Teoria e grafikut. Teoria e grafikut është një degë e gjerë e pavarur e matematikës diskrete

Korobova Anastasia, studente e gr. 14-PGS-48D

Në kohën tonë, është e rëndësishme të studiojmë metoda të ndryshme, vetitë dhe aplikacionet jo standarde. Do të shqyrtojmë zbatimin e metodës “Grafiku” në realitetin që na rrethon.

Fjala "graf" në matematikë do të thotë një figurë ku vizatohen disa pika, disa prej të cilave janë të lidhura me vija. Fillimisht, duhet thënë se grafikët, të cilët do të diskutohen, nuk kanë asnjë lidhje me aristokratët e së shkuarës. "Grafikët" tanë kanë rrënjë në fjalën greke "grapho", që do të thotë "Unë shkruaj". E njëjta rrënjë në fjalët "grafikë", "biografi".

Puna e parë mbi teorinë e grafikëve i përket Leonard Euler dhe u shfaq në 1736 në botimet e Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut.

Ka grafikë:

në fizikë - gjatë ndërtimit të qarqeve elektrike

në kimi dhe biologji - kur studiohen molekulat e zinxhirëve të tyre

në histori - kur përpiloni pemë gjenealogjike (gjenealogji)

në gjeografi - kur bëni harta

në gjeometri - vizatime të shumëkëndëshave, poliedrave, figurave hapësinore

në ekonomi - kur zgjidhen problemet e zgjedhjes së rrugës optimale për flukset e transportit të mallrave (skemat e linjave ajrore, metro, hekurudha)

Teoria e grafikut përdoret për zgjidhjen e problemeve të olimpiadave matematikore. Grafikët u japin kushteve të problemit qartësi, thjeshtojnë zgjidhjen dhe zbulojnë ngjashmërinë e problemeve.

Tani, në çdo degë të shkencës dhe teknologjisë, takoheni me grafikë.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni vetes një llogari (llogari) Google dhe hyni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Prezantimi në matematikë Tema: "Grafikët" Plotësuar nga Nxënësja e grupit 14-PGS-48D Anastasia Korobova

Një grafik është një figurë e përbërë nga pika dhe vija që lidhin këto pika. Linjat quhen skajet e grafikut, dhe pikat quhen kulme. Kulmet nga të cilat del një numër çift i brinjëve quhen çift, një numër tek quhen tek. Shembuj të grafikëve Teoria e grafikëve

Leonard Euler (4 prill 1707, Bazel, Zvicër - 7 shtator 1783, Shën Petersburg, Perandoria Ruse) - matematikan zviceran, gjerman dhe rus, i cili dha një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e matematikës, si dhe në mekanikën, fizikën, astronominë. dhe një sërë shkencash të aplikuara. Euler është autor i mbi 800 punimeve mbi analizën matematikore, gjeometrinë diferenciale, teorinë e numrave, llogaritjet e përafërta, mekanikën qiellore, fizikën matematikore, optikën, balistikën, ndërtimin e anijeve, teorinë e muzikës, etj.

Figura (grafiku) që mund të vizatohet pa e hequr lapsin nga letra quhet unikursal. Rregullsia 1. Një grafik me vetëm dy kulme tek mund të vizatohet pa e hequr lapsin nga letra, ndërsa lëvizja duhet të fillojë nga njëra prej këtyre kulmeve tek dhe të përfundojë në të dytin prej tyre. (fig. A) Modeli 2. Është e pamundur të vizatosh një grafik me më shumë se dy kulme tek "me një goditje" (Fig. B). Grafikët e Euler-it BA

Rregullsia 3. Nëse të gjitha kulmet e grafikut janë të njëtrajtshme, atëherë pa e hequr lapsin nga letra, duke u tërhequr përgjatë çdo skaji vetëm një herë, vizatoni këtë grafik. Lëvizja mund të fillojë nga çdo kulm dhe të përfundojë në të njëjtin kulm.

Për një kohë të gjatë, enigma e mëposhtme është përhapur në mesin e banorëve të Königsberg: si të kaloni të gjitha urat (përtej lumit Pregolya) pa kaluar asnjërën prej tyre dy herë? Shumë u përpoqën ta zgjidhnin këtë problem si teorikisht ashtu edhe praktikisht duke ecur.Problemi i urave të Konigsberg.

