» »

Kroz koje se vrši finansijsko planiranje. Finansijsko planiranje

Analizirajmo klasičnu definiciju vjerovatnoće koristeći formule i primjere.

Pozivaju se slučajni događaji nekompatibilno ako se ne mogu pojaviti u isto vrijeme. Na primjer, kada bacimo novčić, jedna stvar će ispasti - "grb" ili broj "i ne mogu se pojaviti istovremeno, jer je logično da je to nemoguće. Događaji kao što su pogodak i promašaj nakon ispaljenog metka mogu biti nekompatibilni.

Slučajni događaji konačnog skupa oblika puna grupa parno nekompatibilni događaji, ako se na svakom ogledu pojavi jedan, a samo jedan od tih događaja je jedini mogući.

Razmotrimo isti primjer bacanja novčića:

Prvi novčić Drugi novčić Događaji

1) "grb" "grb"

2) "grb" "broj"

3) "broj" "grb"

4) "broj" "broj"

Ili skraćeno - "YY", - "MS", - "CH", - "CH".

Događaji se zovu podjednako moguće, ako uslovi studije pružaju istu mogućnost pojave svakog od njih.

Kao što razumijete, kada bacite simetričan novčić, onda on ima iste mogućnosti, a postoji šansa da ispadnu i "grb" i "broj". Isto važi i za bacanje simetrične kocke, jer postoji mogućnost da se pojave lica sa bilo kojim brojem od 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Recimo da sada bacimo kocku sa pomakom u težištu, na primjer, prema strani s brojem 1, tada će najčešće ispasti suprotna strana, odnosno strana s drugim brojem. Stoga će u ovom modelu mogućnosti pojavljivanja za svaku od cifara od 1 do 6 biti različite.

Jednako mogući i jedinstveno mogući slučajni događaji nazivaju se slučajevi.

Postoje slučajni događaji koji su slučajevi, a postoje slučajni događaji koji nisu slučajevi. Ispod su primjeri ovih događaja.

Slučajevi, zbog kojih se javlja slučajni događaj, nazivaju se povoljnim slučajevima za ovaj događaj.

Ako označimo sa , koji utiču na događaj u svim mogućim slučajevima, i kroz - vjerovatnoću slučajnog događaja , tada možemo zapisati dobro poznatu klasičnu definiciju vjerovatnoće:

Definicija

Vjerovatnoća događaja je omjer broja slučajeva pogodnih za ovaj događaj i ukupnog broja svih mogućih slučajeva, odnosno:

Svojstva vjerovatnoće

Razmotrena je klasična vjerovatnoća, a sada ćemo analizirati glavna i važna svojstva vjerovatnoće.

Nekretnina 1. Vjerovatnoća određenog događaja jednaka je jedan.

Na primjer, ako su sve loptice u kanti bijele, onda na događaj, nasumično odabir bijele kuglice, utječu slučajevi, .

Nekretnina 2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.

Nekretnina 3. Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj:

Dakle, vjerovatnoća bilo kojeg događaja zadovoljava nejednakost:

Sada da riješimo neke primjere o klasičnoj definiciji vjerovatnoće.

Primjeri klasične definicije vjerovatnoće

Primjer 1

Zadatak

U košu se nalazi 20 lopti, od toga 10 bijelih, 7 crvenih i 3 crne. Jedna lopta se bira nasumično. Odabiru se bela kugla (događaj), crvena (događaj) i crna lopta (događaj). Pronađite vjerovatnoću slučajnih događaja.

Rješenje

Prema stanju problema, doprinosi , i mogući slučajevi, dakle, prema formuli (1):

je vjerovatnoća bijele lopte.

Slično za crvenu:

A za crnu: .

Odgovori

Vjerojatnost slučajnog događaja , , .

Primjer 2

Zadatak

U kutiji se nalazi 25 identičnih električnih lampi, 2 su neispravne. Pronađite vjerovatnoću da slučajno odabrana sijalica nije neispravna.

Rješenje

U skladu sa stanjem problema, sve lampe su iste i bira se samo jedna. Ukupne mogućnosti izbora. Od svih 25 lampi, dvije su neispravne, što znači da su preostale lampe prikladne. Dakle, prema formuli (1), vjerovatnoća odabira odgovarajuće električne lampe (događaj) jednaka je:

Odgovori

Vjerovatnoća da slučajno odabrana sijalica nije neispravna = .

Primjer 3

Zadatak

Dva novčića se bacaju nasumično. Pronađite vjerovatnoću takvih događaja:

1) - na oba novčića ispao je grb;

2) - na jednom od novčića ispao je grb, a na drugom - broj;

3) - brojevi su ispali na oba novčića;

4) - barem jednom ispao grb.

