Penrose Mozaiği veya Orta Asyalı mimarların Avrupalı ​​bilim adamlarının keşfini beş yüzyıla kadar nasıl öngördükleri Çeşitli. Penrose Mozaiği ve Eski İslami Mozaikler Simetrik Mozaik

Penrose mozaiği, Penrose karoları - düzlemin periyodik olmayan bölümleri, periyodik olmayan düzenli yapılar, düzlemin iki tip eşkenar dörtgen ile döşenmesi - 72 ° ve 108 ° ("kalın eşkenar dörtgenler") ve 36 ° ve 144 ° (" ince eşkenar dörtgenler”), öyle ki ("altın bölüm" oranlarına tabidir), herhangi iki bitişik (yani ortak bir tarafa sahip olan) eşkenar dörtgen birlikte bir paralelkenar oluşturmaz.Adını, "döşeme" sorunuyla ilgilenen, yani düzlemi boşluklar ve örtüşmeler olmadan aynı şekle sahip rakamlarla doldurmakla ilgilenen Roger Penrose'dan almıştır.

Bu tür döşemelerin tümü periyodik değildir ve birbirlerine yerel olarak izomorfiktir (yani, bir Penrose döşemesinin herhangi bir sonlu parçası diğerinde oluşur). "Kendine benzerlik" - Mozaiğin bitişik karolarını, tekrar bir Penrose mozaiği elde edecek şekilde birleştirebilirsiniz.

İki karonun her birine birkaç parça çizilebilir, böylece mozaik döşenirken bu parçaların uçları hizalanır ve düzlemde birkaç paralel düz çizgi ailesi (Ammann çizgileri) oluşturulur.

Bitişik paralel çizgiler arasındaki mesafeler tam olarak iki farklı değer alır (ve her paralel çizgi ailesi için bu değerlerin sırası kendine benzerliğe sahiptir).

Delikli penrose çinileri, sonlu alan figürü dışında tüm düzlemi kaplar. Birkaç (sonlu sayıda) karoyu kaldırarak bir deliği büyütmek imkansızdır, bundan sonra kaplanmamış kısmı tamamen kaplamak imkansızdır.

Sorun, periyodik olarak yinelenen bir desen oluşturan figürlerle döşeme yaparak çözülür, ancak Penrose, bir düzlemle döşendiğinde tekrar eden desenler oluşturmayacak bir figür bulmak istedi. Sadece periyodik olmayan mozaiklerin inşa edileceği böyle bir çini olmadığına inanılıyordu. Penrose bir sürü fayans aldı çeşitli şekiller Sonuç olarak, tüm uyumlu ilişkilerin temelini oluşturan "altın bölüme" sahip olan sadece 2 tanesi vardı. Bunlar, açıları 108° ve 72° olan baklava biçimli figürlerdir. Daha sonra, rakamlar “altın üçgen” ilkesine dayalı olarak basit bir eşkenar dörtgen (36 ° ve 144 °) şeklinde basitleştirildi.

Ortaya çıkan desenler yarı kristal bir forma sahiptir. eksenel simetri 5. sipariş. Döşeme yapısı Fibonacci dizisi ile ilgilidir.
( Vikipedi)

Penrose'un yaptığı mozaik. Beyaz nokta, 5. mertebedeki dönme simetrisinin merkezini işaretler: onun etrafında 72° dönmek, döşemeyi kendisine dönüştürür.

Zincirler ve mozaikler (Science and Life dergisi, 2005 Sayı 10)

Önce aşağıdaki idealleştirilmiş modeli ele alalım. Denge durumundaki parçacıkların z transfer ekseni boyunca yer almasına ve doğrusal bir zincir oluşturmasına izin verin. değişken dönem, geometrik ilerleme yasasına göre değişen:

bir = a1 Dn-1,

nerede a1 - başlangıç ​​dönemi parçacıklar arası, n dönemin seri numarasıdır, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1.6180339… altın oranın numarasıdır.

Oluşturulan parçacık zinciri, uzun menzilli simetri düzenine sahip tek boyutlu bir yarı kristalin bir örneği olarak hizmet eder. Yapı kesinlikle düzenli, eksende sistematik bir parçacık düzeni var - koordinatları bir yasa tarafından belirlenir. Aynı zamanda, tekrarlanabilirlik yoktur - parçacıklar arasındaki süreler farklıdır ve her zaman artar. Bu nedenle, ortaya çıkan tek boyutlu yapı, öteleme simetrisine sahip değildir ve bu, parçacıkların kaotik bir düzenlemesinden (amorf yapılarda olduğu gibi) değil, iki bitişik periyodun irrasyonel oranından kaynaklanır (D, irrasyonel bir sayıdır).

Bir yarı kristalin düşünülen tek boyutlu yapısının mantıksal devamı, iki farklı elemandan, iki birim hücreden oluşan periyodik olmayan mozaikler (desenler) oluşturma yöntemiyle tanımlanabilen iki boyutlu bir yapıdır. Böyle bir mozaik 1974 yılında Oxford Üniversitesi'nden teorik bir fizikçi tarafından geliştirildi. R. Penrose. Eşit kenarları olan iki eşkenar dörtgenden oluşan bir mozaik buldu. Dar bir eşkenar dörtgenin iç açıları 36° ve 144°, geniş bir eşkenar dörtgen - 72° ve 108°'dir.

