվերի պատմությունը և թվային համակարգը սկիզբ է առել նախաքաղաքակրթական ժամանակներում։ Թվերի և թվային համակարգերի պատմությունը սկսվել է «մեկ», «երկու», «շատ» հասկացությունների տարանջատմամբ։ Մարդիկ, սովորելով տարբերել մի առարկան մյուսներից, ասում էին «մեկ», իսկ եթե ավելի շատ առարկաներ կային՝ «շատ»: Այնուամենայնիվ, արդեն ամենահին հայտնի քաղաքակրթություններում մշակվել են ավելի մանրամասն թվային համակարգեր։ Ժամանակի ընթացքում քաղաքակիրթ բնակավայրերի զարգացումը մարդկանց «ստիպեց» զբաղվել գրավոր և մաթեմատիկայով, քանի որ կյանքում ավելի ու ավելի շատ տեղեկատվություն էր հայտնվում, և այն պետք էր ավելի արդյունավետ յուրացնել և չհաշվել երկուսին: Թվեր գրելու համար հատուկ նշաններ են հորինվել։ Դրանք ծառայում էին որպես թվեր և հեշտ ընթեռնելի էին, բայց դրանք գրելու համար շատ ժամանակ պահանջվեց:

Բաբելոնյան թվային համակարգ Բաբելոնյան (Մեսոպոտամյան) թվային համակարգը սեքսեսիմալ է: Մինչ այժմ մեկ ժամում կա 60 րոպե և մեկ րոպեում 60 վայրկյան: Այսպիսով, տարին բաժանվում է ամիսների թվի վրա, 60-ի բազմապատիկ, իսկ օրը՝ նույնքան ժամերի։ Սկզբում դա արևային ժամացույց էր, այսինքն՝ նրանցից յուրաքանչյուրը ցերեկային ժամի 1/12-ն էր։ Շատ ավելի ուշ, ժամի տեւողությունը սկսեց որոշվել ոչ թե արևով և ավելացվեց 12 գիշերային ժամ։ Բաբելոնյան թվերը բաղադրյալ էին և գրվում էին որպես թվեր տասնորդական ոչ դիրքային թվային համակարգում։ Նմանատիպ սկզբունք օգտագործել են մայա հնդկացիները իրենց վիգեսիմալ դիրքային թվային համակարգում։ Բաբելոնյան թվերի միջև թվի գրելը հասկանալու համար անհրաժեշտ են «բացեր»։

Հին եգիպտական ​​թվային համակարգ Հին Եգիպտոսի թվային համակարգում, որն առաջացել է մ. Եգիպտական ​​թվային համակարգը գրվել է որպես այս թվերի համակցություններ, որոնցում նրանցից յուրաքանչյուրը կրկնվել է ոչ ավելի, քան ինը անգամ: Հին եգիպտական ​​թվային համակարգի հիմքը գումարման պարզ սկզբունքն էր, ըստ որի թվի արժեքը հավասար է դրա գրանցման մեջ ներգրավված թվանշանների արժեքների գումարին: Գիտնականները հին եգիպտական ​​թվային համակարգը վերագրում են տասնորդական ոչ դիրքային: Հին եգիպտացիները 345 թիվը գրել են այսպես՝ որտեղ - միավոր, - տասնյակ, - հարյուրավոր

Հռոմեական թվային համակարգ Հռոմեական թվային համակարգը ոչ դիրքային թվային համակարգ է, որտեղ թվեր գրելու համար օգտագործվում են լատինական այբուբենի տառերը։ Մեծ թվեր գրելու համար նախ պետք է գրել հազարների թիվը, հետո հարյուրավորները, հետո տասնյակները և վերջում մեկ: Եթե ​​ավելի մեծ թիվը փոքրի դիմաց է, ապա դրանք գումարվում են (գումարման սկզբունքը), եթե փոքրը մեծի դիմաց է, ապա փոքրը հանվում է (հանման սկզբունքը)։ Օրինակ՝ VI = 5 + 1 = 6 IV = 5 - 1 = 4 XIX = 10 + 10 - 1 = 19 XXI = 10 + 10 + 1 = 21 .d.), տարիներ մ.թ.ա. ե. (MCMLXXVII և այլն) և ամսաթվերը նշելիս (օրինակ, 1. V.1975) խոշոր պատվերների հերթական ածանցյալները՝ yIV, yV և այլն: քիմիական տարրերի վալենտություն

