Računovodstvo in analiza virov organizacije v upravljanju. Računovodstvo in analize (finančno računovodstvo, poslovodno računovodstvo, finančna analiza)

Med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe obstajajo poleg korenskih formul še druge uporabne povezave, ki so podane z Vietin izrek. V tem članku bomo podali formulacijo in dokaz Vietinega izreka za kvadratno enačbo. Nato razmislimo o izreku, ki je nasproten Vietinemu izreku. Nato bomo analizirali rešitve najbolj značilnih primerov. Na koncu zapišemo formule Vieta, ki definirajo povezavo med pravimi koreninami algebraična enačba stopnje n in njenih koeficientov.

Navigacija po straneh.

Vietov izrek, formulacija, dokaz

Iz formul korenin kvadratne enačbe a x 2 +b x+c=0 oblike , kjer je D=b 2 −4 a c , razmerja x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Ti rezultati so potrjeni Vietin izrek:

Izrek.

Če x 1 in x 2 sta korena kvadratne enačbe ax 2 +b x+c=0, potem je vsota korenov enaka razmerju koeficientov b in a, vzetih z nasprotnim predznakom, in produktom koreni so enaki razmerju koeficientov c in a, to je .

Dokaz.

Vietin izrek bomo dokazali po naslednji shemi: sestavimo vsoto in zmnožek korenov kvadratne enačbe po znanih korenskih formulah, nato preoblikujemo nastale izraze in se prepričamo, da so enaki −b /a oziroma c/a.

Začnimo z vsoto korenin, sestavimo. Zdaj ulomke pripeljemo do skupnega imenovalca, imamo. V števcu nastalega ulomka , po katerem : . Končno po 2 dobimo . To dokazuje prvo razmerje Vietinega izreka za vsoto korenov kvadratne enačbe. Pojdimo na drugo.

Sestavimo produkt korenin kvadratne enačbe:. Po pravilu množenja ulomkov lahko zadnji produkt zapišemo kot. Zdaj pomnožimo oklepaj z oklepajem v števcu, vendar je hitreje strniti ta izdelek za Formula razlike kvadratov, Torej . Nato, če se spomnimo, izvedemo naslednji prehod. In ker formula D=b 2 −4 a·c ustreza diskriminantu kvadratne enačbe, potem lahko b 2 −4·a·c nadomestimo z zadnjim ulomkom namesto z D, dobimo . Po odprtju oklepajev in zmanjšanju podobnih pogojev pridemo do ulomka , in njegovo zmanjšanje za 4·a daje . To dokazuje drugo razmerje Vietinega izreka za produkt korenin.

Če izpustimo razlage, bo dokaz Vietinega izreka dobil jedrnato obliko:
,
.

Ostaja le ugotoviti, da ima kvadratna enačba en koren, kadar je diskriminanta enaka nič. Če pa predpostavimo, da ima enačba v tem primeru dva enaka korena, potem veljajo tudi enakosti iz Vietovega izreka. Dejansko je za D=0 koren kvadratne enačbe , potem in , in ker je D=0 , to je b 2 −4·a·c=0 , od koder je b 2 =4·a·c , potem .

V praksi se Vietin izrek najpogosteje uporablja v zvezi z reducirano kvadratno enačbo (z najvišjim koeficientom a enak 1) oblike x 2 +p·x+q=0 . Včasih je formuliran za kvadratne enačbe ravno te vrste, kar ne omejuje splošnosti, saj je mogoče vsako kvadratno enačbo nadomestiti z enakovredno enačbo tako, da oba njena dela delimo s številom, ki ni nič. Tukaj je ustrezna formulacija Vietinega izreka:

Izrek.

Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe x 2 + px + q \u003d 0 je enaka koeficientu pri x, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je prosti člen, to je x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q .

