Jeśli w zadaniu konieczne jest przeprowadzenie pełnego badania funkcji f (x) = x 2 4 x 2 - 1 wraz z konstrukcją jej wykresu, to szczegółowo rozważymy tę zasadę.

Do rozwiązania tego typu problemu należy wykorzystać własności i wykresy głównych funkcji elementarnych. Algorytm badawczy obejmuje kroki:

Znajdowanie zakresu

Ponieważ badania prowadzone są w dziedzinie definicji funkcji, konieczne jest rozpoczęcie od tego kroku.

Przykład 1

Podany przykład zakłada znalezienie zer mianownika w celu wykluczenia ich z ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; +

W rezultacie możesz uzyskać pierwiastki, logarytmy i tak dalej. Wtedy ODV można szukać dla pierwiastka parzystego stopnia typu g (x) 4 przez nierówność g (x) ≥ 0, dla logarytmu log a g (x) przez nierówność g (x) > 0.

Badanie granic ODZ i znajdowanie asymptot pionowych

Na granicach funkcji występują pionowe asymptoty, gdy jednostronne granice w takich punktach są nieskończone.

Przykład 2

Rozważmy na przykład punkty graniczne równe x = ± 1 2.

Następnie konieczne jest przeprowadzenie badania funkcji, aby znaleźć granicę jednostronną. Wtedy otrzymujemy, że: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = ograniczony x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ ograniczony x → 1 2 - 0 f (x) = ograniczony x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = ograniczony x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Widać więc, że granice jednostronne są nieskończone, co oznacza, że ​​proste x = ± 1 2 są pionowymi asymptotami wykresu.

Badanie funkcji i parzystości lub parzystości

Gdy warunek y (- x) = y (x) jest spełniony, funkcja jest uważana za parzystą. Sugeruje to, że wykres jest położony symetrycznie względem O y. Gdy warunek y (- x) = - y (x) jest spełniony, funkcja jest uważana za nieparzystą. Oznacza to, że symetria jest względna do początku. Jeżeli przynajmniej jedna nierówność nie jest spełniona, otrzymujemy funkcję o postaci ogólnej.

Równość y (- x) = y (x) oznacza, że ​​funkcja jest parzysta. Podczas konstruowania należy wziąć pod uwagę, że wokół O y będzie symetria.

Aby rozwiązać nierówność, przedziały rosnące i malejące są używane z warunkami odpowiednio f „(x) ≥ 0 i f” (x) ≤ 0.

Definicja 1

Punkty stacjonarne- są to punkty, które zwracają pochodną na zero.

Punkt krytyczny są punktami wewnętrznymi z dziedziny, w której pochodna funkcji wynosi zero lub nie istnieje.

Przy podejmowaniu decyzji należy wziąć pod uwagę następujące uwagi:

• przy dostępnych przedziałach wzrostu i spadku nierówności postaci f "(x)> 0 punkty krytyczne nie są uwzględniane w rozwiązaniu;
• punkty, w których funkcja jest zdefiniowana bez skończonej pochodnej muszą być zawarte w przedziałach rosnących i malejących (np. y = x 3, gdzie punkt x = 0 określa funkcję określoną, pochodna ma wartość nieskończoności w punkcie ten punkt, y" = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 jest zawarte w rosnącym przedziale);
• w celu uniknięcia kontrowersji zaleca się korzystanie z literatury matematycznej, która jest rekomendowana przez ministerstwo edukacji.

Włączenie punktów krytycznych w przedziały narastania i zmniejszania w przypadku, gdy spełniają one dziedzinę funkcji.

Definicja 2

Do do wyznaczenia przedziałów wzrostu i spadku funkcji konieczne jest wyznaczenie::

• pochodna;
• punkt krytyczny;
• podziel obszar definicji za pomocą punktów krytycznych na przedziały;
• określić znak pochodnej w każdym z przedziałów, gdzie + oznacza wzrost, a - spadek.

Przykład 3

Znajdź pochodną w dziedzinie f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2...

Rozwiązanie

Aby rozwiązać, potrzebujesz:

• znajdź punkty stacjonarne, w tym przykładzie x = 0;
• znajdź zera mianownika, przykład przyjmuje wartość zero przy x = ± 1 2.

Wystawiamy punkty na osi numerycznej, aby określić pochodną w każdym przedziale. Aby to zrobić, wystarczy wziąć dowolny punkt z przedziału i wykonać obliczenia. Jeśli wynik jest dodatni, na wykresie wykreślamy +, co oznacza wzrost funkcji, a - oznacza jej spadek.