Կիրիլյան (սլավոնական) թվային համակարգ - առանձին տառ համապատասխանում էր յուրաքանչյուր թվանշանին (1-ից 9-ը), յուրաքանչյուր տասը (10-ից 90) և յուրաքանչյուր հարյուրին (100-ից մինչև 900): Որպեսզի ընթերցողը հասկանա, որ իր դիմաց թվեր են, հատուկ նշան են օգտագործել՝ վերնագիր։ Այն պատկերված էր ալիքաձև գծի տեսքով և դրված էր տառի վերևում։ Այն կոչվում էր «ազ վերնագրի տակ» և նշանակում էր միավոր։ Կիրիլյան թվային համակարգ Այբուբենի ոչ բոլոր տառերն են օգտագործվել որպես թվեր։ Օրինակ՝ «Բ»-ն ու «Ֆ»-ն թվերի չեն վերածվել, քանի որ դրանք հին հունական այբուբենով չէին, որը թվային համակարգի հիմքն էր։ Մինչև 17-րդ դարը թվեր գրելու այս ձևը պաշտոնական էր ժամանակակից Ռուսաստանի, Բելառուսի, Ուկրաինայի, Բուլղարիայի, Հունգարիայի, Սերբիայի և Խորվաթիայի տարածքում։ Մինչ այժմ ուղղափառ եկեղեցական գրքերն օգտագործում են այս համարակալումը։

Արաբական թվային համակարգ Արաբական թվային համակարգը բաղկացած է տասը նիշից՝ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, որի օգնությամբ ցանկացած թիվ գրվում է տասնորդական թվային համակարգում։ Արաբական թվերն առաջացել են Հնդկաստանում և 10-13-րդ դդ. Եվրոպա են բերվել արաբների կողմից (այստեղից էլ՝ անվանումը)։ «Արաբական» թվանշանները ապակեպատիչի՝ Երկրաչափության գյուտն են։ Նա կարծում էր, որ ինը թվերին պետք է տրվի այնպիսի ձև, որը կհամապատասխանի դրանց նշանակությանը, և դրա համար առաջարկեց թվեր համապատասխան թվով անկյուններով: Եթե ​​այս թվերի որոշակի շարժումներ կատարեք, ապա դրանք միասին կկազմեն արաբական արտահայտություն. Իմ նպատակը հաշվարկն է (արաբ): Եվրոպացիներն այս նշանները և միջնադարում դրանք օգտագործելու եղանակը փոխառել են մահմեդական մաթեմատիկոսներից (արաբական մաթեմատիկայի մակարդակը): երկրներն այդ ժամանակ ավելի բարձր էին, քան եվրոպացիները), այստեղից էլ արաբական թվանշանների անվանումը։ Իրականում արաբները դրանք որդեգրել են հնդիկներից։ Արաբական թվային համակարգը դիրքային է՝ յուրաքանչյուր թվանշանի կշիռը որոշվում է թվի դիրքով:

Թվային համակարգեր Թվային համակարգը թվերի գրանցումն է որոշակի այբուբենի միջոցով, որոնց նշանները կոչվում են թվեր (թվային տեղեկատվության կոդավորման եղանակ): Թվային համակարգերը բաժանվում են՝ դիրքային ոչ դիրքային Թվային համակարգերը ներառում են երկուական, տասնորդական, օկտալ, տասնվեցական։ Այստեղ ցանկացած թիվ գրվում է որպես համապատասխան այբուբենի թվանշանների հաջորդականություն, և յուրաքանչյուր թվի արժեքը կախված է այս հաջորդականության մեջ նրա զբաղեցրած տեղից (դիրքից): Օրինակ, տասնորդական թվային համակարգում արված 555 մուտքագրում օգտագործվում է մեկ նիշ 5, բայց կախված այն տեղից, որտեղ այն զբաղեցնում է, այն ունի տարբեր քանակական արժեք՝ 5 միավոր, 5 տասնյակ կամ 5 հարյուր։ Ոչ դիրքային թվային համակարգերը համակարգեր են, որոնցում թվանշանի արժեքը կախված չէ թվի մեջ նրա դիրքից (հռոմեական թվային համակարգ):

