İçindekilerGiriş
Antik safsatalar
Sayısal safsatalar
Geometrik safsatalar
sonuçlar

Sofistlik nedir?

Sofistlik (Yunanca sofizma, hile, buluş, bulmaca kelimesinden gelir) - mantıksal olarak
verilen yanlış gerekçe
çünkü doğru.
Matematiksel safsata - şaşırtıcı
beyanı, bunun kanıtı
fark edilmeden gizlendi ve bazen oldukça
ince hatalar.
Açıkça muhteşem gösteri
yanlış kanıt - bu
sofizm anlamıdır.

Antik safsatalar

Sofistlik nerede ortaya çıktı?
Antik Yunanistan'da.
Neden yaratıldılar? Neyden
amaç?
Sofistliğin ortaya çıkışı zorlandı
matematikçiler şunu düşünüyor
Geometrinin mantıksal yapısı ve
aritmetik.
Matematiksel safsataları kim icat etti?
Elea'lı bilge Zeno
MÖ 5. yüzyılda.

Antik safsatalar

Antik sofizm "Boynuzlu"
Dolu bir bardak boş olana eşit midir?
Hayatımızın son yılları daha kısadır.
ilklerinden daha.

Antik sofizm "Boynuzlu"

Kaybetmediğin şey şu
var. Boynuzlarını kaybetmedin
bu yüzden onlara sahipsiniz.
Hata nerede?
cevap

Dolu bir bardak boş bir bardağa eşit midir?

Evet olduğu ortaya çıktı.
kadar su dolu bir bardak olsun.
yarım.
O zaman yarısı dolu bir bardak bir bardağa eşittir
yarı boş.
Eşitliğin her iki tarafını da ikiye katlayalım ve şunu elde edelim
Dolu bir bardak boş bir bardağa eşittir.
=
Hata nerede?
cevap

Hayatımızın son yılları ilk yıllarından daha kısadır

Çok bilinen bir söz vardır: Gençken zaman geçer.
daha yavaş ama yaşlılıkta daha hızlı. Bu bir deyiş
matematiksel olarak kanıtlanabilir.
Hayatının otuzuncu yılında bir adam
Hayatının 1/30'unu
yaşamın yetmişinci -1/70'inci kısmı. Açıkça görülüyor ki
1/30>1/70. Son yıllarda nasıl açıkça görülüyor?
hayat ilkinden daha kısadır.
Matematik başarısız mı oldu?
cevap

Sayısal safsata

2=3
5=6
2.2=5
1=0 veya denklem x-a=0
çözümü yok

2=3

Açık eşitliği düşünün:
(2-5/2)2=(3-5/2)2
Daha sonra
(2-5/2)=(3-5/2)
Denklemin her iki tarafına da 5/2 eklenirse,
aldık
2=3
Hata nerede?
Yanıtlar

5=6

Kimliği ele alalım:
35+10-45=42+12-54
Generali çıkaralım
faktör:
5·(7+2-9)=6·(7+2-9)
Her iki tarafı da (7+2-9)'a bölün
5=6 elde ederiz
cevap

2.2=5

Kimliğini yazalım:
4:4=5:5
Her bölümde genel olanları çıkaralım
parantez içindeki çarpanlar:
4·(1:1)=5·(1:1)
1:1=1 olduğundan 4=5 veya
2.2=5
cevap

1=0 veya x-a=0 denkleminin kökü yoktur

x-a=0 denklemi verildiğinde
Sahibiz:
(X-A)
0
=
(X-A)
(X-A)
1=0
Bu eşitlik yanlış olduğuna göre
orijinal denklem yok
kökler.
cevap

Geometrik safsatalar

ΔАВС keyfi olsun.
Haydi bir açıortay çizelim
B köşesi ve orta
dik
AC segmenti.
Bunların kesiştiği nokta
M'yi gösterelim.
Çünkü MD - yükseklik ve
ΔAMC cinsinden medyan, o zaman
ikizkenar
ve AM=MS
A
İÇİNDE
M
D
İLE

Geometrik safsatalar

M noktasından düşelim
ME ve MF'ye dik
AB ve BC kenarları
sırasıyla.
Üçgenlerin eşitliğinden
BEM ve BFM bunu takip ediyor
ME=MF, BE=BF.
İÇİNDE
e
F
M
A
D
İLE

Geometrik safsatalar

Buradan,
dikdörtgen
AME üçgenleri ve
CMF eşittir:
onlar eşit
hipotenüs (AM ve MC)
ve bacaklar (ME ve MF)
AE=CF anlamına gelir.
Yani AE=CF, BE=BF
Buradan AB=BC çıkar.
Bir paradoks ortaya çıktı: her şey
üçgenler
ikizkenar
İÇİNDE
e
F
M
A
D
C

Geometrik safsatalar

Çizimde hata. Doğru
çizim:
İÇİNDE
e
A
F
D
M
İLE

Sonuçlar:

1.
2.
3.
konseptle tanıştım
matematiksel safsatalar;
kamuflajlı aramayı öğrendim
hatalar;
gerçekleştirilmiş:
doğrunun önemi, doğru
kayıtlar ve çizimler
yasaklanan eylemlerin kabul edilemezliği
hareketler
Teoremlerin uygulanabilirliğini dikkate almanın önemi,
formüller ve kurallar.