Është një grafik në të cilin disa skaje mund të jenë të orientuara dhe disa mund të jenë të padrejtuara. Grafik i përzier

Numërimi i peshuar 1 2 4 2 3 A B C D E

Çdo graf i lidhur që nuk ka cikle quhet pemë. Pemët Pemët

Është një graf (shumë) me një drejtim të caktuar në skajet e tij. Skajet e drejtimit quhen edhe harqe. Grafiku i drejtuar

Ka grafikë:

Teoria e grafikut përdoret për zgjidhjen e problemeve të olimpiadave matematikore. Grafikët u japin kushteve të problemit qartësi, thjeshtojnë zgjidhjen dhe zbulojnë ngjashmërinë e problemeve. Tani, në çdo degë të shkencës dhe teknologjisë, takoheni me grafikë.

Faleminderit per vemendjen!

të njohë nxënësit me konceptin “Grafiku”, parimet bazë të ndërtimit të tij;

për të formuar aftësinë për të nxjerrë në pah marrëdhëniet që lidhin objektet;

zhvilloni vëmendjen, aftësinë për të arsyetuar logjik;

nxisin ndihmën e ndërsjellë, aftësinë për të punuar në një ekip

konsolidimi i njohurive të marra në praktikë

zhvillimi i kujtesës, vëmendjes;

zhvillimi i pavarësisë;

edukimi i veprimtarisë njohëse.

Pajisjet:

• një klasë kompjuteri e pajisur me teknologji moderne, një videoprojektor, një ekran;
• Kompjuterë Windows XP, program Microsoft Office 2003 PowerPoint;
• pajisjet e tabelës (tema mësimore, terma të rinj). Fletushka.

Plani i mësimit.

II. Prezantimi i materialit të ri. (10 min.)

III. Sigurimi i materialit. Punë praktike. (15-20 min.)

IV. Duke përmbledhur mësimin (2 min)

V. Detyre shtepie.

I. Momenti organizativ. Përditësimi i njohurive.

Përshëndetje! Mësimi ynë quhet "Grafikët". Ne do të njihemi me konceptin e "Grafikëve", do të mësojmë se si t'i përfaqësojmë ato dhe do të zgjidhim probleme në këtë temë.

II Prezantimi i materialit të ri.

Puna e parë mbi teorinë e grafikëve i përket Leonard Euler (1736), megjithëse termi "graf" u prezantua për herë të parë në vitin 1936 nga matematikani hungarez Denesh König. Grafikët quheshin skema që përbëheshin nga pika dhe lidhnin këto pika të segmenteve të linjës ose kurbave (shembuj të grafikëve janë paraqitur në Figurën 1)

Me ndihmën e grafikëve, shpesh thjeshtësohej zgjidhja e problemeve të formuluara në fusha të ndryshme të njohurive: në automatizim, elektronikë, fizikë, kimi, etj. Me ndihmën e grafikëve përshkruhen skemat e rrugëve, tubacioneve të gazit, rrjetet e ngrohjes dhe energjisë elektrike. . Grafikët ndihmojnë në zgjidhjen e problemeve matematikore dhe ekonomike.

Grafiku - (nga greqishtja grapho - shkruaj) është një mjet për paraqitjen vizuale të elementeve të objektit të marrëdhënieve ndërmjet tyre. Këto janë objekte të mrekullueshme matematikore, me ndihmën e tyre mund të zgjidhni shumë probleme të ndryshme, në dukje të ndryshme.

Një grafik është një lloj modeli informacioni

Grafiku përbëhet nga kulme ose nyje të lidhura me harqe ose segmente vijash - skaje. Linja mund të drejtohet, domethënë mund të ketë një shigjetë (hark), nëse nuk drejtohet, një skaj. Dy kulme të lidhura me një hark ose buzë quhen ngjitur.

