Hangi finansal planlamanın gerçekleştirildiği. Finansal planlama

Formüller ve örnekler kullanarak olasılığın klasik tanımını analiz edelim.

Rastgele olaylar denir uyumsuz eğer aynı anda gerçekleşemezlerse. Örneğin, bir yazı tura attığımızda, bir şey düşecek - bir "arma" veya bir sayı" ve aynı anda görünemezler, çünkü bunun imkansız olması mantıklıdır. Bir atış yapıldıktan sonra isabet ve ıskalama gibi olaylar uyumsuz olabilir.

Sonlu küme formunun rastgele olayları tam grup ikili uyumsuz olaylar, eğer her denemede bir tane ortaya çıkarsa ve bu olaylardan sadece biri mümkün olan tek olaydır.

Aynı bozuk para atma örneğini düşünün:

İlk jeton İkinci jeton Etkinlikler

1) "arması" "arması"

2) "arması" "sayı"

3) "sayı" "arması"

4) "sayı" "sayı"

Veya kısaltılmış - "YY", - "MS", - "CH", - "CH".

olaylar denir eşit derecede mümkün, eğer çalışmanın koşulları, her birinin ortaya çıkması için aynı olasılığı sağlıyorsa.

Anladığınız gibi, simetrik bir madeni para attığınızda, aynı olanaklara sahiptir ve hem "arması" hem de "sayı"nın düşme olasılığı vardır. Aynısı simetrik bir zar atmak için de geçerlidir, çünkü herhangi bir sayıda 1, 2, 3, 4, 5, 6 görünme olasılığı vardır.

Diyelim ki şimdi küpü ağırlık merkezinde bir kayma ile atıyoruz, örneğin 1 numaralı tarafa doğru, o zaman karşı taraf, yani farklı bir sayıya sahip taraf en sık düşecek. Dolayısıyla bu modelde 1'den 6'ya kadar olan rakamların her birinin oluşma olasılıkları farklı olacaktır.

Eşit derecede mümkün ve benzersiz şekilde olası rastgele olaylara vaka denir.

Vaka olan rastgele olaylar vardır ve vaka olmayan rastgele olaylar vardır. Aşağıda bu olaylara örnekler verilmiştir.

Rastgele bir olayın ortaya çıktığı durumlara bu olay için elverişli durumlar denir.

Olası tüm durumlarda olayı etkileyen ve aracılığıyla - rastgele bir olayın olasılığını belirtirsek, olasılığın iyi bilinen klasik tanımını yazabiliriz:

Tanım

Bir olayın olasılığı, bu olay için elverişli durumların sayısının tüm olası durumların toplam sayısına oranıdır, yani:

Olasılık Özellikleri

Klasik olasılık ele alındı ​​ve şimdi olasılığın ana ve önemli özelliklerini analiz edeceğiz.

Mülk 1. Belirli bir olayın olasılığı bire eşittir.

Örneğin, kovadaki tüm toplar beyazsa, o zaman rastgele beyaz bir top seçme olayı, durumlardan etkilenir.

Mülkiyet 2.İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Mülk 3. Rastgele bir olayın olasılığı pozitif bir sayıdır:

Dolayısıyla, herhangi bir olayın olasılığı eşitsizliği sağlar:

Şimdi olasılığın klasik tanımıyla ilgili bazı örnekler çözelim.

Olasılığın klasik tanımına örnekler

örnek 1

Görev

Bir sepette 10'u beyaz, 7'si kırmızı ve 3'ü siyah olmak üzere 20 top vardır. Rastgele bir top seçiliyor. Beyaz top (olay), kırmızı top (olay) ve siyah top (olay) seçilir. Rastgele olayların olasılığını bulun.

Çözüm

Sorunun durumuna göre, katkıda bulunun ve olası durumlar, bu nedenle, formül (1)'e göre:

beyaz top olma olasılığıdır.

Benzer şekilde kırmızı için:

Ve siyah için: .

Yanıt vermek

Rastgele bir olayın olasılığı , , .

Örnek 2

Görev

Bir kutuda birbirinin aynısı 25 adet elektrik lambası vardır, bunlardan 2 tanesi arızalıdır. Rastgele seçilen bir ampulün bozuk olmama olasılığını bulunuz.

Çözüm

Problemin durumuna göre tüm lambalar aynıdır ve sadece bir tanesi seçilir. Seçim için toplam olasılıklar. 25 lambadan ikisi arızalı, bu da kalan lambaların uygun olduğu anlamına geliyor. Bu nedenle formül (1)'e göre uygun bir elektrik lambası (olay) seçme olasılığı şuna eşittir:

Yanıt vermek

Rastgele seçilen bir ampulün arızalı olmaması olasılığı = .

Örnek 3

Görev

İki madeni para rastgele atılıyor. Bu tür olayların olasılığını bulun:

1) - her iki madeni parada da arma düştü;

2) - madeni paralardan birinde bir arma düştü ve ikincisinde - bir sayı;

3) - her iki madeni paraya da sayılar düştü;

4) - en az bir kez arma düştü.

