Grafik teorisi. Grafik teorisi, ayrık matematiğin kapsamlı bir bağımsız dalıdır.

Korobova Anastasia, öğrenci gr. 14-PGS-48D

Günümüzde ders çalışmak önemli çeşitli metodlar, özellikler ve standart dışı uygulamalar. Çevremizdeki gerçeklikte "Grafik" yönteminin uygulamasını ele alacağız.

Matematikte "graf" kelimesi, bazıları çizgilerle birbirine bağlanan birkaç noktanın çizildiği bir resim anlamına gelir. Her şeyden önce, tartışılacak olan sayıların geçmişin aristokratlarıyla hiçbir ilgisi olmadığını söylemekte fayda var. "Grafiklerimiz", "yazıyorum" anlamına gelen Yunanca "grapho" kelimesinden türetilmiştir. "Grafik", "biyografi" kelimelerinde aynı kök.

Grafik teorisi üzerine ilk çalışma Leonhard Euler'e aittir ve 1736'da St. Petersburg Bilimler Akademisi'nin yayınlarında ortaya çıktı.

Sayılar buluşuyor:

fizikte - elektrik devrelerinin yapımında

kimya ve biyolojide - zincirlerinin moleküllerinin çalışmasında

tarihte - aile ağaçlarını derlerken (soy ağacı)

coğrafyada - haritalamada

geometride - çokgen çizimleri, çokyüzlüler, uzamsal figürler

ekonomide - yük taşımacılığı akışları (havayolları, metro, demiryolları) için en uygun yolu seçme problemlerini çözerken

Grafik teorisi, matematik olimpiyatlarının görevlerini çözmede kullanılır. Grafikler, problemin koşullarını görünür kılar, çözümü basitleştirir ve problemlerin benzerliğini ortaya çıkarır.

Artık bilim ve teknolojinin herhangi bir dalında grafiklerle tanışıyorsunuz.

İndirmek:

Ön izleme:

Sunumların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesap) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Matematikte sunum Konu: "Grafikler" 14-PGS-48D Korobova Anastasia grubunun bir öğrencisi tarafından tamamlandı

Grafik, noktalar ve bu noktaları birleştiren doğrulardan oluşan bir şekildir. Çizgilere grafiğin kenarları, noktalara köşeler denir. Çift sayıda kenarın çıktığı köşelere çift, tek sayıya tek denir. Grafik Örnekleri Grafik Teorisi

Leonhard Euler (4 Nisan 1707, Basel, İsviçre - 7 Eylül 1783, St. Petersburg, Rus İmparatorluğu) matematiğin yanı sıra mekanik, fiziğin gelişimine önemli katkılarda bulunan İsviçreli, Alman ve Rus bir matematikçiydi. astronomi ve bir dizi uygulamalı bilim. Euler, matematiksel analiz, diferansiyel geometri, sayı teorisi, yaklaşık hesaplamalar, gök mekaniği, matematiksel fizik, optik, balistik, gemi yapımı, müzik teorisi vb. konularda 800'den fazla makalenin yazarıdır.

Kağıttan kalemi kaldırmadan çizilebilen şekle (grafiğe) unicursal denir. Desen 1. Kalemi kağıttan kaldırmadan sadece iki tek köşesi olan bir grafik çizilebilir ve hareket bu tek köşelerden birinden başlamalı ve ikincisinde bitmelidir. (Şekil A) Model 2 . İkiden fazla tek köşesi olan bir grafik “tek vuruş” ile çizilemez (Şekil B) Euler grafikleri B A

Desen 3. Grafiğin tüm köşeleri eşitse, kalemi kağıttan kaldırmadan, her kenar boyunca yalnızca bir kez çizerek bu grafiği çizin. Hareket herhangi bir tepe noktasından başlayabilir ve aynı tepe noktasında bitirebilir.

Uzun zamandır, Königsberg sakinleri arasında böyle bir bilmece yayıldı: tüm köprülerden (Pregolya Nehri boyunca) hiçbirinden iki kez geçmeden nasıl geçilir? Birçok kişi yürüyüşler sırasında bu sorunu hem teorik hem de pratik olarak çözmeye çalıştı Königsberg köprüleri sorunu.