Rješenje

Ovdje se radi o četiri događaja. Hajde da ustanovimo koji slučajevi doprinose svakom od njih. Događaj je olakšan jednim slučajem, to je kada je grb ispao na oba novčića (skraćeno „GG“).

Da biste se pozabavili događajem, zamislite da je jedan novčić srebrni, a drugi bakreni. Prilikom bacanja novčića može doći do sljedećih slučajeva:

1) na srebrnom grbu, na bakrenom grbu - broj (označimo ga kao „MS“);

2) na srebrnom broju, na bakrenom - grb (- "ChG").

Dakle, događaji su olakšani slučajevima i .

Događaj je olakšan jednim slučajem: brojevi su ispali na oba novčića - "CH".

Dakle, događaji ili (YY, MG, TY, FF) čine kompletnu grupu događaja, svi ovi događaji su nekompatibilni, jer se samo jedan od njih javlja kao rezultat bacanja. Osim toga, za simetrične novčiće sva četiri događaja su podjednako vjerovatna, pa se mogu smatrati slučajevima. Postoje četiri moguća događaja.

Događaj je olakšan samo jednim događajem, pa je njegova vjerovatnoća:

Dva slučaja doprinose događaju, dakle:

Vjerovatnoća događaja je ista kao za:

Tri slučaja doprinose događaju: YY, YY, YY i stoga:

Budući da se razmatraju događaji GY, MS, CH, CH, koji su podjednako vjerojatni i stvaraju kompletnu grupu događaja, onda je pojava bilo kojeg od njih pouzdan događaj (označavamo ga slovom , što olakšavaju sva 4 Dakle, vjerovatnoća:

Dakle, prvo svojstvo vjerovatnoće je potvrđeno.

Odgovori

Vjerovatnoća događaja.

Vjerovatnoća događaja.

Vjerovatnoća događaja.

Vjerovatnoća događaja.

Primjer 4

Zadatak

Bacaju se dvije kockice istog i pravilnog geometrijskog oblika. Nađite vjerovatnoću svih mogućih suma na obje strane koji ispadnu.

Rješenje

Da biste lakše riješili problem, zamislite da je jedna kocka bijela, a druga crna. Sa svake od šest strana bijele kockice i jedna od šest strana crne kocke također može pasti, tako da će biti svih mogućih parova.

Budući da je mogućnost pojavljivanja lica na zasebnoj kocki ista (kocke ispravnog geometrijskog oblika!), tada će vjerovatnoća pojavljivanja svakog para lica biti ista, štoviše, kao rezultat bacanja, samo jedan od parova ispadne. Vrijednosti događaja su nekompatibilne, jedinstvene. Ovo su slučajevi, a postoji 36 mogućih slučajeva.

Sada razmotrite mogućnost vrijednosti sume na licima. Očigledno, najmanji zbir je 1 + 1 = 2, a najveći 6 + 6 = 12. Ostatak zbira se povećava za jedan, počevši od drugog. Označimo događaje čiji su indeksi jednaki zbiru bodova koji su pali na lice kocke. Za svaki od ovih događaja pišemo povoljne slučajeve koristeći notaciju , gdje je zbir, su tačke na gornjoj strani bijele kockice i točke na licu crne kockice.

Dakle za događaj:

za – jedan slučaj (1 + 1);

za – dva slučaja (1 + 2; 2 + 1);

za – tri slučaja (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

za – četiri slučaja (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

za – pet slučajeva (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

za – šest slučajeva (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

za – pet slučajeva (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

za – četiri slučaja (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

za – tri slučaja (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

za – dva slučaja (5 + 6; 6 + 5);

za – jedan slučaj (6 + 6).

Dakle, vjerovatnoće su:

Odgovori

Primjer 5

Zadatak

Prije festivala, ponuđeno je troje učesnika za izvlačenje žrijeba: svaki od učesnika redom prilazi kanti i nasumično bira jednu od tri karte sa brojevima 1, 2 i 3, što znači redni broj nastupa ovog učesnika.

Pronađite vjerovatnoću takvih događaja:

1) - redni broj u redu poklapa se sa brojem kartice, odnosno serijskim brojem predstave;

2) - nijedan broj u redu ne odgovara broju performansi;

3) - samo jedan od brojeva u redu odgovara broju performansi;

4) – barem jedan od brojeva u redu odgovara broju izvedbe.

Rješenje

Mogući rezultati odabira karata su permutacije tri elementa, broj takvih permutacija je jednak . Svaka permutacija je događaj. Označimo ove događaje kao . Svakom događaju u zagradama dodjeljujemo odgovarajuću permutaciju:

; ; ; ; ; .

Navedeni događaji su podjednako mogući i ujednačeni, odnosno to su slučajevi. Označite na sljedeći način: (1h, 2h, 3h) - odgovarajući brojevi u redu.