Çözüm

Burada dört olayla uğraşıyoruz. Hangi vakaların her birine katkıda bulunduğunu belirleyelim. Olay bir vaka ile kolaylaştırılmıştır, bu, armanın her iki madeni paraya düştüğü zamandır (“GG” olarak kısaltılır).

Olayla başa çıkmak için, bir madeni paranın gümüş, ikincisinin bakır olduğunu hayal edin. Madeni para atarken, şu durumlar olabilir:

1) gümüş arması üzerinde, bakır arması üzerinde - bir sayı (“MS” olarak gösterelim);

2) gümüş bir sayı üzerinde, bir bakır üzerinde - bir arma (- “ChG”).

Bu nedenle, olaylar vakalar tarafından kolaylaştırılır ve .

Olay bir vaka tarafından kolaylaştırıldı: her iki madeni paraya da sayılar düştü - “CH”.

Böylece, olaylar veya (YY, MG, TY, FF) tam bir olaylar grubu oluşturur, tüm bu olaylar uyumsuzdur, çünkü bunlardan sadece biri atış sonucunda meydana gelir. Ek olarak, simetrik madeni paralar için dört olayın tümü eşit derecede olasıdır, bu nedenle bunlar vaka olarak kabul edilebilir. Dört olası olay vardır.

Bir olay yalnızca bir olay tarafından kolaylaştırılır, dolayısıyla olasılığı:

Etkinliğe iki vaka katkıda bulunur, yani:

Bir olayın olasılığı aşağıdakilerle aynıdır:

Etkinliğe üç durum katkıda bulunur: YY, YY, YY ve dolayısıyla:

Eşit derecede olası olan ve eksiksiz bir olay grubu oluşturan GY, MS, CH, CH olayları dikkate alındığından, bunlardan herhangi birinin ortaya çıkması güvenilir bir olaydır (bunu 4 tarafından kolaylaştırılan harfle gösteririz) Bu nedenle, olasılık:

Böylece, olasılığın ilk özelliği doğrulanır.

Yanıt vermek

Bir olayın olasılığı.

Bir olayın olasılığı.

Bir olayın olasılığı.

Bir olayın olasılığı.

Örnek 4

Görev

Aynı geometrik şekle sahip iki zar atılıyor. Her iki taraftaki olası tüm toplamların düşme olasılığını bulun.

Çözüm

Problemi çözmeyi kolaylaştırmak için bir küpün beyaz, diğerinin siyah olduğunu hayal edin. Beyaz kalıbın altı kenarından her biri ve siyah kalıbın altı kenarından biri de düşebilir, bu nedenle tüm olası çiftler olacaktır.

Yüzlerin ayrı bir kalıpta görünme olasılığı aynı olduğundan (doğru geometrik şekle sahip küpler!), O zaman her bir yüz çiftinin görünme olasılığı aynı olacaktır, ayrıca, sadece fırlatmanın bir sonucu olarak, çiftlerden biri düşer. Etkinlik değerleri uyumsuz, benzersiz. Bunlar vakalar ve 36 olası vaka var.

Şimdi yüzlerdeki toplamın değerinin olasılığını düşünün. Açıkçası, en küçük toplam 1 + 1 = 2 ve en büyüğü 6 + 6 = 12'dir. Toplamın geri kalanı ikinciden başlayarak bir artar. İndisleri zarın yüzlerine gelen noktaların toplamına eşit olan olayları gösterelim. Bu olayların her biri için, toplamın nerede olduğu, beyaz kalıbın üst yüzündeki noktalar ve siyah kalıbın yüzündeki noktalar olduğu gösterimini kullanarak uygun durumlar yazıyoruz.

Yani bir etkinlik için:

için – bir vaka (1 + 1);

için – iki durum (1 + 2; 2 + 1);

için – üç durum (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

için – dört durum (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

için – beş vaka (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

için – altı durum (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

için – beş vaka (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

için – dört vaka (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

için – üç durum (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

için – iki durum (5 + 6; 6 + 5);

için – bir vaka (6 + 6).

Yani olasılıklar:

Yanıt vermek

Örnek 5

Görev

Festivalden önce, üç katılımcıya kura çekmesi teklif edildi: katılımcıların her biri sırayla kovaya yaklaşıyor ve bu katılımcının performansının seri numarası anlamına gelen 1, 2 ve 3 numaralı üç karttan birini rastgele seçiyor.

Bu tür olayların olasılığını bulun:

1) - kuyruktaki seri numarası, kart numarası yani performansın seri numarası ile çakışıyor;

2) - sıradaki hiçbir numara performans numarasıyla eşleşmez;

3) - kuyruktaki numaralardan yalnızca biri performans numarasıyla eşleşir;

4) – Sıradaki numaralardan en az birinin performans numarası ile eşleşmesi.