Izrek, obraten Vietinemu izreku

Druga formulacija Vietinega izreka, podana v prejšnjem odstavku, kaže, da če sta x 1 in x 2 koreni reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0, potem sta razmerja x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. Po drugi strani pa iz zapisanih razmerij x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q sledi, da sta x 1 in x 2 koreni kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0. Z drugimi besedami, trditev, nasprotna Vietinemu izreku, je resnična. Formuliramo ga v obliki izreka in ga dokažemo.

Izrek.

Če sta števili x 1 in x 2 takšni, da sta x 1 +x 2 =−p in x 1 x 2 =q, potem sta x 1 in x 2 koreni reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0 .

Dokaz.

Po zamenjavi koeficientov p in q v enačbi x 2 +p x+q=0 njunega izraza skozi x 1 in x 2, se pretvori v enakovredno enačbo.

V dobljeno enačbo nadomestimo število x 1 namesto x, imamo enakost x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, kar je za kateri koli x 1 in x 2 pravilna numerična enakost 0=0, saj x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Zato je x 1 koren enačbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, kar pomeni, da je x 1 koren enakovredne enačbe x 2 +p x+q=0 .

Če v enačbi x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 nadomestimo število x 2 namesto x, potem dobimo enakost x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. To je pravilna enačba, ker x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Zato je x 2 tudi koren enačbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, zato tudi enačbe x 2 +p x+q=0 .

S tem je dokončan dokaz izreka v nasprotju z Vietinim izrekom.

Primeri uporabe Vietinega izreka

Čas je, da spregovorimo o praktični uporabi Vietinega izreka in njegovega inverznega izreka. V tem podpoglavju bomo analizirali rešitve več najbolj tipičnih primerov.

Začnemo z uporabo izreka, ki je nasproten Vietinemu izreku. Z njim je priročno preveriti, ali sta dani številki koreni dane kvadratne enačbe. V tem primeru se izračunata njihova vsota in razlika, po kateri se preveri veljavnost razmerij. Če sta izpolnjeni obe relaciji, potem na podlagi izreka, ki je nasproten Vietinemu izreku, sklepamo, da so ta števila korenine enačbe. Če vsaj ena od razmerij ni izpolnjena, potem ta števila niso korenine kvadratne enačbe. Ta pristop je mogoče uporabiti pri reševanju kvadratnih enačb za preverjanje najdenih korenin.

Primer.

Kateri od parov številk 1) x 1 =−5, x 2 =3 ali 2) ali 3) je par korenov kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0?

Rešitev.

Koeficienti dane kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0 so a=4 , b=−16 , c=9 . Po Vietinem izreku mora biti vsota korenov kvadratne enačbe enaka −b/a, to je 16/4=4, produkt korenin pa mora biti enak c/a, to je 9 /4.

Zdaj izračunajmo vsoto in zmnožek števil v vsakem od treh danih parov in jih primerjamo s pravkar pridobljenimi vrednostmi.

V prvem primeru imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Dobljena vrednost je drugačna od 4, zato nadaljnjega preverjanja ni mogoče izvesti, vendar lahko z izrekom, obratnim od Vietinega izreka, takoj sklepamo, da prvi par številk ni par korenin dane kvadratne enačbe .

Pojdimo na drugi primer. Tu je prvi pogoj izpolnjen. Preverite drugi pogoj: , dobljena vrednost je drugačna od 9/4 . Zato drugi par številk ni par korenov kvadratne enačbe.

Zadnji primer ostaja. Tukaj in. Oba pogoja sta izpolnjena, zato sta ti števili x 1 in x 2 koreni dane kvadratne enačbe.

odgovor:

Izrek, obratno od Vietinega izreka, lahko v praksi uporabimo za izbiro korenin kvadratne enačbe. Običajno se izberejo celoštevilski koreni danih kvadratnih enačb s celimi koeficienti, saj je v drugih primerih to precej težko narediti. Hkrati uporabljajo dejstvo, da če je vsota dveh števil enaka drugemu koeficientu kvadratne enačbe, vzeti s predznakom minus, in je produkt teh številk enak prostemu členu, potem so ta števila korenine te kvadratne enačbe. Opravimo se s tem s primerom.