Bu, bazı kenarların yönlendirilebildiği ve bazılarının yönlendirilmediği bir grafiktir. Karışık Sayım

Ağırlıklı grafik 1 2 4 2 3 A B C D E

Bir ağaç, döngüleri olmayan herhangi bir bağlantılı grafiktir. Ağaçlar Ağaçlar

Bu, kenarlarına bir yön atanmış (çoklu) bir grafiktir. Yönlendirilmiş kenarlara yay da denir. Yönlendirilmiş grafik

Sayılar buluşuyor:

Grafik teorisi, matematik olimpiyatlarının görevlerini çözmede kullanılır. Grafikler, problemin koşullarını görünür kılar, çözümü basitleştirir ve problemlerin benzerliğini ortaya çıkarır. Artık bilim ve teknolojinin herhangi bir dalında grafiklerle tanışıyorsunuz.

Dikkatiniz için teşekkürler!

öğrencilere "Grafik" kavramı, yapısının temel ilkeleri hakkında bilgi vermek;

nesneleri birbirine bağlayan ilişkileri vurgulama yeteneği oluşturmak;

dikkat, mantıksal akıl yürütme yeteneği geliştirmek;

karşılıklı yardımı teşvik etmek, bir takımda çalışma yeteneği

pratikte edinilen bilgilerin konsolidasyonu

hafıza gelişimi, dikkat;

bağımsızlığın gelişimi;

bilişsel aktivite eğitimi.

Teçhizat:

• modern teknoloji ile donatılmış bilgisayar sınıfı, video projektörü, perde;
• Windows XP işletim sistemine sahip bilgisayarlar, program Microsoft Office PowerPoint 2003;
• beyaz tahta ekipmanı (ders konusu, yeni terimler). Bildiri.

Ders planı.

II. Yeni materyalin sunumu. (10 dk.)

III. Malzemeyi sabitleme. Pratik iş. (15-20 dk.)

IV. Dersi özetlemek (2 dak)

v. Ödev.

I. Organizasyonel an. Bilgi güncellemesi.

Merhaba! Dersimizin adı "Grafikler". “Grafikler” kavramıyla tanışacağız, onları nasıl tasvir edeceğimizi öğreneceğiz ve bu konudaki problemleri çözeceğiz.

II Yeni materyalin sunumu.

Grafik teorisi üzerine ilk çalışma Leonhard Euler'e (1736) aittir, ancak "graf" terimi ilk kez 1936'da Macar matematikçi Denesh Koenig tarafından tanıtıldı. Grafiklere, düz çizgilerin noktalarından ve bölümlerinden veya bu noktaları birleştiren eğrilerden oluşan şemalar denir (grafik örnekleri Şekil 1'de gösterilmiştir).

Grafiklerin yardımıyla, çeşitli bilgi alanlarında formüle edilen problemlerin çözümü genellikle basitleştirildi: otomasyon, elektronik, fizik, kimya vb. . Grafikler matematiksel ve ekonomik problemlerin çözümüne yardımcı olur.

Grafik - (Yunanca grafiğinden - yazıyorum), aralarındaki bağlantı nesnesinin öğelerinin görsel temsilinin bir aracıdır. Bunlar harika matematiksel nesnelerdir, yardımlarıyla birçok farklı, görünüşte farklı problemi çözebilirsiniz.

Bir grafik bazı bilgi modelidir

Bir grafik, yaylar veya segmentler - kenarlar ile bağlanan köşelerden veya düğümlerden oluşur. Çizgi yönlendirilebilir, yani yönlendirilmemişse bir ok (yay) olabilir - bir kenar. Bir yay veya kenar ile birbirine bağlanan iki köşeye bitişik denir.

