Teorija grafov. Teorija grafov je obsežna neodvisna veja diskretne matematike

Korobova Anastazija, študentka gr. 14-PGS-48D

Dandanes je pomembno študirati različne metode, lastnosti in nestandardne aplikacije. Razmislili bomo o uporabi metode "Graf" v realnosti okoli nas.

Beseda "graf" v matematiki pomeni sliko, na kateri je narisanih več točk, od katerih so nekatere povezane s črtami. Najprej je vredno povedati, da grofje, o katerih bomo razpravljali, nimajo nobene zveze z aristokrati preteklosti. Naši "grafi" izhajajo iz grške besede "grapho", kar pomeni "pišem". Isti koren v besedah ​​"graf", "biografija".

Prvo delo o teoriji grafov pripada Leonhardu Eulerju in se je pojavilo leta 1736 v publikacijah Sanktpeterburške akademije znanosti.

Srečajo se grofje:

v fiziki - pri gradnji električnih vezij

v kemiji in biologiji - pri preučevanju molekul njihovih verig

v zgodovini - pri sestavljanju družinskih dreves (rodovnika)

pri geografiji – pri kartiranje

v geometriji - risbe poligonov, poliedrov, prostorskih figur

v ekonomiji - pri reševanju problemov izbire optimalne poti za tovorni promet (letalski prevozniki, metro, železnica)

Teorija grafov se uporablja pri reševanju nalog matematičnih olimpijad. Grafi dajejo vpogled v pogoje problema, poenostavljajo rešitev in razkrivajo podobnost problemov.

Zdaj se v kateri koli veji znanosti in tehnologije srečate z grafi.

Prenesi:

Predogled:

Če želite uporabiti predogled predstavitev, ustvarite Google Račun (račun) in se prijavite: https://accounts.google.com

Napisi diapozitivov:

Predstavitev iz matematike Tema: "Grafi" Izpolnila učenka skupine 14-PGS-48D Korobova Anastasia

Graf je figura, sestavljena iz točk in črt, ki povezujejo te točke. Črte se imenujejo robovi grafa, točke pa oglišča. Točki, iz katerih izhaja sodo število robov, imenujemo sodo, liho število pa liho. Primeri Teorije grafov

Leonhard Euler (4. april 1707, Basel, Švica - 7. september 1783, Sankt Peterburg, Rusko cesarstvo) je bil švicarski, nemški in ruski matematik, ki je pomembno prispeval k razvoju matematike, pa tudi mehanike, fizike, astronomijo in vrsto uporabnih znanosti. Euler je avtor več kot 800 člankov o matematični analizi, diferencialni geometriji, teoriji števil, približnih izračunih, nebesni mehaniki, matematični fiziki, optiki, balistiki, ladjedelništvu, teoriji glasbe itd.

Slika (graf), ki jo je mogoče narisati, ne da bi dvignili svinčnik s papirja, se imenuje unikuralna. Vzorec 1. Graf, ki ima samo dve lihi točki, lahko narišemo, ne da bi dvignili svinčnik s papirja, gibanje pa se mora začeti z enega od teh lihih oglišč in končati na drugem od njih. (slika A) Vzorec 2. Grafa z več kot dvema neparnima ogliščema ni mogoče narisati z "eno potezo" (slika B) Eulerjevi grafi B A

Vzorec 3. Če so vsa oglišča grafa soda, potem narišite ta graf, ne da bi dvignili svinčnik s papirja in narišite vzdolž vsakega roba samo enkrat. Gibanje se lahko začne iz katerega koli oglišča in ga konča na istem točku.

Že dolgo je bila med prebivalci Königsberga razširjena taka uganka: kako iti skozi vse mostove (čez reko Pregolya), ne da bi dvakrat šli skozi katerega od njih? Mnogi so ta problem, tako teoretično kot praktično, poskušali rešiti med sprehodi. Problem Königsberških mostov.