Cevaplar "Boynuzlu"

Buradaki hata şu
genel bir kuraldan özel bir kurala geçiş
bu kuralın geçerli olmadığı durum
tedarik edilen.
Aslında kaybetmediğin şey
"O" kelimesi her şeyi ifade eder
sahip olduğun şey ve olmadığı açık
"boynuzlar" dahildir.
Bu nedenle “boynuzlarınız var” sonucu
yasadışı.
geri

"Dolu bir bardak boş bir bardağa eşittir"

Yukarıdaki mantık
yanlış çünkü içinde
yanlış uygulanmış
eylem: ikiye katlama. İÇİNDE
bu durum
uygulama anlamsızdır.
geri

Cevap. “Hayatımızın son yılları ilk yıllarından daha kısadır”

Gerçekten 1/30>1/40>1/50.
Ama bunu söylemek yanlıştır
Otuzuncu yılda bir kişi
Hayatının 1/30'unu yaşıyor
Sadece bu kısmın 1/30'u yaşıyor
bu noktada sahip olduğu hayat
yaşadı, ama yalnızca bir kısmını, hepsini değil
hayat. Arasında karşılaştırma yapılamaz
farklı segmentlerin parçalarıdır
zaman.
geri

2=3

(2-5/2)2=(3-5/2)2 ise, o zaman
doğru sonuç
olmalı
Ι2-5/2Ι=Ι3-5/2Ι, buradan da şu şekilde çıkıyor
Ι-½Ι=Ι½Ι,
ve kesinlikle eşitlik değil 2-5/2=3-5/2
geri

5=6

Bölme sırasında bir hata yapıldı
gerçek eşitlik
5·(7+2-9)=6·(7+2-9)
(7+2-9) sayısı sıfıra eşittir.
Bu yapılamaz.
Herhangi bir eşitlik bölünebilir
sadece numaraya göre
sıfırdan farklı!
geri

2.2=5

4:4=5:5
4/4=5/5
Ortak faktörleri çıkaralım:
4 1/4=5 1/5
Sonuç olarak ortak noktamız yok
çarpan ve önerilen
alındığına dair kanıt
Yanlış eylemler nedeniyle:
4:4=4·(1:1)
geri

x-a=0 denkleminin kökü yoktur veya 1=0

X-a bir kök olduğundan
denklemler ve bölme
(x-a) her iki parçada,
bu kökü kaybettik
ve bu nedenle yanlış aldım
eşitlik 1=0.
geri

Title="Örnek 10. Eşit olmayan iki sayıdan birincisi her zaman ikinciden büyüktür. a ve b keyfi sayılar ve a ≠ b olsun. Elimizde: (a – b)2 > 0, yani a2 var – 2ab – b2 > 0 veya a2 + b2 > 2ab. Bu eşitsizliğin her iki tarafına da – 2b2 eklersek: a2 – b2 > 2ab – 2b2 veya (">!}

1 / 23

Konuyla ilgili sunum: Matematiksel safsatalar

1 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

2 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Sofistlik nedir? Doğru anlaşılan bir hata, IP'nin keşfedilmesine giden yoldur. Pavlov'un Sofistliği (Yunanca sophisma'dan - hile, icat, bulmaca), resmi olarak doğru gibi görünüyor, ancak esasen, başlangıç ​​​​noktalarının kasıtlı olarak yanlış seçimine dayanan yanlış bir sonuç. Safsata ne olursa olsun mutlaka bir veya daha fazla gizlenmiş hata içerir. Özellikle matematik sofizmlerinde sıklıkla “yasak” eylemler gerçekleştirilir veya teoremlerin, formüllerin ve kuralların uygulanabilirlik koşulları dikkate alınmaz. Bazen hatalı bir çizim kullanılarak akıl yürütme yapılır veya "açıklığa" dayalı olarak hatalı sonuçlara varılır. Başka hatalar içeren safsatalar da var.

3 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Matematiğin gelişim tarihinde sofizmler önemli bir rol oynadı. Matematiksel akıl yürütmenin kesinliğinin arttırılmasına katkıda bulundular ve matematiğin kavram ve yöntemlerinin daha derin anlaşılmasına katkıda bulundular. Matematiğin gelişiminde sofizmlerin rolü, önde gelen matematikçiler tarafından bile yapılan matematiksel araştırmalardaki kasıtsız hataların oynadığı role benzer. Matematiğin gelişimine sıklıkla katkıda bulunan şey, matematiksel akıl yürütmedeki hataların açıklığa kavuşturulmasıydı. Belki de Öklid'in paralel doğrular aksiyomunun öyküsü bu bakımdan özellikle öğreticidir. Bu aksiyom şu şekilde formüle edilebilir: belirli bir çizginin dışında kalan belirli bir noktadan, verilene paralel birden fazla düz çizgi çizilemez (belirli olana paralel bir düz çizgi çizilebilir - bu kanıtlanmıştır) . İki bin yıldan fazla bir süre bu ifadeyi geometrinin diğer aksiyomlarını da dikkate alarak kanıtlamaya çalıştılar, ancak tüm girişimler başarısız oldu. Elde edilen “delillerin” hatalı olduğu ortaya çıktı. Ve yine de, bu "kanıtların" yanlışlığına rağmen, geometrinin gelişimine büyük faydalar sağladılar. Geometri ve tüm matematik alanındaki en büyük başarılardan birini - Öklid dışı geometrinin yaratılmasını - hazırladıklarını söyleyebiliriz. Yeni bir geometri geliştirmenin onuru büyük yurttaşımız N.I.'ye aittir. Lobaçevski ve Macar matematikçi Janos Bolyai. N.I. Lobaçevski ilk önce paralel aksiyomu kanıtlamaya çalıştı, ancak kısa süre sonra bunun yapılamayacağını anladı. Ve Lobaçevski'nin buna ikna olmak için izlediği yol, onu yeni bir geometri yaratmaya götürdü. Matematiğe yapılan bu dikkate değer katkı, Rus bilimini yücelten katkılardan biriydi.

4 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Sofizmlerin analizi her şeyden önce mantıksal düşünmeyi geliştirir, yani doğru düşünme becerilerini aşılar. Bir hatayı tespit etmek, onu fark etmek anlamına gelir ve hatanın farkındalığı, onun diğer matematiksel akıl yürütmelerde tekrarlanmasını engeller. Özellikle önemli olan, sofizmlerin analizi, incelenen materyalin bilinçli olarak özümsenmesine yardımcı olur, incelenen şeye karşı gözlem, düşünceli olma ve eleştirel bir tutum geliştirir. Matematiksel safsatalar kişiye dikkatli ve dikkatli ilerlemeyi, formülasyonların doğruluğunu, notların ve çizimlerin doğruluğunu ve genellemelerin kabul edilebilirliğini dikkatle izlemeyi öğretir. Bütün bunlar gerekli ve önemlidir. Son olarak, sofizmlerin analizi büyüleyicidir. Sofistlik ne kadar zorsa, analizi de o kadar tatmin edici olur. Sofizmler nasıl faydalıdır ve ne verirler?