Grafik örnekleri (Slayt 4, 5, 6)

Görev 1 (Slayt 7):

Güneş sisteminin dokuz gezegeni arasında bir uzay iletişimi kuruldu. Normal roketler aşağıdaki rotalarda uçar:

Dünya - Merkür; Plüton - Venüs; Dünya - Plüton; Plüton - Merkür; Merkür - Venüs; Uranüs - Neptün; Neptün - Satürn; Satürn - Jüpiter; Jüpiter - Mars; Mars - Uranüs.

Dünya'dan Mars'a normal roketlerle uçmak mümkün mü?

Çözüm: Durumun bir diyagramını çizelim: Gezegenleri noktalarla ve roketlerin rotalarını çizgilerle göstereceğiz.

Şimdi, Dünya'dan Mars'a uçmanın imkansız olduğu hemen anlaşılıyor.

Bir yay veya kenar ile birbirine bağlanan iki köşeye bitişik denir. Her kenar veya yay bir sayı ile ilişkilendirilir. Sayı, yerleşimler arasındaki mesafeyi, bir tepeden diğerine geçiş zamanını vb. gösterebilir.

Görev 2 (slayt 9) - çözüm tahtada. Masha hayvanat bahçesine geldi ve mümkün olduğunca çok hayvan görmek istiyor. Hangi yolu seçmeli? Sarı, kırmızı, yeşil?

Görev 3 (11 slayt) - çözüm tahtada. Beş futbol takımı A, B, C, D, E birbirleriyle maç yapmak zorundadır. Zaten A ile B, C, D oynadı; B c A, C, D. Şimdiye kadar kaç maç oynandı? Oynamak için ne kadar kaldı?

Grafik gösterimi (Slayt 12)

Grafik, bir yay listesi (AB; 7), grafik olarak veya bir tablo kullanılarak gösterilebilir.

Ark Listeleri	grafik formu	tablo şeklinde
(AB; 7),		FAKAT İÇİNDE İTİBAREN FAKAT 3 İÇİNDE 4 İTİBAREN 3 4

III. Materyallerin birleştirilmesi: öğrenciler gruplara ayrılmaya ve görevleri tamamlamaya davet edilir. Küçük bir grupla çalışan öğrenciler, dersin başında kazandıkları teorik bilgilere dayalı modelleri tartışırlar. Böylece malzemenin tekrarı ve sağlamlığı sağlanır.

Görev 2 (Slayt 13)

IV. ders özeti

Çocuklar, bugün hangi yeni kelimeleri öğrendiniz? (Sayım, grafik köşesi, grafik kenarları.)

Bir grafiğin köşeleri neyi temsil edebilir? (Şehirler; bağlantılı nesneler.)

Grafiğin kenarları ne anlama geliyor (Yollar, hareketler, yönler)

Hayatta onlarla nerede tanışabileceğimize bir örnek verin?

Grafikler nasıl görüntülenir?

V. Ödev. (Slayt 15)

Köşe sayısı denir
grafik sırası.
Kenar sayısı denir
grafik boyutu.

Bazı terimler-1

- R=(a,b) grafiğin kenarlarından biri olsun. O zamanlar
a ve b köşelerine terminal denir
kenar köşeleri;
- Aynı kenarın bitiş köşeleri
komşu denir;
- İki kenar varsa bitişik olarak adlandırılır.
ortak uç köşe;
- İki kenar birden çok olarak adlandırılır
bitiş köşelerinin kümeleri çakışır;
- Bir kenar, biterse döngü olarak adlandırılır.
kibrit.

Bazı terimler-2

- V köşesinin derecesi derece(V) ile gösterilir
kenar sayısı olarak adlandırılır,
bu köşenin sonu olan;
- Bir köşe, eğer izole edilmiş olarak adlandırılır:
o kimsenin sonu değil
pirzola;
- Bir köşe, eğer varsa yaprak olarak adlandırılır.
tam olarak biri için terminaldir
pirzola. Bir q sayfası için, derece(q)=1 olduğu açıktır.

Örnek vermek:

derece(C)=4
H1,…H4 - Yapraklar

Başka bir örnek:

B ve D şehirleri izole edildi
üstler; G ve E şehirleri yapraklardır.