Počnimo sa događajem. Povoljan je samo jedan slučaj, dakle:

Povoljna za događaj su dva slučaja i prema tome:

Događaj je omogućen sa 3 slučaja: , dakle:

Pored , događaj doprinosi i , odnosno:

Odgovori

Vjerovatnoća događaja je .

Vjerovatnoća događaja je .

Vjerovatnoća događaja je .

Vjerovatnoća događaja je .

Klasična definicija vjerovatnoće - teorija i rješavanje problema ažurirano: 15. septembra 2017. od: Scientific Articles.Ru

RUSKA AKADEMIJA NARODNE EKONOMIJE I JAVNE SLUŽBE PRI PREDSEDNIKU RUSKOG FEDERACIJE

OREL FRANCH

Katedra za sociologiju i informacione tehnologije

Tipična kalkulacija br. 1

u disciplini "Teorija vjerovatnoće i matematička statistika"

na temu "Osnove teorije vjerovatnoće"

Orao - 2016.

Cilj: učvršćivanje teorijskih znanja na temu osnova teorije vjerovatnoće, rješavanjem tipičnih zadataka. Ovladavanje pojmovima glavnih tipova slučajnih događaja i razvijanje vještina algebarskih operacija nad događajima.

Uslovi za podnošenje posla: rad se radi u rukopisnom obliku, rad mora sadržavati sva potrebna objašnjenja i zaključke, formule moraju sadržavati dekodiranje prihvaćenih oznaka, stranice moraju biti numerisane.

Broj varijante odgovara serijskom broju učenika na listi grupa.

Osnovne teorijske informacije

Teorija vjerovatnoće- grana matematike koja proučava obrasce slučajnih pojava.

Koncept događaja. Klasifikacija događaja.

Jedan od osnovnih koncepata teorije vjerovatnoće je koncept događaja. Događaji su označeni velikim latiničnim slovima. ALI, IN, OD,…

Događaj- ovo je mogući rezultat (ishod) testa ili iskustva.

Testiranje se podrazumijeva kao svaka svrsishodna radnja.

Primjer : Strijelac puca u metu. Hitac je test, pogoditi metu je događaj.

Događaj se zove nasumično , ako u uslovima datog eksperimenta može da se dogodi i da se ne dogodi.

Primjer : Pucanje iz pištolja - test

Inc. ALI- pogađanje mete

Inc. IN– promašaj – slučajni događaji.

Događaj se zove autentičan ako se kao rezultat testa to nužno mora dogoditi.

Primjer : Ne ispustite više od 6 poena kada bacate kocku.

Događaj se zove nemoguće ako u uslovima datog eksperimenta do njega uopšte ne može doći.

Primjer : Više od 6 poena se baca prilikom bacanja kocke.

Događaji se zovu nekompatibilno ako pojava jednog od njih isključuje pojavu bilo kojeg drugog. Inače, događaji se nazivaju zajednički.

Primjer : Kocka je bačena. Bacanje od 5 eliminiše bacanje od 6. Ovo su nekompatibilni događaji. Student koji dobije ocjenu „dobar“ i „odličan“ na ispitima iz dvije različite discipline je zajednički događaj.

Zovu se dva nespojiva događaja, od kojih se jedan nužno mora dogoditi suprotno . Događaj suprotan događaju ALI odrediti Ā .

Primjer : Pojava "grba" i pojava "repova" pri bacanju novčića su suprotni događaji.

Nekoliko događaja u ovom iskustvu se naziva podjednako moguće ako postoji razlog vjerovati da nijedan od ovih događaja nije mogući više od ostalih.

Primjer : izvlačenje asa, desetke, dame iz špila karata - događaji su podjednako vjerovatni.

Formira se nekoliko događaja puna grupa ako se, kao rezultat testa, nužno mora dogoditi jedan i samo jedan od ovih događaja.

Primjer : Opadanje broja bodova 1, 2, 3, 4, 5, 6 prilikom bacanja kockice.

Klasična definicija vjerovatnoće događaja. Svojstva vjerovatnoće

Za praktične aktivnosti važno je moći uporediti događaje prema stepenu mogućnosti njihovog nastanka.

Vjerovatnoća Događaj je numerička mjera stepena objektivne mogućnosti da se događaj dogodi.

Hajde da pozovemo elementarni ishod svaki od jednako verovatnih rezultata testa.

Egzodus se zove povoljno (povoljan) događaj ALI, ako njegovo pojavljivanje povlači za sobom nastanak događaja ALI.

Klasična definicija : vjerovatnoća događaja ALI jednak je omjeru broja ishoda povoljnih za dati događaj i ukupnog broja mogućih ishoda.

(1) gdje P(A) je vjerovatnoća događaja ALI,

m- broj povoljnih ishoda,

n je broj svih mogućih ishoda.