5 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

6 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Cebirsel safsatalar İşte sofizmleri çözmenin bazı sonuçları: (ayrıntılı görüntüleme için seçilen satıra tıklayın) Örnek 1.1 s. = 10.000 k Örnek 2.5 = 6 Örnek 3.4 = 8 Örnek 4.2 · 2 = 5 Örnek 5.5 = 1 Örnek 6.4 = 5 Örnek 7. Herhangi bir sayı yarısına eşittir Örnek 8. Dünya'dan Güneş'e uzaklık eşittir saç kalınlığına kadar Örnek 9. Herhangi bir sayı = 0 Örnek 10. Eşit olmayan iki sayıdan birincisi her zaman ikincisinden büyüktür

7 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Örnek 1.1 s. = 10.000 k Doğru eşitliği alalım: 1 rub. = 100 k Parça parça karesini alalım. Alacağız: 1 ovmak. = 10.000 bin.************************************************ ***** ************************************************* ****Soru: Hata nedir? Cevap ("Enter" tuşuna basın "): Miktarların karesini almak mantıklı değil. Yalnızca sayıların karesi alınır.

8 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

5 = 6 olduğunu ispatlamaya çalışalım. Bunun için sayısal bir özdeşlik alalım: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Parantez içinde sol ve sağ kısımların ortak çarpanlarını çıkaralım. Şunu elde ederiz: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Bu eşitliğin her iki tarafını da ortak bir çarpana bölelim (parantez içinde). 5 = 6.**************************** elde ederiz. *********** ******************************************* * ***Soru: Hata nedir? Cevap (“Enter” tuşuna basın): Ortak çarpan (7 + 2 – 9) 0'dır ve 0'a bölünemez.

9 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

10 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Örnek 4.2 · 2 = 5 Sayısal bir eşitliğimiz var (doğru): 4: 4 = 5: 5. Her bölümde bunun ortak faktörünü parantezlerden çıkaralım. Şunu elde ederiz: 4 (1: 1) = 5 (1: 1). Parantez içindeki sayılar eşittir, yani 4 = 5 veya 2 2 = 5.**************** ************************************************** *********Soru: Burada hata nerede? Cevap (“Enter” tuşuna basın): Kimlik 4: 4 = 5'in sol ve sağ taraflarındaki parantezlerin ortak çarpanını yerleştirirken hata yapıldı. : 5.

11 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

5 ve 1 rakamlarından aynı 3 sayısını ayrı ayrı çıkarırız. 2 ve – 2 rakamlarını elde ederiz. Bu sayıların kareleri alındığında 4 VE 4 sayıları eşit olur. Bu da orijinal 5 ve 1 rakamlarının da olması gerektiği anlamına gelir. eşit. *** **************************************** ***** **************************Soru: Hata nedir? Cevap (“Enter” tuşuna basın): İki sayının karelerinin eşitliğinden bu sayıların kendilerinin eşit olduğu anlamına gelmez.

12 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Sayısal bir eşitliğimiz var (doğru): 16 – 36 = 25 – 45; 16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25;(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2; 4 – 4,5 = 5 – 4,5; 4 = 5. ************************************************** ******** **************************************Soru: Nedir? hata mı? Yanıt (“Enter” tuşuna basın): (4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2 ↔ |4 – 4,5| = |5 – 4,5|. Örnek 6.4 = 5

13 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Örnek 7. Herhangi bir sayı yarısına eşittir a ve b olmak üzere iki eşit sayı alalım. Bu eşitliğin her iki tarafını da a ile çarpalım ve sonra b2'ye göre çarpımlardan çıkaralım. Şunu elde ederiz: a2 – b2 = ab – b2 veya (a + b) (a – b) = b (a – b). Dolayısıyla a + b = b veya a + a = a, çünkü b = a. , 2a = a, a = . **************************************************** ************************Soru: Hata nedir? Cevap (“Enter” tuşuna basın): (a – b)'ye bölemezsiniz, çünkü (a – b) = 0.

14 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Örnek 8. Dünya'dan Güneş'e olan mesafe bir saç telinin kalınlığına eşittir. a (m) Dünya'dan Güneş'e olan mesafe ve b (m) bir saç telinin kalınlığı olsun. Aritmetik ortalamalarını v ile gösteriyoruz. Elimizde: a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Son iki eşitliği kısımlarla çarparak şunu elde ederiz: a2 – 2av = b2 – 2bv. Her parçaya v2 ekleyelim. Şunu elde ederiz: a2 – 2av + v2 = b2 – 2bv + v2 veya (a – v)2 = (b – v)2, yani. (a – v) = (b – v) ve dolayısıyla a = b. **************************************************** ************************Soru: Burada hata nerede? Cevap (“Enter” tuşuna basın): 6 numaralı örnekteki gibi hata.

15 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Örnek 9. Herhangi bir sayı = 0 A sayısı ne olursa olsun, aşağıdaki eşitlikler doğrudur: (+a)2 = a2 ve (– a)2 = a2. Dolayısıyla (+a)2 = (– a)2 yani +a = – a veya 2a = 0 olur ve dolayısıyla a = 0 olur. **************** * *************************************************** *******Soru: Hata nedir? (“Enter” tuşuna basın):

16 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Örnek 10. Eşit olmayan iki sayıdan birincisi her zaman ikincisinden büyüktür. a ve b keyfi sayılar ve a ≠ b olsun. Elimizde: (a – b)2 > 0, yani. a2 – 2ab – b2 > 0 veya a2 + b2 > 2ab Bu eşitsizliğin her iki tarafına da – 2b2 ekliyoruz. Şunu elde ederiz: a2 – b2 > 2ab – 2b2 veya (a + b) (a – b) > 2b (a – b). Her iki tarafı da (a – b) ile böldüğümüzde şunu elde ederiz: a + b > 2b, bu da a > b anlamına gelir. **************************************************** ************************Soru: Hata nerede yapıldı? Cevap (“Enter” tuşuna basın): Eşitsizliğin her iki tarafını bölerken (a + b) (a – b) > 2b (a – b) ile (a – b) eşitsizliğinin işareti tersine değişebilir (eğer a – b ise)< 0).