Shembuj grafikësh (rrëshqitje 4, 5, 6)

Detyra 1 (Rrëshqitja 7):

Ndërmjet nëntë planetëve të sistemit diellor vendoset komunikimi hapësinor. Raketat e lundrimit fluturojnë në rrugët e mëposhtme:

Toka - Mërkuri; Plutoni - Venusi; Toka - Plutoni; Plutoni - Mërkuri; Mërkuri - Afërdita; Urani - Neptuni; Neptuni - Saturni; Saturni - Jupiteri; Jupiter - Mars; Marsi - Urani.

A është e mundur të fluturosh me raketa të planifikuara nga Toka në Mars?

Zgjidhja: Le të vizatojmë një diagram të gjendjes: planetët do t'i përshkruajmë me pika, dhe rrugët e raketave - me vija.

Tani është menjëherë e qartë se është e pamundur të fluturosh nga Toka në Mars.

Dy kulme të lidhura me një hark ose buzë quhen ngjitur. Çdo skaj ose hark ka një numër të lidhur me të. Numri mund të tregojë distancën midis vendbanimeve, kohën e kalimit nga një majë në tjetrën, etj.

Detyra 2 (rrëshqitje 9) - zgjidhje në dërrasën e zezë. Masha erdhi në kopshtin zoologjik dhe dëshiron të shohë sa më shumë kafshë të jetë e mundur. Cilën rrugë duhet të marrë ajo? E verdha, e kuqe, jeshile?

Detyra 3 (11 rrëshqitje) - zgjidhje në dërrasën e zezë. Pesë ekipet e futbollit A, B, C, D, E duhet të luajnë ndeshje me njëra-tjetrën. Kanë luajtur tashmë A me B, C, D; B me A, C, D. Sa ndeshje janë luajtur tashmë? Sa kohë ka mbetur për të luajtur?

Paraqitja e grafikut (rrëshqitje 12)

Grafiku mund të përfaqësohet si një listë harqesh (AB; 7), grafikisht ose duke përdorur një tabelë.

Listat e harkut	Forma grafike	Forma tabelare
(AB; 7),		A V ME A 3 V 4 ME 3 4

III. Konsolidimi i materialeve: nxënësit nxiten të ndahen në grupe dhe të kryejnë detyrat. Në një grup të vogël nxënësit diskutojnë për modelet bazuar në njohuritë teorike të marra në fillim të orës së mësimit. Kjo arrin përsëritjen dhe konsolidimin e materialit.

Detyra 2 (Rrëshqitje 13)

IV. Përmbledhja e mësimit

Djema, cilat fjalë të reja mësuat sot? (Grafiku, kulmi i grafikut, skajet e grafikut.)

Çfarë mund të përfaqësojnë kulmet e grafikut? (Qytetet; objektet që janë; të lidhura.)

Çfarë përfaqësojnë skajet e grafikut (shtigjet, lëvizjet, drejtimet)

Jepni një shembull se ku mund t'i takojmë në jetë?

Si përshkruhen grafikët?

V. Detyrë shtëpie. (Rrëshqitje 15)

Numri i kulmeve quhet
renditja e grafikut.
Numri i brinjëve quhet
madhësia e grafikut.

Disa terma-1

- Le të jetë R = (a, b) një nga skajet e grafikut. Pastaj
kulmet a dhe b quhen terminale
kulmet e brinjës;
- Kulmet fundore të së njëjtës skaj
quhet fqinj;
- Dy tehe quhen ngjitur nëse kanë
maja e përbashkët e terminalit;
- Dy skaje quhen të shumëfishta nëse
grupet e kulmeve të tyre fundore përkojnë;
- Një skaj quhet lak nëse përfundon
përputhen.

Disa terma-2

- Shkalla e një kulmi V shënohet me deg (V)
quhet numri i skajeve për
e cila kjo kulm është fundore;
- Një kulm quhet i izoluar nëse
nuk është një terminal për asnjë
brinjë;
- Një kulm quhet gjethe nëse ajo
është terminal pikërisht për një
brinjët. Për një fletë q, deg (q) = 1 është e dukshme.

Shembull:

gradë (C) = 4
H1,… H4 - Gjethe

Një shembull tjetër:

Qytetet B dhe D - të izoluara
majat; Qytetet G dhe E janë gjethe.