Grafiği tamamla

Bir grafik varsa tamamlanmış olarak adlandırılır
iki köşe bir kenarla bağlanır.
Tam bir grafiğin kaç kenarı vardır
sipariş n?
N dereceli tam bir grafik kenar sayısına sahiptir
eşittir Cn2=n!/(2*(n-2)!)=n*(n-1)/2

Kanıtlayalım...

Grafiği iki köşe ile tamamlayın
bir kenar içerir - bu açıktır.
n=2'yi n*(n-1)/2 formülünde değiştirin
Alırız:
n*(n-1)/2=1
Formül n=2 için doğrudur

indüksiyon varsayımı

formülün doğru olduğunu varsayalım
k köşeli grafik.
Bunun ima ettiğini kanıtlayalım
grafiğin formülünün geçerliliği
(k+1) tepe noktası ile.

K köşeleri olan tam grafiğe bir köşe daha ekleyelim.

Ve ilk K ile bağlayın
zirveler...

Alırız:

Kaç kaburgamız olduğunu sayıyoruz ...

K*(K-1)/2 + K
=
K*(K+1)/2
Son ifade elde edilir,
n yerine n*(n-1)/2 formülünde ise
K+1'i değiştirin.

Adalet varsayımından
n=k için ifade aşağıdaki gibidir
ifadenin geçerliliği
n=k+1.
Teorem kanıtlanmıştır.

Tam Grafik Örnekleri

Önemli açıklama

Yönsüz bir grafikte kenarları tanımlayan çiftler sırasızdır (yani,
(a,b) ve (b,a) çiftleri farklı değildir)

Yönlendirilmiş grafik

Grafiğin kenarları küme ise
sıralı çiftler (yani (a,b) ≠ (b,a))),
Grafiğin yönlendirildiği söyleniyor.
(veya digraf)
Konsepte Nasıl Yön Verilir
görsel anlam?
Çok basit - kaburgalar sağlanır
oklar (baştan sona)!

Digraf örneği

Karışık Sayım

Karışık bir grafik üçlüdür (V, E, A).
V, köşeler kümesidir;
E yönsüz kümesidir
pirzola;
A, yönlendirilmiş kenarlar kümesidir.
Bu arada, yönlendirilmiş kenarlar
arklar denir.

grafik izomorfizmi

G1 ve G2 olmak üzere iki grafik olsun
Bire bir yazışma varsa F
G1 ve G2 grafiklerinin köşeleri arasında, öyle ki:
- G1 grafiğinde bir kenar (a,b) varsa, o zaman G2 grafiğinde
bir kenar var (F(a),F(b))
- G2 grafiğinde bir kenar (p,q) varsa, o zaman G1 grafiğinde
bir kenar var (F-1(p),F-1(q))
daha sonra G1 ve G2 grafiklerine izomorfik denir ve
yazışma F bir izomorfizmdir.

açıklama

Digraflar ve karışık grafikler için
yazışma F korumalıdır
ark yönelimi.

izomorfizm için gerekli koşul

Elementler arasında hangi koşullar altında
iki sonlu küme
bire bir ayarla
uygunluk?
O zaman ve ancak o zaman, sayısı
elemanlar aynıdır.
İzomorfizm için gerekli bir koşul
grafikler aynı sayı
zirveler.

Bu şart yeterli mi?

Hayır, çünkü köşeler olabilir
farklı şekillerde bağlanır.

Bu grafikler izomorfik midir?

Köşe sayısı aynı -
gerekli şart sağlanmış...

Bir yazışma kurmaya çalışıyoruz F…

Bu bir izomorfizm değildir: G1'in bir (A, D) kenarı vardır,
ve bu kenarların G2'deki görüntüleri bağlı değil.

Baska deneme...

Ve bu bir izomorfizm!

Bu grafikler izomorfik midir?

Ne yazık ki hayır…

Teorik açıdan iki
izomorfik grafik bir ve aynıdır
aynı nesne (yalnızca, belki de farklı şekilde tasvir edilmiştir ...)

