» »

Nëpërmjet të cilit kryhet planifikimi financiar. Planifikimi financiar

Le të analizojmë përkufizimin klasik të probabilitetit duke përdorur formula dhe shembuj.

Ngjarjet e rastësishme quhen të papajtueshme nëse nuk mund të ndodhin në të njëjtën kohë. Për shembull, kur hedhim një monedhë, një gjë do të bjerë - një "stemë" ose një numër" dhe ato nuk mund të shfaqen në të njëjtën kohë, pasi është logjike që kjo është e pamundur. Ngjarjet si goditja dhe humbja pas gjuajtjes mund të jenë të papajtueshme.

Ngjarjet e rastësishme të një forme bashkësie të fundme grupi i plotë ngjarje të papajtueshme në çift, nëse në çdo provë shfaqet një, dhe vetëm një nga këto ngjarje është e vetmja e mundshme.

Konsideroni të njëjtin shembull të hedhjes së monedhës:

Monedha e parë Monedha e dytë Ngjarjet

1) "stemë" "stemë"

2) "stemë" "numër"

3) "numri" "stemë"

4) "numër" "numër"

Ose shkurtuar - "YY", - "MS", - "CH", - "CH".

Ngjarjet quhen po aq e mundur, nëse kushtet e studimit ofrojnë të njëjtën mundësi të shfaqjes së secilit prej tyre.

Siç e kuptoni, kur hidhni një monedhë simetrike, atëherë ajo ka të njëjtat mundësi dhe ka mundësi që të bien edhe "stema" dhe "numri". E njëjta gjë vlen edhe për hedhjen e një zari simetrik, pasi ekziston mundësia që të shfaqen fytyra me çdo numër 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Le të themi që tani e hedhim kubin me një zhvendosje në qendër të gravitetit, për shembull, drejt anës me numrin 1, atëherë ana e kundërt, domethënë ana me një numër tjetër, më së shpeshti do të bjerë jashtë. Kështu, në këtë model, mundësitë e shfaqjes për secilën nga shifrat nga 1 në 6 do të jenë të ndryshme.

Ngjarjet e rastësishme po aq të mundshme dhe unike të mundshme quhen raste.

Ka ngjarje të rastësishme që janë raste, dhe ka ngjarje të rastësishme që nuk janë raste. Më poshtë janë shembuj të këtyre ngjarjeve.

Ato raste, si rezultat i të cilave shfaqet një ngjarje e rastësishme, quhen raste të favorshme për këtë ngjarje.

Nëse shënojmë me , të cilat ndikojnë në ngjarje në të gjitha rastet e mundshme, dhe përmes - probabilitetit të një ngjarjeje të rastësishme , atëherë mund të shkruajmë përkufizimin e njohur klasik të probabilitetit:

Përkufizimi

Probabiliteti i një ngjarjeje është raporti i numrit të rasteve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të të gjitha rasteve të mundshme, domethënë:

Vetitë e probabilitetit

Probabiliteti klasik është konsideruar dhe tani do të analizojmë vetitë kryesore dhe të rëndësishme të probabilitetit.

Prona 1. Probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është i barabartë me një.

Për shembull, nëse të gjithë topat në kovë janë të bardha, atëherë ngjarja, zgjidhet rastësisht një top i bardhë, ndikohet nga rastet, .

Prona 2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero.

Prona 3. Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është një numër pozitiv:

Prandaj, probabiliteti i ndonjë ngjarjeje plotëson pabarazinë:

Tani le të zgjidhim disa shembuj mbi përkufizimin klasik të probabilitetit.

Shembuj të përkufizimit klasik të probabilitetit

Shembulli 1

Detyrë

Ka 20 topa në një kosh, 10 prej tyre janë të bardhë, 7 janë të kuq dhe 3 janë të zinj. Një top zgjidhet rastësisht. Përzgjidhen një top i bardhë (ngjarje), një top i kuq (ngjarje) dhe një top i zi (ngjarje). Gjeni probabilitetin e ngjarjeve të rastësishme.

Zgjidhje

Sipas gjendjes së problemit, kontribuoni në , dhe rastet e mundshme, pra, sipas formulës (1):

është probabiliteti i një topi të bardhë.

Në mënyrë të ngjashme për të kuqe:

Dhe për të zezën:.

Përgjigju

Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme , , .

Shembulli 2

Detyrë

Ka 25 llamba elektrike identike në një kuti, 2 prej tyre janë me defekt. Gjeni probabilitetin që një llambë e zgjedhur rastësisht të mos jetë e dëmtuar.

Zgjidhje

Sipas gjendjes së problemit, të gjitha llambat janë të njëjta dhe zgjidhet vetëm një. Mundësitë totale për të zgjedhur. Nga të gjitha 25 llambat, dy janë me defekt, që do të thotë se llambat e mbetura janë të përshtatshme. Prandaj, sipas formulës (1), probabiliteti për të zgjedhur një llambë elektrike të përshtatshme (ngjarje) është e barabartë me:

Përgjigju

Probabiliteti që një llambë e zgjedhur rastësisht të mos jetë me defekt = .

Shembulli 3

Detyrë

Dy monedha hidhen në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin e ngjarjeve të tilla:

1) - në të dy monedhat u ra stema;

2) - në njërën prej monedhave ra një stemë, dhe në të dytën - një numër;

3) - numrat ranë në të dy monedhat;

4) - të paktën një herë i ra stema.