Primjer : U lutriji je 1000 listića, od kojih 700 nije dobitno. Kolika je vjerovatnoća dobitka na jednom kupljenom listiću.

Događaj ALI- kupio dobitnu kartu

Broj mogućih ishoda n=1000 je ukupan broj srećki.

Broj ishoda koji favorizuju događaj ALI je broj dobitnih tiketa, tj. m=1000-700=300.

Prema klasičnoj definiciji vjerovatnoće:

odgovor:
.

Bilješka svojstva vjerovatnoće događaja:

1) Vjerovatnoća bilo kojeg događaja je između nule i jedan, tj. 0≤ P(A)≤1.

2) Vjerovatnoća određenog događaja je 1.

3) Vjerovatnoća nemogućeg događaja je 0.

Pored klasičnih, postoje i geometrijske i statističke definicije vjerovatnoće.

Elementi kombinatorike.

Kombinatoričke formule se široko koriste za izračunavanje broja ishoda povoljnih za dotični događaj ili ukupnog broja ishoda.

Neka bude skup N od n razni elementi.

1. definicija: Kombinacije, od kojih svaka uključuje sve n elementi i koji se međusobno razlikuju samo po redosledu elemenata nazivaju se permutacije od n elementi.

P n=n! (2), gdje n! (n-faktorski) - proizvod n prvi brojevi prirodnog niza, tj.

n! = 1∙2∙3∙…∙(n–1)∙n

Tako, na primjer, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

2. definicija: m elementi ( m≤n) i koji se međusobno razlikuju bilo po sastavu elemenata ili njihovom redoslijedu nazivaju se plasmani od n on m elementi.

(3) 
Definicija 3: Kombinacije, od kojih svaka sadrži m elementi ( m≤n) i koji se međusobno razlikuju samo po sastavu elemenata nazivaju se kombinacije od n on m elementi.


(4)
komentar: promjena redoslijeda elemenata unutar iste kombinacije ne rezultira novom kombinacijom.

Formuliramo dva važna pravila koja se često koriste u rješavanju kombinatornih problema

Pravilo sume: ako objekt ALI može se birati m načina i objekta IN – n načina, onda je izbor bilo koji ALI ili IN može se uraditi m+n načine.

Pravilo proizvoda: ako objekt ALI može se birati m načina i objekta IN nakon svakog takvog izbora, može se birati n načina, zatim par objekata ALI I IN može se odabrati tim redoslijedom. m ∙ n načine.

1. Prikaz glavnih teorema i formula vjerovatnoće: teorema sabiranja, uslovna vjerovatnoća, teorema množenja, nezavisnost događaja, formula ukupne vjerovatnoće.

Ciljevi: stvaranje povoljnih uslova za uvođenje koncepta vjerovatnoće događaja; poznavanje osnovnih teorema i formula teorije vjerovatnoće; unesite formulu ukupne vjerovatnoće.

Napredak lekcije:

Slučajni eksperiment (eksperiment) je proces u kojem su mogući različiti ishodi i nemoguće je unaprijed predvidjeti kakav će biti rezultat. Mogući ishodi iskustva koji se međusobno isključuju nazivaju se njegovim elementarni događaji . Skup elementarnih događaja će biti označen sa W.

slučajni događaj naziva se događaj, za koji je nemoguće unaprijed reći hoće li se dogoditi kao rezultat iskustva ili ne. Svaki slučajni događaj A koji se dogodio kao rezultat eksperimenta može se povezati sa grupom elementarnih događaja iz W. Elementarni događaji koji čine ovu grupu nazivaju se povoljno za nastanak događaja A.

Skup W se također može smatrati slučajnim događajem. Budući da uključuje sve elementarne događaje, nužno će se dogoditi kao rezultat iskustva. Takav događaj se zove autentičan .

Ako za dati događaj nema povoljnih elementarnih događaja iz W, onda se on ne može dogoditi kao rezultat eksperimenta. Takav događaj se zove nemoguće.

Događaji se zovu podjednako moguće ako test rezultira jednakim mogućnostima da se ti događaji dogode. Pozivaju se dva slučajna događaja suprotno ako se, kao rezultat eksperimenta, jedan od njih dogodi ako i samo ako se drugi ne dogodi. Događaj suprotan događaju A označava se sa .

Događaji A i B se nazivaju nekompatibilno ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog. Događaji A 1 , A 2 , ..., A n se nazivaju parovi nekompatibilni, ako su bilo koja dva od njih nekompatibilna. Događaji A 1 , A 2 , ..., Forma kompletan sistem događaji nekompatibilni u parovima ako se, kao rezultat testa, jedan i samo jedan od njih sigurno dogodi.