Bu eşkenar dörtgenlerin açıları, x2 - x - 1 = 0 denklemi veya y2 + y - 1 = 0 denklemi ile cebirsel olarak ifade edilen altın oran ile ilgilidir. Bu ikinci dereceden denklemlerin kökleri trigonometrik biçimde yazılabilir. :

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Denklem köklerinin böyle alışılmadık bir temsili, bu eşkenar dörtgenlerin dar ve geniş altın eşkenar dörtgenler olarak adlandırılabileceğini göstermektedir.

Penrose döşemesinde düzlem, boşluk veya bindirme olmaksızın altın eşkenar dörtgenlerle kaplanmıştır ve uzunluk ve genişlikte süresiz olarak yayılabilir. Ancak sonsuz bir mozaik inşa etmek için, bir kristali oluşturan özdeş temel hücrelerin monoton tekrarından önemli ölçüde farklı olan belirli kurallara uyulmalıdır. Altın eşkenar dörtgen takma kuralı ihlal edilirse, bir süre sonra mozaiğin büyümesi duracaktır, çünkü onarılamaz tutarsızlıklar ortaya çıkacaktır.

Sonsuz Penrose döşemesinde, altın eşkenar dörtgenler katı bir periyodiklik olmadan düzenlenir. Ancak, geniş altın eşkenar dörtgen sayısının dar altın eşkenar dörtgen sayısına oranı, altın sayı D = (1 + √5)/2= = 1.6180339…'a tam olarak eşittir. D sayısı irrasyonel olduğundan, böyle bir mozaikte, tüm mozaiğin elde edilebileceğini çevirerek, her türden tam sayıda eşkenar dörtgen içeren bir temel hücreyi seçmek imkansızdır.

Penrose mozaiği, eğlenceli bir matematik nesnesi olarak kendine özgü bir çekiciliğe sahiptir. Bu konunun tüm yönlerine girmeden, ilk adımın - bir mozaik inşa etmenin - bile dikkat, sabır ve belirli bir ustalık gerektirdiği için oldukça ilginç olduğunu belirtiyoruz. Mozaiği çok renkli yaparsanız, birçok kurgu ve fantezi gösterilebilir. Hemen oyuna dönüşen boyama, sayısız orijinal yollarla, seçeneklerde gösterilen seçenekler (aşağıda). Beyaz nokta, mozaiğin merkezini işaretler; bu, etrafında 72°'lik bir dönüşle mozaiğin kendisine dönüştüğü bir dönüştür.

Penrose Mozaiği, çeşitli disiplinlerin kesişme noktasında bulunan güzel bir binanın kendine nasıl bir kullanım bulacağına dair harika bir örnektir. Düğüm noktaları atomlarla değiştirilirse, Penrose döşemesi, maddenin böyle bir durumunun birçok özelliğine sahip olduğundan, iki boyutlu bir yarı kristalin iyi bir analogu olacaktır. Ve bu yüzden.

İlk olarak, mozaiğin yapımı belirli bir algoritmaya göre gerçekleştirilir, bunun sonucunda rastgele değil, düzenli bir yapı olduğu ortaya çıkar. Herhangi bir sonlu parçası, tüm mozaiğin içinde sayısız kez meydana gelir.

İkincisi, mozaikte tam olarak aynı yönelimlere sahip birçok düzenli ongen ayırt edilebilir. Yarı-periyodik olarak adlandırılan uzun menzilli bir yönelim düzeni oluştururlar. Bu, eşkenar dörtgenlerin konumu ve göreli yönelimini belirsiz de olsa iyi tanımlanmış bir şekilde müzakere eden uzak döşeme yapıları arasında bir etkileşim olduğu anlamına gelir.

Üçüncü olarak, kenarları seçilen herhangi bir yöne paralel olan tüm eşkenar dörtgenleri sırayla boyarsanız, bunlar bir dizi kesik çizgi oluşturur. Bu kesik çizgiler boyunca, birbirinden yaklaşık olarak aynı mesafede aralıklı düz paralel çizgiler çizilebilir. Bu özellik nedeniyle, Penrose döşemesinde bir miktar öteleme simetrisinden söz edilebilir.

Dördüncüsü, art arda doldurulmuş elmaslar, 72°'nin katları olan açılarda kesişen benzer paralel çizgilerin beş ailesini oluşturur. Bu kesik çizgilerin yönleri, düzgün bir beşgenin kenarlarının yönlerine karşılık gelir. Bu nedenle, Penrose döşemesi bir dereceye kadar 5. dereceden bir dönme simetrisine sahiptir ve bu anlamda bir yarı kristale benzer.

Utanç! Orta Çağ insanları modern bilim adamlarını geride bıraktı. İleri matematik ve kristalografinin başarılarımız olduğunu düşündük. Öyle bir şey olmadığı ortaya çıktı - tüm bunlar zaten yarım bin yıl önceydi. Ayrıca modern bilim, en iyi matematikçiler tarafından değil, basit sanatçılar tarafından aşılmış görünüyor. Şey, belki çok basit değil... Ama yine de!

Hayır, aslında - modern matematikçiler tamamen saçmalıklarla uğraşıyorlar! Ya kağıt 12 kez katlanır, sonra Lorenz denklemleri örülür, sonra toplar bükülerek çörek haline getirilir. Genel olarak, ciddi insanlardan sadece Perelman ve Okounkov kaldı - tüm umutlar üzerlerinde ...