Zgjidhje

Këtu kemi të bëjmë me katër ngjarje. Le të përcaktojmë se cilat raste kontribuojnë në secilën prej tyre. Ngjarja lehtësohet nga një rast, ky është kur stema ka rënë në të dy monedhat (shkurtuar si "GG").

Për t'u marrë me ngjarjen, imagjinoni që një monedhë është argjendi dhe e dyta është bakri. Kur hedhni monedha, mund të ketë raste:

1) në një stemë argjendi, në një stemë bakri - një numër (le ta shënojmë si "MS");

2) në një numër argjendi, në një bakër - një stemë (- "ChG").

Prandaj, ngjarjet lehtësohen nga rastet dhe .

Ngjarja lehtësohet nga një rast: numrat ranë në të dy monedhat - "CH".

Kështu, ngjarjet ose (YY, MG, TY, FF) formojnë një grup të plotë ngjarjesh, të gjitha këto ngjarje janë të papajtueshme, pasi vetëm njëra prej tyre ndodh si rezultat i hedhjes. Për më tepër, për monedhat simetrike, të katër ngjarjet janë njësoj të mundshme, kështu që ato mund të konsiderohen raste. Ka katër ngjarje të mundshme.

Një ngjarje lehtësohet nga vetëm një ngjarje, kështu që probabiliteti i saj është:

Dy raste kontribuojnë në ngjarje, pra:

Probabiliteti i një ngjarje është i njëjtë si për:

Tre raste kontribuojnë në ngjarje: YY, YY, YY dhe për këtë arsye:

Meqenëse konsiderohen ngjarjet GY, MS, CH, CH, të cilat janë njësoj të mundshme dhe krijojnë një grup të plotë ngjarjesh, atëherë shfaqja e ndonjërës prej tyre është një ngjarje e besueshme (e shënojmë me shkronjën , e cila lehtësohet nga të gjitha 4 raste. Prandaj, probabiliteti:

Kështu, konfirmohet vetia e parë e probabilitetit.

Përgjigju

Probabiliteti i një ngjarjeje.

Probabiliteti i një ngjarjeje.

Probabiliteti i një ngjarjeje.

Probabiliteti i një ngjarjeje.

Shembulli 4

Detyrë

Hidhen dy zare me formë gjeometrike të njëjtë dhe të rregullt. Gjeni probabilitetin e të gjitha shumave të mundshme në të dyja anët që bien.

Zgjidhje

Për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e problemit, imagjinoni që njëri kub është i bardhë dhe tjetri i zi. Me secilën nga gjashtë anët e kërpudhave të bardha dhe një nga gjashtë anët e ngjyrës së zezë mund të bjerë gjithashtu, kështu që do të ketë të gjitha çiftet e mundshme.

Meqenëse mundësia e shfaqjes së fytyrave në një kapelë të veçantë është e njëjtë (kube të formës së saktë gjeometrike!), atëherë probabiliteti i shfaqjes së secilës palë fytyrash do të jetë i njëjtë, për më tepër, si rezultat i hedhjes, vetëm njëra nga çiftet bie jashtë. Vlerat e ngjarjes janë të papajtueshme, unike. Këto janë raste dhe janë 36 raste të mundshme.

Tani merrni parasysh mundësinë e vlerës së shumës në fytyrat. Natyrisht, shuma më e vogël është 1 + 1 = 2, dhe më e madhja është 6 + 6 = 12. Pjesa tjetër e shumës rritet me një, duke filluar nga e dyta. Le të shënojmë ngjarjet, indekset e të cilave janë të barabartë me shumën e pikave që ranë në faqet e zarit. Për secilën prej këtyre ngjarjeve, ne shkruajmë rastet e favorshme duke përdorur shënimin , ku është shuma, janë pikat në faqen e sipërme të kutisë së bardhë dhe janë pikat në faqen e kutinës së zezë.

Pra, për një ngjarje:

për – një rast (1 + 1);

për – dy raste (1 + 2; 2 + 1);

për – tre raste (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

për – katër raste (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

për – pesë raste (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

për – gjashtë raste (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

për – pesë raste (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

për – katër raste (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

për – tre raste (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

për – dy raste (5 + 6; 6 + 5);

për – një rast (6 + 6).

Pra, probabilitetet janë:

Përgjigju

Shembulli 5

Detyrë

Para festivalit, tre pjesëmarrësve iu ofrua të hidhnin short: secili prej pjesëmarrësve nga ana e tij i afrohet kovës dhe zgjedh rastësisht një nga tre kartat me numrat 1, 2 dhe 3, që nënkupton numrin serial të performancës së këtij pjesëmarrësi.

Gjeni probabilitetin e ngjarjeve të tilla:

1) - numri serial në radhë përkon me numrin e kartës, domethënë numrin serial të performancës;

2) - asnjë numër në radhë nuk përputhet me numrin e performancës;

3) - vetëm njëri nga numrat në radhë përputhet me numrin e performancës;

4) – të paktën një nga numrat në radhë përputhet me numrin e performancës.

Zgjidhje

Rezultatet e mundshme të zgjedhjes së kartave janë ndërrime të tre elementeve, numri i permutacioneve të tilla është i barabartë me . Çdo ndërrim është një ngjarje. Le t'i shënojmë këto ngjarje si . Ne caktojmë ndryshimin përkatës për secilën ngjarje në kllapa:

; ; ; ; ; .