Vzemimo kvadratno enačbo x 2 −5 x+6=0 . Da sta številki x 1 in x 2 koreni te enačbe, morata biti izpolnjeni dve enakosti x 1 +x 2 \u003d 5 in x 1 x 2 \u003d 6. Ostaja še izbrati takšne številke. V tem primeru je to precej preprosto: takšni številki sta 2 in 3, saj je 2+3=5 in 2 3=6 . Tako sta 2 in 3 koreni te kvadratne enačbe.

Izrek, nasproten Vietinemu izreku, je še posebej primeren za iskanje drugega korena reducirane kvadratne enačbe, ko je eden od korenov že znan ali očiten. V tem primeru se drugi koren najde iz katere koli relacije.

Na primer, vzemimo kvadratno enačbo 512 x 2 −509 x−3=0 . Tukaj je enostavno videti, da je enota koren enačbe, saj je vsota koeficientov te kvadratne enačbe nič. Torej x 1 = 1. Drugi koren x 2 lahko najdemo na primer iz razmerja x 1 x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512 , od koder je x 2 =−3/512 . Torej smo definirali oba korena kvadratne enačbe: 1 in −3/512.

Jasno je, da je izbira korenin uporabna le v najpreprostejših primerih. V drugih primerih lahko za iskanje korenin uporabite formule korenin kvadratne enačbe skozi diskriminanto.

Še en praktična uporaba izrek, nasproten Vietinemu izreku, je sestavljen iz sestavljanja kvadratnih enačb za dani koreni x 1 in x 2. Za to je dovolj izračunati vsoto korenov, ki daje koeficient x z nasprotnim predznakom dane kvadratne enačbe, in produkt korenin, ki daje prosti člen.

Primer.

Napišite kvadratno enačbo, katere koreni sta števili −11 in 23.

Rešitev.

Označimo x 1 =−11 in x 2 =23 . Izračunamo vsoto in produkt teh številk: x 1 + x 2 = 12 in x 1 x 2 = -253. Zato so te številke korenine dane kvadratne enačbe z drugim koeficientom -12 in prostim členom -253. To pomeni, da je x 2 −12·x−253=0 želena enačba.

odgovor:

x 2 −12 x−253=0 .

Vietin izrek se zelo pogosto uporablja pri reševanju nalog, povezanih s predznaki korenin kvadratnih enačb. Kako je Vietin izrek povezan s predznaki korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0? Tu sta dve ustrezni izjavi:

• Če je prosti člen q pozitivno število in če ima kvadratna enačba realne korene, sta oba pozitivna ali pa oba negativna.
• Če je prosti člen q negativno število in če ima kvadratna enačba realne korene, so njihovi predznaki različni, z drugimi besedami, en koren je pozitiven, drugi pa negativen.

Te trditve izhajajo iz formule x 1 x 2 =q, pa tudi iz pravil za množenje pozitivnih, negativnih števil in števil z različnimi predznaki. Razmislite o primerih njihove uporabe.

Primer.

R je pozitiven. Po diskriminantni formuli najdemo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , vrednost izraza r 2 +8 je pozitivno za kateri koli realni r, torej D>0 za kateri koli realni r. Zato ima prvotna kvadratna enačba dva korena za vse realne vrednosti parametra r.

Zdaj pa ugotovimo, kdaj imajo korenine različni znaki. Če so predznaki korenin različni, je njihov produkt negativen, po Vietinem izreku pa je produkt korenin dane kvadratne enačbe enak prostemu členu. Zato nas zanimajo tiste vrednosti r, za katere je prosti člen r−1 negativen. Torej, da bi našli vrednosti r, ki nas zanimajo, moramo reši linearno neenakost r−1<0 , откуда находим r<1 .

odgovor:

pri r<1 .