Ancak ilginçtir ki, antik çağlarda, bazen bunlara özel bir anlam yüklemeden, matematiksel başarılar elde etmişlerdir. Bilim adamlarının, bir yüzyıldan fazla bir süredir tahminleri olmadan var olan bir şeyi icat ettiklerinden hiç şüphelenmeden, aynı “eski” keşifleri bugün tekrarlamaları da ilginçtir.

Örneğin, İngiliz matematikçi Roger Penrose, 1973'te böyle bir şey buldu - özel bir geometrik şekiller mozaiği. Sırasıyla Penrose mozaiği olarak tanındı. Onun hakkında bu kadar özel olan ne?

Yaratıcısının versiyonunda Penrose Mozaiği. Biri 72 derece, diğeri 36 derece açılı olmak üzere iki tip eşkenar dörtgenden monte edilir. Resmin simetrik olduğu, ancak periyodik olmadığı ortaya çıktı (en.wikipedia.org sitesinden çizim).

Penrose mozaiği, iki özel şekle (biraz farklı eşkenar dörtgenler) sahip çokgen karolardan bir araya getirilmiş bir modeldir. Boşluklar olmadan sonsuz bir düzlem döşeyebilirler.

Ortaya çıkan görüntü, bir tür "ritmik" süs gibi görünüyor - öteleme simetrisine sahip bir resim. Bu tür bir simetri, desende, bir düzlemde "kopyalanabilecek" belirli bir parça seçebileceğiniz ve daha sonra bu "kopyaları" paralel aktarımla (başka bir deyişle, döndürmeden ve büyütmeden) birbirleriyle birleştirebileceğiniz anlamına gelir.

Bununla birlikte, yakından bakarsanız, Penrose modelinin bu tür tekrar eden yapılara sahip olmadığını görebilirsiniz - bu periyodik değildir. Ancak mesele, optik bir yanılsama değil, mozaiğin kaotik olmadığı gerçeğidir: beşinci dereceden bir dönme simetrisine sahiptir.

Yarı kristallerin örnekleri, AlMnPd ve Al 60 Li 30 Cu 10 alaşımıdır (Paul J. Steinhardt tarafından yapılan çizim).

Bu, görüntünün minimum 360 / n derece, nerede n bu durumda simetri sırasıdır n= 5. Dolayısıyla hiçbir şeyi değiştirmeyen dönüş açısı 360 / 5 = 72 derecenin katı olmalıdır.

Yaklaşık on yıl boyunca, Penrose'un kurgusu, sevimli bir matematiksel soyutlamadan başka bir şey olarak görülmedi. Bununla birlikte, 1984'te İsrail Teknoloji Enstitüsü'nde (Technion) profesör olan Dan Shechtman, bir alüminyum-magnezyum alaşımının yapısını incelerken, bu maddenin atomik kafesinde kırınım meydana geldiğini keşfetti.

Katı hal fiziğinde var olan önceki fikirler böyle bir olasılığı dışladı: kırınım modelinin yapısı beşinci dereceden simetriye sahiptir. Parçaları paralel transferle birleştirilemez, bu da onun bir kristal olmadığı anlamına gelir. Ancak kırınım, sadece bir kristal kafes için karakteristiktir!

Nasıl burada olunur? Soru kolay değil, bu yüzden bilim adamları bu seçeneğin yarı kristaller olarak adlandırılacağı konusunda anlaştılar - maddenin özel bir durumu gibi bir şey.

Burada gösterilen, 15. yüzyıldan kalma bir Arapça el yazmasında gösterilen çini desenlerinden biridir. Araştırmacılar yinelenen alanları renklerle vurguladılar. Bu beş unsura dayanarak, Lou ve Steinhardt tarafından incelenen ortaçağ Arap ustalarının tüm geometrik desenleri inşa edilmiştir. Gördüğünüz gibi, yinelenen öğelerin mutlaka karo kenarlıkları ile aynı hizada olması gerekmez (illüstrasyon Peter J. Lu).

Pekala, keşfin tüm güzelliği, tahmin ettiğiniz gibi, matematiksel bir modelin uzun süredir buna hazır olması. Ve muhtemelen anladığınız gibi, bu bir Penrose mozaiği. Ama bu hiç on yaşında değil, çok daha fazlası. Bu, ancak 21. yüzyılın şafağında, günümüzde biliniyordu ve bu modelin hayal edebileceğinden çok daha eski olduğu ortaya çıktı.

2007'de Harvard Üniversitesi'nde fizikçi olan Peter J. Lu (diğer fizikçi Paul J. Steinhardt ile birlikte, ancak Princeton Üniversitesi'nden), Science dergisinde Penrose mozaikleri üzerine bir makale yayınladı. Görünüşe göre burada çok az sürpriz var: yarı kristallerin keşfi bu konuya yoğun bir ilgi çekti ve bu da bilimsel basında bir yığın yayının ortaya çıkmasına neden oldu.

Bununla birlikte, çalışmanın öne çıkan özelliği, uzaklara adanmış olmasıdır. modern bilim. Ve genel olarak - bilim değil.

"Quasicrystal" desenleri sadece mimaride yer bulmamıştır. Burada 1306-1315 tarihli Kuran-ı Kerim'in kapağını ve tasarımın dayandığı geometrik parçaların çizimini görebilirsiniz. Bu ve aşağıdaki örnekler, Penrose kafeslerine karşılık gelmez, ancak beşinci dereceden dönme simetrisine sahiptir (resim Peter J. Lu).