Çözüm

Kart seçmenin olası sonuçları, üç elementin permütasyonlarıdır, bu permütasyonların sayısı eşittir. Her permütasyon bir olaydır. Bu olayları olarak gösterelim. Parantez içinde her olaya karşılık gelen permütasyonu atarız:

; ; ; ; ; .

Listelenen olaylar eşit derecede mümkün ve tekdüzedir, yani durumlar bunlardır. Şu şekilde ifade edin: (1h, 2h, 3h) - kuyruktaki karşılık gelen sayılar.

Etkinlikle başlayalım. Olumlu sadece bir durumdur, bu nedenle:

Etkinlik için elverişli olan iki durum vardır ve bu nedenle:

Etkinlik 3 durum tarafından kolaylaştırılmıştır: , bu nedenle:

Etkinliğe ek olarak, etkinlik ayrıca şunlara da katkıda bulunur:

Yanıt vermek

Bir olayın olasılığı dir.

Bir olayın olasılığı dir.

Bir olayın olasılığı dir.

Bir olayın olasılığı dir.

Olasılığın klasik tanımı - teori ve problem çözme güncelleme: 15 Eylül 2017: Bilimsel Makaleler.Ru

RUSYA FEDERASYONU BAŞKANINDA ULUSAL EKONOMİ VE KAMU HİZMETİ RUSYA AKADEMİSİ

OREL ŞUBESİ

Sosyoloji Bölümü ve Bilişim Teknolojileri

Tipik hesaplama No. 1

"Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik" disiplininde

"Olasılık Teorisinin Temelleri" konulu

Kartal - 2016.

Amaç: Tipik problemleri çözerek olasılık teorisinin temelleri konusundaki teorik bilgilerin pekiştirilmesi. Rastgele olayların ana türlerinin kavramlarına hakim olmak ve olaylar üzerinde cebirsel işlem becerilerini geliştirmek.

İş gönderme gereksinimleri: çalışma el yazısı şeklinde yapılır, çalışma gerekli tüm açıklamaları ve sonuçları içermeli, formüller kabul edilen tanımların bir kodunun çözülmesini içermeli, sayfalar numaralandırılmalıdır.

Varyant numarası öğrencinin grup listesindeki seri numarasına karşılık gelir.

Temel teorik bilgiler

Olasılık teorisi- rastgele fenomen kalıplarını inceleyen bir matematik dalı.

Bir olay kavramı. Olay sınıflandırması.

Olasılık teorisinin temel kavramlarından biri olay kavramıdır. Olaylar büyük Latin harfleriyle belirtilmiştir. A, V, İLE,…

Etkinlik- bu, bir testin veya deneyimin olası bir sonucu (sonucu).

Test, amaçlı herhangi bir eylem olarak anlaşılır.

Örnek : Atıcı hedefe ateş eder. Bir atış bir testtir, bir hedefi vurmak bir olaydır.

olay denir rastgele , eğer belirli bir deneyin koşulları altındaysa, hem gerçekleşebilir hem de gerçekleşmeyebilir.

Örnek : Silahla vuruldu - test

Inc. A- hedefi vurmak

Inc. V– özledim – rastgele olaylar.

olay denir otantik eğer test sonucunda mutlaka meydana gelmelidir.

Örnek : Zar atarken 6 puandan fazla düşmeyin.

olay denir imkansız eğer verilen deneyin koşulları altında hiç gerçekleşemezse.

Örnek : Bir zar atıldığında 6'dan fazla puan atıldı.

olaylar denir uyumsuz eğer bunlardan birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini engelliyorsa. Aksi takdirde olaylara ortak denir.

Örnek : Bir zar atılıyor. 5'lik bir rulo, 6'lık bir ruloyu ortadan kaldırır. Bunlar uyumsuz olaylardır. İki farklı disiplinde yapılan sınavlarda “iyi” ve “mükemmel” not alan bir öğrenci ortak bir etkinliktir.

Birinin mutlaka gerçekleşmesi gereken iki uyumsuz olaya denir. zıt . Olay karşısında olay A Tayin etmek Ā .

Örnek : Yazı tura atarken "armanın" görünümü ve "yazı"nın görünümü zıt olaylardır.

Bu deneyimdeki çeşitli olaylara denir. eşit derecede mümkün eğer bu olaylardan hiçbirinin diğerlerinden daha olası olmadığına inanmak için sebep varsa.

Örnek : bir iskambil destesinden as, onlarca, vezir çekmek - olaylar eşit derecede olasıdır.

Birkaç olay formu tam grup eğer test sonucunda bu olaylardan sadece birinin mutlaka gerçekleşmesi gerekir.

Örnek : Zar atarken 1, 2, 3, 4, 5, 6 puanlarının düşürülmesi.

Bir olayın olasılığının klasik tanımı. Olasılık Özellikleri

İçin pratik faaliyetler Olayları meydana gelme olasılık derecesine göre karşılaştırabilmek önemlidir.

olasılık Bir olay, meydana gelen bir olayın nesnel olasılık derecesinin sayısal bir ölçüsüdür.

Hadi arayalım temel sonuç eşit olasılığa sahip test sonuçlarının her biri.