Zbir (kombinacija) događaja A 1 , A 2 , ..., A n se zove takav događaj C, koji se sastoji u činjenici da se dogodio barem jedan od događaja A 1 , A 2 , ..., A n Zbroj događaja je označeno kako slijedi:

C \u003d A 1 + A 2 + ... + A n.

Proizvod (presek) događaja A 1 , A 2 , ..., A n takav događaj se naziva P, koji se sastoji u tome da su se svi događaji A 1 , A 2 , ..., A n dogodili istovremeno. Proizvod događaja je označen

Vjerovatnoća P(A) u teoriji vjerovatnoće djeluje kao numerička karakteristika stepena mogućnosti pojave bilo kojeg određenog slučajnog događaja A sa ponovljenim ponavljanjem testova.



Na primjer, u 1000 bacanja kocke, broj 4 se pojavljuje 160 puta. Odnos 160/1000 = 0,16 pokazuje relativnu učestalost ispadanja broja 4 u ovoj seriji testova. Općenitije nasumična frekvencija događaja A kada provode niz eksperimenata, oni nazivaju omjer broja eksperimenata u kojima se određeni događaj dogodio i ukupnog broja eksperimenata:

gdje je P*(A) frekvencija događaja A; m je broj eksperimenata u kojima se dogodio događaj A; n je ukupan broj eksperimenata.

Vjerovatnoća slučajnog događaja A se naziva konstantnim brojem, oko kojeg se grupišu frekvencije datog događaja kako se broj eksperimenata povećava ( statističko određivanje vjerovatnoće događaja ). Vjerovatnoća slučajnog događaja se označava sa P(A).

Naravno, niko nikada neće moći da uradi neograničen broj testova da bi se utvrdila verovatnoća. Nema potrebe za ovim. U praksi, vjerovatnoća se može uzeti kao učestalost događaja sa velikim brojem pokušaja. Tako, na primjer, iz statističkih obrazaca rođenja utvrđenih tokom višegodišnjeg posmatranja, vjerovatnoća događaja da će novorođenče biti dječak procjenjuje se na 0,515.

Ako tokom testa ne postoje razlozi zbog kojih bi se jedan slučajni događaj javljao češće od drugih ( jednako vjerovatnih događaja), možemo odrediti vjerovatnoću na osnovu teorijskih razmatranja. Na primjer, otkrijmo u slučaju bacanja novčića učestalost ispadanja grba (događaj A). Razni eksperimentatori su u nekoliko hiljada pokusa pokazali da relativna učestalost takvog događaja ima vrijednosti blizu 0,5. s obzirom na to da su izgled grba i suprotne strane novčića (događaj B) podjednako vjerovatni događaji ako je novčić simetričan, prosudba P(A)=P(B)=0,5 mogla bi se donijeti bez određivanja učestalosti ovih događaja. Na osnovu koncepta "jednake vjerovatnoće" događaja formulisana je još jedna definicija vjerovatnoće.

Neka se događaj A koji razmatramo dogodi u m slučajeva, koji se nazivaju povoljnim za A, a ne u preostalih n-m, nepovoljnih za A.

Tada je vjerovatnoća događaja A jednaka omjeru broja elementarnih događaja koji su pogodni za njega i njihovog ukupnog broja(klasična definicija vjerovatnoće događaja):

gdje je m broj elementarnih događaja koji favorizuju događaj A; n - Ukupan broj elementarnih događaja.

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:Urna sadrži 40 kuglica: 10 crnih i 30 bijelih. Nađite vjerovatnoću da je slučajno odabrana lopta crna.

Broj povoljnih slučajeva jednak je broju crnih loptica u urni: m = 10. Ukupan broj jednako vjerovatnih događaja (vađenje jedne kuglice) jednak je ukupnom broju loptica u urni: n = 40. Ovi događaji su nespojivi, jer je jedna i samo jedna lopta izvučena. P(A) = 10/40 = 0,25

Primjer #2:Pronađite vjerovatnoću da dobijete paran broj pri bacanju kocke.

Prilikom bacanja kocke ostvaruje se šest podjednako mogućih nespojivih događaja: pojava jedne cifre: 1,2,3,4,5 ili 6, tj. n = 6. Povoljni slučajevi su gubitak jednog od brojeva 2,4 ili 6: m = 3. Željena vjerovatnoća P(A) = m/N = 3/6 = ½.

Kao što možemo vidjeti iz definicije vjerovatnoće događaja, za sve događaje

0 < Р(А) < 1.

Očigledno, vjerovatnoća određenog događaja je 1, vjerovatnoća nemogućeg događaja je 0.

Teorema sabiranja vjerovatnoće: vjerovatnoća pojave jednog (bez obzira na koji) događaj od nekoliko nekompatibilnih događaja jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća.