Yollar (zincirler):

Bir yol (zincir) bir dizidir
zirveler:
a1, a2, … , bir
komşu köşeler ai ve ai+1 nerede
kaburgalarla bağlanır.
Bir yolun uzunluğu, bileşenlerinin sayısıdır.
pirzola

Yol örnekleri:

(A, D, C) ve (A, B, D) yollardır. (A, B, C) yol değil.

Bir digraf için bir yol kavramı korur
güç, ancak desteklenmesi gerekiyor -
komşu zirveler
diziler
a1, a2, … , bir
arklarla bağlanmalıdır.

döngüler

Bir döngü, başlangıcı ve
bitiş noktası eşleşmesi.
Bir döngünün uzunluğu, bileşenlerinin sayısıdır.
pirzola.
İçinde kenarlar varsa bir döngü basit olarak adlandırılır.
tekrarlanmazlar.
Bir döngü, eğer varsa, temel olarak adlandırılır.
basit ve içindeki köşeler tekrar etmiyor.

Bağlantı bileşenleri

Rastgele bir grafiğin köşeleri olabilir
için sınıflara ayrılmıştır.
aynı sınıf v1'in herhangi iki köşesi
ve v2, v1'den v2'ye bir yol var
Bu sınıflara bileşen adı verilir.
bağlantı.
Grafiğin tam olarak bir bileşeni varsa
bağlantı, ardından grafik çağrılır
bağlı.

Grafiklerin makine gösterimi.

komşuluk matrisi

- G grafiğinin köşelerini sıralıyoruz
1'den n'ye kadar ardışık tam sayılar;
- n×n kare bir tablo oluşturun ve
sıfırlarla doldurun;
- Kenar birleştirme varsa
i ve j köşeleri, ardından (i,j) ve (j,i) konumlarında
birimleri koymak;
- Ortaya çıkan tablo çağrılır
G grafiğinin komşuluk matrisi.

Örnek vermek

Komşuluk matrisinin bazı belirgin özellikleri

- Bir tepe izole edilmişse, o zaman satırı ve
sütun tamamen boş olacak;
- Bir satırdaki birim sayısı (sütun)
karşılık gelen derecesine eşit
üstler;
- Yönsüz bir grafik için, matris
komşuluk simetriktir
ana köşegen;
- Döngü, üzerinde duran bir birime karşılık gelir
ana köşegen.

Bir digraf için genelleme

Digraf için komşuluk matrisi
benzer inşa edilebilir
yol, ancak sırayı dikkate almak için
köşeler, bunu yapabilirsiniz:
Yay, j köşesinden geliyorsa ve
k köşesine girer, ardından (j,k) konumunda
bitişiklik matrislerini 1'e ayarlayın ve
konum (k, j) seti -1.

insidans matrisi

- G grafiğinin köşelerini sıralıyoruz
1'den ardışık tam sayılar
n;
- İle dikdörtgen bir masa oluşturun
n satır ve m sütun (sütunlar
grafiğin kenarlarına karşılık gelir);
- j. kenarda bir terminal varsa
köşe k, sonra konumunda
(k,j) bir olarak ayarlanır. Tümünde
diğer durumlarda, sıfıra ayarlanır.

Bir digraf için insidans matrisi

- Eğer j-inci yay k köşesinden geliyor,
sonra (k,j) konumu 1'e ayarlanır;
- j'inci yay k köşesine girerse, o zaman
(k,j) konumunda -1 koyun.
- Diğer durumlarda (k, j) konumunda
sıfır kalır.

Matrisin sütunlarından beri
olaylar kenarları tanımlar, sonra
her sütun içermeyebilir
ikiden fazla sıfır olmayan eleman

Bir olay matrisi örneği

kaburga listesi

Bir grafiği temsil etmenin başka bir yolu
– iki boyutlu dizi (çiftlerin listesi).
Çift sayısı kenar sayısına eşittir
(veya yaylar).

Kenar listesi örneği

Farklı sunum yöntemlerinin karşılaştırılması

- Kenarların listesi en kompakt olanıdır ve
en az insidans matrisi
kompakt;
- İnsidans matrisi ne zaman kullanışlıdır
döngüleri aramak;
- Komşuluk matrisi daha kolay
geri kalanı kullanımda.