Çıkış denir elverişli (olumlu) olay A, gerçekleşmesi bir olayın meydana gelmesini gerektiriyorsa A.

Klasik tanım : olay olasılığı A belirli bir olay için elverişli sonuçların sayısının olası sonuçların toplam sayısına oranına eşittir.

(1) nerede P(A) bir olayın olasılığıdır A,

m- olumlu sonuçların sayısı,

n tüm olası sonuçların sayısıdır.

Örnek : Piyangoda 700'ü kazanılmayan 1000 bilet var. Satın alınan bir bilette kazanma olasılığı nedir?

Etkinlik A- kazanan bir bilet satın aldı

Olası sonuçların sayısı n=1000 toplam piyango bileti sayısıdır.

Olay lehine sonuç sayısı A kazanan biletlerin sayısıdır, yani m=1000-700=300.

Olasılığın klasik tanımına göre:

Yanıt vermek:
.

Not olay olasılık özellikleri:

1) Herhangi bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasındadır, yani. 0≤ P(A)≤1.

2) Belirli bir olayın olasılığı 1'dir.

3) İmkansız bir olayın olasılığı 0'dır.

Klasik olana ek olarak, olasılığın geometrik ve istatistiksel tanımları da vardır.

kombinatorik unsurları.

Kombinatorik formüller, söz konusu olay için elverişli sonuçların sayısını veya toplam sonuç sayısını hesaplamak için yaygın olarak kullanılmaktadır.

bir set olsun n itibaren nçeşitli unsurlar.

Tanım 1: Her biri hepsini içeren kombinasyonlar n Birbirinden sadece elementlerin sırasına göre farklılık gösteren elementlere denir. permütasyonlar itibaren n elementler.

P n=n! (2), nerede n! (n-faktöriyel) - ürün n doğal serinin ilk sayıları, yani.

n! = 1∙2∙3∙…∙(n–1)∙n

Örneğin, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

Tanım 2: m elementler ( m≤n) ve elementlerin bileşiminde veya düzeninde birbirinden farklı olan elementlere denir. yerleşimler itibaren nüzerinde m elementler.

(3) 
Tanım 3: Her biri içeren kombinasyonlar m elementler ( m≤n) ve sadece kompozisyonda birbirinden farklı olan elementlere denir. kombinasyonlar itibaren nüzerinde m elementler.

(4)
Yorum Yap: aynı kombinasyon içindeki öğelerin sırasını değiştirmek yeni bir kombinasyonla sonuçlanmaz.

Kombinatoryal problemlerin çözümünde sıklıkla kullanılan iki önemli kuralı formüle ediyoruz.

Toplam kuralı: eğer nesne A seçilebilir m yollar ve nesne V – n yollar, o zaman seçim ya A veya V yapılabilir m+n yollar.

Ürün kuralı: eğer nesne A seçilebilir m yollar ve nesne V böyle her seçimden sonra, kişi seçebilir n yollar, sonra bir çift nesne A ve V bu sırayla seçilebilir. m ∙ n yollar.

1. Temel teoremlerin ve olasılık formüllerinin ifadesi: toplama teoremi, koşullu olasılık, çarpma teoremi, olayların bağımsızlığı, toplam olasılık formülü.

Hedefler: bir olayın olasılığı kavramının tanıtılması için uygun koşulların yaratılması; olasılık teorisinin temel teorem ve formüllerine aşinalık; toplam olasılık formülünü girin.

Ders ilerlemesi:

Rastgele deney (deney) farklı sonuçların mümkün olduğu bir süreçtir ve sonucun ne olacağını önceden tahmin etmek imkansızdır. Bir deneyimin olası birbirini dışlayan sonuçlarına deneyim denir. temel olaylar . Temel olaylar kümesi W ile gösterilecektir.

rastgele olay deneyim sonucu gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini önceden söylemenin imkansız olduğu bir olaya denir. Deney sonucunda meydana gelen her rastgele A olayı, W'den bir grup temel olayla ilişkilendirilebilir. Bu grubu oluşturan temel olaylara denir. A olayının gerçekleşmesi için elverişlidir.

W kümesi rastgele bir olay olarak da düşünülebilir. Tüm temel olayları içerdiğinden, mutlaka deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkacaktır. Böyle bir olay denir otantik .

Belirli bir olay için W'den uygun temel olaylar yoksa, deneyin bir sonucu olarak gerçekleşemez. Böyle bir olay denir imkansız.

Olaylar denir eşit derecede mümkün test, bu olayların gerçekleşmesi için eşit bir fırsatla sonuçlanırsa. İki rastgele olay denir zıt eğer deney sonucunda bunlardan biri gerçekleşirse ve ancak diğeri olmazsa. A olayının karşısındaki olay ile gösterilir.

A ve B olayları denir uyumsuz bunlardan birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini dışlarsa. A 1 , A 2 , ..., A n olayları denir ikili uyumsuz, bunlardan herhangi ikisi uyumsuzsa. Olaylar A 1 , A 2 , ..., Bir form komple sistem ikili uyumsuz olaylar eğer test sonucunda bunlardan sadece birinin meydana geleceği kesinse.