Za dva nekompatibilna događaja A i B, vjerovatnoće ovih događaja jednake su zbiru njihovih vjerovatnoća:

P(A ili B)=P(A) + P(B).

Primjer #3:Pronađite vjerovatnoću da dobijete 1 ili 6 kada bacate kocku.

Događaj A (roll 1) i B (roll 6) su podjednako verovatni: P(A) = P(B) = 1/6, tako da P(A ili B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Sabiranje vjerovatnoća vrijedi ne samo za dva, već i za bilo koji broj nekompatibilnih događaja.

Primjer #4:Urna sadrži 50 kuglica: 10 bijelih, 20 crnih, 5 crvenih i 15 plavih. Nađite vjerovatnoću da se bijela, crna ili crvena lopta pojavi u jednoj operaciji vađenja lopte iz urne.

Vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte (događaj A) je P(A) = 10/50 = 1/5, crne lopte (događaj B) je P(B) = 20/50 = 2/5 i crvene lopte ( događaj C) je P (C) = 5/50 = 1/10. Odavde, prema formuli za sabiranje vjerovatnoća, dobijamo P (A ili B ili C) = P (A) + P (B) = P (C) = 1/5 + 2/5 + 1/ 10 \u003d 7/10

Zbir vjerovatnoća dva suprotna događaja, kao što slijedi iz teoreme zbrajanja vjerovatnoće, jednak je jedan:

P(A) + P() = 1

U gornjem primjeru, vađenje bijele, crne i crvene kuglice bit će događaj A 1 , P(A 1) = 7/10. Događaj suprotan od 1 je izvlačenje plave lopte. Pošto postoji 15 plavih loptica, i ukupan iznos 50 loptica, onda dobijamo P( 1) = 15/50 = 3/10 i P(A) + P() = 7/10 + 3/10 = 1.

Ako događaji A 1 , A 2 , ..., A n čine kompletan sistem po parovima nekompatibilnih događaja, tada je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1.

Općenito, vjerovatnoća zbira dva događaja A i B izračunava se kao

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB).

Teorema množenja vjerovatnoće:

Događaji A i B se nazivaju nezavisni Ako vjerovatnoća nastanka događaja A ne zavisi od toga da li se događaj B dogodio ili ne, i obrnuto, vjerovatnoća nastanka događaja B ne zavisi od toga da li se događaj A dogodio ili ne.

Vjerovatnoća zajedničkog nastupa nezavisnih događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća. Za dva događaja P(A i B)=P(A) P(B).

primjer: Jedna urna sadrži 5 crnih i 10 bijelih kuglica, druga 3 crne i 17 bijelih. Nađite vjerovatnoću da će, kada se prvi put izvlače kuglice iz svake urne, obje kuglice crne.

Rješenje: vjerovatnoća izvlačenja crne lopte iz prve urne (događaj A) - P(A) = 5/15 = 1/3, crna kugla iz druge urne (događaj B) - P(B) = 3/ 20

P (A i B) = P (A) P (B) = (1/3) (3/20) \u003d 3/60 = 1/20.

U praksi, vjerovatnoća događaja B često zavisi od toga da li se dogodio neki drugi događaj A ili ne. U ovom slučaju se govori o uslovna verovatnoća , tj. vjerovatnoća događaja B s obzirom da se dogodio događaj A. Uslovna vjerovatnoća je označena sa P(B/A).

Kratka teorija

Za kvantitativno poređenje događaja prema stepenu mogućnosti njihovog nastanka uvodi se numerička mera koja se naziva verovatnoća događaja. Vjerovatnoća slučajnog događaja naziva se broj, koji je izraz mjere objektivne mogućnosti nastanka događaja.

Vrijednosti koje određuju koliko su značajne objektivne osnove za računanje na pojavu događaja karakterizira vjerovatnoća događaja. Mora se naglasiti da je vjerovatnoća objektivna veličina koja postoji nezavisno od spoznajnog i uslovljena je ukupnošću uslova koji doprinose nastanku događaja.

Objašnjenja koja smo dali konceptu vjerovatnoće nisu matematička definicija, jer ne definiraju ovaj koncept kvantitativno. Postoji nekoliko definicija vjerovatnoće slučajnog događaja koje se široko koriste u rješavanju specifičnih problema (klasična, geometrijska definicija vjerovatnoće, statistička, itd.).

Klasična definicija vjerovatnoće događaja svodi ovaj koncept na elementarniji koncept jednako vjerovatnih događaja, koji više nije podložan definiciji i pretpostavlja se da je intuitivno jasan. Na primjer, ako je kocka homogena kocka, tada će ispadanje bilo koje strane ove kocke biti jednako vjerojatni događaji.

Neka se određeni događaj podijeli na jednako vjerovatne slučajeve, čiji zbir daje događaj. Odnosno, slučajevi iz , na koje se raspada, nazivaju se povoljnim za događaj, jer pojava jednog od njih osigurava ofanzivu.