Grafiku i plotë

Një grafik quhet i plotë nëse ka
dy kulme janë të lidhura me një buzë.
Sa skaje ka një grafik i plotë
e rendit n?
Një grafik i plotë i rendit n ka numrin e skajeve
është e barabartë me Cn2 = n! / (2 * (n-2)!) = n * (n-1) / 2

Le ta vërtetojmë ...

Grafiku i plotë me dy kulme
përmban një skaj - kjo është e qartë.
Zëvendësoni n = 2 në formulën n * (n-1) / 2
Ne marrim:
n * (n-1) / 2 = 1
Formula është e saktë për n = 2

Supozimi i induksionit

Supozoni se formula është e vërtetë për
një grafik me k kulme.
Le të vërtetojmë se kjo nënkupton
vlefshmërinë e formulës për grafikun
c (k + 1) kulm.

Shtoni edhe një kulm në grafikun e plotë me kulme K.

Dhe lidheni atë me K-në e parë
majat...

Ne marrim:

Ne numërojmë sa brinjë kemi ...

K * (K-1) / 2 + K
=
K * (K + 1) / 2
Përftohet shprehja e fundit,
nëse në formulën n * (n-1) / 2 në vend të n
zëvendësim K + 1.

Nga supozimi i drejtësisë
pohimi për n = k nënkupton
vlefshmërinë e deklaratës për
n = k + 1.
Teorema është vërtetuar.

Shembuj të grafikëve të plotë

Sqarim i rëndësishëm

Çiftet që përcaktojnë skajet në një graf të padrejtuar janë të pa renditur (d.m.th.
çiftet (a, b) dhe (b, a) nuk ndryshojnë)

Grafiku i drejtuar

Nëse skajet e grafikut janë të vendosura
çifte të renditura (d.m.th. (a, b) ≠ (b, a)),
Atëherë grafiku quhet i drejtuar
(ose digrafi)
Si t'i jepet orientimi konceptit
kuptimi vizual?
Shumë e thjeshtë - ofrohen brinjë
shigjeta (nga fillimi në fund)!

Shembull digrafi

Grafik i përzier

Një grafik i përzier është një trefish (V, E, A).
V - grup kulmesh;
E - shumë e padrejtuar
brinjë;
A është një grup skajesh të orientuara.
Nga rruga, skajet e orientuara
quhen harqe.

Izomorfizmi i grafikut

Le të jenë dy grafikë G1 dhe G2
Nëse ka një korrespondencë një-për-një F
ndërmjet kulmeve të grafikëve G1 dhe G2, të tillë që:
- nëse grafiku G1 përmban një skaj (a, b), atëherë grafiku G2
ka një skaj (F (a), F (b))
- nëse grafiku G2 përmban një skaj (p, q), atëherë grafiku G1
ka një skaj (F-1 (p), F-1 (q))
atëherë grafikët G1 dhe G2 quhen izomorfikë, dhe
korrespondenca F është një izomorfizëm.

Sqarim

Për digrafë dhe grafikë të përzier
ndeshjen F duhet ta ruajë
orientimi i harqeve.

Kushtet e nevojshme për izomorfizëm

Në çfarë kushtesh ndërmjet elementeve
mund të jenë dy grupe të fundme
vendos një-për-një
konformitet?
Atëherë dhe vetëm atëherë, numri i tyre
elementet janë të njëjtë.
Kushti i domosdoshëm për izomorfizëm
numri i grafikëve është i njëjtë
majat.

A është ky një kusht i mjaftueshëm?

Jo, siç mund të jenë majat
të lidhura në mënyra të ndryshme.

A janë këta grafikë izomorfikë?

Numri i kulmeve është i njëjtë -
plotësohet kushti i nevojshëm...

Duke u përpjekur për të ndërtuar një korrespondencë F ...

Ky nuk është një izomorfizëm: G1 përmban një skaj (A, D),
dhe imazhet e këtyre skajeve në G2 nuk janë të lidhura.

Një tjetër përpjekje...

Dhe ky është një izomorfizëm!

A janë këta grafikë izomorfikë?

Fatkeqësisht jo…

Në aspektin teorik, dy
grafik izomorfik - ky është një dhe i njëjti
i njëjti objekt (vetëm, ndoshta, i përshkruar ndryshe ...)