Grafik geçişi

Bir grafiğin geçişi, onun numaralandırılmasıdır.
köşeler öyle ki her köşe
kez görüntülendi.

Anlaşma-1

Bir grafik için arama yapmadan önce
n köşe ile bir dizi Chk oluşturun
n eleman ve doldurun
sıfırlar.
Chk[i] = 0 ise, o zaman i. köşe hala
görüntülenmedi.

Anlaşma-2

Veri yapısını alalım
(depo), içinde yapacağımız
işlemdeki köşeleri ezberle
kalp ameliyati. Depolama Arayüzü
üç işlev sağlamalıdır:
- Üstü getirin;
- Üst özü;
- Deponun boş olup olmadığını kontrol edin;

Anlaşma-3

köşe j yerleştirildiğinde
depo olarak işaretlenir
görüntülendi (yani yüklü
Chk[j]=1)

Bypass Algoritması-1

1) İsteğe bağlı bir başlangıç ​​tepe noktası alıyoruz,
yazdırın ve depoya koyun;

3) Z köşesini depodan alın;
4) Z ile ilişkili bir Q köşesi varsa ve
kontrol edildi, ardından Z'yi depoya geri döndürdük,
Q'yu kaydet, Q'yu yazdır;
5) 2. adıma gidin

Bypass algoritması-2

1) Rastgele bir başlangıç ​​tepe noktası alıyoruz ve
depoya koyduk;
2) Depo boş mu? EVET ise - son;
3) Z köşesini depodan alın, yazdırın ve
depolamadan sil;
4) Tüm köşeleri depoya koyduk,
Z ile ilişkili ve henüz işaretlenmemiş;
5) 2. adıma gidin

Hangi veri yapıları depolama olarak uygundur?

- Yığın (PUSH - getir; POP - kaldır)
- Sıra (ENQUE - girin; DEQUE -
Ayıkla)
Her iki yapı da kontrole izin verir
veri kullanılabilirliği.

Yığınla birleştirilmiş Algoritma-1
derinlik geçişi denir
Algoritma-2 bir sıra ile birleştirildi
önce genişlik denir

Bir grafik, sonlu bir V köşeleri kümesi ve köşe çiftlerini birleştiren bir R kenarı kümesidir, G=(V,R). V ve R kümelerinin kardinaliteleri N ve M'ye eşittir. Kenarlar kümesi boş olabilir. Köşe örnekleri, herhangi bir nitelikteki nesnelerdir (yerleşimler, bilgisayar ağları). Kenar örnekleri yollar, kenarlar, çizgilerdir.

Bir kenarla birbirine bağlanan köşelere bitişik denir. Ortak bir tepe noktasına sahip kenarlara bitişik olarak da adlandırılır. Bir kenar ve iki köşesinden herhangi birine olay denir. Bir tepe noktasının derecesi, kendisine gelen kenarların sayısıdır. Her grafik, düzlemde, kenarlara karşılık gelen çizgilerle birbirine bağlanan köşelere karşılık gelen bir dizi nokta ile temsil edilebilir.

Bir grafik yolu, bir köşe ve kenar dizisidir. Başlangıç ​​ve bitiş noktaları aynıysa bir rota kapalıdır (döngüsel). Tüm köşeler ve kenarlar farklıysa, bir rota basit bir yoldur. Her köşeye diğerinden erişilebilirse bir grafik bağlanır. Olay kenarları olmayan köşelere yalıtılmış denir.

Olay Matrisi

İletişim Listeleri

kaburga listesi

Bir grafiğin bağlantılı ağırlıklı yönsüz grafiğinin komşuluk matrisi

Asgari ağırlıkta yayılan bağlantılı bir ağacın inşası. Kruskal'ın algoritması Tüm kenarlar grafikten çıkarılır ve tüm köşelerin izole edildiği bir yayılan alt çizge elde edilir. Her tepe noktası bir singleton alt kümesine yerleştirilir. Kenarlar artan ağırlık sırasına göre sıralanır. Kenarlar sırayla, ağırlıklarına göre artan sırada, yayılan ağaca dahil edilir.