Ngjarjet e listuara janë po aq të mundshme dhe uniforme, domethënë këto janë rastet. Shënoni si më poshtë: (1h, 2h, 3h) - numrat përkatës në radhë.

Le të fillojmë me ngjarjen. I favorshëm është vetëm një rast, prandaj:

Të favorshme për ngjarjen janë dy raste dhe, për rrjedhojë:

Ngjarja lehtësohet nga 3 raste: , pra:

Përveç , ngjarja gjithashtu kontribuon në , që është:

Përgjigju

Probabiliteti i një ngjarje është.

Probabiliteti i një ngjarje është.

Probabiliteti i një ngjarje është.

Probabiliteti i një ngjarje është.

Përkufizimi klasik i probabilitetit - teoria dhe zgjidhja e problemit përditësuar: 15 shtator 2017 nga: Artikuj shkencorë.Ru

AKADEMIA RUSE E EKONOMISË KOMBËTARE DHE SHËRBIMIT PUBLIK NË PRESIDENTIN E FEDERATES RUSE

DEGA OREL

Departamenti i Sociologjisë dhe teknologjitë e informacionit

Llogaritja tipike nr. 1

në disiplinën "Teoria e probabilitetit dhe statistika matematikore"

me temën "Bazat e teorisë së probabilitetit"

Shqiponja - 2016.

Objektiv: konsolidimi i njohurive teorike mbi temën e themeleve të teorisë së probabilitetit, duke zgjidhur probleme tipike. Zotërimi i koncepteve të llojeve kryesore të ngjarjeve të rastësishme dhe zhvillimi i aftësive të veprimeve algjebrike mbi ngjarjet.

Kërkesat për paraqitjen e punës: puna është bërë në formë të shkruar me dorë, puna duhet të përmbajë të gjitha shpjegimet dhe përfundimet e nevojshme, formulat duhet të përmbajnë një dekodim të emërtimeve të pranuara, faqet duhet të jenë të numëruara.

Numri variant korrespondon me numrin serial të studentit në listën e grupeve.

Informacioni bazë teorik

Teoria e probabilitetit- një degë e matematikës që studion modelet e dukurive të rastësishme.

Koncepti i një ngjarjeje. Klasifikimi i ngjarjeve.

Një nga konceptet bazë të teorisë së probabilitetit është koncepti i një ngjarjeje. Ngjarjet tregohen me shkronja të mëdha latine. A, V, ME,…

Ngjarja- ky është një rezultat (rezultat) i mundshëm i një testi ose përvoje.

Testimi kuptohet si çdo veprim i qëllimshëm.

Shembull : Qitësi gjuan në objektiv. Një gjuajtje është një provë, goditja e një objektivi është një ngjarje.

Ngjarja quhet e rastit , nëse në kushtet e një eksperimenti të caktuar mund të ndodhë dhe të mos ndodhë.

Shembull : E shtënë nga arma - provë

Inc. A- goditja e objektivit

Inc. V– miss – ngjarje të rastësishme.

Ngjarja quhet autentike nëse si rezultat i provës domosdo duhet të ndodhë.

Shembull : Hidhni jo më shumë se 6 pikë kur hidhni zare.

Ngjarja quhet e pamundur nëse në kushtet e eksperimentit të dhënë nuk mund të ndodhë fare.

Shembull : Më shumë se 6 pikë u rrotulluan gjatë hedhjes së një kërpudhe.

Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse ndodhja e njërës prej tyre e përjashton ndodhjen e ndonjë tjetër. Përndryshe, ngjarjet quhen të përbashkëta.

Shembull : Hidhet një zare. Një rrotull me 5 eliminon një rrotull me 6. Këto janë ngjarje të papajtueshme. Një student që merr nota "të mira" dhe "të shkëlqyera" në provimet në dy disiplina të ndryshme është një ngjarje e përbashkët.

Quhen dy ngjarje të papajtueshme, nga të cilat njëra duhet të ndodhë medoemos e kundërt . Ngjarja e kundërt me ngjarjen A caktoj Ā .

Shembull : Shfaqja e "stemës" dhe shfaqja e "bishtit" kur hedh një monedhë janë ngjarje të kundërta.

Quhen disa ngjarje në këtë përvojë po aq e mundur nëse ka arsye për të besuar se asnjë nga këto ngjarje nuk është më e mundshme se të tjerat.

Shembull : tërheqja e asit, dhjetëra, mbretëreshat nga një kuvertë letrash - ngjarjet janë po aq të mundshme.

Formohen disa ngjarje grupi i plotë nëse, si rezultat i testit, duhet të ndodhë medoemos një dhe vetëm një nga këto ngjarje.

Shembull : Rënia e numrit të pikëve 1, 2, 3, 4, 5, 6 kur hedh një kapelë.

Përkufizimi klasik i probabilitetit të një ngjarjeje. Vetitë e probabilitetit

Për aktivitete praktikeështë e rëndësishme që të mund të krahasohen ngjarjet sipas shkallës së mundësisë së ndodhjes së tyre.

Probabiliteti Një ngjarje është një masë numerike e shkallës së mundësisë objektive të ndodhjes së një ngjarjeje.

Le të thërrasim rezultati elementar secili prej rezultateve po aq të mundshme të testit.

Eksodi quhet i favorshëm ngjarje (e favorshme). A, nëse ndodhja e tij sjell ndodhjen e një ngjarjeje A.

Përkufizimi klasik : probabiliteti i ngjarjes Aështë e barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme për një ngjarje të caktuar me numrin total të rezultateve të mundshme.