17 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Geometrik sofizmler İşte bazı geometrik sofizm örnekleri: (detaylı incelemek için seçilen çizgiye tıklayın) Örnek 1. Gizemli kaybolma. Örnek 2. Dünya ve turuncu Örnek 4. İki dik örnek 5. Pisagor teoreminin “yeni kanıtı”

18 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Örnek 1. Gizemli kaybolma Şekil 1'de gösterildiği gibi, üzerine birbirinden eşit mesafelerde 13 özdeş çizginin çizildiği rastgele bir dikdörtgenimiz var. Şimdi dikdörtgeni, birincinin üst ucundan geçen bir MN düz çizgisiyle "kesiyoruz". ve son satırın alt ucu. Her iki yarıyı da bu çizgi boyunca hareket ettiriyoruz ve artık 13 çizgi yerine 12 çizgi olduğunu fark ediyoruz. Bir çizgi iz bırakmadan kayboldu. **************************************************** ************************Soru: 13. satır nerede kayboldu? Cevap (“Enter” tuşuna basın):

19 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Örnek 2. Dünya ve Turuncu Yerkürenin ekvator boyunca bir çemberle kaplı olduğunu ve turuncunun da benzer şekilde onun büyük çemberinin çevresine dolandığını düşünelim. Daha sonra her bir kasnağın çevresinin 1 m uzadığını hayal edin. Daha sonra çemberler gövde yüzeyinin gerisinde kalacak ve bir miktar boşluk oluşturacaktır**************************************** ************* ***************************************** *******Soru: Boşluk nerede daha büyük olacak? : Bir portakalın yakınında mı yoksa Dünya'nın yakınında mı? Cevap ("Enter" tuşuna basın): Kürenin çevresi = C ve turuncunun çevresi = metre olsun . O halde Dünya'nın yarıçapı R = C/2 ve turuncunun yarıçapı r = c/2'dir. Yarıçaplara 1 metre eklendikten sonra Dünya'nın çemberinin çevresi C+1, turuncunun çevresi ise c+1 olacaktır. Yarıçapları sırasıyla: (C+1)/2 ve (c+) olacaktır. 1)/2. Yeni yarıçaplardan eskileri çıkarırsak her iki durumda da aynı sonucu elde ederiz (C + 1)/2 - C/2 = 1/2 - Dünya için (c + 1)/2 - c/. 2 = 1/2 - bir portakal için Yani, Dünya ile turuncu arasında aynı 1/2 metrelik (yaklaşık 16 cm) boşluk vardır.

20 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Yolculuk sırasında ahşap geminin dibinde 13 cm uzunluğunda ve 5 cm genişliğinde dikdörtgen bir delik oluştu. delik alanı = 65 cm2. Geminin marangozu, bir kenarı 8 cm kare (yani alanı = 64 cm2) olan kare bir tahta parçasını aldı, Şekil 2'de gösterildiği gibi düz çizgiler halinde A, B, C, D olmak üzere dört parçaya kesti ve sonra bunları şu şekilde katladı: sonucun deliğe tam olarak karşılık gelen bir dikdörtgen olduğunu gördü (bkz. Şekil 3). Deliği bu dikdörtgenle kapattı. Marangozun 64 cm2'lik bir kareyi 65 cm2'lik bir dikdörtgene dönüştürmeyi başardığı ortaya çıktı. ********* **********************Soru: Bu nasıl olabilir? Cevap (“Enter” tuşuna basın): Görmek kolaydır. Bir kareyi keserken ortaya çıkan A ve B üçgenleri kendi aralarında eşittir. C ve D yamukları da eşittir. Yamukların daha küçük tabanı ve üçgenlerin daha küçük olan bacağı 3 cm'ye eşittir ve bu nedenle A üçgeni yamuk C ile ve B üçgeni yamuk D ile birleştirildiğinde çakışmalıdır. ? Gerçek şu ki, G, H, E noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer almıyor, tan EHK = 8/3 ve tan HGJ = 5/2. 8/3 – 5/2 = 1/6 > 0 olduğundan EHK > HGJ olur. Aynı şekilde EFG hattı da koptu. Ortaya çıkan dikdörtgenin alanı aslında 65 cm2'dir ancak alanı tam olarak 1 cm2 olan paralelkenar şeklinde bir yuvaya sahiptir. En büyük boşluk genişliği 5 – 3 – (5 3)/8 = 1/8 cm'dir. Bu nedenle marangozun yine de küçük boşluğu kapatması gerekecektir.

21 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Örnek 4. İki dik Bir doğrunun dışında kalan bir noktadan bu doğruya iki dik çizginin çizilebileceğini “kanıtlamaya” çalışalım. Bu amaçla ABC üçgenini alın (Şekil 4). Bu üçgenin AB ve BC kenarlarında çaplarda olduğu gibi yarım daireler oluşturacağız. Bu yarım dairelerin AC kenarını E ve D noktalarında kesişmesine izin verin. E ve D noktalarını düz çizgilerle B noktasına bağlayalım. AEB açısı, çapa bağlı olarak yazılı bir çizgi gibi düz bir çizgidir; BDC açısı da doğru. Bu nedenle BE AC ve BD AC. AC doğrusuna dik olan iki doğru B noktasından geçiyor. **************************************** **Soru: Hata nedir? (“Enter” tuşuna basın): Gerekçe hatalı bir çizime dayanıyordu. Gerçekte, yarım daireler AC kenarını bir noktada keser; BE, BD ile aynıdır.