Lu, Orta Çağ'da inşa edilen Asya'daki camileri kaplayan desenlere dikkat çekti. Bu kolayca tanınabilir tasarımlar mozaik karolardan yapılmıştır. Bunlara girihi (Arapça "düğüm" kelimesinden) denir ve İslam sanatının özelliği olan, çokgen figürlerden oluşan geometrik bir süslemedir.

Uzun süre bu desenlerin cetvel ve pusula kullanılarak oluşturulduğuna inanılıyordu. Ancak, birkaç yıl önce, Lu, Özbekistan'da seyahat ederken, yerel ortaçağ mimarisini süsleyen mozaik desenleriyle ilgilenmeye başladı ve onlarda tanıdık bir şey fark etti.

Harvard'a dönen bilim adamı, Afganistan, İran, Irak ve Türkiye'deki ortaçağ binalarının duvarlarındaki mozaiklerde benzer motifleri düşünmeye başladı.

Bu şemaların neredeyse aynı olduğunu buldu ve tüm geometrik tasarımlarda kullanılan girih'in ana unsurlarını belirleyebildi. Ayrıca, eski sanatçıların duvarları süslemek için bir tür hile sayfası olarak kullandıkları eski el yazmalarında bu görüntülerin çizimlerini buldu.

Ama bütün bunlar, ortaya çıkıyor, o kadar önemli değil. Bu desenleri oluşturmak için basit, rastgele icat edilmiş konturlar değil, belirli bir düzende düzenlenmiş figürler kullandılar. Ve bu özellikle şaşırtıcı değil.

Gerçekten ilginç olan, bu tür planları unutan insanların daha sonra onlarla tekrar buluşmasıdır. Evet, evet, antik desenler, yüzyıllar sonra Penrose ızgaraları olarak adlandırılan ve yarı kristallerin yapısında bulunanlardan başka bir şey değildir!

Bu fotoğraflar, çeşitli camilerden (Peter J. Lu'nun çizimi) fotoğraflar olmalarına rağmen aynı alanları vurgulamaktadır.

İslam geleneğinde, insan ve hayvan imajı konusunda katı bir yasak vardı, bu nedenle binaların tasarımında geometrik süslemeler çok popüler hale geldi. Ortaçağ ustaları bir şekilde onu çeşitlendirmeyi başardılar. Ama "stratejilerinin" sırrı neydi - kimse bilmiyordu. Bu nedenle, sır, simetrik kalırken, tekrar etmeden düzlemi doldurabilen özel mozaiklerin kullanımında ortaya çıkıyor.

Bu görüntülerin bir başka "hilesi" de, bu tür şemaları çeşitli tapınaklarda çizimlere göre "kopyalamak", sanatçıların kaçınılmaz olarak çarpıklıkları kabul etmek zorunda kalacak olmalarıdır. Ancak bu ihlaller minimum düzeydedir. Bu, yalnızca büyük ölçekli çizimlerin bir anlamı olmadığı gerçeğiyle açıklanır: asıl şey, bir resim oluşturma ilkesidir.

Girihleri ​​birleştirmek için, mozaikte aralarında boş alan olmadan birbirine bitişik olarak düzenlenmiş beş tip karo (on ve beşgen eşkenar dörtgenler ve "kelebekler") kullanıldı. Onlardan oluşturulan mozaikler aynı anda hem dönme hem de öteleme simetrisine veya yalnızca beşinci dereceden dönme simetrisine (yani Penrose mozaikleriydi) sahip olabilir.

1304 İran mozolesinin süsü parçası. Sağda girihlerin rekonstrüksiyonu var (Peter J. Lu tarafından resmedilmiştir).

Lou ve Steinhardt, Orta Çağ'daki Müslüman yerleşim yerlerinin yüzlerce fotoğrafını inceleyerek, benzer bir eğilimin ortaya çıkış tarihini 13. yüzyıla tarihlendirebildiler. Yavaş yavaş, bu yöntem giderek daha fazla popülerlik kazandı ve 15. yüzyılda yaygınlaştı.

Araştırmacılar, İran'ın İsfahan kentindeki 1453 yılına dayanan İmam Darb-i mabedini neredeyse ideal bir yarı kristal yapı örneği olarak değerlendirdiler.

Bu keşif birçok insanı etkiledi. Amerikan Bilimi Geliştirme Derneği (

Proje katılımcıları

Nikiforov Kirill, 8. sınıf öğrencisi

Rudneva Oksana, 8. sınıf öğrencisi

Poturaeva Ksenia, 8. sınıf öğrencisi

Araştırma konusu

Penrose mozaiği

sorunlu soru

Penrose döşeme nedir?

Araştırma hipotezi

Uçağın periyodik olmayan bir döşemesi var

Araştırma hedefleri

Penrose mozaiği ile tanışın ve neden "altın" mozaik olarak adlandırıldığını öğrenin.

Sonuçlar

Penrose mozaiği

Bir düzlemin döşemesi, tüm düzlemin örtüşmeyen şekillerle kaplanmasıdır. Matematikte, bir düzlemin boşluklar ve örtüşmeler olmadan çokgenlerle sürekli olarak doldurulması sorununa parke veya mozaik denir. Muhtemelen, döşemeye ilk ilgi, mozaiklerin, süslemelerin ve diğer desenlerin yapımıyla bağlantılı olarak ortaya çıktı. Eski Yunanlılar bile düzlemi düzgün üçgenler, kareler ve altıgenlerle kaplayarak bu sorunun kolayca çözülebileceğini biliyorlardı.