4 durum vardır: 1) dahil edilen kenarın her iki köşesi tek elemanlı alt kümelere aittir, daha sonra bunlar yeni, bağlantılı bir alt kümede birleştirilir; 2) köşelerden biri bağlı bir alt kümeye ait, diğeri değil, o zaman ikincisini birincinin ait olduğu alt kümeye dahil ederiz; 3) her iki köşe de farklı bağlantılı alt kümelere aittir, sonra alt kümeleri birleştiririz; 4) Her iki köşe de aynı bağlı alt kümeye aittir, o zaman bu kenarı hariç tutarız.

GG grafiği için minimum ağırlıklı bir yayılan ağaç oluşturmaya bir örnek Gerçekleştirilen eylemler Köşe kümesi Grafik 1 İzole edilmiş ve köşeleri olan bir yayılan alt grafik oluşturun 5 tekli alt küme elde ederiz: (V 1 ), (V 2 ), (V 3 ), ( V 4 ), (V 5 ) 2Minimum ağırlığın (R 15) kenarını bulun ve yayılan alt grafiğe ekleyin Bağlantılı bir köşe alt kümesi oluşturun: (V 1,V 5). Alt kümeleri kaydet (V 2 ), (V 3 ), (V 4 )

Gerçekleştirilen eylemler Köşe kümesi Grafik 3 Kalanlar arasında minimum ağırlığın kenarını (R 45) bulun ve yayılan alt grafiğe ekleyin.Köşeyi bağlı altkümeye ekleyin: (V 1,V 5, V 4). Alt kümeleri kaydediyoruz (V 2 ), (V 3 ) 4Geri kalanlar arasında minimum ağırlığın kenarını (R 23) bulun ve yayılan alt grafiğe ekleyin Yeni bir bağlantılı köşe alt kümesi oluşturun: (V 2,V 3 ) . İlk bağlı alt kümeyi tutuyoruz (V 1,V 5, V 4 ).

Gerçekleştirilen eylemler Köşe kümesi Grafik 5 Kalanlar arasında minimum ağırlığın kenarını (R 25) bulun ve yayılan alt grafiğe ekleyin.Alt kümeleri bağlı bir alt kümede birleştirin (V 1,V 5, V 4,V 2,V 3 ). 6 Kenarların geri kalanı grafiğe dahil edilmemiştir, çünkü tüm köşeleri zaten aynı bağlı kümeye aittir.

Gerçekleştirilen eylemler Köşe kümesi Grafik 7A grafiği elde edilmiştir, bu: kapsayan bir grafiktir (tüm köşeler dahildir); bağlı (tüm köşeler rotalarla bağlanabilir); ağaç (döngü yok); minimum ağırlığa sahiptir. 8 Ortaya çıkan kapsayan ağacın minimum ağırlığı vardır: R 12 +R 25 +R 15 +R 45 = =80 9 G grafiğinin döngüsel sayısı γ=m-n+1=8-5+1=4'tür, bu şuna karşılık gelir: bir ağaca girmeyen kenarların sayısı.

Değişkenleri bildirme Grafik köşe koordinatlarını depolamak için iki beş elemanlı tamsayı dizisi X ve Y Grafik kenarlarının ağırlıklarını depolamak için iki boyutlu R tamsayı dizisi Döngü sayaçları için i, n ve k tamsayı değişkenleri Ağaç kenarlarının ağırlıklarının toplamını depolamak için S tamsayı değişkeni minimum ağırlık

5 grafik köşesinin rastgele koordinatlarının oluşturulması (i üzerinde döngü). Kenar ağırlıklarının hesaplanması. Ağırlıklı bir digrafın bitişiklik matrisinin çıktısını alma (n ve k cinsinden iç içe döngüler) Ağırlıklı bir yönsüz grafiğin bitişik matrisinin çıktısını alma - ilk matrisin elemanlarının yarısı (başlangıç ​​değeri k=n+1) Program gövdesi