» »

S pomočjo katerih se izvaja finančno načrtovanje. Finančno načrtovanje

Analizirajmo klasično definicijo verjetnosti z uporabo formul in primerov.

Naključni dogodki se imenujejo nezdružljivoče se ne morejo pojaviti hkrati. Na primer, ko vržemo kovanec, bo ena stvar izpadla - "grb" ali številka "in se ne moreta pojaviti hkrati, saj je logično, da je to nemogoče. Dogodki, kot sta zadetek in zgrešitev po strelu, so lahko nezdružljivi.

Naključni dogodki končne oblike polna skupina parno nezdružljive dogodke, če se pri vsakem poskusu pojavi eden in je le eden od teh dogodkov edini možen.

Razmislite o istem primeru metanja kovanca:

Prvi kovanec Drugi kovanec Dogodki

1) "grb" "grb"

2) "grb" "številka"

3) "številka" "grb"

4) "številka" "številka"

Ali skrajšano - "YY", - "MS", - "CH", - "CH".

Dogodki se imenujejo enako možno, če pogoji študija zagotavljajo enako možnost pojava vsakega od njih.

Kot razumete, ko vržete simetričen kovanec, ima enake možnosti in obstaja možnost, da bosta tako "grb" kot "številka" izpadla. Enako velja za metanje simetrične kocke, saj obstaja možnost, da se pojavijo obrazi s poljubnim številom 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Recimo, da zdaj vržemo kocko s premikom težišča, na primer proti strani s številko 1, potem bo najpogosteje izpadla nasprotna stran, torej stran z drugačnim številom. Tako bodo v tem modelu možnosti pojavljanja za vsako od števk od 1 do 6 različne.

Enako možni in edinstveno možni naključni dogodki se imenujejo primeri.

Obstajajo naključni dogodki, ki so primeri, in naključni dogodki, ki niso primeri. Spodaj so primeri teh dogodkov.

Tisti primeri, zaradi katerih se pojavi naključni dogodek, se imenujejo ugodni primeri za ta dogodek.

Če označimo z , ki vpliva na dogodek v vseh možnih primerih, in skozi - verjetnost naključnega dogodka , potem lahko zapišemo dobro znano klasično definicijo verjetnosti:

Opredelitev

Verjetnost dogodka je razmerje med številom primerov, ugodnih za ta dogodek, in skupnim številom vseh možnih primerov, to je:

Lastnosti verjetnosti

Klasična verjetnost je bila obravnavana, zdaj pa bomo analizirali glavne in pomembne lastnosti verjetnosti.

Lastnost 1. Verjetnost določenega dogodka je enaka ena.

Na primer, če so vse kroglice v vedru bele, potem na dogodek, naključno izbrano belo kroglo, vplivajo primeri, .

Lastnost 2. Verjetnost nemogočega dogodka je nič.

Lastnost 3. Verjetnost naključnega dogodka je pozitivno število:

Zato verjetnost katerega koli dogodka izpolnjuje neenakost:

Zdaj pa rešimo nekaj primerov o klasični definiciji verjetnosti.

Primeri klasične definicije verjetnosti

Primer 1

Naloga

V košu je 20 žog, od tega 10 belih, 7 rdečih in 3 črnih. Ena žogica je izbrana naključno. Izbrana je bela krogla (dogodek), rdeča krogla (dogodek) in črna krogla (dogodek). Poiščite verjetnost naključnih dogodkov.

Rešitev

Glede na pogoj problema prispevajte k , in primeri možnih, torej po formuli (1):

je verjetnost bele krogle.

Podobno za rdečo:

In za črno: .

Odgovori

Verjetnost naključnega dogodka , , .

Primer 2

Naloga

V škatli je 25 enakih električnih žarnic, 2 sta v okvari. Poišči verjetnost, da naključno izbrana žarnica ni pokvarjena.

Rešitev

Glede na stanje težave so vse svetilke enake in izbrana je samo ena. Skupne možnosti izbire. Med vsemi 25 sijalkami sta dve pokvarjeni, kar pomeni, da so ostale primerne. Zato je po formuli (1) verjetnost izbire primerne električne žarnice (dogodek ) enaka:

Odgovori

Verjetnost, da naključno izbrana žarnica ni okvarjena = .