To je graf, v katerem so lahko nekateri robovi usmerjeni, nekateri pa neusmerjeni. Mešano štetje

Uteženi graf 1 2 4 2 3 A B C D E

Drevo je vsak povezan graf, ki nima ciklov. Drevesa Drevesa

To je (multi)graf, katerega robovi imajo določeno smer. Usmerjeni robovi se imenujejo tudi loki. Usmerjen graf

Srečajo se grofje:

Teorija grafov se uporablja pri reševanju nalog matematičnih olimpijad. Grafi dajejo vpogled v pogoje problema, poenostavljajo rešitev in razkrivajo podobnost problemov. Zdaj se v kateri koli veji znanosti in tehnologije srečate z grafi.

Hvala za vašo pozornost!

seznaniti študente s pojmom "Graf", osnovnimi načeli njegove konstrukcije;

oblikovati sposobnost poudarjanja odnosov, ki povezujejo predmete;

razvijati pozornost, sposobnost logičnega sklepanja;

spodbujati medsebojno pomoč, sposobnost timskega dela

utrjevanje pridobljenega znanja v praksi

razvoj spomina, pozornosti;

razvoj neodvisnosti;

vzgoja kognitivne dejavnosti.

oprema:

• računalniški razred opremljen s sodobno tehnologijo, video projektorjem, platnom;
• računalniki z operacijskim sistemom Windows XP, program Microsoftova pisarna PowerPoint 2003;
• oprema za tablo (tema učne ure, novi izrazi). Izroček.

Učni načrt.

II. Predstavitev novega gradiva. (10 min.)

III. Pritrditev materiala. Praktično delo. (15-20 min.)

IV. Povzetek lekcije (2 min)

v. Domača naloga.

I. Organizacijski trenutek. Posodobitev znanja.

Zdravo! Naša lekcija se imenuje "Grafi". Spoznali se bomo s konceptom "Grafi", se naučili, kako jih upodobiti in rešiti probleme na to temo.

II Predstavitev novega gradiva.

Prvo delo o teoriji grafov pripada Leonhardu Eulerju (1736), čeprav je izraz "graf" prvič uvedel leta 1936 madžarski matematik Denesh Koenig. Grafi so imenovali sheme, sestavljene iz točk in odsekov ravnih črt ali krivulj, ki povezujejo te točke (primeri grafov so prikazani na sliki 1).

S pomočjo grafov je bilo pogosto poenostavljeno reševanje problemov, oblikovanih na različnih področjih znanja: v avtomatizaciji, elektroniki, fiziki, kemiji itd. S pomočjo grafov so upodobljeni diagrami cest, plinovodov, toplotnih in električnih omrežij. . Grafi pomagajo pri reševanju matematičnih in ekonomskih problemov.

Graf - (iz grščine grapho - pišem) je sredstvo za vizualno predstavitev elementov predmeta povezav med njimi. To so čudoviti matematični predmeti, z njihovo pomočjo lahko rešite veliko različnih, navzven različnih problemov.

Graf je neki informacijski model

Graf je sestavljen iz vozlišč ali vozlišč, povezanih z loki ali segmenti - robovi. Črta je lahko usmerjena, torej ima puščico (lok), če ni usmerjena - rob. Dve točki, povezani z lokom ali robom, se imenujeta sosednji.

Primeri grafov (Slide 4, 5, 6)

Naloga 1 (Slide 7):

Vzpostavljena je vesoljska komunikacija med devetimi planeti sončnega sistema. Redne rakete letijo na naslednjih poteh:

Zemlja - Merkur; Pluton - Venera; Zemlja - Pluton; Pluton - Merkur; Merkur - Venera; Uran - Neptun; Neptun - Saturn; Saturn - Jupiter; Jupiter - Mars; Mars - Uran.

Ali je mogoče leteti z običajnimi raketami z Zemlje na Mars?

Rešitev: Narišemo diagram pogoja: planete bomo upodobili s pikami, poti raket pa s črtami.

Zdaj je takoj jasno, da je nemogoče leteti z Zemlje na Mars.

Dve točki, povezani z lokom ali robom, se imenujeta sosednji. Vsak rob ali lok je povezan s številko. Številka lahko označuje razdaljo med naselji, čas prehoda z enega vrha na drugega itd.

Naloga 2 (diapozitiv 9) - rešitev je na tabli. Maša je prišla v živalski vrt in si želi videti čim več živali. Katero pot naj ubere? Rumena, rdeča, zelena?