Shtigjet (zinxhirët):

Rruga (zinxhiri) është sekuenca
Kulmet:
a1, a2,…, an
ku kulmet fqinje ai dhe ai + 1
të lidhura me brinjë.
Gjatësia e shtegut është numri i përbërësve të saj
brinjët

Shembuj të shtigjeve:

(A, D, C) dhe (A, B, D) janë shtigje. (A, B, C) nuk është rruga.

Nocioni i një shteg për një digraf ruhet
forcë, por ka nevojë për plotësim -
majat fqinje në
sekuencat
a1, a2,…, an
duhet të lidhen me harqe.

Ciklet

Një cikël është një shteg që ka një fillestar dhe
përputhja përfundimtare e kulmit.
Gjatësia e ciklit është numri i përbërësve të tij
brinjët.
Një cikël quhet i thjeshtë nëse skajet në të
nuk përsëriten.
Një cikël quhet elementar nëse ai
thjeshtë dhe kulmet në të nuk përsëriten.

Komponentët e lidhjes

Kulmet e një grafi arbitrar mund
ndahet në klasa të tilla që për
çdo dy kulme të së njëjtës klasë v1
dhe v2 ka një shteg nga v1 në v2
Këto klasa quhen komponentë
lidhjes.
Nëse grafiku ka saktësisht një komponent
lidhshmëria, atëherë thirret grafiku
lidhur.

Paraqitja makinerike e grafikëve.

Matrica e fqinjësisë

- Le të numërojmë kulmet e grafikut G
numra të plotë të njëpasnjëshëm nga 1 në n;
- Le të ndërtojmë një tabelë katrore n × n dhe
mbusheni me zero;
- Nëse ka një skaj që lidh
kulmet i dhe j, pastaj në pozicionet (i, j) dhe (j, i)
vendos njësi;
- Tabela që rezulton quhet
matrica e fqinjësisë së grafikut G.

Shembull

Disa veti të dukshme të një matrice fqinjësie

- Nëse kulmi është i izoluar, atëherë vija e tij dhe
kolona do të jetë plotësisht e pavlefshme;
- Numri i njësive për rresht (kolona)
e barabartë me shkallën e përkatëses
majat;
- Për një graf të padrejtuar, matrica
fqinjësia është simetrike në lidhje me
diagonalja kryesore;
- Lakja korrespondon me njësinë e ndezur
diagonalja kryesore.

Përgjithësim për një digraf

Matrica e fqinjësisë për digrafin
mund të ndërtohet në mënyrë të ngjashme
mënyrë, por për të marrë parasysh rendin
vertices, ju mund ta bëni këtë:
Nëse harku fillon nga kulmi j dhe
hyn në kulmin k, pastaj në pozicionin (j, k)
matrica e fqinjësisë është vendosur në 1, dhe në
pozicioni (k, j) vendosur -1.

Matrica e incidencës

- Le të numërojmë kulmet e grafikut G
numra të plotë të njëpasnjëshëm nga 1 në
n;
- Le të ndërtojmë një tavolinë drejtkëndëshe me
n rreshta dhe m kolona (kolona
korrespondojnë me skajet e grafikut);
- Nëse skaji j ka një fund
kulm k, pastaj në pozicion
(k, j) është vendosur në një. Ne te gjithe
rastet e tjera janë vendosur në zero.

Matrica e incidencës për digrafin

- Nëse harku j-të buron nga kulmi k,
atëherë 1 vendoset në pozicionin (k, j);
- Nëse harku i j-të hyn në kulmin k, atëherë
pozicioni (k, j) është vendosur në -1.
- Në raste të tjera, në pozicionin (k, j)
mbetet zero.

Që nga kolonat e matricës
incidencat përshkruajnë skajet, atëherë
secila kolonë mund të mos përmbajë
më shumë se dy elementë jo zero

Shembull i matricës së incidencës

Lista e brinjëve

Një mënyrë tjetër për të paraqitur një grafik
- grup dydimensional (lista e çifteve).
Numri i çifteve është i barabartë me numrin e brinjëve
(ose harqe).