(1) ku P(A) është probabiliteti i një ngjarjeje A,

m- numri i rezultateve të favorshme,

nështë numri i të gjitha rezultateve të mundshme.

Shembull : Në short janë 1000 bileta, nga të cilat 700 nuk janë fituese. Sa është probabiliteti për të fituar në një biletë të blerë.

Ngjarja A- bleu një biletë fituese

Numri i rezultateve të mundshme n=1000 është numri total i biletave të lotarisë.

Numri i rezultateve që favorizojnë ngjarjen Aështë numri i biletave fituese, d.m.th. m=1000-700=300.

Sipas përkufizimit klasik të probabilitetit:

Përgjigje:
.

shënim vetitë e probabilitetit të ngjarjeve:

1) Probabiliteti i ndonjë ngjarje është ndërmjet zeros dhe një, d.m.th. 0≤ P(A)≤1.

2) Probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është 1.

3) Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është 0.

Përveç klasikes, ekzistojnë edhe përkufizime gjeometrike dhe statistikore të probabilitetit.

Elementet e kombinatorikës.

Formulat e kombinatorikës përdoren gjerësisht për të llogaritur numrin e rezultateve të favorshme për ngjarjen në fjalë ose numrin total të rezultateve.

Le të ketë një grup N nga n elemente të ndryshme.

Përkufizimi 1: Kombinime, secila prej të cilave përfshin të gjitha n elementet dhe që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm për nga radha e elementeve quhen permutacionet nga n elementet.

P n=n! (2), ku n! (n-faktoriale) - produkt n numrat e parë të serisë natyrore, d.m.th.

n! = 1∙2∙3∙…∙(n–1)∙n

Kështu, për shembull, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

Përkufizimi 2: m elementet ( m≤n) dhe që ndryshojnë nga njëri-tjetri qoftë në përbërjen e elementeve ose në renditjen e tyre quhen vendosjet nga n në m elementet.

(3) 
Përkufizimi 3: Kombinimet, secila përmban m elementet ( m≤n) dhe që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në përbërjen e elementeve quhen kombinime nga n në m elementet.


(4)
Koment: ndryshimi i renditjes së elementeve brenda të njëjtit kombinim nuk rezulton në një kombinim të ri.

Ne formulojmë dy rregulla të rëndësishme që përdoren shpesh në zgjidhjen e problemeve të kombinuara

Rregulli i shumës: nëse objekt A mund të zgjidhet m mënyrat dhe objekti V – n mënyra, atëherë zgjedhja është ose A ose V mund të bëhet m+n mënyrat.

Rregulli i produktit: nëse objekt A mund të zgjidhet m mënyrat dhe objekti V pas çdo zgjedhjeje të tillë, njeriu mund të zgjedhë n mënyra, pastaj një palë objektesh A dhe V mund të zgjidhen në atë mënyrë. m ∙ n mënyrat.

1. Paraqitja e teoremave kryesore dhe formulave të probabilitetit: teorema e mbledhjes, probabiliteti i kushtëzuar, teorema e shumëzimit, pavarësia e ngjarjeve, formula e probabilitetit total.

Qëllimet: krijimi i kushteve të favorshme për prezantimin e konceptit të probabilitetit të një ngjarjeje; njohja me teoremat dhe formulat bazë të teorisë së probabilitetit; shkruani formulën e probabilitetit total.

Ecuria e mësimit:

Eksperiment i rastësishëm (eksperiment)është një proces në të cilin rezultate të ndryshme janë të mundshme dhe është e pamundur të parashikohet paraprakisht se cili do të jetë rezultati. Rezultatet e mundshme reciprokisht ekskluzive të një përvoje quhen të saj ngjarje elementare . Grupi i ngjarjeve elementare do të shënohet me W.

ngjarje e rastësishme quhet një ngjarje, për të cilën është e pamundur të thuhet paraprakisht nëse do të ndodhë si rezultat i përvojës apo jo. Çdo ngjarje e rastësishme A që ka ndodhur si rezultat i eksperimentit mund të shoqërohet me një grup ngjarjesh elementare nga W. Ngjarjet elementare që përbëjnë këtë grup quhen të favorshme për ndodhjen e ngjarjes A.

Bashkësia W mund të konsiderohet gjithashtu si një ngjarje e rastësishme. Meqenëse përfshin të gjitha ngjarjet elementare, do të ndodhë domosdoshmërisht si rezultat i përvojës. Një ngjarje e tillë quhet autentike .

Nëse për një ngjarje të caktuar nuk ka ngjarje elementare të favorshme nga W, atëherë ajo nuk mund të ndodhë si rezultat i eksperimentit. Një ngjarje e tillë quhet e pamundur.

Ngjarjet quhen po aq e mundur nëse testi rezulton në mundësi të barabarta për të ndodhur këto ngjarje. Quhen dy ngjarje të rastësishme e kundërt nëse, si rezultat i eksperimentit, njëri prej tyre ndodh nëse dhe vetëm nëse tjetri nuk ndodh. Ngjarja e kundërt me ngjarjen A shënohet me .

Ngjarjet A dhe B quhen të papajtueshme nëse ndodhja e njërës prej tyre përjashton ndodhjen e tjetrës. Ngjarjet A 1 , A 2 , ..., A n quhen të papajtueshme në çift, nëse dy prej tyre janë të papajtueshëm. Ngjarjet A 1 , A 2 , ..., Një formë sistem të plotë ngjarje të papajtueshme në çift nëse, si rezultat i testit, një dhe vetëm njëri prej tyre është i sigurt se do të ndodhë.