Slayt açıklaması:

"Avanta +. Matematik". – Moskova, ed. “Avanta+”, 1998. “BEKM – 2007”. – Moskova, 2007. Ignatiev E.I. “Matematik bilgisine sahip. Eğlenceli görevler, oyunlar, hileler, paradokslar.” – Moskova, ed. "Omega", 1994. Nagibin F.F., Kanin E.S. "Matematik Kutusu" – Moskova, ed. "Aydınlanma", 1988.

• Ders konusu
• "Matematiksel safsatalar"

• Dersin amacı:
• Matematik bilginizi derinleştirin. Matematikte mevcut olanların bilgilerini test etmek ilginç ve organize edilmiştir.
• 2. Mantık, hayal gücü ve yaratıcılığı geliştirin.
• 3. Meslektaşlarınızın bilişsel faaliyetlerini yoğunlaştıracak şekilde etkileyin.

• Sofistlik yanlış bir ifadenin kanıtıdır ve kanıttaki hata ustaca gizlenmiştir

• Sofistlik Yunanca kökenli bir kelimedir ve çevrildiğinde bulmaca, kurnazca bir icat anlamına gelir. Matematiksel safsatalar, matematiksel akıl yürütmedeki bu tür hataların örnekleridir; sonuç açıkça yanlış olmasına rağmen, buna yol açan hata iyi bir şekilde gizlenmiştir.

• Sofistlik, kaplumbağadan 10 kat daha hızlı koşan Aşil'in ona yetişemeyeceğinin kanıtını içerir.
• Kaplumbağa Aşil'in 100 m ilerisinde olsun.
• Daha sonra Aşil bu 100 m'yi koşacak, kaplumbağa da onun 10 m ilerisinde olacak.
• Aşil bu 10 m'yi koşacak ve kaplumbağa 1 m ileride olacak vs.
• Aralarındaki mesafe azalacak ama asla sıfıra inmeyecek. Bu, Aşil'in kaplumbağaya asla yetişemeyeceği anlamına gelir.

• Sofistler, 4.-5. yüzyıllarda yaşamış bir grup antik Yunan filozofudur. Mantıkta büyük bir beceriye ulaşan BC.
• Matematik tarihindeki safsatalar
• önemli bir rol oynadılar; matematik kavram ve yöntemlerinin daha derin anlaşılmasına katkıda bulundular.

• Akademisyen Ivan Petrovich Pavlov, "Doğru anlaşılan bir hatanın ifşaya giden yol olduğunu" söyledi. Matematiksel akıl yürütmedeki hataları anlamak çoğu zaman matematiğin gelişimine katkıda bulunmuştur. Bu bakımdan Öklid'in paralel doğrular aksiyomunun tarihi özellikle öğreticidir.

• Örnekler
• Yarımlar eşitse bütünler de eşittir.
• Yarı dolu yarı boşla aynıdır, dolu da boşla aynıdır

• Aşağıdaki akıl yürütmedeki hataları bulun:
• Görev No.1.
• Dört kere dört yirmi beş eder.
• Kanıt:
• 16:16=25:25
• 16 (1:1)=25(1:1)
• 4*4=25
• Cevap: Hata, çarpmanın dağıtım yasasının otomatik olarak bölmeye aktarılmasıdır; bu yanlıştır.

• Sorun No. 2
• Rub.=10000 Kopekten.
• Kanıt:
• Ovalamaktan. = 100 C polis.
• 1 ovmak. = 100 kopek
• Cevap: “Kare ruble” ve “kare kopek” olmadığından rubleyi 1 ruble ile çarpmak imkansızdır.

• Pratik problem
• Yeni yılın ardından ürünün fiyatı iki katına %20 oranında arttı. Bir ürünün fiyatı art arda iki artıştan sonra yüzde kaç arttı?
• Çözüm: Ürünün maliyeti RUB'dur.
• 1 artıştan sonra - 1,2 ve ovun.
• 2 artıştan sonra – 1,44 ve ovun.
• Sonuç: Ürünün fiyatı %44 arttı.

• Herhangi iki eşitlik terim terimle çarpılabilir. Bu ifadeyi yukarıda yazılan eşitliklere uygulayarak yeni eşitlikler elde ederiz.
• Ovalamaktan. = 10000 C kopek

• Cevap: Sorulması gereken soru şu: “Bu şehirde mi yaşıyorsunuz?”
• Cevap: “Evet” - kim cevap verirse versin - A şehrinde ikamet ediyorsanız veya B şehrinde ikamet ediyorsanız, A şehrinde olduğunuz anlamına gelir. Cevap: “Hayır” her koşulda B şehrinde olduğunuz anlamına gelir.

• Mantıksal problem - şaka:
• Yakınlarda iki şehir A ve B bulunmaktadır. Her iki şehrin sakinleri sık sık birbirlerini ziyaret ediyor. A şehrinin sakinlerinin her zaman doğruyu söylediği, B şehrinin sakinlerinin ise her zaman yalan söylediği bilinmektedir.
• Şehirlerden birinde karşılaştığınız (hangisi olduğunu bilmiyorsunuz) bir sakine hangi soruyu sormalısınız ki, "Evet" veya "Hayır" cevabından hangi şehirde olduğunuzu hemen anlayabilirsiniz.

• Matematiksel safsatalar çok faydalı olabilir. Sofizmlerin analizi mantıksal düşünmeyi geliştirir, öğretilen materyalin bilinçli olarak özümsenmesine yardımcı olur, düşünceliliği, gözlemi ve çalışılan konuya yönelik eleştirel tutumu teşvik eder. Ayrıca sofizmlerin analizi büyüleyicidir. Öğrenciler sofizmleri büyük bir ilgiyle algılarlar ve sofizm ne kadar zorsa analizi de o kadar tatmin edici olur.