Naloga 3 (11 diapozitiv) - rešitev je na tabli. Pet nogometnih ekip A, B, C, D, E mora igrati tekme med seboj. Že igral A z B, C, D; B c A, C, D. koliko tekem je bilo do sedaj odigranih? Koliko je še za igranje?

Grafična predstavitev (Slide 12)

Graf lahko predstavimo kot seznam lokov (AB; 7), grafično ali s pomočjo tabele.

Arc seznami	Grafična oblika	tabelarni obliki
(AB; 7),		A V Z A 3 V 4 Z 3 4

III. Utrjevanje gradiva: učence vabimo, da se razdelijo v skupine in opravijo naloge. Učenci v manjši skupini razpravljajo o modelih, ki temeljijo na teoretičnem znanju, pridobljenem na začetku ure. Tako se doseže ponavljanje in utrjevanje snovi.

Naloga 2 (Slide 13)

IV. Povzetek lekcije

Fantje, katere nove besede ste se danes naučili? (Štetje, oglišče grafa, robovi grafa.)

Kaj lahko predstavljajo oglišča grafa? (Mesta; predmeti, ki so; povezani.)

Kaj pomenijo robovi grafa (poti, premiki, smeri)

Navedite primer, kje v življenju jih lahko srečamo?

Kako so prikazani grafi?

V. Domača naloga. (Slide 15)

Število oglišč se imenuje
vrstni red grafov.
Število robov se imenuje
velikost grafa.

Nekateri izrazi-1

- Naj bo R=(a,b) eden od robov grafa. Potem
ogliščih a in b imenujemo terminal
robna oglišča;
- Končna oglišča istega roba
imenovan sosednji;
- Dva robova se imenujeta sosednja, če imata
skupno končno točko;
- Dva robova se imenujeta večkratna if
množice njihovih končnih oglišč sovpadajo;
- Rob se imenuje zanka, če se konča
ujemati se.

Nekateri izrazi-2

- Stopnja oglišča V je označena z deg(V)
se imenuje število robov, za
katerega konec je to oglišče;
- Vertex se imenuje izolirano, če
ni za nikogar konec
rebra;
- Vertex se imenuje list, če je
je terminal za točno eno
rebra. Za list q je očitno, da je deg(q)=1.

Primer:

stopinj(C)=4
H1,…H4 - Listi

Še en primer:

Mesta B in D sta izolirani
vrhovi; Mesta G in E sta listi.

Popoln graf

Graf se imenuje popoln, če obstaja
dve oglišči sta povezani z robom.
Koliko robov ima celoten graf
naročilo n?
Celoten graf reda n ima število robov
enako Cn2=n!/(2*(n-2)!)=n*(n-1)/2

Dokažimo ...

Popoln graf z dvema ogliščema
vsebuje en rob - to je očitno.
V formulo n*(n-1)/2 nadomestimo n=2
Dobimo:
n*(n-1)/2=1
Formula je pravilna za n=2

Predpostavka indukcije

Predpostavimo, da je formula resnična za
graf s k oglišči.
Dokažimo, da to pomeni
veljavnost formule za graf
z (k+1) ogliščem.

Celotnemu grafu s K oglišči dodajmo še eno točko.

In ga povežite s prvim K
vrhovi ...

Dobimo:

Preštejemo, koliko reber smo dobili ...

K*(K-1)/2 + K
=
K*(K+1)/2
Dobimo zadnji izraz,
če v formuli n*(n-1)/2 namesto n
nadomestek K+1.

Iz predpostavke pravičnosti
sledi izjava za n=k
veljavnost izjave pri
n=k+1.
Izrek je dokazan.

Primeri popolnih grafov

Pomembno pojasnilo

Pari, ki definirajo robove v neusmerjenem grafu, so neurejeni (tj.
pari (a,b) in (b,a) se ne razlikujejo)

Usmerjen graf

Če so robovi grafa nastavljeni
urejeni pari (tj. (a,b) ≠ (b,a)),
Za graf pravimo, da je usmerjen.
(ali digraf)
Kako dati orientacijo konceptu
vizualni pomen?
Zelo preprosto - rebra so priložena
puščice (od začetka do konca)!