Shuma (kombinimi) i ngjarjeve A 1 , A 2 , ..., A n është një ngjarje e tillë C, e cila konsiston në faktin se të paktën një nga ngjarjet A 1 , A 2 , ..., A n ka ndodhur Shuma e ngjarjeve shënohet si në vazhdim:

C \u003d A 1 + A 2 + ... + A n.

Produkti (kryqëzimi) i ngjarjeve A 1 , A 2 , ..., A n një ngjarje e tillë quhet P, e cila konsiston në faktin se të gjitha ngjarjet A 1 , A 2 , ..., A n kanë ndodhur njëkohësisht. Produkti i ngjarjeve shënohet

Probabiliteti P(A) në teorinë e probabilitetit vepron si një karakteristikë numerike e shkallës së mundësisë së ndodhjes së ndonjë ngjarjeje të veçantë të rastësishme A me përsëritje të shumta të testeve.



Për shembull, në 1000 hedhje të një trupi, numri 4 del 160 herë. Raporti 160/1000 = 0,16 tregon frekuencën relative të numrit 4 që bie jashtë në këtë seri testesh. Më në përgjithësi frekuenca e rastësishme e ngjarjeve Dhe kur kryejnë një seri eksperimentesh, ata e quajnë raportin e numrit të eksperimenteve në të cilat ndodhi një ngjarje e caktuar me numrin e përgjithshëm të eksperimenteve:

ku P*(A) është frekuenca e ngjarjes A; m është numri i eksperimenteve në të cilat ndodhi ngjarja A; n është numri i përgjithshëm i eksperimenteve.

Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme A quhet një numër konstant, rreth të cilit grupohen frekuencat e një ngjarjeje të caktuar ndërsa numri i eksperimenteve rritet ( përcaktimi statistikor i probabilitetit të një ngjarjeje ). Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme shënohet me P(A).

Natyrisht, askush nuk do të jetë në gjendje të bëjë një numër të pakufizuar testesh për të përcaktuar probabilitetin. Nuk ka nevojë për këtë. Në praktikë, probabiliteti mund të merret si frekuencë e një ngjarjeje me një numër të madh provash. Kështu, për shembull, nga modelet statistikore të lindjes të vendosura gjatë vëzhgimeve shumëvjeçare, probabiliteti i ngjarjes që i porsalinduri të jetë djalë vlerësohet në 0,515.

Nëse gjatë testit nuk ka arsye për të cilat një ngjarje e rastësishme do të ndodhte më shpesh se të tjerat ( ngjarje po aq të mundshme), ne mund të përcaktojmë probabilitetin bazuar në konsideratat teorike. Për shembull, le të zbulojmë në rastin e hedhjes së një monedhe, shpeshtësinë e rënies së stemës (ngjarja A). Eksperimentues të ndryshëm kanë treguar në disa mijëra prova se frekuenca relative e një ngjarjeje të tillë merr vlera afër 0.5. duke pasur parasysh se pamja e stemës dhe ana e kundërt e monedhës (ngjarja B) janë ngjarje po aq të mundshme nëse monedha është simetrike, gjykimi P(A)=P(B)=0,5 mund të bëhet pa përcaktuar frekuencën. të këtyre ngjarjeve. Mbi bazën e konceptit të "probabilitetit të barabartë" të ngjarjeve, formulohet një përkufizim tjetër i probabilitetit.

Le të ndodhë ngjarja A në shqyrtim në m raste, të cilat quhen të favorshme për A dhe nuk ndodhin në n-m të mbetura, të pafavorshme për A.

Atëherë probabiliteti i ngjarjes A është i barabartë me raportin e numrit të ngjarjeve elementare të favorshme për të me numrin e tyre të përgjithshëm(përkufizimi klasik i probabilitetit të një ngjarjeje):

ku m është numri i ngjarjeve elementare që favorizojnë ngjarjen A; n - Numri i përgjithshëm i ngjarjeve elementare.

Le të shohim disa shembuj:

Shembulli #1:Një urnë përmban 40 topa: 10 të zeza dhe 30 të bardha. Gjeni probabilitetin që një top i zgjedhur rastësisht të jetë i zi.

Numri i rasteve të favorshme është i barabartë me numrin e topave të zinj në urnë: m = 10. Numri i përgjithshëm i ngjarjeve po aq të mundshme (duke nxjerrë një top) është i barabartë me numrin total të topave në urnë: n = 40. Këto ngjarje janë të papajtueshme, pasi hiqet një dhe vetëm një top. P(A) = 10/40 = 0,25

Shembulli #2:Gjeni probabilitetin për të marrë një numër çift kur hidhni një kërpudhë.

Me rastin e hedhjes së kallëpit, realizohen gjashtë ngjarje të papajtueshme po aq të mundshme: shfaqja e një shifre: 1,2,3,4,5 ose 6, d.m.th. n = 6. Raste të favorshme janë humbja e njërit prej numrave 2,4 ose 6: m = 3. Probabiliteti i dëshiruar P(A) = m/N = 3/6 = ½.

Siç mund ta shohim nga përkufizimi i probabilitetit të një ngjarjeje, për të gjitha ngjarjet

0 < Р(А) < 1.

Natyrisht, probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është 1, probabiliteti i një ngjarje të pamundur është 0.