Դիրքային թվային համակարգեր Դիրքային թվային համակարգերում թվային մուտքի մեջ թվանշանով նշված արժեքը կախված է դրա դիրքից: Օգտագործված թվանշանների թիվը կոչվում է թվային համակարգի հիմք: Թվի մեջ յուրաքանչյուր թվանշանի տեղը կոչվում է դիրք: Երկուական, տասնորդական, ութնյակային և տասնվեցական համակարգերը երկու, տասը, ութ և տասնվեց հիմքերով դիրքային թվային համակարգեր են: Թվի առաջխաղացումը դրա փոխարինումն է հաջորդ ամենամեծով։ 1-ի առաջխաղացումը նշանակում է այն փոխարինել 2-ով, 2-ն առաջ տանելը նշանակում է փոխարինել այն 3-ով: Տասնորդական համակարգում ամենաբարձր թվանշանը (որը 9-ն է) առաջ մղելը նշանակում է այն փոխարինել 0-ով: Առաջին տասը թվանշանների օրինակներ տարբեր թվերի թվային համակարգեր՝ Երկուական՝ 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001 Տասնորդական՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Օկտալ՝ 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11. Տասնվեցական՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 E, F): Երկուական, ութնյակային և տասնվեցական թվային համակարգերը պատկանում են մեքենաների թվային համակարգերի դասին։

«Թվային համակարգերի թարգմանություն» - Ամբողջ թվերի թարգմանությունը 2, 8, 16-րդ թվային համակարգերի։ Տասնորդական։ Օկտալ. Թվերի թարգմանությունը 2-րդ թվային համակարգից 8-րդ։ Թվերի թարգմանությունը 16-րդ թվային համակարգից 10-րդ։ Երկուական համակարգում թվերի վրա կարող եք կատարել թվաբանական գործողություններ: Թվերի թարգմանությունը 10-րդ թվային համակարգից 8-րդ։

«Թվեր և թվային համակարգեր» - Թվերի թարգմանություն (10) ? (ք). Երկուական թվաբանություն. Դիրքային թվերի համակարգեր. 10-ի հիմքը սովորական տասնորդական թվային համակարգում (տասը մատները ձեռքերի վրա): Օրինակ. Թերություն. թվեր գրելու համար անհրաժեշտ թվանշանների արագ աճ: Թվերի թարգմանություն (2) ? (8), (2) ? (16). հաշվելու կանոն. Երկուական թվային համակարգ.

«Թվերի և թվային համակարգերի պատմություն» - Թվերի պատմություն։ Ոչ դիրքային թվային համակարգեր. Օրինակ՝ 0101101000112 = 0101 1010 0011 = 5A316: Դիրքային թվերի համակարգեր. Հռոմեական թվերը հայտնվել են մ.թ.ա. մոտ 500 թվականին էտրուսկների մոտ։ Անսահմանափակ երկարությամբ թվերի գումարում: Թվեր, որոնք օգտագործվում էին հին հռոմեացիների կողմից իրենց ոչ դիրքային թվային համակարգում:

«Բաբելոնյան թագավորություն» - Ստրուկները վաճառվել են, փոխանակվել, տրվել, փոխանցվել ժառանգությամբ։ Ստրկություն. Հին Բաբելոնյան պետությունն իր գագաթնակետին հասավ Համուրաբիի օրոք (մ.թ.ա. 1792-50 թթ.): Կախովի այգիներ առաջ... Նույնիսկ աղյուսների պատկերները նվիրված էին կատուներին: Այստեղ բնակչությունը հիմնականում զբաղվում էր ձկնորսությամբ, անասնապահությամբ և հողագործությամբ։

«Թվային համակարգերի պատմություն» - Թիվը ներկայացնում էր որոշակի օրինաչափություն, որտեղ անկյունների թիվը համապատասխանում էր թվին: Ժամանակը թռչում է, ամեն ինչ փոխվում է: Թվեր գրելու սովորական համակարգը, որը մենք սովոր ենք վայելել կյանքը։ Թվային համակարգի պատմություն. Միջնակարգ դպրոց մաթեմատիկայի խորացված ուսուցմամբ ՄՈՒՍՈՇ թիվ 125 դպրոց. Տասնորդական թվերի համակարգ.