Olayların toplamı (kombinasyonu) A 1 , A 2 , ..., A n A 1 , A 2 , ..., A n olaylarından en az birinin meydana geldiği gerçeğinden oluşan böyle bir C olayı denir. Olayların toplamı aşağıdaki gibi gösterilir:

C \u003d A 1 + A 2 + ... + A n.

Olayların ürünü (kavşak) A 1 , A 2 , ..., A n, tüm A 1 , A 2 , ..., A n olaylarının aynı anda meydana gelmesi gerçeğinden oluşan böyle bir olaya P denir. Olayların ürünü belirtilir

Olasılık teorisindeki olasılık P(A), tekrarlanan testlerle herhangi bir rastgele A olayının meydana gelme olasılığının derecesinin sayısal bir özelliği olarak hareket eder.

Örneğin bir zarın 1000 atışında 4 sayısı 160 defa gelir. 160/1000 = 0.16 oranı, bu test serisinde düşen 4 sayısının göreceli sıklığını gösterir. Daha genel olarak rastgele olay sıklığı Ve bir dizi deney yaparken, belirli bir olayın meydana geldiği deney sayısının toplam deney sayısına oranını çağırırlar:

burada P*(A), A olayının frekansıdır; m, A olayının meydana geldiği deneylerin sayısıdır; n, toplam deney sayısıdır.

Rastgele bir olayın olasılığı A'ya, deney sayısı arttıkça belirli bir olayın frekanslarının gruplandırıldığı sabit bir sayı denir ( bir olayın olasılığının istatistiksel olarak belirlenmesi ). Rastgele bir olayın olasılığı P(A) ile gösterilir.

Doğal olarak, hiç kimse olasılığı belirlemek için sınırsız sayıda test yapamayacak. Buna gerek yok. Pratikte olasılık, çok sayıda deneme içeren bir olayın sıklığı olarak alınabilir. Bu nedenle, örneğin, uzun yıllar süren gözlemler sonucunda oluşturulan istatistiksel doğum modellerinden, yenidoğanın erkek olma olasılığının 0,515 olduğu tahmin edilmektedir.

Test sırasında rastgele bir olayın diğerlerinden daha sık meydana gelmesi nedeniyle herhangi bir neden yoksa ( eşit olasılığa sahip olaylar), teorik düşüncelere dayanarak olasılığı belirleyebiliriz. Örneğin, yazı tura atma durumunda armanın düşme sıklığını (A olayı) bulalım. Çeşitli deneyciler, birkaç bin denemede, böyle bir olayın göreceli sıklığının 0,5'e yakın değerler aldığını göstermiştir. Madeni para simetrik ise, armanın görünümü ve madalyonun karşı tarafının (B olayı) eşit olası olaylar olduğu göz önüne alındığında, frekans belirlenmeden P(A)=P(B)=0.5 yargısı yapılabilir. bu olaylardan. Olayların "eşit olasılığı" kavramı temelinde, başka bir olasılık tanımı formüle edilmiştir.

Söz konusu A olayı, A için elverişli olarak adlandırılan ve kalan n-m'de meydana gelmeyen, A için elverişsiz olarak adlandırılan m durumda olsun.

O zaman A olayının olasılığı, kendisi için uygun olan temel olayların sayısının toplam sayılarına oranına eşittir.(bir olayın olasılığının klasik tanımı):

burada m, A olayını destekleyen temel olayların sayısıdır; n - Temel olayların toplam sayısı.

Birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1:Bir urn 40 top içerir: 10 siyah ve 30 beyaz. Rastgele seçilen bir topun siyah olma olasılığını bulun.

Uygun durumların sayısı kavanozdaki siyah topların sayısına eşittir: m = 10. Eşit olası olayların (bir topun çıkarılması) toplam sayısı, kavanozdaki toplam top sayısına eşittir: n = 40. Bu olaylar uyumsuzdur, çünkü bir ve yalnızca bir top dışarı alınır. P(A) = 10/40 = 0.25

Örnek #2:Zar atıldığında çift sayı gelme olasılığını bulunuz.

Bir zar atıldığında, eşit derecede olası altı uyumsuz olay gerçekleşir: bir rakamın görünümü: 1,2,3,4,5 veya 6, yani. n = 6. Uygun durumlar, 2,4 veya 6 sayılarından birinin kaybıdır: m = 3. İstenen olasılık P(A) = m/N = 3/6 = ½.

Bir olayın olasılığının tanımından da anlaşılacağı gibi, tüm olaylar için

0 < Р(А) < 1.

Açıkçası, belirli bir olayın olasılığı 1'dir, imkansız bir olayın olasılığı 0'dır.

Olasılık toplama teoremi: Birbiriyle bağdaşmayan birkaç olaydan bir (ne olursa olsun) bir olayın meydana gelme olasılığı, onların olasılıklarının toplamına eşittir.