Vieta formule

Zgoraj smo govorili o Vietinem izreku za kvadratno enačbo in analizirali relacije, ki jih uveljavlja. Vendar obstajajo formule, ki povezujejo resnične korenine in koeficiente ne le kvadratnih enačb, ampak tudi kubičnih enačb, štirih enačb in na splošno, algebraične enačbe stopnja n. Poklicani so Vieta formule.

Zapišemo Vietino formulo za algebraično enačbo stopnje n oblike, pri čemer predpostavimo, da ima n realnih korenov x 1, x 2, ..., x n (med njimi so lahko enaki):

Pridobite formule Vieta izrek o faktorizaciji polinomov, kot tudi definicija enakih polinomov z enakostjo vseh njihovih ustreznih koeficientov. Torej sta polinom in njegova razširitev v linearne faktorje oblike enaka. Če odpremo oklepaje v zadnjem produktu in izenačimo ustrezne koeficiente, dobimo Vietine formule.

Zlasti za n=2 imamo že znane Vietove formule za kvadratno enačbo.

Za kubično enačbo imajo formule Vieta obliko

Omeniti je treba le, da so na levi strani Vietovih formul tako imenovani elementarni simetrični polinomi.

Bibliografija.

• algebra: učbenik za 8 celic. Splošna izobrazba ustanove / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ur. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M. : Izobraževanje, 2008. - 271 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• algebra in začetek matematične analize. 10. razred: učbenik. za splošno izobraževanje ustanove: osnovne in profilne. ravni / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; ur. A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M.: Razsvetljenje, 2010.- 368 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Preden nadaljujemo z Vietovim izrekom, uvedemo definicijo. Kvadratna enačba obrazca x² + px + q= 0 se imenuje zmanjšana. V tej enačbi je vodilni koeficient enak ena. Na primer enačba x² - 3 x- 4 = 0 se zmanjša. Vsaka kvadratna enačba v obliki sekira² + b x + c= 0 lahko zmanjšamo, za to delimo obe strani enačbe s a≠ 0. Na primer, enačba 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0, deljeno s 4, se zmanjša na obliko: x² + x- 3/4 = 0. Izpeljemo formulo za korenine dane kvadratne enačbe, za to uporabimo formulo za korenine splošne kvadratne enačbe: sekira² + bx + c = 0

Reducirana enačba x² + px + q= 0 sovpada s splošno enačbo, v kateri a = 1, b = str, c = q. Zato ima formula za dano kvadratno enačbo obliko:

zadnji izraz se imenuje formula korenov reducirane kvadratne enačbe, to formulo je še posebej priročno uporabiti, ko R- sodo število. Na primer, rešimo enačbo x² - 14 x — 15 = 0

V odgovor napišemo, da ima enačba dva korena.

Za reducirano kvadratno enačbo s pozitivno velja naslednji izrek.

Vietin izrek

Če x 1 in x 2 - korenine enačbe x² + px + q= 0, potem veljajo formule:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q, to pomeni, da je vsota korenov dane kvadratne enačbe enaka drugemu koeficientu, vzetemu z nasprotnim predznakom, in produkt korenov je enak prostemu členu.

Na podlagi formule korenin zgornje kvadratne enačbe imamo:

Če dodamo te enakosti, dobimo: x 1 + x 2 = —R.

Če pomnožimo te enakosti z uporabo formule razlike kvadratov, dobimo:

Upoštevajte, da je izrek Vieta veljaven tudi, ko je diskriminanta nič, če predpostavimo, da ima v tem primeru kvadratna enačba dva enaka korena: x 1 = x 2 = — R/2.

Ne reševanje enačb x² - 13 x+ 30 = 0 poišči vsoto in produkt njegovih korenov x 1 in x 2. to enačbo D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, tako da lahko uporabite Vietin izrek: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Razmislite o še nekaj primerih. Ena od korenin enačbe x² — px- 12 = 0 je x 1 = 4. Poiščite koeficient R in drugi koren x 2 te enačbe. Po Vietinem izreku x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Ker x 1 = 4 nato 4 x 2 = - 12, od koder x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. V odgovor zapišemo drugi koren x 2 = - 3, koeficient p = - 1.