Uçağın böyle bir döşemesine periyodik denir. Daha sonra birkaç normal çokgenin bir kombinasyonunu kullanarak döşeme yapmayı öğrendiler.

Daha zor bir görev, tam olarak "doğru" veya "neredeyse" periyodik parke oluşturmaktı. Uzun süre bu sorunun çözümü olmadığına inanılıyordu. Bununla birlikte, geçen yüzyılın 60'larında yine de çözüldü, ancak bunun için binlerce çokgen seti gerekiyordu. Çeşitli türler. Adım adım türlerin sayısı azaldı ve nihayet 1970'lerin ortalarında, matematik ve fiziğin çeşitli alanlarında aktif olarak çalışan Oxford Üniversitesi profesörü Roger Penrose, sorunu sadece iki kullanarak çözdü. eşkenar dörtgen türleri.

Roger Penrose

Şimdi Penrose döşemesi olarak adlandırılan böyle bir döşemeyi inşa etmek için bir yöntem keşfettik. Bunu yapmak için, normal bir beşgende (beşgen) köşegenler çizin. Alırız - yeni bir beşgen ve "altın" olarak adlandırılan iki tür ikizkenar üçgen. Bu tür üçgenlerde kalçanın tabana oranı "altın" orana eşittir. Üçgenlerdeki açılar birinde 36°, 72° ve 72°, diğerinde 108°, 36° ve 36°'dir. İki özdeş üçgeni bağlayalım ve "altın" eşkenar dörtgenler elde edelim. Bilim adamı tarafından parke tasarımında kullanıldılar ve parkenin kendisine "altın" adı verildi.

Penrose mozaiği

Penrose mozaiği aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. İnce eşkenar dörtgen sayısının kalın olanların sayısına oranı her zaman sözde "altın" sayı 1,618'e eşit çıkıyor...

ve eski
İslami desenler
Sunum tarafından yapıldı
7B TsO No. 1679 sınıfı öğrencisi
Zherder Marina.
Proje liderleri
Sinyukova E.V. ve Zherder V.M.
5sınıf.net

mozaik nedir

Mozaik hediyeler
bir desen,
fayanslardan monte edilmiş
farklı formlar. imi
asfaltlanabilir
sonsuz
uçaksız
boşluklar.

Periyodik döşeme bir döşemedir
deseni boyunca tekrarlanan
eşit aralıklar.
Periyodik olmayan bir döşeme döşemedir
tekrar edilebilir desen
düzensiz aralıklarla.

Doğada mozaikler

Doğada çok örneği var
periyodik mozaik. Daha çok
katı kristalleri - örneğin:
tuz kristali
elmas kristal
grafit kristali
grafen kristali

Escher'in resimlerinde mozaikler

Mozaikler önemli bir konudur.
Sanat. Ressam
M.C. Escher çalışmalarıyla tanınır.
mozaikler ve gerçek değil
resimler.

Penrose döşemesi nedir?

1973 yılında
ingilizce
matematikçi Roger
Penrose (Roger
Penrose oluşturuldu
özel mozaik
geometrikten
rakamlar, hangi
Penrose döşemesi olarak tanındı.

Poligonal Mozaik Plakalar

Penrose mozaiği
çokgenden birleştirilmiş mozaik
iki özel şekle sahip karolar.

mozaik simetri

Ortaya çıkan görüntü benziyor
sanki bir çeşit "ritmik"
süs - resim,
sahip olmak
öteleme
simetri.

Simetri

Translasyon simetrisi,
desende ne seçilebilir
yapabilen belirli bir parça
uçakta "kopyala" ve ardından
bu "kopyaları" birbirleriyle birleştirin
paralel aktarım.

10. Mozaik Yapı

Ancak yakından bakarsanız,
bak öyle biri yok
tekrar eden yapılar
düzenli olmayan. Ama mesele hiç de değil
optik illüzyon, ama o mozaikte
kaotik değil: o
vardır
rotasyonel
beşinci simetri
sipariş.

11. Minimum açı

Bu demektir
görüntü olabilir
aç
minimum açı
360/n dereceye eşit,
n sipariş nerede
simetri, bu
durum n = 5.
Bu nedenle açı
dönüş, ki bu hiçbir şey
değişmez, olması gerekir
360'ın katı / 5 = 72
derece.

12. Alışılmadık bir fenomen

1984 yılında
Shechtman nişanlanıyor
yapının incelenmesi
alüminyum magnezyum alaşımı,
üzerinde bulundu
atomik kafes
bu madde
devam ediyor
için alışılmadık
kristaller
fiziksel fenomen.

13. "Yanlış" kristaller

maruz kalan bir madde örneği
özel hızlı yöntem
soğutma, elektron ışını saçıldı
böylece oluşan fotoğraf plakasında
telaffuz
difraktif
simetri ile resim
beşinci sırada
yer
difraktif
yüksekler
(ikosahedron simetrisi).

14. Kuasikristaller

Bilim adamları aynı fikirde
o, bu
seçenek olurdu
isimlendirilmek
yarı kristaller -
özel gibi bir şey
Maddenin durumu. VE
onun için uzun zaman önce
hazırdı
matematiksel model
- Penrose mozaiği.

15.