Uyumsuz iki A ve B olayı için, bu olayların olasılıkları, olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A veya B)=P(A) + P(B).

Örnek #3:Bir zar atıldığında 1 veya 6 gelme olasılığını bulun.

Olay A (1. atış) ve B (6. atış) eşit olasılıkla: P(A) = P(B) = 1/6, yani P(A veya B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Olasılıkların eklenmesi sadece iki tane için değil, aynı zamanda herhangi bir sayıda uyumsuz olay için de geçerlidir.

Örnek 4:Bir urn 50 top içerir: 10 beyaz, 20 siyah, 5 kırmızı ve 15 mavi. Kutudan tek bir top çıkarma işleminde beyaz, siyah veya kırmızı bir topun ortaya çıkma olasılığını bulun.

Beyaz bir top çekme olasılığı (A olayı) P(A) = 10/50 = 1/5, siyah top (B olayı) P(B) = 20/50 = 2/5 ve kırmızı top ( olay C) P (C) = 5/50 = 1/10'dur. Buradan, olasılık ekleme formülüne göre P (A veya B veya C) \u003d P (A) + P (B) \u003d P (C) \u003d 1/5 + 2/5 + 1/ 10 \u003d 7/10

Olasılık toplama teoreminden aşağıdaki gibi iki zıt olayın olasılıklarının toplamı bire eşittir:

P(A) + P() = 1

Yukarıdaki örnekte, beyaz, siyah ve kırmızı topları çıkarmak, A 1 , P(A 1) = 7/10 olayı olacaktır. 1'in tersi olay mavi topun çekilmesidir. 15 mavi top olduğundan ve Toplam 50 top, sonra P( 1) = 15/50 = 3/10 ve P(A) + P() = 7/10 + 3/10 = 1 elde ederiz.

Eğer А 1 , А 2 , ..., Аn olayları ikili uyumsuz olaylardan oluşan eksiksiz bir sistem oluşturuyorsa, olasılıklarının toplamı 1'e eşittir.

Genel olarak, A ve B olaylarının toplamının olasılığı şu şekilde hesaplanır:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB).

Olasılık çarpma teoremi:

A ve B olayları denir bağımsız A olayının meydana gelme olasılığı, B olayının gerçekleşip gerçekleşmemesine bağlı değilse ve bunun tersi de, B olayının meydana gelme olasılığı, A olayının gerçekleşip gerçekleşmemesine bağlı değildir.

Bağımsız olayların birlikte meydana gelme olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir.. iki etkinlik için P(A ve B)=P(A) P(B).

Örnek: Bir urn 5 siyah ve 10 beyaz top, diğer 3 siyah ve 17 beyaz top içerir. Her bir kavanozdan ilk topların çekildiği zaman, her iki topun da siyah olma olasılığını bulun.

Çözüm: Birinci kavanozdan siyah bir top çekme olasılığı (a olayı) - P(A) = 5/15 = 1/3, ikinci kavanozdan siyah bir top çekme olasılığı (olay B) - P(B) = 3/ 20

P (A ve B) \u003d P (A) P (B) \u003d (1/3) (3/20) \u003d 3/60 \u003d 1/20.

Pratikte, bir B olayının olasılığı genellikle başka bir A olayının oluşup oluşmadığına bağlıdır. Bu durumda birinden bahseder şartlı olasılık , yani A olayının gerçekleştiğine göre B olayının olasılığı. Koşullu olasılık P(B/A) ile gösterilir.

kısa teori

Olayların meydana gelme olasılık derecesine göre nicel bir karşılaştırması için, bir olayın olasılığı olarak adlandırılan sayısal bir ölçü verilir. Rastgele bir olayın olasılığı bir olayın meydana gelmesinin nesnel olasılığının bir ölçüsünün ifadesi olan bir sayı denir.

Bir olayın meydana gelmesine güvenmek için nesnel gerekçelerin ne kadar önemli olduğunu belirleyen değerler, olayın olasılığı ile karakterize edilir. Olasılığın, biliciden bağımsız olarak var olan ve bir olayın meydana gelmesine katkıda bulunan koşulların toplamı tarafından koşullandırılan nesnel bir nicelik olduğu vurgulanmalıdır.

Olasılık kavramına verdiğimiz açıklamalar, bu kavramı nicel olarak tanımlamadıkları için matematiksel bir tanım değildir. Rastgele bir olayın olasılığının, belirli problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılan çeşitli tanımları vardır (klasik, olasılığın geometrik tanımı, istatistiksel, vb.).

Bir olayın olasılığının klasik tanımı bu kavramı, artık tanımlamaya tabi olmayan ve sezgisel olarak açık olduğu varsayılan, eşit olasılığa sahip olayların daha temel bir kavramına indirger. Örneğin, bir zar homojen bir küp ise, o zaman bu küpün herhangi bir yüzündeki serpinti eşit derecede olası olaylar olacaktır.