Vjerovatnoća događaja će biti označena simbolom .

Vjerovatnoća događaja jednaka je odnosu broja slučajeva koji su za njega povoljni, od ukupnog broja jedinstvenih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, prema broju, tj.

Ovo je klasična definicija vjerovatnoće. Dakle, da bi se pronašla vjerovatnoća događaja, potrebno je, nakon razmatranja različitih ishoda testa, pronaći skup jedini mogućih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, izračunati njihov ukupan broj n, broj slučajeva m koji favorizujte ovaj događaj, a zatim izvršite proračun prema gornjoj formuli.

Vjerovatnoća događaja jednaka omjeru broja ishoda iskustva povoljnog za događaj i ukupnog broja ishoda iskustva naziva se klasična verovatnoća slučajni događaj.

Iz definicije slijede sljedeća svojstva vjerovatnoće:

Svojstvo 1. Vjerovatnoća određenog događaja jednaka je jedan.

Svojstvo 2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.

Svojstvo 3. Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.

Svojstvo 4. Vjerovatnoća pojave događaja koji čine kompletnu grupu jednaka je jedan.

Svojstvo 5. Vjerovatnoća pojave suprotnog događaja definirana je na isti način kao i vjerovatnoća nastanka događaja A.

Broj pojava koje pogoduju pojavljivanju suprotnog događaja. Dakle, vjerovatnoća da se dogodi suprotan događaj jednaka je razlici između 1 i vjerovatnoće da se dogodi događaj A:

Važna prednost klasične definicije vjerovatnoće događaja je u tome što se uz njenu pomoć vjerovatnoća događaja može odrediti bez pribjegavanja iskustvu, već na osnovu logičkog zaključivanja.

Kada se ispuni niz uslova, određeni događaj će se definitivno desiti, a nemoguće se sigurno neće dogoditi. Među događajima koji se, kada se stvori kompleks uslova, mogu, ali i ne moraju dogoditi, na pojavu jednih može se računati s više razloga, na pojavu drugih s manje razloga. Ako, na primjer, u urni ima više bijelih loptica nego crnih, onda postoji više razloga za nadati se pojavi bijele kuglice kada se nasumično izvadi iz urne nego pojavi crne kuglice.

Vidi se na sledećoj stranici.

Primjer rješenja problema

Primjer 1

Kutija sadrži 8 bijelih, 4 crne i 7 crvenih loptica. 3 kuglice se izvlače nasumično. Nađite vjerovatnoće sljedećih događaja: - izvučena je najmanje 1 crvena kugla, - postoje najmanje 2 loptice iste boje, - ima najmanje 1 crvena i 1 bela kugla.

Rješenje problema

Ukupan broj ishoda testa nalazimo kao broj kombinacija od 19 (8 + 4 + 7) elemenata od po 3:

Pronađite vjerovatnoću događaja– izvučena najmanje 1 crvena loptica (1,2 ili 3 crvene kuglice)

Potrebna vjerovatnoća:

Neka događaj- postoje najmanje 2 lopte iste boje (2 ili 3 bijele, 2 ili 3 crne i 2 ili 3 crvene lopte)

Broj ishoda koji favorizuju događaj:

Potrebna vjerovatnoća:

Neka događaj– postoji najmanje jedna crvena i jedna bela lopta

(1 crvena, 1 bijela, 1 crna ili 1 crvena, 2 bijela ili 2 crvena, 1 bijela)

Broj ishoda koji favorizuju događaj:

Potrebna vjerovatnoća:

odgovor: P(A)=0,773; P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Primjer 2

Bacaju se dvije kocke. Pronađite vjerovatnoću da je zbir bodova najmanje 5.

Rješenje

Neka događaj bude zbir bodova ne manji od 5

Koristimo klasičnu definiciju vjerovatnoće:

Ukupan broj mogućih ishoda ispitivanja

Broj suđenja koja favorizuju događaj koji nas zanima

Na ispuštenoj strani prve kocke može se pojaviti jedan bod, dva boda..., šest bodova. Slično, šest ishoda je moguće na drugom bacanju kocka. Svaki od ishoda prve kocke može se kombinirati sa svakim od ishoda druge. Dakle, ukupan broj mogućih elementarnih ishoda testa jednak je broju plasmana sa ponavljanjima (izbor sa postavljanjem 2 elementa iz seta volumena 6):

Pronađite vjerovatnoću suprotnog događaja - zbir bodova je manji od 5

Sljedeće kombinacije izgubljenih bodova će favorizirati događaj:

№ 1. kost 2. kost 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 3 1 5 1 3

Srednje trošak rješenja kontrolni rad 700 - 1200 rubalja (ali ne manje od 300 rubalja za cijelu narudžbu). Na cijenu snažno utiče hitnost odluke (od dana do nekoliko sati). Trošak online pomoći na ispitu / testu - od 1000 rubalja. za rješenje ulaznice.