Ne reševanje enačb x² + 2 x- 4 = 0 poišči vsoto kvadratov njegovih korenov. Pustiti x 1 in x 2 so korenine enačbe. Po Vietinem izreku x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Ker x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, torej x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) = 12.

Poiščite vsoto in produkt korenov enačbe 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. Ta enačba ima dve različni koreni, saj je diskriminanta D= 16 + 4*3*5 > 0. Za rešitev enačbe uporabimo Vietin izrek. Ta izrek je bil dokazan za reducirano kvadratno enačbo. Torej delimo to enačbo s 3.

Zato je vsota korenin -4/3, njihov zmnožek pa -5/3.

Na splošno so korenine enačbe sekira² + b x + c= 0 so povezane z naslednjimi enačbami: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Za pridobitev teh formul zadostuje, da obe strani te kvadratne enačbe delimo z a ≠ 0 in uporabimo Vietin izrek za nastalo reducirano kvadratno enačbo. Razmislite o primeru, morate sestaviti dano kvadratno enačbo, katere korenine x 1 = 3, x 2 = 4. Ker x 1 = 3, x 2 = 4 so korenine kvadratne enačbe x² + px + q= 0, potem po Vietinem izreku R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. V odgovor pišemo x² - 7 x+ 12 = 0. Pri reševanju nekaterih problemov se uporablja naslednji izrek.

Izrek, obraten Vietinemu izreku

Če številke R, q, x 1 , x 2 sta takšna, da x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, potem x 1 in x2 so korenine enačbe x² + px + q= 0. Nadomestek na levi strani x² + px + q namesto R izraz - ( x 1 + x 2), ampak namesto tega q- delo x 1 * x 2. Dobimo: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Torej, če so številke R, q, x 1 in x 2 so povezani s temi razmerji, torej za vse X enakost x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), iz česar sledi, da x 1 in x 2 - korenine enačbe x² + px + q= 0. Z uporabo izreka, ki je obraten Vietinemu izreku, je včasih mogoče najti korenine kvadratne enačbe z izbiro. Razmislite o primeru, x² - 5 x+ 6 = 0. Tukaj R = — 5, q= 6. Izberite dve številki x 1 in x 2 tako da x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Ob ugotovitvi, da je 6 = 2 * 3 in 2 + 3 = 5, z izrekom, ki je v nasprotju z Vietinim izrekom, dobimo, da x 1 = 2, x 2 = 3 - korenine enačbe x² - 5 x + 6 = 0.

Vietin izrek

Pustimo in označimo korenine reducirane kvadratne enačbe
(1) .
Potem je vsota korenov enaka koeficientu pri, vzetem z nasprotnim predznakom. Zmnožek korenin je enak prostemu členu:
;
.

Opomba o več koreninah

Če je diskriminanta enačbe (1) enaka nič, ima ta enačba en koren. Toda, da bi se izognili okornim formulacijam, je splošno sprejeto, da ima enačba (1) v tem primeru dva večkratna ali enaka korena:
.

Dokaz eden

Poiščimo korenine enačbe (1). Če želite to narediti, uporabite formulo za korenine kvadratne enačbe:
;
;
.

Iskanje vsote korenov:
.

Za iskanje izdelka uporabimo formulo:
.
Potem

.

Izrek je dokazan.

Dokaz dva

Če sta številki in koreni kvadratne enačbe (1), potem
.
Odpremo oklepaje.

.
Tako bo enačba (1) imela obliko:
.
V primerjavi z (1) ugotovimo:
;
.

Izrek je dokazan.

Inverzni Vietin izrek

Naj obstajajo poljubne številke. Potem sta in korenine kvadratne enačbe
,
kje
(2) ;
(3) .