Belirli bir olayın, toplamı olayı veren eşit olasılığa sahip durumlara bölünmesine izin verin. Yani, ayrıldığı davalara olay için elverişli denir, çünkü bunlardan birinin ortaya çıkması saldırıyı sağlar.

Bir olayın olasılığı sembolü ile gösterilecektir.

Bir olayın olasılığı, tek, eşit derecede mümkün ve bağdaşmayan toplam durum sayısının kendisi için uygun olan durum sayısının sayıya oranına eşittir, yani.

Bu, olasılığın klasik tanımıdır. Bu nedenle, bir olayın olasılığını bulmak için, testin çeşitli sonuçlarını göz önünde bulundurduktan sonra, yalnızca mümkün, eşit olarak mümkün ve uyumsuz durumlardan oluşan bir dizi bulmak, toplam sayılarını n, durumların sayısını hesaplamak gerekir. bu olayı tercih edin ve ardından yukarıdaki formüle göre hesaplamayı yapın.

Bir olayın, olaya elverişli deneyim sonuçlarının sayısının toplam deneyim sonuçlarının sayısına oranına eşit olma olasılığına ne denir? klasik olasılık rastgele olay.

Aşağıdaki olasılık özellikleri tanımdan kaynaklanmaktadır:

Özellik 1. Belirli bir olayın olasılığı bire eşittir.

Özellik 2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Özellik 3. Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır.

Özellik 4. Tam bir grup oluşturan olayların meydana gelme olasılığı bire eşittir.

Özellik 5. Zıt olayın meydana gelme olasılığı, A olayının meydana gelme olasılığı ile aynı şekilde tanımlanır.

Zıt olayın gerçekleşmesini destekleyen olay sayısı. Buna göre, zıt olayın olma olasılığı 1 ile A olayının olma olasılığı arasındaki farka eşittir:

Bir olayın olasılığının klasik tanımının önemli bir avantajı, onun yardımıyla bir olayın olasılığının deneyime başvurmadan, ancak mantıksal akıl yürütme temelinde belirlenebilmesidir.

Bir takım koşullar yerine getirildiğinde, belirli bir olay kesinlikle gerçekleşecek ve imkansız olan kesinlikle olmayacak. Bir şartlar kompleksi yaratıldığında meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek olaylar arasında, bazılarının zuhuru daha fazla akla, bazılarının zuhuruna daha az sebep ile güvenilebilir. Örneğin, vazoda siyah olanlardan daha fazla beyaz top varsa, o zaman semaverden rastgele çıkarıldığında beyaz bir topun görünmesini ummak için siyah bir topun görünümünden daha fazla neden vardır.

Sonraki sayfada görüldü.

Sorun çözümü örneği

örnek 1

Bir kutuda 8 beyaz, 4 siyah ve 7 kırmızı bilye vardır. Rastgele 3 top çekiliyor. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: - en az 1 kırmızı top çekiliyor, - aynı renkte en az 2 top var, - en az 1 kırmızı ve 1 beyaz top var.

sorunun çözümü

Toplam test sonucu sayısını, her biri 3'er olan 19 (8 + 4 + 7) elemanın kombinasyon sayısı olarak buluyoruz:

Bir olayın olasılığını bulun- en az 1 kırmızı top (1,2 veya 3 kırmızı top) çekilir

Gerekli olasılık:

olay olsun- aynı renkte en az 2 top var (2 veya 3 beyaz top, 2 veya 3 siyah top ve 2 veya 3 kırmızı top)

Etkinliği destekleyen sonuçların sayısı:

Gerekli olasılık:

olay olsun- en az bir kırmızı ve bir beyaz top var

(1 kırmızı, 1 beyaz, 1 siyah veya 1 kırmızı, 2 beyaz veya 2 kırmızı, 1 beyaz)

Etkinliği destekleyen sonuçların sayısı:

Gerekli olasılık:

Yanıt vermek: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Örnek 2

İki zar atılır. Puanların toplamının en az 5 olma olasılığını bulun.

Çözüm

Olay en az 5 puan toplamı olsun

Olasılığın klasik tanımını kullanalım:

Olası deneme sonuçlarının toplam sayısı

Bizi ilgilendiren olay lehine deneme sayısı

İlk zarın düşen yüzünde bir puan, iki puan..., altı puan görünebilir. benzer şekilde, ikinci kalıp rulosunda altı sonuç mümkündür. İlk kalıbın sonuçlarının her biri, ikincinin sonuçlarının her biri ile birleştirilebilir. Bu nedenle, testin olası temel sonuçlarının toplam sayısı, tekrarlı yerleştirmelerin sayısına eşittir (6. cilt kümesinden 2 öğenin yerleştirilmesiyle seçim):

Zıt olayın olasılığını bulun - puanların toplamı 5'ten az

Düşen puanların aşağıdaki kombinasyonları etkinliği destekleyecektir:

№

1. kemik

2. kemik

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Ortaçözüm maliyeti kontrol işi 700 - 1200 ruble (ancak tüm sipariş için en az 300 ruble). Fiyat, kararın aciliyetinden büyük ölçüde etkilenir (günlerden birkaç saate kadar). Sınavda / testte çevrimiçi yardımın maliyeti - 1000 ruble'den. Bilet çözümü için.