Aplikaciju možete ostaviti direktno u chatu, prethodno odbacivši stanje zadataka i obavijestivši vas o rokovima za rješavanje istog. Vrijeme odgovora je nekoliko minuta.

Vjerovatnoća je jedan od osnovnih pojmova teorije vjerovatnoće. Postoji nekoliko definicija ovog koncepta. Hajde da damo definiciju koja se zove klasična.

Vjerovatnoća događaj je omjer broja elementarnih ishoda koji favoriziraju dati događaj i broja svih jednako mogućih ishoda iskustva u kojima se ovaj događaj može pojaviti.

Vjerovatnoća događaja A se označava sa P(A)(ovdje R- prvo slovo francuske riječi vjerovatnoća- vjerovatnoća).

Prema definiciji

gdje je broj elementarnih ishoda testa koji favorizuju pojavu događaja;

Ukupan broj mogućih elementarnih ishoda suđenja.

Ova definicija vjerovatnoće se zove klasična. Nastao je na početna faza razvoj teorije vjerovatnoće.

Broj se često naziva relativna učestalost pojavljivanja događaja. ALI u iskustvu.

Što je veća vjerovatnoća nekog događaja, to se češće dešava, i obrnuto, što je manja vjerovatnoća događaja, to se rjeđe javlja. Kada je vjerovatnoća događaja blizu jedan ili jednaka jedan, tada se javlja u gotovo svim ispitivanjima. Kaže se da je takav događaj gotovo sigurno, odnosno da se svakako može računati na njegovu ofanzivu.

Suprotno tome, kada je vjerovatnoća nula ili vrlo mala, tada se događaj događa izuzetno rijetko; kaže se da je takav događaj gotovo nemoguće.

Ponekad se vjerovatnoća izražava u postocima: R(A) 100% je prosječan procenat broja pojavljivanja događaja A.

Primjer 2.13. Prilikom biranja telefonskog broja, pretplatnik je zaboravio jednu cifru i birao je nasumično. Pronađite vjerovatnoću da je željena cifra pozvana.

Rješenje.

Označiti sa ALI događaj - "potrebni broj je pozvan".

Pretplatnik može birati bilo koju od 10 cifara, tako da je ukupan broj mogućih elementarnih ishoda 10. Ovi ishodi su nekompatibilni, podjednako mogući i čine potpunu grupu. Favorizira događaj ALI samo jedan ishod (potreban broj je samo jedan).

Željena vjerovatnoća jednaka je omjeru broja ishoda koji favoriziraju događaj i broja svih elementarnih ishoda:

Klasična formula vjerovatnoće pruža vrlo jednostavan način za izračunavanje vjerovatnoća koji ne zahtijeva eksperimentiranje. Međutim, jednostavnost ove formule je vrlo varljiva. Činjenica je da se prilikom njegove upotrebe u pravilu postavljaju dva vrlo teška pitanja:

1. Kako odabrati sistem ishoda iskustva tako da budu podjednako vjerovatni i da li je to uopće moguće učiniti?

2. Kako pronaći brojeve m I n?

Ako je više subjekata uključeno u eksperiment, nije uvijek lako vidjeti jednako vjerovatne ishode.

Veliki francuski filozof i matematičar d'Alembert ušao je u istoriju teorije verovatnoće svojom čuvenom greškom, čija je suština bila da je u eksperimentu sa samo dva novčića pogrešno odredio izjednačenu verovatnoću ishoda!

Primjer 2.14. ( d'Alembertova greška). Bacaju se dva identična novčića. Kolika je vjerovatnoća da padnu na istu stranu?

d'Alembertovo rješenje.

Iskustvo ima tri podjednako moguća ishoda:

1. Oba novčića će pasti na "orla";

2. Oba novčića će pasti na "repove";

3. Jedan od novčića će pasti na glavu, a drugi na rep.

Ispravno rješenje.

Iskustvo ima četiri podjednako moguća ishoda:

1. Prvi novčić će pasti na "orla", drugi također na "orla";

2. Prvi novčić će pasti na "repove", drugi će također pasti na "repove";

3. Prvi novčić će pasti na glavu, a drugi na rep;

4. Prvi novčić će pasti na rep, a drugi na glavu.

Od toga će dva ishoda biti povoljna za naš događaj, pa je željena vjerovatnoća jednaka .

d'Alembert je napravio jednu od najčešćih grešaka pri izračunavanju vjerovatnoće: spojio je dva elementarna ishoda u jedan, čime je učinio da vjerovatnoća nije jednaka preostalim ishodima eksperimenta.