• Bu çalışma özellikle lise öğrencilerine yönelik ek dersler için ilginç olabilir. İlk ve orta düzeyde matematik bilgisi hâlâ sınırlıdır. Bununla birlikte, ek derslerde öğrencilere eylem yasalarının ihlaline dayanan basit matematiksel safsataları tanıtabilirsiniz. Üstelik ilkokul ve ortaokul öğrencilerinin ifadelerin saçmalığına duygusal tepki verme eğiliminde olduklarını hesaba katarsak, matematiksel bir gerçeği özümseme gücü önemli ölçüde artar.

• Pedagojik açıdan, matematiksel safsatalar hataları önlemek için değil, materyale hakim olma bilincinin derecesini kontrol etmek için kullanılmalıdır. Öğrencilerin anlayabileceği en basit safsatalarla başlamanız, öğrenciler matematiksel bilgi biriktirdikçe görevleri giderek karmaşıklaştırmanız gerekir.
• (resmin üzerine tıklayın)

Slayt 1

Matematiksel safsatalar Sunum, Verkheindyrchinsky temel okulu Fatykhova Adela'nın 7. sınıf öğrencisi tarafından yapıldı.

Slayt 2

Giriş Matematiğin tarihi beklenmedik ve ilginç safsatalar ve paradokslarla doludur. Ve çoğu zaman yeni keşifler için itici güç görevi gören, onların kararlarıydı ve bu keşiflerden yeni safsatalar ve paradokslar doğuyordu. Matematiğin gelişim tarihinde sofizmler önemli bir rol oynadı.

Slayt 3

Matematiksel akıl yürütmede artan titizliğe katkıda bulundular ve matematiğin kavram ve yöntemlerinin daha derin anlaşılmasını teşvik ettiler. Matematiğin gelişiminde sofizmlerin rolü, önde gelen matematikçiler tarafından bile yapılan matematiksel ispatlarda kasıtsız hataların oynadığı role benzer. Çoğu sofizm çok uzun zamandır bilinmektedir ve çeşitli koleksiyonlarda ve dergilerde bulunabilir. Bazıları sözlü olarak nesilden nesile aktarılır.

Slayt 4

"Sofizm" kavramı Sofistlik - (Yunanca sophisma'dan, "beceri, beceri, kurnaz buluş, hile"), genel kabul görmüş fikirlerle çelişen bazı kasıtlı saçmalıkları, saçmalıkları veya paradoksal ifadeleri doğrulayan bir çıkarım veya akıl yürütmedir. Sofistlik, mantık kurallarının kasıtlı ve bilinçli ihlaline dayanır. Safsata ne olursa olsun, her zaman bir veya daha fazla gizlenmiş hata içerir.

Slayt 5

Matematiksel sofizm, kanıtı algılanamaz ve bazen oldukça ince hataları gizleyen şaşırtıcı bir ifadedir. Çoğu zaman, sofizmdeki hataları anlamak, genel olarak matematiğin anlaşılmasına yol açarak mantık ve doğru düşünme becerilerinin geliştirilmesine yardımcı olur. Sofizmde bir hata bulursanız, bu onu fark ettiğiniz anlamına gelir ve hatanın farkındalığı, onu daha sonraki matematiksel akıl yürütmede tekrarlamanızı engeller. Anlaşılmadıkça sofistliğin hiçbir faydası yoktur.

Slayt 6

Slayt 7

Tarihe Yolculuk Sofizmler Antik Yunan'da ortaya çıktı. Herkese felsefe, mantık ve özellikle retorik (belagat bilimi ve sanatı) öğreten ücretli bilgelik öğretmenleri olan sofistlerin felsefi faaliyetleriyle yakından bağlantılıdırlar. En ünlüleri, Abdera'lı Protagoras, Leontypus'lu Gorgias, Elis'li Hippias ve Keos'lu Prodice gibi kıdemli sofistlerin faaliyetleridir. Sofistlerin ana görevlerinden biri, kişiye herhangi bir şeyi kanıtlamayı (doğrulamayı veya çürütmeyi), herhangi bir entelektüel rekabetten galip çıkmayı öğretmekti. Bunu yapmak için çeşitli mantıksal, retorik ve psikolojik teknikler geliştirdiler.

Slayt 8

Sofistlik, dürüst olmayan ama başarılı tartışmanın mantıksal yöntemlerinden biridir. Ancak sofistlik tek başına herhangi bir anlaşmazlığın kazanılması için yeterli değildir. Sonuçta, eğer nesnel gerçek tartışanın tarafında değilse, o zaman tüm sofist sanatına rağmen her halükarda tartışmayı kaybedecektir. Sofistlerin kendileri bunu çok iyi anladılar. Bu nedenle, cephaneliklerindeki çeşitli mantıksal, retorik ve psikolojik numaralara ek olarak, nesnel bir gerçeğin var olmadığı önemli bir felsefi fikir (özellikle onlar için değerliydi) vardı: insan sayısı kadar gerçek var. Sofistler dünyadaki her şeyin öznel ve göreceli olduğunu savundular. Bu fikrin adil olduğunu kabul edersek, o zaman sofistlik sanatı herhangi bir tartışmada kazanmak için oldukça yeterli olacaktır: Kazanan, gerçeğin tarafında olan değil, polemik tekniklerini daha iyi kullanan kişi olacaktır.

Slayt 9

Aristoteles, sonucun geçerliliğinin açık olduğu ve mantıksal analiz eksikliğinden kaynaklanan tamamen öznel bir izlenimden kaynaklandığı sofistliğe "hayali kanıt" adını verdi. Pek çok safsatanın ilk bakışta ikna ediciliği, "mantıksallığı" genellikle iyi gizlenmiş bir hatayla ilişkilendirilir - göstergebilimsel: konuşmanın metaforik doğasından dolayı, düşüncenin belirsizliğini ihlal eder ve terimlerin anlamlarının karışmasına yol açar veya mantıksal : kanıtın ana fikrinin (tezinin) değiştirilmesi, doğru öncüllerin yerine yanlış öncüllerin kabul edilmesi, kabul edilebilir akıl yürütme yöntemlerine (mantıksal çıkarım kuralları) uyulmaması, "izinsiz" ve hatta "yasak" kural veya eylemlerin kullanılması örneğin matematiksel safsatalarda sıfıra bölme.