Shembull i një liste të skajeve

Krahasimi i metodave të ndryshme të prezantimit

- Lista e skajeve është më kompakte, dhe
matrica e incidencës më së paku
kompakt;
- Matrica e incidencës është e dobishme kur
kërkimi i cikleve;
- Matrica e afërsisë më e lehtë
pjesa tjetër për t'u përdorur.

Kalimi i grafikut

Anashkalimi i grafikut quhet përsëritje mbi të
kulme të tilla që çdo kulm
parë një herë.

Marrëveshja-1

Para se të bëni një kërkim për një grafik
me n kulme krijoni një varg Chk
prej n elementeve dhe e plotësoni
zero.
Nëse Chk [i] = 0, atëherë kulmi i i-të më shumë
nuk shihet.

Marrëveshja-2

Le të krijojmë një strukturë të dhënash
(magazinimi) në të cilin ne do
memorizoni kulmet në proces
anashkalojë. Ndërfaqja e ruajtjes
duhet të ofrojë tre funksione:
- Shtoni pjesën e sipërme;
- Nxjerr pjesën e sipërme;
- Kontrolloni nëse depoja është bosh;

Marrëveshja-3

Kur kulmi j vendoset në
depo, është shënuar si
shikuar (d.m.th. vendosur
Chk [j] = 1)

Algoritmi i anashkalimit-1

1) Merrni një kulm fillestar arbitrar,
e shtypim dhe e futim në ruajtje;

3) Merrni kulmin Z nga ruajtja;
4) Nëse ka një kulm Q të lidhur me Z dhe jo
shënuar, pastaj e kthejmë Z në ruajtje,
vendosim në ruajtje Q, shtypim Q;
5) Shkoni në hapin 2

Algoritmi i anashkalimit-2

1) Merrni një kulm fillestar arbitrar dhe
ne e sjellim atë në ruajtje;
2) A është depoja bosh? Nëse PO - fund;
3) Merrni kulmin Z nga ruajtja, printoni dhe
fshini nga ruajtja;
4) Ne vendosim të gjitha kulmet në ruajtje,
i lidhur me Z dhe ende i pa shënuar;
5) Shkoni në hapin 2

Cilat struktura të dhënash janë të përshtatshme për ruajtje?

- Stack (PUSH - shtoni; POP - ekstrakt)
- Radha (ENQUE - shtoni; DEQUE -
ekstrakt)
Të dyja strukturat ju lejojnë të kontrolloni
disponueshmëria e të dhënave.

Algoritmi-1 i kombinuar me një pirg
quhet ecja e parë në thellësi
Algoritmi-2 i kombinuar me një radhë
i quajtur përshkimi i parë i gjerë

Një grafik është një grup i kufizuar kulmesh V dhe një grup skajesh R që lidhin çifte kulmesh, G = (V, R). Kardinalitetet e grupeve V dhe R janë të barabarta me N dhe M. Bashkësia e skajeve mund të jetë bosh. Shembuj të majave janë objekte të çdo natyre (vendbanime, rrjete kompjuterike). Shembuj të skajeve janë rrugët, anët, vijat.

Kulmet e lidhura nga një skaj quhen ngjitur. Skajet që kanë një kulm të përbashkët quhen gjithashtu të ngjitura. Një skaj dhe ndonjë nga dy kulmet e saj quhen incidente. Shkalla e një kulmi është numri i skajeve që bien në të. Çdo grafik mund të përfaqësohet në një rrafsh nga një grup pikash që korrespondojnë me kulmet, të cilat lidhen me vija që korrespondojnë me skajet.

Një rrugë e grafikut është një sekuencë kulmesh dhe skajesh. Një rrugë mbyllet (ciklike) nëse kulmet e fillimit dhe të fundit përkojnë. Një rrugë është një zinxhir i thjeshtë nëse të gjitha kulmet dhe skajet janë të ndryshme. Një grafik lidhet nëse çdo kulm është i arritshëm nga ndonjë tjetër. Kulmet pa skaje përplasëse quhen të izoluara.