Teorema e mbledhjes së probabilitetit: probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje (pavarësisht se çfarë) nga disa ngjarje të papajtueshme është e barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre.

Për dy ngjarje të papajtueshme A dhe B, probabiliteti i këtyre ngjarjeve është i barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre:

P(A ose B)=P(A) + P(B).

Shembulli #3:Gjeni probabilitetin për të marrë 1 ose 6 kur hidhni një zare.

Ngjarja A (rrotullimi 1) dhe B (rrotullimi 6) janë njësoj të mundshme: P(A) = P(B) = 1/6, kështu që P(A ose B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Shtimi i probabiliteteve është i vlefshëm jo vetëm për dy, por edhe për çdo numër ngjarjesh të papajtueshme.

Shembulli #4:Një urnë përmban 50 topa: 10 të bardhë, 20 të zinj, 5 të kuq dhe 15 blu. Gjeni probabilitetin që një top i bardhë, i zi ose i kuq të shfaqet në një veprim të vetëm të heqjes së një topi nga urna.

Probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë (ngjarja A) është P(A) = 10/50 = 1/5, një top i zi (ngjarja B) është P(B) = 20/50 = 2/5 dhe një top i kuq ( ngjarja C) është P (C) = 5/50 = 1/10. Nga këtu, sipas formulës për shtimin e probabiliteteve, marrim P (A ose B ose C) \u003d P (A) + P (B) \u003d P (C) \u003d 1/5 + 2/5 + 1/ 10 \u003d 7/10

Shuma e probabiliteteve të dy ngjarjeve të kundërta, siç vijon nga teorema e mbledhjes së probabilitetit, është e barabartë me një:

P(A) + P() = 1

Në shembullin e mësipërm, nxjerrja e topave të bardhë, të zinj dhe të kuq do të jetë ngjarja A 1 , P(A 1) = 7/10. Ngjarja e kundërt e 1 është vizatimi i topit blu. Meqenëse ka 15 topa blu, dhe total 50 topa, atëherë marrim P( 1) = 15/50 = 3/10 dhe P(A) + P() = 7/10 + 3/10 = 1.

Nëse ngjarjet А 1 , А 2 , ..., А n formojnë një sistem të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift, atëherë shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me 1.

Në përgjithësi, probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve A dhe B llogaritet si

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB).

Teorema e shumëzimit të probabilitetit:

Ngjarjet A dhe B quhen i pavarur Nëse probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A nuk varet nga fakti nëse ngjarja B ka ndodhur apo jo, dhe anasjelltas, probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes B nuk varet nga fakti nëse ngjarja A ka ndodhur apo jo.

Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të ngjarjeve të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre. Për dy ngjarje P(A dhe B)=P(A) P(B).

Shembull: Njëra urnë përmban 5 topa të zinj dhe 10 të bardhë, tjetra 3 të zeza dhe 17 të bardha. Gjeni probabilitetin që herën e parë që tërhiqen topa nga secila urnë, të dy topat janë të zinj.

Zgjidhja: probabiliteti i tërheqjes së një topi të zi nga urna e parë (ngjarja A) - P(A) = 5/15 = 1/3, një top i zi nga urna e dytë (ngjarja B) - P(B) = 3/ 20

P (A dhe B) \u003d P (A) P (B) \u003d (1/3) (3/20) \u003d 3/60 \u003d 1/20.

Në praktikë, probabiliteti i një ngjarje B shpesh varet nga fakti nëse një ngjarje tjetër A ka ndodhur apo jo. Në këtë rast, flitet për probabiliteti i kushtëzuar , d.m.th. probabiliteti i ngjarjes B duke pasur parasysh që ngjarja A ka ndodhur. Probabiliteti i kushtëzuar shënohet me P(B/A).

Teori e shkurtër

Për një krahasim sasior të ngjarjeve sipas shkallës së mundësisë së ndodhjes së tyre, futet një masë numerike, e cila quhet probabiliteti i një ngjarjeje. Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme quhet një numër, i cili është shprehje e masës së mundësisë objektive të ndodhjes së një ngjarjeje.

Vlerat që përcaktojnë se sa të rëndësishme janë bazat objektive për të llogaritur në ndodhjen e një ngjarjeje karakterizohen nga probabiliteti i ngjarjes. Duhet theksuar se probabiliteti është një madhësi objektive që ekziston në mënyrë të pavarur nga njohësi dhe kushtëzohet nga tërësia e kushteve që kontribuojnë në ndodhjen e një ngjarjeje.

Shpjegimet që i kemi dhënë konceptit të probabilitetit nuk janë një përkufizim matematikor, pasi nuk e përcaktojnë këtë koncept në mënyrë sasiore. Ekzistojnë disa përkufizime të probabilitetit të një ngjarjeje të rastësishme që përdoren gjerësisht në zgjidhjen e problemeve specifike (përkufizimi klasik, gjeometrik i probabilitetit, statistikor, etj.).

Përkufizimi klasik i probabilitetit të një ngjarjeje e redukton këtë koncept në një koncept më elementar të ngjarjeve po aq të mundshme, i cili nuk i nënshtrohet më përkufizimit dhe supozohet se është intuitivisht i qartë. Për shembull, nëse një za është një kub homogjen, atëherë rënia e cilësdo prej faqeve të këtij kubi do të jetë ngjarje po aq e mundshme.

Le të ndahet një ngjarje e caktuar në raste po aq të mundshme, shuma e të cilave jep ngjarjen. Domethënë, rastet nga , në të cilat shpërthen, quhen të favorshme për ngjarjen, pasi shfaqja e njërit prej tyre siguron ofensivën.