Slayt 10

Tarihsel olarak, "sofizm" kavramı her zaman, Protagoras'ın sofistin (Yunan sofistlerinden gelen sofist - zanaatkar, mucit, bilge, sahte bilge) görevinin sunmak olduğunu kabul etmesiyle yönlendirilen kasıtlı tahrifat fikriyle ilişkilidir. en kötü argümanı en iyi olarak, konuşmada, akıl yürütmede kurnazca hileler yoluyla, gerçeği önemsemeyerek, bir tartışmadaki başarıyı veya pratik faydayı önemseyerek. Protagoras'ın formüle ettiği "temel kriteri" genellikle aynı fikirle ilişkilendirilir: Bir kişinin görüşü gerçeğin ölçüsüdür.

Slayt 11

Cebirsel safsatalar. Cebir, aritmetik ve geometri ile birlikte bu bilimin en eski dallarından birine ait olan matematiğin en büyük dallarından biridir. Matematiğin diğer dallarından farklılaşan problemler ve yöntemler, antik çağlardan başlayarak yavaş yavaş yaratılmıştır. Cebir, benzer aritmetik problemleri çözmek için genel teknikler arayışının bir sonucu olarak sosyal uygulamanın ihtiyaçlarının etkisi altında ortaya çıktı. Bu teknikler genellikle denklem oluşturmayı ve çözmeyi içerir. Onlar. cebirsel safsatalar denklemlerde ve sayısal ifadelerde kasıtlı olarak gizlenmiş hatalardır.

Slayt 12

Bu yüzden, sizin ve benim için, zihninizi ısıtmak için ilginç bir sorunum var... ...okuldan hepimizin bildiği en basit matematiksel dönüşümleri ve formülleri kullanarak şunu kanıtlayabilirim: a=b+c verildiğinde, ​​"a" çözünmüştür "c" ...bana inanmıyor musun?! bkz: a=b+c Her iki tarafı a-b ile çarpın a2-ab=ab+ac-b2-bc ac'yi sola taşıyın a2-ab-ac =ab-b2-bc a(a-b-c)=b(a-b-c ) çarpanlarına ayırın Her iki parçayı da a-b-c'ye bölersek şunu elde ederiz: a=b

Slayt 13

Dört öğrenci - Maria, Nina, Olga ve Polya - kayak yarışmalarına katıldı ve 4 birincilik aldı. Kimin nereyi aldığı sorulduğunda üç farklı cevap verdiler: 1) Olga 1. sırada, Nina – 2., 2) Olga – 2., Polya – 3., 3) Maria – 2., Fields – 4. sırada. Katılımcılar her bir cevaptaki ifadelerden birinin doğru, diğerinin ise yanlış olduğunu kabul etmişlerdir. Her öğrenci hangi yeri aldı?

Slayt 14

Çözüm. Şekil 1 ve 2'de “üst” setin noktaları öğrencilerin isimlerine, “alt” setin noktaları ise işgal edilen yerlere karşılık gelmektedir. Düz bölümler ilk öğrencinin ifadelerine, kesikli bölümler - ikincisi, kesikli noktalı bölümler - üçüncüye karşılık gelir. Yanlış ifadeye karşılık gelen bölümlerin üzerini çizeceğiz. Nina'nın ikinci sırada yer aldığını varsayalım. Bu durumda (Şekil 1) Polya üçüncü ve dördüncü sırayı aldı ki bu da sorunun koşullarına göre imkansız. Olya'nın 1. sırayı aldığını varsayalım (Şekil 2), ardından Maria 2. sırayı, Polya 3. sırayı, Nina 4. sırayı aldı.

Slayt 15

Çözüm. Matematiksel safsataların yanı sıra genel olarak matematik hakkında da sonsuzca konuşulabilir. Her gün yeni paradokslar doğuyor, bazıları tarihte kalacak, bazıları ise bir gün sürecek. Sofistlik, yalnızca mantığın geliştirilmesine ve akıl yürütmedeki hataların aranmasına yardımcı olmakla kalmayıp, felsefe ve matematiğin bir karışımıdır. Kelimenin tam anlamıyla Sofistlerin kim olduğunu hatırlayarak, asıl görevin felsefeyi anlamak olduğu anlaşılabilir. Ancak yine de modern dünyamızda, sofizmlerle, özellikle de matematiksel olanlarla ilgilenen insanlar varsa, o zaman doğruluk ve mantıksal akıl yürütme becerilerini geliştirmek için bunları yalnızca matematiksel açıdan bir fenomen olarak incelerler.

Slayt 16

Sofistliği bu şekilde anlamak (bunu çözmek ve hatayı bulmak) hemen mümkün değildir. Biraz beceri ve yaratıcılık gerektirir. Bazı safsataları gerçekten anlamak için birkaç kez analiz etmek gerekiyordu, bazıları ise tam tersine çok basit görünüyordu. Gelişmiş düşünme mantığı yalnızca bazı matematik problemlerinin çözümüne yardımcı olmakla kalmayacak, aynı zamanda yaşamda da yararlı olabilir. Sofistliğin bütün bir bilim olduğunu, yani matematiksel safsataların büyük bir hareketin yalnızca bir parçası olduğunu anladık. Sofizmleri araştırmak gerçekten çok ilginç ve sıradışı. Bazen siz kendiniz sofistin hilelerine, onun akıl yürütmesinin kusursuzluğuna kanarsınız. Önünüzde gerçekten doğru gibi görünen özel bir akıl yürütme dünyası açılıyor. Sofizmler ve paradokslar sayesinde, başkalarının akıl yürütmelerindeki hataları aramayı öğrenebilir, kendi akıl yürütmenizi ve mantıksal açıklamalarınızı yetkin bir şekilde oluşturmayı öğrenebilirsiniz.