«Թվային համակարգերի օրինակներ» - Հիմք (նիշերի թիվը) 8 Այբուբեն՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Քայլ 2. Բաժանել եռյակների՝ տասնվեցական թվերի աղյուսակ։ Թեմա 2. Երկուական թվային համակարգ. Փոխարկել օկտալի և հակառակը: Թվային համակարգեր. Փոխարկել երկուականի և հակառակը: Վարկ. Կոտորակային թվերի մեծ մասը հիշողության մեջ պահվում է սխալմամբ:

սլայդ 1

սլայդ 2

Բաբելոնյան վեցամսյա համակարգ Մեր թվարկությունից երկու հազար տարի առաջ մեկ այլ մեծ քաղաքակրթությունում՝ բաբելոնյան, մարդիկ թվերը տարբեր կերպ էին գրում: Այս թվային համակարգում թվերը կազմված էին երկու տեսակի նշաններից՝ ուղիղ սեպ (մատուցվում է միավորները ցույց տալու համար) Պառկած սեպ (տասնյակները նշելու համար) 60 թիվը նշվում էր նշանով, որը նույնն է, ինչ 1-ը։

սլայդ 3

Թվի արժեքը որոշելու համար անհրաժեշտ էր թվի պատկերը աջից ձախ թվերի բաժանել։ Նույն նիշերի խմբերի («նիշեր») փոփոխությունը համապատասխանում էր թվանշանների փոփոխությանը. թվի արժեքը որոշվում էր դրա բաղկացուցիչ «նիշերի» արժեքներով, սակայն հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ «թվանշանները» յուրաքանչյուր հաջորդ նիշը 60 անգամ ավելի է նշանակում, քան նախորդ թվանշանի նույն «նիշերը»:

սլայդ 4

1. 92 = 60 + 32 թիվը գրվել է հետևյալ կերպ՝ 2. 444 թիվը նման էր՝ ՕՐԻՆԱԿ՝ 444 = 7 * 60 + 24։ Թիվը բաղկացած է երկու նիշից։

սլայդ 5

Թվի բացարձակ արժեքը որոշելու համար հավելյալ տեղեկատվություն էր անհրաժեշտ։ Այնուհետև բաբելոնացիները ներմուծեցին հատուկ խորհրդանիշ՝ բացակայող վեց տասնորդական նիշը ցույց տալու համար, որը տասնորդական համակարգում համապատասխանում է թվի նշման մեջ 0 թվի տեսքին: 3632 թիվը գրված էր այսպես՝ թվի վերջում սովորաբար այս նիշը չէր դրվում։ Բաբելոնացիները երբեք չեն մտապահել բազմապատկման աղյուսակը, քանի որ դա անելը գրեթե անհնար էր։ Հաշվարկելիս օգտագործել են պատրաստի բազմապատկման աղյուսակներ։

սլայդ 6

Վեցամյա բաբելոնյան համակարգը մեզ հայտնի առաջին թվային համակարգն է՝ հիմնված դիրքային սկզբունքի վրա: Բաբելոնյան համակարգը մեծ դեր է խաղացել մաթեմատիկայի և աստղագիտության զարգացման գործում, որոնց հետքերը պահպանվել են մինչ օրս։ Այսպիսով, մենք դեռ ժամը բաժանում ենք 60 րոպեի, իսկ րոպեն՝ 60 վայրկյանի։ Շրջանակը բաժանում ենք 360 մասի (աստիճան)։

Սլայդ 7

ՀՌՈՄԵԱԿԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ Հռոմեական համակարգում 1, 5, 10, 50, 100, 500 և 1000 թվերն օգտագործում են I, V, X, L, C, D և M մեծատառերը (համապատասխանաբար), որոնք «նիշերն» են։ այս թվային համակարգի. Հռոմեական թվային համակարգում թիվը նշվում է հաջորդական «թվերի» բազմությամբ։

Սլայդ 8

Հռոմեական թվերի աղյուսակ Միավորներ Տասնյակ հարյուր հազար I 10 XC 1000 M II XX CC 2000 MM 3 III XXX CCC 3000 MMM IV 40 XL 400 CD V 50 L 500 D VI LX 600 DC VII LXX CC 700 DC VII LXCC 700 DC VII LXCC 700 D

Սլայդ 9