Primer digrafa

Mešano štetje

Mešani graf je trojka (V, E, A).
V je množica vozlišč;
E je množica neusmerjenih
rebra;
A je množica usmerjenih robov.
Mimogrede, usmerjeni robovi
se imenujejo loki.

Izomorfizem grafa

Naj obstajata dva grafa G1 in G2
Če obstaja ena proti ena korespondenca F
med ogliščema grafov G1 in G2, tako da:
- če je v grafu G1 rob (a,b), potem v grafu G2
obstaja rob (F(a),F(b))
- če je v grafu G2 rob (p,q), potem v grafu G1
obstaja rob (F-1(p),F-1(q))
potem se grafa G1 in G2 imenujeta izomorfna in
korespondenca F je izomorfizem.

Pojasnilo

Za digrafe in mešane grafe
korespondenca F mora ohraniti
orientacija loka.

Pogoj za izomorfizem

Pod kakšnimi pogoji med elementi
dve končni množici
nastavite ena proti ena
skladnost?
Takrat in samo takrat, število
elementi so enaki.
Potreben pogoj za izomorfizem
grafov je isto število
vrhovi.

Ali ta pogoj zadostuje?

Ne, ker so oglišča lahko
povezani na različne načine.

Ali so ti grafi izomorfni?

Število oglišč je enako -
pogoj je izpolnjen...

Poskušamo zgraditi korespondenco F…

To ni izomorfizem: G1 ima rob (A, D),
in slike teh robov v G2 niso povezane.

Še en poskus...

In to je izomorfizem!

Ali so ti grafi izomorfni?

Žal ne…

S teoretičnega stališča dve
izomorfni graf je en in isti
isti predmet (le morda drugače upodobljen ...)

Poti (verige):

Pot (veriga) je zaporedje
vrhovi:
a1, a2, …, an
kjer so sosednji točki ai in ai+1
povezani z rebri.
Dolžina poti je število njenih komponent
rebra

Primeri poti:

(A, D, C) in (A, B, D) so poti. (A, B, C) ni pot.

Ohrani se pojem poti za digraf
moč, vendar jo je treba dopolniti -
sosednji vrhovi v
zaporedja
a1, a2, …, an
morajo biti povezani z loki.

cikli

Cikel je pot, katere začetni in
ujemanje končnega vrha.
Dolžina cikla je število njegovih sestavin
rebra.
Cikel se imenuje preprost, če so v njem robovi
se ne ponavljajo.
Cikel se imenuje elementarni, če je
preprosta in se oglišča v njem ne ponavljajo.

Komponente za povezovanje

Vozlišča poljubnega grafa so lahko
razdeljen na razrede, tako da za
kateri koli dve točki istega razreda v1
in v2 je pot od v1 do v2
Ti razredi se imenujejo komponente
povezljivost.
Če ima graf natanko eno komponento
povezavo, potem se graf pokliče
povezani.

Strojna predstavitev grafov.

Matrika sosednosti

- Naštejemo oglišča grafa G
zaporedna cela števila od 1 do n;
- Sestavite kvadratno tabelo n×n in
napolnite ga z ničlami;
- Če obstaja povezava roba
ogliščih i in j, nato v položajih (i,j) in (j,i)
postavite enote;
- Pokliče se nastala tabela
matrika sosednosti grafa G.

Primer

Nekaj ​​očitnih lastnosti matrike sosednosti

- Če je oglišče izolirano, potem njegova vrstica in
stolpec bo popolnoma nič;
- Število enot v vrstici (stolpcu)
enaka stopnji ustrezne
vrhovi;
- Za neusmerjen graf, matrika
sosedstvo je simetrično
glavna diagonala;
- Zanka ustreza enoti, ki stoji na njej
glavna diagonala.

Posplošitev za digraf

Matrika sosednosti za digraf
mogoče zgraditi podobno
način, vendar upoštevati vrstni red
oglišč, lahko to storite:
Če lok izhaja iz oglišča j in
vstopi v vrh k, nato na položaj (j,k)
nastavite matrike sosednosti na 1 in v
položaj (k, j) nastavljen -1.