Yayın 2007
2007'de fizikçiler Peter Lu ve Paul
Steinhardt dergisinde yayınlandı
Mozaikler üzerine bilim makalesi
Penrose.

16. Yarı kristallere ilgi

Öyle görünüyor ki,
burada beklenmedik
biraz: açılış
yarı kristaller
canlı çekti
buna ilgi
yönlendiren konu
bir yığına
yayınlar
bilimsel basın

17. Asya'daki Desenler

Ancak çalışmanın öne çıkan özelliği,
modern bilimden uzaklara adanmıştır.
Ve genel olarak - bilim değil. Peter Lu
desenlere dikkat et
camileri kapsayan
Asya'da inşa edilmiş
Orta Çağ'da bile.

18.

Stiller. Girih
İslami süslemede iki
stil:
Girih (per.) - karmaşık
geometrik Süsleme,
stilize edilmiş
dikdörtgen ve çokgen
çizgi şekilleri. Çoğu durumda
harici için kullanılır
büyük camilerin ve kitapların dekorasyonu
baskı.

19. İslam

Islimi (per.) - bir tür süs,
gündüzsefası kombinasyonu üzerine inşa edilmiştir ve
spiraller. Stilize edilmiş bir şekilde somutlaşır
veya natüralist form fikri
sürekli gelişen çiçeklenme
yapraklı kaçış En büyük
kıyafetlerde dağıtım aldı,
kitaplar, camilerin iç dekorasyonu,
çanak çömlek.

20. Özbekistan Mozaikleri

seyahat ederken
Özbekistan, Lou kalıplarla ilgilenmeye başladı
yöreyi süsleyen mozaikler
ortaçağ mimarisi ve fark
onlara tanıdık bir şey.
Kuran 13061315 Kapak ve
resim çizme
geometrik
parça,
bunun üzerine
Desen.

21. Farklı ülkelerden mozaikler

Geri
Harvard, bilim adamı oldu
değerlendırmek
benzer motifler
duvarlardaki mozaikler
Ortaçağa ait
binalar
Afganistan, İran,
Irak ve Türkiye.

22. İslam mozaikleri

Bu örnek daha sonra tarihlidir.
dönem - 1622 (Hint camii).

23. Girih şemaları

Peter Lu geometrik olduğunu keşfetti.
girih şemaları hemen hemen aynıdır ve
ana unsurları tanımlayabildi,
hepsinde kullanılır
geometrik süsler. Ayrıca,
içinde bu görüntülerin çizimlerini buldu.
eski el yazmaları,
kullanılan eski sanatçılar
için bir tür hile sayfası olarak
duvar dekorasyonu.

24. İnşaat sırası

Bu desenler kullanılarak oluşturuldu
basit, rastgele icat edilmiş konturlar,
ve yer alan rakamlar
belirli bir sırayla. eski desenler
mozaiklerin kesin yapıları olduğu ortaya çıktı
Penrose!

25.

İslami gelenekler
İslam geleneğinde
katı bir kural vardı
görüntü yasağı
insanlar ve hayvanlar
yani tasarımda
binalar
popülerlik kazandı
geometrik
süs.

26. Kadim Ustaların Sırrı

ortaçağ ustaları
yaptı mı
çeşitli. ama ne içinde
onların sırrıydı
"strateji" - hiç kimse
biliyordu. İşte sır burada
bir kez göründüğünde
kullanmak
özel mozaikler,
kim kalabilir
simetrik
uçağı doldur
tekrar ediyor.

27. "odaklanma"

Bunlardan başka bir "hile"
Görüntülerin "odak noktası" şudur,
bu tür şemaları "kopyalamak"
çeşitli tapınaklar
çizimler, sanatçılar
kaçınılmaz olarak zorunda kalacaktı
bozulmaya izin verir. Ancak
bunun ihlalleri
karakter minimaldir.
Bu sadece tarafından açıklanmıştır
ustaların olmadığı
çizimler kullanıldı
bir mozaik inşa etmek.

28. Fayans

Ağırlıkları monte etmek için
beş kullanılmış fayans
türler (on ve
beşgen eşkenar dörtgenler ve
"kelebekler"), hangi
mozaikler yapıldı
birbirine bitişik
bedava olmadan
arasındaki boşluklar
onlara.

29. Mozaiklerin simetrisi

Onlardan oluşturulan mozaikler,
hemen olabilirdi
rotasyonel ve
öteleme
simetri ve sadece
dönme simetrisi
beşinci sıra (yani
mozaiklerdi
Penrose).

30. Girihi

İranlı bir türbe süsleme parçası
1304. Sağda - girihlerin yeniden inşası

31. Mozaiklerin ortaya çıkış tarihi

Yüzlerce keşfettikten
Tarihi
görünüm
fotoğraflar
mozaikler
Ortaçağa ait
Müslüman
turistik yerler,
Lou ve Steinhardt başardı
görünüşe tarih ver
benzer eğilim XIII
Yüzyıl. yavaş yavaş bu
yol her şeyi aldı
büyük popülerlik ve
XV yüzyıl yaygınlaştı
yaygın.