Probabiliteti i një ngjarjeje do të shënohet me simbolin .

Probabiliteti i një ngjarje është i barabartë me raportin e numrit të rasteve të favorshme për të, nga numri i përgjithshëm i rasteve unike, po aq të mundshme dhe të papajtueshme, me numrin, d.m.th.

Ky është përkufizimi klasik i probabilitetit. Kështu, për të gjetur probabilitetin e një ngjarjeje, është e nevojshme, pas shqyrtimit të rezultateve të ndryshme të testit, të gjejmë një grup të rasteve të vetme të mundshme, po aq të mundshme dhe të papajtueshme, të llogarisim numrin total të tyre n, numrin e rasteve. m që favorizojnë këtë ngjarje, dhe më pas kryeni llogaritjen sipas formulës së mësipërme.

Probabiliteti i një ngjarjeje të barabartë me raportin e numrit të rezultateve të përvojës të favorshme për ngjarjen me numrin total të rezultateve të përvojës quhet probabiliteti klasik ngjarje e rastësishme.

Karakteristikat e mëposhtme të probabilitetit rrjedhin nga përkufizimi:

Vetia 1. Probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është i barabartë me një.

Vetia 2. Probabiliteti i një ngjarjeje të pamundur është zero.

Vetia 3. Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është një numër pozitiv ndërmjet zeros dhe njës.

Vetia 4. Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjeve që formojnë një grup të plotë është i barabartë me një.

Vetia 5. Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes së kundërt përcaktohet në të njëjtën mënyrë si probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A.

Numri i dukurive që favorizojnë shfaqjen e ngjarjes së kundërt. Prandaj, probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes së kundërt është i barabartë me diferencën midis unitetit dhe probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes A:

Një avantazh i rëndësishëm i përkufizimit klasik të probabilitetit të një ngjarjeje është se me ndihmën e tij probabiliteti i një ngjarjeje mund të përcaktohet pa përdorur përvojë, por në bazë të arsyetimit logjik.

Kur plotësohen një sërë kushtesh, një ngjarje e caktuar do të ndodhë patjetër dhe e pamundura definitivisht nuk do të ndodhë. Ndër ngjarjet që, kur krijohet një kompleks kushtesh, mund të ndodhin ose jo, mund të llogaritet në shfaqjen e disave me më shumë arsye, në shfaqjen e të tjerëve me më pak arsye. Nëse, për shembull, ka më shumë topa të bardhë në urnë sesa ato të zeza, atëherë ka më shumë arsye për të shpresuar për shfaqjen e një topi të bardhë kur nxirret nga urna rastësisht sesa për shfaqjen e një topi të zi.

Shihet në faqen tjetër.

Shembull i zgjidhjes së problemit

Shembulli 1

Një kuti përmban 8 topa të bardhë, 4 të zinj dhe 7 të kuq. 3 topa janë tërhequr në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetet e ngjarjeve të mëposhtme: - është tërhequr të paktën 1 top i kuq, - të paktën 2 topa të së njëjtës ngjyrë, - të paktën 1 top i kuq dhe 1 i bardhë.

Zgjidhja e problemit

Ne gjejmë numrin total të rezultateve të testit si numrin e kombinimeve të 19 (8 + 4 + 7) elementeve nga 3 secila:

Gjeni probabilitetin e një ngjarjeje- tërhequr të paktën 1 top të kuq (1,2 ose 3 topa të kuq)

Probabiliteti i kërkuar:

Lëreni ngjarjen- ka të paktën 2 topa të së njëjtës ngjyrë (2 ose 3 topa të bardhë, 2 ose 3 topa të zinj dhe 2 ose 3 topa të kuq)

Numri i rezultateve që favorizojnë ngjarjen:

Probabiliteti i kërkuar:

Lëreni ngjarjen– ka të paktën një top të kuq dhe një të bardhë

(1 e kuqe, 1 e bardhë, 1 e zezë ose 1 e kuqe, 2 e bardhë ose 2 e kuqe, 1 e bardhë)

Numri i rezultateve që favorizojnë ngjarjen:

Probabiliteti i kërkuar:

Përgjigje: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0,6068

Shembulli 2

Hidhen dy zare. Gjeni probabilitetin që shuma e pikëve të jetë së paku 5.

Zgjidhje

Le të jetë ngjarja shuma e pikëve jo më pak se 5

Le të përdorim përkufizimin klasik të probabilitetit:

Numri total i rezultateve të mundshme të provës

Numri i provave që favorizojnë ngjarjen me interes për ne

Në faqen e rënë të zarit të parë, mund të shfaqen një pikë, dy pikë ..., gjashtë pikë. në mënyrë të ngjashme, gjashtë rezultate janë të mundshme në rrotullën e dytë të peshores. Secili prej rezultateve të të dytit mund të kombinohet me secilin prej rezultateve të të dytit. Kështu, numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme elementare të testit është i barabartë me numrin e vendosjeve me përsëritje (përzgjedhja me vendosje të 2 elementeve nga një grup vëllimi 6):

Gjeni probabilitetin e ngjarjes së kundërt - shuma e pikëve është më e vogël se 5

Kombinimet e mëposhtme të pikëve të humbura do të favorizojnë ngjarjen:

№ Kocka e parë Kocka e dytë 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 3 1 5 1 3

E mesme kostoja e zgjidhjes puna e kontrollit 700 - 1200 rubla (por jo më pak se 300 rubla për të gjithë porosinë). Çmimi ndikohet fuqishëm nga urgjenca e vendimit (nga ditë në disa orë). Kostoja e ndihmës në internet në provim / test - nga 1000 rubla. për zgjidhjen e biletave.