Uygulama, görevlerin durumunu bıraktıktan ve sizi çözmek için son tarihler hakkında bilgilendirdikten sonra doğrudan sohbette bırakılabilir. Yanıt süresi birkaç dakikadır.

Olasılık, olasılık teorisinin temel kavramlarından biridir. Bu kavramın birkaç tanımı vardır. Klasik denilen bir tanım verelim.

olasılık olay, belirli bir olayı destekleyen temel sonuçların sayısının, bu olayın ortaya çıkabileceği eşit derecede olası tüm deneyim sonuçlarının sayısına oranıdır.

Bir A olayının olasılığı şu şekilde gösterilir: P(A)(burada r- Fransızca kelimenin ilk harfi olasılık- olasılık).

Tanıma göre

olayın görünümünü destekleyen temel test sonuçlarının sayısı nerede;

Denemenin olası temel sonuçlarının toplam sayısı.

Bu olasılık tanımı denir klasik. üzerinde ortaya çıktı İlk aşama olasılık teorisinin gelişimi.

Sayı genellikle olayın göreceli sıklığı olarak adlandırılır. A deneyim içinde.

Bir olayın olasılığı ne kadar yüksekse, o kadar sık ​​meydana gelir ve bunun tersi, bir olayın olasılığı ne kadar düşükse, o kadar az gerçekleşir. Bir olayın olasılığı bire yakın veya bire eşit olduğunda, hemen hemen tüm denemelerde ortaya çıkar. Böyle bir olay olduğu söyleniyor neredeyse kesin, yani, kişi kesinlikle onun saldırganlığına güvenebilir.

Tersine, olasılık sıfır veya çok küçük olduğunda, olay çok nadiren meydana gelir; böyle bir olay olduğu söyleniyor neredeyse imkansız.

Bazen olasılık yüzde olarak ifade edilir: R(A) %100 olayın meydana gelme sayısının ortalama yüzdesidir A.

Örnek 2.13. Bir telefon numarasını çevirirken, abone bir rakamı unuttu ve rastgele çevirdi. İstenen rakamın çevrilmiş olma olasılığını bulun.

Çözüm.

ile belirtmek A olay - "gerekli numara arandı".

Abone 10 haneden herhangi birini çevirebilir, dolayısıyla olası temel sonuçların toplam sayısı 10'dur. Bu sonuçlar uyumsuzdur, eşit derecede mümkündür ve tam bir grup oluşturur. olay lehine A yalnızca bir sonuç (gerekli sayı yalnızca birdir).

İstenen olasılık, olayı destekleyen sonuçların sayısının tüm temel sonuçların sayısına oranına eşittir:

Klasik olasılık formülü, deney gerektirmeyen olasılıkları hesaplamak için çok basit bir yol sağlar. Ancak, bu formülün basitliği çok aldatıcıdır. Gerçek şu ki, onu kullanırken, kural olarak, iki çok zor soru ortaya çıkıyor:

1. Eşit derecede olası olmaları için bir deneyim sonuçları sistemi nasıl seçilir ve bunu yapmak mümkün müdür?

2. Sayılar nasıl bulunur m ve n?

Bir deneyde birden fazla denek yer alıyorsa, eşit derecede olası sonuçları görmek her zaman kolay değildir.

Büyük Fransız filozof ve matematikçi d'Alembert, olasılık teorisi tarihine ünlü hatasıyla girdi; bunun özü, yalnızca iki madeni parayla bir deneyde sonuçların eşitlenebilirliğini yanlış bir şekilde belirlemesiydi!

Örnek 2.14. ( d'Alembert hatası). İki özdeş madeni para atılıyor. Aynı tarafta olma olasılığı nedir?

d'Alembert'in çözümü.

Deneyimin eşit derecede olası üç sonucu vardır:

1. Her iki madeni para da "kartalın" üzerine düşecek;

2. Her iki madeni para da "tura" üzerine düşecek;

3. Madeni paralardan biri tura diğeri tura gelecek.

Doğru karar.

Deneyimin dört eşit olası sonucu vardır:

1. İlk jeton "kartal"ın üzerine, ikincisi de "kartal"ın üzerine düşecek;

2. İlk jeton "tura", ikincisi de "tura" üzerine düşecek;

3. İlk jeton tura, ikincisi tura gelecek;

4. İlk jeton yazıya, ikincisi tura gelecek.

Bunlardan iki sonuç bizim olayımız için uygun olacaktır, bu nedenle istenen olasılık eşittir.

d'Alembert, olasılığı hesaplarken yapılan en yaygın hatalardan birini yaptı: iki temel sonucu tek bir sonuç olarak birleştirdi ve böylece onu, deneyin kalan sonuçlarıyla olasılık açısından eşitsiz hale getirdi.