Slayt 17

Literatür 1. Lietzman W. Wo steckt der Fehler? Mathematische Trugschlüsse und Warnzeichen. – Leipzig mi? 1952 2. Amenitsky N. Matematiksel eğlence ve meraklı düşünme yöntemleri. – M., 1912 3. Bogomolov S.A. Gerçek sonsuzluk. - M.; L., 1934 4. Bolzano B. Sonsuzluğun paradoksları. – Odessa, 1911 5. Bradis V.M., Kharcheva A.K. Matematiksel akıl yürütmede hatalar. – M., 1938 6. Goryachev D.N., Voronets A.M. Matematik severler için problemler, sorular ve safsatalar. – M., 1903 7. Litzman V., Trier F. Hata nerede? – St. Petersburg, 1919 8. Lyamin A. A. Matematiksel paradokslar ve ilginç problemler. – M., 1911 9. Madera A.G., Madera D.A. Matematiksel safsatalar. – M.: Eğitim, 2003 10. Obreimov V.I. – 2. baskı. – St.Petersburg, 1889.

Slayt 1

Slayt 2

Sofizm tarihinden biraz "Sofizm" terimi ilk kez Aristoteles tarafından tanıtıldı ve eski Yunanca sophisma kelimesinden geliyor - "beceri, kurnazlık, buluş, hayali bilgelik."

Slayt 3

Antik çağda meşhur olan sofizm örnekleri: “Kaybetmediğin şeye sahipsin; Boynuzlarını kaybetmedin; demek ki boynuzların var” “Oturan ayağa kalktı; kim ayağa kalkarsa ayağa kalkar; dolayısıyla oturan ayaktadır” “Bu köpek senindir; o bir babadır; demek ki o senin baban” “-Şimdi sana ne sormak istediğimi biliyor musun? - HAYIR. - Yalan söylemenin kötü olduğunu bilmiyor musun? - Tabiki biliyorum. “Ama sana tam olarak bunu soracaktım ve sen de bilmediğini söyledin; bilmediğini bildiğin ortaya çıktı."

Slayt 4

Sofistlik iki bin yıldan fazla bir süredir var. Onların ortaya çıkışı genellikle sofistlerin (M.Ö. Antik Yunan V-IV yüzyıllar) felsefi faaliyetleriyle ilişkilidir - herkese felsefe, mantık ve özellikle retorik (belagat bilimi ve sanatı) öğreten ücretli bilgelik öğretmenleri. Antik Yunanistan'da sofistlik yönünün en ünlü temsilcileri Protagoras, Gorgias, Prodicus'tur.

Slayt 5

Safsataların sınıflandırılması İlaçlar “Hastanın aldığı ilaç iyidir. Ne kadar iyilik yaparsan o kadar iyi olur. Bu, mümkün olduğu kadar çok ilaç almanız gerektiği anlamına gelir. Hırsız “Hırsız kötü bir şey elde etmek istemez. İyi bir şey elde etmek iyi bir şeydir. Bu nedenle hırsızın niyeti iyi.” mantıksal cebirsel Birim sıfıra eşittir X-a=0 denklemini alın, denklemin her iki tarafını da (x-a)'ya bölün, (x-a)/(x-a)=0/(x-a) elde ederiz ve dolayısıyla 1=0 elde ederiz. Hata: Hata, x'in sıfıra eşit olması ve sıfıra bölünememesidir.

Slayt 6

terminolojik “Üçgenin tüm açıları = π” anlamında “Üçgenin açılarının toplamı = π” “beş artı ikinin ikiyle çarpımı ne kadardır?” Burada 9'u mu (yani 5 + (2*2)) yoksa 14'ü (yani (5 + 2) * 2) mi kastettiğimize karar vermek zor. . aritmetik Bir ruble yüz kopeğe eşit değildir. 1 ruble = 100 kopek 10 ruble = 1000 kopek Bu doğru eşitliklerin her iki tarafını da çarparsak şunu elde ederiz: 10 ruble = 100.000 kopek, yani: 1 ruble = 10.000 kopek, yani. 1 ovmak. 100 kopek'e eşit değil. Hata: Bu safsatada yapılan hata, adlandırılmış büyüklüklerle eylem kurallarının ihlalidir: nicelikler üzerinde yapılan tüm eylemler, aynı zamanda onların boyutları üzerinde de yapılmalıdır.

Slayt 7

geometrik “bir doğru üzerindeki bir noktadan iki dik çizilebilir” Doğrunun dışında kalan bir noktadan bu doğruya iki dik çizilebileceğini “kanıtlamaya” çalışalım. Bu amaçla ABC üçgenini alalım. Bu üçgenin AB ve BC kenarlarında çaplarda olduğu gibi yarım daireler oluşturacağız. Bu yarım dairelerin AC kenarı ile E ve D noktalarında kesişmesine izin verin. E ve D noktalarını düz çizgilerle B noktasına bağlayalım. AEB açısı, çapa bağlı olarak yazılı bir çizgi gibi düz bir çizgidir; BDC açısı da doğru. Bu nedenle BE AC'ye diktir ve B D AC'ye diktir. AC doğrusuna dik olan iki doğru B noktasından geçiyor.

Slayt 8

Sofizmler fizik öğrencileri için nasıl faydalıdır? Ne verebilirler? Sofizmlerin analizi her şeyden önce mantıksal düşünmeyi geliştirir, yani doğru düşünme becerilerini aşılar. Özellikle önemli olan, sofizmlerin analizi, incelenen materyalin bilinçli olarak özümsenmesine yardımcı olur, incelenen şeye karşı gözlem, düşünceli olma ve eleştirel bir tutum geliştirir. Son olarak, sofizmlerin analizi büyüleyicidir. Sofistlik ne kadar zorsa, analizi de o kadar tatmin edici olur. Önemli olan hata yapmamanız değil, hatanın sebebini bulup ortadan kaldırmanızdır.