Na przykład f "(- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9> 0, co oznacza, że ​​pierwszy przedział po lewej stronie ma znak +. Rozważmy na osi liczbowej.

Odpowiedź:

• funkcja wzrasta w przedziale - ∞; - 1 2 i (- 1 2; 0];
• następuje zmniejszenie przedziału [0; 1 2) i 1 2; + .

Na schemacie za pomocą + i - przedstawiamy pozytywność i negatywność funkcji, a strzałki - zmniejszanie i zwiększanie.

Ekstrema funkcji to punkty, w których funkcja jest zdefiniowana i przez które pochodna zmienia znak.

Przykład 4

Jeśli rozważymy przykład, gdzie x = 0, to wartość funkcji w nim jest równa f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 = 0. Gdy znak pochodnej zmienia się z + na - i przechodzi przez punkt x = 0, to punkt o współrzędnych (0; 0) jest uważany za punkt maksymalny. Gdy znak zmienia się z - na +, otrzymujemy punkt minimalny.

Wypukłość i wklęsłość określa się rozwiązując nierówności postaci f „” (x) ≥ 0 i f „” (x) ≤ 0. Rzadziej używa się nazwy wypukłość w dół zamiast wklęsłości, a wypukłość w górę zamiast wypukłości.

Definicja 3

Do wyznaczanie przedziałów wklęsłości i wypukłości niezbędny:

• znajdź drugą pochodną;
• znajdź zera drugiej funkcji pochodnej;
• podziel obszar definicji z pojawiającymi się punktami na przedziały;
• określić znak luki.

Przykład 5

Znajdź drugą pochodną domeny.

Rozwiązanie

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "= = (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Znajdujemy zera licznika i mianownika, gdzie w naszym przykładzie zera mianownika x = ± 1 2

Teraz musisz wykreślić punkty na osi numerycznej i określić znak drugiej pochodnej z każdego przedziału. Rozumiemy to

Odpowiedź:

• funkcja jest wypukła z przedziału - 1 2; 12;
• funkcja jest wklęsła od przedziałów - ∞; - 1 2 i 1 2; + .

Definicja 4

Punkt przegięcia Jest punktem postaci x 0; f (x 0). Gdy ma styczną do wykresu funkcji, to po przejściu przez x 0 funkcja zmienia swój znak na przeciwny.

Innymi słowy jest to punkt, przez który przechodzi druga pochodna i zmienia znak, a w samych punktach jest równa zeru lub nie istnieje. Wszystkie punkty uważa się za dziedzinę funkcji.

Na przykładzie widać, że nie ma punktów przegięcia, gdyż druga pochodna zmienia znak podczas przechodzenia przez punkty x = ± 1 2. Te z kolei nie są objęte zakresem definicji.

Znajdowanie asymptot poziomych i ukośnych

Definiując funkcję w nieskończoności, należy szukać asymptot poziomych i ukośnych.

Definicja 5

Asymptoty ukośne są przedstawione za pomocą linii określonych równaniem y = k x + b, gdzie k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Dla k = 0 i b nie równego nieskończoności, stwierdzamy, że ukośna asymptota staje się poziomy.

Innymi słowy, asymptoty to linie, do których wykres funkcji zbliża się do nieskończoności. Ułatwia to szybkie kreślenie funkcji.

Jeśli nie ma asymptot, ale funkcja jest zdefiniowana w obu nieskończonościach, konieczne jest obliczenie granicy funkcji w tych nieskończonościach, aby zrozumieć, jak będzie się zachowywał wykres funkcji.

Przykład 6

Na przykład rozważ, że

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

jest asymptotą poziomą. Po zbadaniu funkcji możesz zacząć ją budować.

Obliczanie wartości funkcji w punktach pośrednich

Aby wykres był jak najdokładniejszy, zaleca się znalezienie kilku wartości funkcji w punktach pośrednich.

Przykład 7

Z rozważanego przez nas przykładu konieczne jest znalezienie wartości funkcji w punktach x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Ponieważ funkcja jest parzysta, otrzymujemy, że wartości pokrywają się z wartościami w tych punktach, czyli otrzymujemy x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Zapiszmy i rozwiążmy:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0,27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0,45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Aby wyznaczyć maksima i minima funkcji, punkty przegięcia, punkty pośrednie, należy skonstruować asymptoty. Dla wygodnego oznaczenia ustalone są odstępy wzrostu, spadku, wypukłości, wklęsłości. Rozważ poniższy rysunek.