Matrika incidence

- Naštejemo oglišča grafa G
zaporedna cela števila od 1 do
n;
- Zgradite pravokotno mizo
n vrstic in m stolpcev (stolpcev
ustrezajo robovom grafa);
- Če ima j-ti rob terminal
točki k, nato v položaju
(k,j) je nastavljena na ena. V vsem
v drugih primerih je nastavljena na nič.

Incidenčna matrika za digraf

- Če j-ti lok prihaja iz vrha k,
potem je položaj (k,j) nastavljen na 1;
- Če j-ti lok vstopi v točko k, potem
v položaj (k,j) postavite -1.
- V drugih primerih v položaju (k, j)
ostane nič.

Ker so stolpci matrike
incidence torej opisujejo robove
vsak stolpec ne sme vsebovati
več kot dva neničelna elementa

Primer matrike incidence

Seznam reber

Drug način za predstavitev grafa
– dvodimenzionalni niz (seznam parov).
Število parov je enako številu robov
(ali loki).

Primer seznama robov

Primerjava različnih načinov predstavitve

- Seznam robov je najbolj kompakten in
matrika najmanjše incidence
kompakten;
- Matrika incidence je priročna, ko
iskanje ciklov;
- Lažja matrika sosednosti
ostali so v uporabi.

Prehod po grafu

Prehod grafa je njegovo naštevanje.
oglišč, tako da je vsako oglišče
enkrat gledano.

Dogovor-1

Preden izvedete iskanje po grafu
z n oglišči ustvarite matriko Chk
od n elementov in ga zapolni
ničle.
Če je Chk[i] = 0, potem i-to točko več
ni gledano.

Dogovor-2

Vzemimo strukturo podatkov
(repozitorij), v katerem bomo
zapomniti oglišča v procesu
bypass. Vmesnik za shranjevanje
mora zagotoviti tri funkcije:
- Prinesi vrh;
- Izvleček top;
- Preverite, ali je skladišče prazno;

Dogovor-3

Ko je vrh j postavljen v
repozitorij, je označen kot
ogledano (tj. nameščeno
Chk[j]=1)

Obhodni algoritem-1

1) Vzamemo poljubno začetno točko,
natisnite in shranite v skladišče;

3) Vzemite točko Z iz shrambe;
4) Če je oglišče Q povezano z Z in ne
potrdimo, nato vrnemo Z v shrambo,
shranjevanje Q, tiskanje Q;
5) Pojdite na 2. korak

Bypass algoritem-2

1) Vzamemo poljubno začetno točko in
damo v skladišče;
2) Ali je prostor za shranjevanje prazen? Če DA - konec;
3) Vzemite točko Z iz shrambe, natisnite in
izbriši iz pomnilnika;
4) Shranimo vsa oglišča,
povezana z Z in še ni označena;
5) Pojdite na 2. korak

Katere podatkovne strukture so primerne za shranjevanje?

- Zlaganje (PUSH - prinesi; POP - odstrani)
- Čakalna vrsta (ENQUE - vstopi; DEQUE -
izvleček)
Obe strukturi omogočata preverjanje
razpoložljivost podatkov.

Algoritem-1 v kombinaciji s skladom
se imenuje prehod po globini
Algoritem-2 v kombinaciji s čakalno vrsto
se imenuje v širino

Graf je končna množica vozlišč V in množica robov R, ki povezujejo pare vozlišč, G=(V,R). Kardinalnosti množic V in R sta enaki N in M. Množica robov je lahko prazna. Primeri oglišč so objekti katere koli narave (naselja, računalniška omrežja). Primeri robov so ceste, stranice, črte.

Točki, ki so povezana z robom, se imenujejo sosednja. Robovi, ki imajo skupno točko, se imenujejo tudi sosednji. Rob in katero koli od njegovih dveh oglišč se imenuje incident. Stopnja vrha je število robov, ki so mu incidentni. Vsak graf je lahko na ravnini predstavljen z nizom točk, ki ustrezajo točki, ki so povezane s črtami, ki ustrezajo robom.