Matrica e Incidentit

Listat e komunikimit

Lista e brinjëve

Matrica e afërsisë së një grafiku grafik të padrejtuar me peshë të lidhur

Ndërtimi i një peme me peshë minimale. Algoritmi i Kruskal-it Të gjitha skajet hiqen nga grafiku dhe fitohet një nëngraf i shtrirë ku të gjitha kulmet janë të izoluara. Çdo kulm vendoset në një nënbashkësi të vetme. Skajet janë të renditura në rend rritës të peshës. Skajet përfshihen në mënyrë sekuenciale në pemën që shtrihet, në rendin rritës të peshave të tyre.

Janë 4 raste: 1) të dy kulmet e skajit të përfshirë i përkasin nënbashkësive me një element, pastaj ato kombinohen në një nënbashkësi të re, të lidhur; 2) njëra nga kulmet i përket një nëngrupi të lidhur, dhe tjetra jo, atëherë të dytën e përfshijmë në nënbashkësinë të cilës i përket e para; 3) të dy kulmet i përkasin nënbashkësive të ndryshme të lidhura, pastaj i kombinojmë nëngrupet; 4) Të dy kulmet i përkasin një nëngrupi të lidhur, atëherë ne e përjashtojmë këtë skaj.

Një shembull i ndërtimit të një peme që shtrihet me peshë minimale për një grafik GG Veprimet që duhen kryer Bashkësia e kulmeve Grafiku 1 Ndërtimi i një nëngrafi të shtrirë me kulme të izoluara dhe kulme Marrim 5 nëngrupe me një element: (V 1), (V 2), (V 3), (V 4), (V 5) 2Gjeni një skaj me peshë minimale (R 15) dhe shtojeni atë në nëngrafin e shtrirjes Formoni një nëngrup të lidhur kulmesh: (V 1, V 5). Ruaj nëngrupet (V 2), (V 3), (V 4)

Veprimet e kryera Bashkësia e kulmeve Grafiku 3 Ndër ato që kanë mbetur, gjeni një skaj me peshë minimale (R 45) dhe shtojeni atë në nëngrafin që përfshin, Shtoni një kulm në nëngrupin e lidhur: (V 1, V 5, V 4). Ruani nëngrupet (V 2), (V 3) 4 Ndër të tjerat, gjeni një skaj me peshë minimale (R 23) dhe shtojeni atë në nëngrafin e shtrirjes Formoni një nëngrup të ri të lidhur kulmesh: (V 2, V 3). Ruani nëngrupin e parë të lidhur (V 1, V 5, V 4).

Veprimet e kryera Bashkësia e kulmeve Grafiku 5 Ndër ato që mbeten, gjeni një skaj me peshë minimale (R 25) dhe shtojeni atë në nëngrafin që përfshin. Kombinoni nëngrupet në një nëngrup të lidhur (V 1, V 5, V 4, V 2, V 3). 6 Pjesa tjetër e skajeve nuk përfshihen në grafik, sepse të gjitha kulmet e tyre tashmë i përkasin një grupi të lidhur.

Veprimet e kryera Bashkësia e kulmeve Grafiku 7 Përftohet një grafik që është: i shtrirë (të gjitha kulmet janë të ndezura); i lidhur (të gjitha kulmet mund të lidhen me rrugë); pemë (pa cikle); ka një peshë minimale. 8 Pema e shtrirjes që rezulton ka peshën minimale: R 12 + R 25 + R 15 + R 45 = = 80 9 Numri ciklik i grafikut G është γ = mn + 1 = 8-5 + 1 = 4, që korrespondon me numri i skajeve që nuk përfshihen në pemë.

Deklarimi i variablave Dy vargje me numra të plotë me pesë elementë X dhe Y për ruajtjen e koordinatave të kulmeve të grafikut Një grup i plotë dydimensional R për ruajtjen e peshave të skajeve të grafikut Variablat e plotë i, n dhe k për numëruesit e ciklit Ndryshore e plotë S për ruajtjen shuma e peshave të skajeve të pemës me peshë minimale

Gjenerimi i koordinatave të rastësishme të 5 kulmeve të grafikut (qarkullimi përmes i). Llogaritja e peshave të skajeve. Nxjerrja e matricës së afërsisë së një digrafi të peshuar (qarqet e mbivendosura në n dhe në k) Derivimi i matricës së afërsisë së një grafi të padrejtuar të ponderuar - gjysma e elementeve të matricës fillestare (vlera fillestare k = n + 1) Trupi i programit