Konieczne jest poprowadzenie linii wykresu przez zaznaczone punkty, co pozwoli zbliżyć się do asymptot, podążając za strzałkami.

To kończy pełną eksplorację funkcji. Istnieją przypadki konstruowania pewnych funkcji elementarnych, dla których stosuje się przekształcenia geometryczne.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

Od jakiegoś czasu wbudowana baza certyfikatów SSL w TheBat (z niewiadomego powodu) przestaje działać poprawnie.

Podczas sprawdzania postów pojawia się błąd:

Nieznany certyfikat CA
Serwer nie przedstawił certyfikatu głównego w sesji, a odpowiedni certyfikat główny nie został znaleziony w książce adresowej.
To połączenie nie może być tajne. Zapraszamy
skontaktuj się z administratorem serwera.

I jest wybór odpowiedzi - TAK / NIE. I tak za każdym razem, gdy odbierasz pocztę.

Rozwiązanie

W takim przypadku musisz zastąpić standard implementacji S/MIME i TLS Microsoft CryptoAPI w TheBat!

Ponieważ musiałem połączyć wszystkie pliki w jeden, najpierw przekonwertowałem wszystkie pliki doc w pojedynczy plik pdf (za pomocą programu Acrobat), a następnie przez konwerter online przekonwertowany na fb2. Możesz także konwertować pliki osobno. Formaty mogą być absolutnie dowolne (źródłowe) i doc, i jpg, a nawet archiwum zip!

Nazwa strony odpowiada esencji :) Online Photoshop.

Aktualizacja maj 2015

Znalazłem kolejną świetną stronę! Jest jeszcze wygodniejszy i bardziej funkcjonalny przy tworzeniu zupełnie dowolnego kolażu! Ta strona to http://www.fotor.com/en/collage/. Użyj go dla swojego zdrowia. I sam go użyję.

Zmierzyłem się w życiu z naprawą kuchenki elektrycznej. Dużo już zrobiłem, dużo się nauczyłem, ale jakoś niewiele miałem do czynienia z płytkami. Konieczna była wymiana styków na regulatorach i palnikach. Powstało pytanie - jak określić średnicę palnika na kuchence elektrycznej?

Odpowiedź była prosta. Nie musisz nic mierzyć, możesz spokojnie określić jaki rozmiar potrzebujesz.

Najmniejszy palnik wynosi 145 milimetrów (14,5 centymetra)

Średnia płyta grzejna wynosi 180 milimetrów (18 centymetrów).

I wreszcie najbardziej duży palnik wynosi 225 milimetrów (22,5 centymetra).

Wystarczy określić rozmiar na oko i zrozumieć, jakiej średnicy potrzebujesz palnika. Kiedy tego nie wiedziałem, szybowałem z tymi wymiarami, nie wiedziałem, jak zmierzyć, którą krawędź nawigować itp. Teraz jestem mądry :) Mam nadzieję, że Tobie też pomogłem!

W swoim życiu stanęłam przed takim zadaniem. Myślę, że nie tylko ja.

Rehebnik Kuzniecow.
III Wykresy

Zadanie 7. Przeprowadź pełne badanie funkcji i zbuduj jej wykres.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Zanim zaczniesz pobierać opcje, spróbuj rozwiązać problem według przykładu podanego poniżej dla opcji 3. Niektóre opcje są zarchiwizowane w formacie .rar

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Przeprowadź pełne badanie funkcji i zbuduj jej wykres

Rozwiązanie.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) Zakres: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp lub & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp, tj. & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
.
Tak więc: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) Nie ma przecięć z osią Wół. Rzeczywiście, równanie & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp nie ma rozwiązań.
Nie ma przecięć z osią Oy od & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) Funkcjonować ani parzyste, ani nieparzyste. Nie ma symetrii rzędnej. Nie ma też symetrii co do pochodzenia. Bo
.
Widzimy, że & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp i & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) Funkcja jest ciągła w dziedzinie definicji
.

; .

; .
Dlatego punkt & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp jest punktem przerwania drugiego rodzaju (przerwa nieskończona).

5) Asymptoty pionowe:& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Znajdź ukośną asymptotę & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. Tutaj

;
.
Dlatego mamy asymptotę poziomą: y = 0... Nie ma asymptot ukośnych.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) Znajdź pierwszą pochodną. Pierwsza pochodna:
.
I własnie dlatego
.
Znajdź punkty stacjonarne, w których pochodna wynosi zero, czyli
.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) Znajdź drugą pochodną. Druga pochodna:
.
I łatwo się o tym przekonać, ponieważ