32. Seramik karolar

yaklaşık Arkadaş
döneme denk geliyor
Teknoloji gelişimi
dekorasyon
saraylar, camiler,
çeşitli önemli
camlı binalar
renk
seramik karolar
çeşitli şekillerde
çokgenler. o
seramik var
özel kiremit
formlar oluşturuldu
sadece girihov için.
seramik
fayans

33. Sonuç

Batı Biliminin Keşfettikleri
büyük bir genellemeye dayalı
dikenli deneyim, doğu bilimi
sezgi ve duygu temelinde yapılan
güzel. Ve sonuçlar açık:
geometri yasalarının somutlaşmışı
Doğulu düşünürleri uygula
Batılılardan beş yüzyıl önde!

1973'te İngiliz matematikçi Roger Penrose, Penrose döşemesi olarak bilinen özel bir geometrik şekiller mozaiği yarattı.
Penrose mozaiği, iki özel şekle (biraz farklı eşkenar dörtgenler) sahip çokgen karolardan bir araya getirilmiş bir modeldir. Boşluklar olmadan sonsuz bir düzlem döşeyebilirler.

Yaratıcısının versiyonunda Penrose Mozaiği.
İki tip eşkenar dörtgenden monte edilir,
biri 72 derece, diğeri 36 derecelik açıyla.
Resim simetrik, ancak periyodik değil.

Ortaya çıkan görüntü, bir tür "ritmik" süs gibi görünüyor - öteleme simetrisine sahip bir resim. Bu tür simetri, desende, bir düzlemde "kopyalanabilecek" belirli bir parça seçebileceğiniz ve daha sonra bu "kopyaları" paralel aktarımla (başka bir deyişle, döndürmeden ve büyütmeden) birbirleriyle birleştirebileceğiniz anlamına gelir.

Bununla birlikte, yakından bakarsanız, Penrose modelinin bu tür tekrar eden yapılara sahip olmadığını görebilirsiniz - bu periyodik değildir. Ancak mesele, optik bir yanılsama değil, mozaiğin kaotik olmadığı gerçeğidir: beşinci dereceden bir dönme simetrisine sahiptir.

Bu, görüntünün 360 / n dereceye eşit bir minimum açıyla döndürülebileceği anlamına gelir, burada n, simetri sırasıdır, bu durumda n = 5'tir. Dolayısıyla, hiçbir şeyi değiştirmeyen dönüş açısı, çoklu olmalıdır. 360 / 5 = 72 derece.

Yaklaşık on yıl boyunca, Penrose'un kurgusu, sevimli bir matematiksel soyutlamadan başka bir şey olarak görülmedi. Bununla birlikte, 1984'te İsrail Teknoloji Enstitüsü'nde (Technion) profesör olan Dan Shechtman, bir alüminyum-magnezyum alaşımının yapısını incelerken, bu maddenin atomik kafesinde kırınım meydana geldiğini keşfetti.

Katı hal fiziğinde var olan önceki fikirler böyle bir olasılığı dışladı: kırınım modelinin yapısı beşinci dereceden simetriye sahiptir. Parçaları paralel transferle birleştirilemez, bu da onun bir kristal olmadığı anlamına gelir. Ancak kırınım, sadece bir kristal kafes için karakteristiktir! Bilim adamları, bu seçeneğin, maddenin özel bir durumu gibi bir şey olan yarı kristaller olarak adlandırılacağı konusunda anlaştılar. Pekala, keşfin tüm güzelliği, matematiksel bir modelin uzun zamandır bunun için hazır olması - Penrose döşemesi.

Ve daha yakın zamanlarda, bu matematiksel yapının hayal edebileceğinden çok daha eski olduğu ortaya çıktı. 2007'de Harvard Üniversitesi'nde fizikçi olan Peter J. Lu (diğer fizikçi Paul J. Steinhardt ile birlikte, ancak Princeton Üniversitesi'nden), Science dergisinde Penrose mozaikleri üzerine bir makale yayınladı. Görünüşe göre burada çok az sürpriz var: yarı kristallerin keşfi bu konuya yoğun bir ilgi çekti ve bu da bilimsel basında bir yığın yayının ortaya çıkmasına neden oldu.

Bununla birlikte, çalışmanın öne çıkan özelliği, modern bilime adanmaktan uzak olmasıdır. Ve genel olarak - bilim değil. Peter Lu, Orta Çağ'da inşa edilen Asya'daki camileri kaplayan desenlere dikkat çekti. Bu kolayca tanınabilir tasarımlar mozaik karolardan yapılmıştır. Bunlara girihi (Arapça "düğüm" kelimesinden) denir ve İslam sanatının özelliği olan, çokgen figürlerden oluşan geometrik bir süslemedir.

15. yüzyıldan kalma bir Arapça el yazmasında gösterilen bir çini düzeni örneği.
Araştırmacılar yinelenen alanları renklerle vurguladılar.
Bu beş elemente dayanarak, tüm geometrik desenler inşa edilmiştir.
Ortaçağ Arap ustaları. yinelenen öğeler
karoların sınırları ile mutlaka örtüşmez.

İslami süslemede geometrik - girih ve bitkisel - islimi olmak üzere iki tarz vardır.
Girih(per.) - dikdörtgen ve çokgen şekiller halinde stilize edilmiş çizgilerden oluşan karmaşık bir geometrik süsleme. Çoğunlukla için kullanılır dış tasarım büyük bir baskıda camiler ve kitaplar.
islimi(Farsça) - gündüzsefası ve spiral kombinasyonu üzerine inşa edilmiş bir süs türü. Sürekli gelişen çiçekli yapraklı bir sürgün fikrini stilize veya natüralist bir biçimde somutlaştırır ve sonsuz çeşitlilikte seçenekler içerir. En çok giysilerde, kitaplarda, camilerin iç dekorasyonunda, yemeklerde kullanılırdı.