Dokaz Vietinega obratnega izreka

Razmislite o kvadratni enačbi
(1) .
Moramo dokazati, da če in , Potem in so koreni enačbe (1).

(2) in (3) zamenjaj v (1):
.
Združimo člene leve strani enačbe:
;
;
(4) .

Nadomestek v (4):
;
.

Nadomestek v (4):
;
.
Enačba je izpolnjena. To pomeni, da je število koren enačbe (1).

Izrek je dokazan.

Vietin izrek za popolno kvadratno enačbo

Zdaj razmislite o popolni kvadratni enačbi
(5) ,
kjer , in nekaj številk. in .

Enačbo (5) delimo z:
.
To pomeni, da smo dobili zgornjo enačbo
,
kje ; .

Potem ima Vietin izrek za popolno kvadratno enačbo naslednjo obliko.

Pustimo in označimo korenine popolne kvadratne enačbe
.
Nato se vsota in produkt korenin določita s formulami:
;
.

Vietin izrek za kubično enačbo

Podobno lahko vzpostavimo povezave med koreninami kubične enačbe. Razmislite o kubični enačbi
(6) ,
kjer so , , , nekaj številk. in .
To enačbo delimo na:
(7) ,
kje , , .
Naj bodo , , korenine enačbe (7) (in enačbe (6)). Potem

.

Če primerjamo z enačbo (7), ugotovimo:
;
;
.

Vietin izrek za enačbo n. stopnje

Na enak način lahko najdete povezave med koreninami , , ... , , za enačbo n-te stopnje
.

Vietin izrek za enačbo n-te stopnje ima naslednjo obliko:
;
;
;

.

Da bi dobili te formule, zapišemo enačbo v naslednji obliki:
.
Nato izenačimo koeficiente pri , , , ... in primerjamo prosti člen.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik za matematiko za inženirje in študente visokošolskih zavodov, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: učbenik za 8. razred izobraževalnih ustanov, Moskva, Izobraževanje, 2006.

Ena od metod za reševanje kvadratne enačbe je aplikacija Formule VIETA, ki je dobil ime po FRANCOIS VIETE.

Bil je slaven odvetnik in je v 16. stoletju služil pri francoskem kralju. V prostem času je študiral astronomijo in matematiko. Vzpostavil je povezavo med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe.

Prednosti formule:

1 . Z uporabo formule lahko hitro najdete rešitev. Ker vam ni treba vnesti drugega koeficienta v kvadrat, nato od njega odšteti 4ac, poiskati diskriminanta, nadomestiti njegovo vrednost v formulo za iskanje korenin.

2 . Brez rešitve lahko določite znake korenin, poberete vrednosti korenin.

3 . Ko smo rešili sistem dveh zapisov, ni težko najti samih korenin. V zgornji kvadratni enačbi je vsota korenov enaka vrednosti drugega koeficienta s predznakom minus. Zmnožek korenov v zgornji kvadratni enačbi je enak vrednosti tretjega koeficienta.

4 . Glede na podane korene napišite kvadratno enačbo, torej rešite inverzni problem. Ta metoda se na primer uporablja pri reševanju problemov v teoretični mehaniki.

5 . Formulo je primerno uporabiti, ko je vodilni koeficient enak ena.

pomanjkljivosti:

1 . Formula ni univerzalna.

Vietin izrek 8. razred

Formula
Če sta x 1 in x 2 koreni dane kvadratne enačbe x 2 + px + q \u003d 0, potem:

Primeri
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - korenine enačbe x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Inverzni izrek

Formula
Če so števila x 1 , x 2 , p, q povezana s pogoji:

Potem sta x 1 in x 2 korena enačbe x 2 + px + q = 0.

Primer
Naredimo kvadratno enačbo po njenih koreninah:

X 1 \u003d 2 -? 3 in x 2 \u003d 2 +? 3 .

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 = (2 -? 3) (2 +? 3) = 4 - 3 = 1.

Želena enačba ima obliko: x 2 - 4x + 1 = 0.