Pot grafa je zaporedje vozlišč in robov. Pot je zaprta (ciklična), če sta začetna in končna točka enaka. Pot je preprosta pot, če so vsa oglišča in robovi različni. Graf je povezan, če je vsako točko dosegljivo iz katerega koli drugega. Točka, ki nimajo vpadnih robov, se imenujejo izolirana.

Matrika incidentov

Komunikacijski seznami

Seznam reber

Matrica sosednosti povezanega uteženega neusmerjenega grafa grafa

Konstrukcija razteznega povezanega drevesa minimalne teže. Kruskalov algoritem Iz grafa se odstranijo vsi robovi in ​​dobimo raztegljivi podgraf, kjer so vsa oglišča izolirana. Vsako točko je postavljeno v enojni podmnožico. Robovi so razvrščeni v naraščajočem vrstnem redu uteži. Robovi so zaporedoma, v naraščajočem vrstnem redu njihove teže, vključeni v raztezno drevo.

Obstajajo 4 primeri: 1) obe oglišči vključenega roba pripadata enoelementnim podmnožicam, nato se združita v novo, povezano podmnožico; 2) eno od vozlišč pripada povezani podmnožici, drugo pa ne, potem drugo vključimo v podmnožico, ki ji pripada prva; 3) obe oglišči pripadata različnim povezanim podmnožicam, nato združimo podmnožice; 4) Obe točki pripadata isti povezani podmnožici, potem ta rob izločimo.

Primer gradnje raztegljivega drevesa z najmanjšo težo za graf GG Izvedena dejanja Nabor vozlišč Graf 1 Sestavite raztegljiv podgraf z izoliranimi in oglišči Dobimo 5 singletonskih podmnožic: (V 1 ), (V 2 ), (V 3 ), ( V 4 ), (V 5 ) 2Poišči rob najmanjše teže (R 15) in ga dodaj raztegljivemu podgrafu. Oblikuj povezano podmnožico vozlišč: (V 1,V 5 ). Shrani podmnožice (V 2 ), (V 3 ), (V 4 )

Izvedena dejanja Množica vozliščGraf 3 Med preostalimi poiščite rob minimalne teže (R 45) in ga dodajte raztegljivemu podgrafu Povezani podmnožici dodajte točko: (V 1,V 5, V 4 ). Shranimo podmnožice (V 2 ), (V 3 ) 4Med preostalimi poiščemo rob minimalne teže (R 23) in ga dodamo v raztegljivi podgraf. Oblikujemo novo povezano podmnožico vozlišč: (V 2,V 3 ) . Ohranimo prvo povezano podmnožico (V 1,V 5, V 4 ).

Izvedena dejanja Nabor vozliščGraf 5 Med preostalimi poiščite rob najmanjše teže (R 25) in ga dodajte raztegljivemu podgrafu. Podmnožice združite v eno povezano podmnožico (V 1,V 5, V 4,V 2,V 3 ). 6Ostali robovi niso vključeni v graf, ker vsa njihova oglišča že pripadajo isti povezani množici.

Izvedena dejanja Nabor vozliščGraf 7A je pridobljen graf, ki: je raztegljiv graf (vsa oglišča so vključena); povezani (vsa oglišča so lahko povezana s potemi); drevo (brez ciklov); ima minimalno težo. 8Nastalo raztegljivo drevo ima najmanjšo težo: R 12 +R 25 +R 15 +R 45 = =80 9 Ciklično število grafa G je γ=m-n+1=8-5+1=4, kar ustreza število robov, ki niso v drevesu.

Deklaracija spremenljivk Dve petelementni celoštevilski nizi X in Y za shranjevanje koordinat oglišč grafa Celoštevilski dvodimenzionalni niz R za shranjevanje uteži robov grafa Celoštevilske spremenljivke i, n in k za števce ciklov Celoštevilska spremenljivka S za shranjevanje vsote uteži drevesnih robov minimalne teže

Generiranje naključnih koordinat 5 oglišč grafa (zanka čez i). Izračunavanje uteži robov. Izpis matrike sosednosti uteženega grafa (ugnezdene zanke v n in k) Izpis matrike sosednosti uteženega neusmerjenega grafa – polovica elementov začetne matrike (začetna vrednost k=n+1) Telo programa