Kuran 1306-1315'in kapağı ve geometrik parçaların çizimi,
desenin dayandığı şey. Bu ve aşağıdaki örnekler uyuşmuyor
Penrose kafesleri, ancak beşinci dereceden dönme simetrisine sahip

Peter Lou'nun keşfinden önce, eski mimarların bir cetvel ve pergel (bir hevesle değilse) kullanarak giriha desenleri yarattığına inanılıyordu. Ancak, birkaç yıl önce, Lu, Özbekistan'da seyahat ederken, yerel ortaçağ mimarisini süsleyen mozaik desenleriyle ilgilenmeye başladı ve onlarda tanıdık bir şey fark etti. Harvard'a dönen bilim adamı, Afganistan, İran, Irak ve Türkiye'deki ortaçağ binalarının duvarlarındaki mozaiklerde benzer motifleri düşünmeye başladı.

Bu örnek daha sonraki bir döneme - 1622'ye (Hint camii) tarihlenmektedir.
Ona ve yapısının çizimine bakıldığında, sıkı çalışmaya hayran kalmamak elde değil.
araştırmacılar Ve elbette, ustaların kendileri.

Peter Lu, girihlerin geometrik şemalarının neredeyse aynı olduğunu buldu ve tüm geometrik tasarımlarda kullanılan ana unsurları tanımlayabildi. Ayrıca, eski sanatçıların duvarları süslemek için bir tür hile sayfası olarak kullandıkları eski el yazmalarında bu görüntülerin çizimlerini buldu.
Bu desenleri oluşturmak için basit, rastgele icat edilmiş konturlar değil, belirli bir düzende düzenlenmiş figürler kullandılar. Antik desenlerin tam olarak Penrose mozaiklerinin yapıları olduğu ortaya çıktı!

Bu görüntüler aynı alanları vurgular,
bunlar çeşitli camilerden fotoğraflar olsa da

İslam geleneğinde, insan ve hayvan imajı konusunda katı bir yasak vardı, bu nedenle binaların tasarımında geometrik süslemeler çok popüler hale geldi. Ortaçağ ustaları bir şekilde onu çeşitlendirmeyi başardılar. Ama "stratejilerinin" sırrı neydi - kimse bilmiyordu. Bu nedenle, sır, simetrik kalırken, tekrar etmeden düzlemi doldurabilen özel mozaiklerin kullanımında ortaya çıkıyor.

Bu görüntülerin bir başka "hilesi" de, bu tür şemaları çeşitli tapınaklarda çizimlere göre "kopyalamak", sanatçıların kaçınılmaz olarak çarpıklıkları kabul etmek zorunda kalacak olmalarıdır. Ancak bu ihlaller minimum düzeydedir. Bu, yalnızca büyük ölçekli çizimlerin bir anlamı olmadığı gerçeğiyle açıklanır: asıl şey, bir resim oluşturma ilkesidir.

Girihleri ​​birleştirmek için, mozaikte aralarında boş alan olmadan birbirine bitişik olarak düzenlenmiş beş tip karo (on ve beşgen eşkenar dörtgenler ve "kelebekler") kullanıldı. Onlardan oluşturulan mozaikler aynı anda hem dönme hem de öteleme simetrisine veya yalnızca beşinci dereceden dönme simetrisine (yani Penrose mozaikleriydi) sahip olabilir.

1304 İran mozolesinin süsü parçası. Sağda - girihlerin yeniden inşası

Lou ve Steinhardt, Orta Çağ'daki Müslüman yerleşim yerlerinin yüzlerce fotoğrafını inceleyerek, benzer bir eğilimin ortaya çıkış tarihini 13. yüzyıla tarihlendirebildiler. Yavaş yavaş, bu yöntem giderek daha fazla popülerlik kazandı ve 15. yüzyılda yaygınlaştı. Tarihlendirme yaklaşık olarak sarayları, camileri, çeşitli önemli yapıları çeşitli çokgenler şeklinde sırlı renkli seramik karolarla süsleme tekniğinin gelişme dönemine denk gelmektedir. Yani, girihler için özel şekillerde seramik karolar yaratılmıştır.

Araştırmacılar, İran'ın İsfahan kentindeki 1453 yılına dayanan İmam Darb-i mabedini neredeyse ideal bir yarı kristal yapı örneği olarak değerlendirdiler.

İmam Darb-i'nin İsfahan'daki (İran) mabedinin kapısı.
Burada iki girih sistemi aynı anda üst üste bindirilmiştir.

Türkiye'de bir caminin avlusundaki sütun (yaklaşık 1200)
ve İran'da bir medresenin duvarları (1219). Bunlar erken çalışmalar.
ve Lou tarafından bulunan sadece iki yapısal elemanı kullanırlar.

Şimdi sıra, girih ve Penrose mozaiklerinin tarihindeki bir takım gizemlere cevap bulmak için kaldı. Eski matematikçiler yarı kristal yapıları nasıl ve neden keşfettiler? Ortaçağ Arapları mozaiklere sanatsal anlam dışında bir anlam mı yüklediler? Neden bu kadar ilginç bir matematiksel kavram yarım bin yıl boyunca unutuldu? Ve en ilginç olanı - aslında unutulmuş eski olan başka hangi modern keşifler yeni?