Aplikacioni mund të lihet direkt në chat, duke hequr më parë gjendjen e detyrave dhe duke ju informuar për afatet për zgjidhjen e tij. Koha e përgjigjes është disa minuta.

Probabiliteti është një nga konceptet bazë të teorisë së probabilitetit. Ekzistojnë disa përkufizime të këtij koncepti. Le të japim një përkufizim që quhet klasik.

Probabiliteti ngjarja është raporti i numrit të rezultateve elementare që favorizojnë një ngjarje të caktuar me numrin e të gjitha rezultateve po aq të mundshme të përvojës në të cilat mund të shfaqet kjo ngjarje.

Probabiliteti i një ngjarje A shënohet me P(A)(këtu R- shkronja e parë e fjalës franceze probabiliteti- probabiliteti).

Sipas përcaktimit

ku është numri i rezultateve të testit elementar që favorizojnë shfaqjen e ngjarjes;

Numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme elementare të gjykimit.

Ky përkufizim i probabilitetit quhet klasike. U ngrit më faza fillestare zhvillimi i teorisë së probabilitetit.

Numri shpesh referohet si frekuenca relative e ndodhjes së ngjarjes. A në përvojë.

Sa më i madh të jetë probabiliteti i një ngjarjeje, aq më shpesh ndodh dhe anasjelltas, sa më i ulët të jetë probabiliteti i një ngjarjeje, aq më rrallë ndodh. Kur probabiliteti i një ngjarjeje është afër një ose i barabartë me një, atëherë ajo ndodh pothuajse në të gjitha sprovat. Një ngjarje e tillë thuhet të jetë pothuajse e sigurt, d.m.th., që me siguri mund të mbështetet në ofensivën e tij.

Në të kundërt, kur probabiliteti është zero ose shumë i vogël, atëherë ngjarja ndodh jashtëzakonisht rrallë; një ngjarje e tillë thuhet të jetë pothuajse e pamundur.

Ndonjëherë probabiliteti shprehet si përqindje: R(A) 100%është përqindja mesatare e numrit të dukurive të ngjarjes A.

Shembulli 2.13. Kur thirrni një numër telefoni, pajtimtari harroi një shifër dhe e thirri atë në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që shifra e dëshiruar të jetë thirrur.

Zgjidhje.

Shënoni me A ngjarje - "numri i kërkuar është thirrur".

Abonenti mund të thirrë cilindo nga 10 shifrat, kështu që numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme elementare është 10. Këto rezultate janë të papajtueshme, po aq të mundshme dhe formojnë një grup të plotë. Favorizon ngjarjen A vetëm një rezultat (numri i kërkuar është vetëm një).

Probabiliteti i dëshiruar është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve që favorizojnë ngjarjen me numrin e të gjitha rezultateve elementare:

Formula klasike e probabilitetit ofron një mënyrë shumë të thjeshtë për të llogaritur probabilitetet që nuk kërkon eksperimentim. Megjithatë, thjeshtësia e kësaj formule është shumë mashtruese. Fakti është se kur e përdorni, si rregull, lindin dy pyetje shumë të vështira:

1. Si të zgjidhni një sistem të rezultateve të përvojës në mënyrë që ato të jenë njësoj të mundshme, dhe a është e mundur të bëhet kjo fare?

2. Si të gjeni numrat m dhe n?

Nëse në një eksperiment përfshihen shumë subjekte, nuk është gjithmonë e lehtë të shihen rezultate po aq të mundshme.

Filozofi dhe matematikani i madh francez d'Alembert hyri në historinë e teorisë së probabilitetit me gabimin e tij të famshëm, thelbi i të cilit ishte se ai përcaktoi gabimisht ekuiprobabilitetin e rezultateve në një eksperiment me vetëm dy monedha!

Shembulli 2.14. ( Gabimi i d'Alembert). Hidhen dy monedha identike. Sa është probabiliteti që të bien në të njëjtën anë?

Zgjidhja e d'Alembert.

Përvoja ka tre rezultate po aq të mundshme:

1. Të dyja monedhat do të bien mbi “shqiponjën”;

2. Të dyja monedhat do të bien në "bisht";

3. Njëra prej monedhave do të bjerë mbi kokat, tjetra në bisht.

Vendimi i duhur.

Përvoja ka katër rezultate po aq të mundshme:

1. Monedha e parë do të bjerë mbi “shqiponjën”, e dyta edhe mbi “shqiponjën”;

2. Monedha e parë do të bjerë në “bisht”, e dyta do të bjerë edhe në “bisht”;

3. Monedha e parë do të bjerë mbi kokat dhe e dyta në bisht;

4. Monedha e parë do të bjerë në bisht, dhe e dyta në kokë.

Nga këto, dy rezultate do të jenë të favorshme për ngjarjen tonë, kështu që probabiliteti i dëshiruar është i barabartë me .

d'Alembert bëri një nga gabimet më të zakonshme të bëra gjatë llogaritjes së probabilitetit: ai kombinoi dy rezultate elementare në një, duke e bërë kështu të pabarabartë në probabilitet me rezultatet e mbetura të eksperimentit.