Primer 3

Naloga

Dva kovanca se naključno vržeta. Poiščite verjetnost takšnih dogodkov:

1) - na obeh kovancih je grb izpadel;

2) - na enem od kovancev je izpadel grb, na drugem pa številka;

3) - številke so izpadle na obeh kovancih;

4) - vsaj enkrat je grb izpadel.

Rešitev

Tukaj imamo opravka s štirimi dogodki. Ugotovimo, kateri primeri prispevajo k vsakemu od njih. Dogodek olajša en primer, ko je na obeh kovancih izpadel grb (skrajšano »GG«).

Če želite obravnavati dogodek, si predstavljajte, da je en kovanec srebrn, drugi pa bakren. Pri metanju kovancev so lahko primeri:

1) na srebrnem grbu, na bakrenem grbu - številka (označimo jo kot "MS");

2) na srebrni številki, na bakreni - grb (- "ChG").

Zato dogodke olajšajo primeri in .

Dogodek olajša en primer: na obeh kovancih so izpadle številke - "CH".

Tako dogodki ali (YY, MG, TY, FF) tvorijo popolno skupino dogodkov, vsi ti dogodki so nezdružljivi, saj se le eden od njih zgodi kot posledica meta. Poleg tega so za simetrične kovance vsi štirje dogodki enako verjetni, zato jih lahko štejemo za primere. Možni so štirje dogodki.

Dogodek olajša samo en dogodek, zato je njegova verjetnost:

K dogodku prispevata dva primera, torej:

Verjetnost dogodka je enaka kot za:

K dogodku prispevajo trije primeri: YY, YY, YY in torej:

Ker se upoštevajo dogodki GY, MS, CH, CH, ki so enako verjetni in ustvarjajo popolno skupino dogodkov, je pojav katerega koli od njih zanesljiv dogodek (označujemo ga s črko , kar olajšajo vsi 4 dogodki). Zato je verjetnost:

Tako je potrjena prva lastnost verjetnosti.

Odgovori

Verjetnost dogodka.

Verjetnost dogodka.

Verjetnost dogodka.

Verjetnost dogodka.

Primer 4

Naloga

Vržeta se dve kocki z enako in pravilno geometrijsko obliko. Poiščite verjetnost vseh možnih vsot na obeh straneh, ki izpadejo.

Rešitev

Za lažje reševanje težave si predstavljajte, da je ena kocka bela, druga pa črna. Z vsako od šestih strani bele kocke in ena od šestih strani črne kocke lahko pade tudi, tako da bodo vsi možni pari.

Ker je možnost pojava obrazov na ločeni kocki enaka (kocke pravilne geometrijske oblike!), potem bo verjetnost videza vsakega para obrazov enaka, poleg tega pa bo zaradi metanja le eden od parov pade ven. Vrednosti dogodkov so nezdružljive, edinstvene. To so primeri in možnih je 36 primerov.

Zdaj razmislite o možnosti vrednosti vsote na obrazih. Očitno je najmanjša vsota 1 + 1 = 2, največja pa 6 + 6 = 12. Preostali del vsote se poveča za eno, začenši z drugo. Označimo dogodke, katerih indeksi so enaki vsoti točk, ki so padle na ploskve kocke. Za vsak od teh dogodkov zapišemo ugodne primere z zapisom , kjer je vsota, so točke na zgornji strani bele kocke in so točke na strani črne kocke.

Torej za dogodek:

za – en primer (1 + 1);

za – dva primera (1 + 2; 2 + 1);

za – tri primere (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

za – štiri primere (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

za – pet primerov (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

za – šest primerov (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

za – pet primerov (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

za – štiri primere (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

za – tri primere (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

za – dva primera (5 + 6; 6 + 5);

za – en primer (6 + 6).

Torej so verjetnosti:

Odgovori

Primer 5

Naloga

Pred festivalom so bili trije udeleženci ponujeni za žreb: vsak od udeležencev se po vrsti približa vedru in naključno izbere eno od treh kart s številkami 1, 2 in 3, kar pomeni zaporedno številko nastopa tega udeleženca.

Poiščite verjetnost takšnih dogodkov:

1) - serijska številka v čakalni vrsti sovpada s številko kartice, to je serijsko številko predstave;

2) - nobena številka v čakalni vrsti se ne ujema s številko izvedbe;

3) - samo ena od številk v čakalni vrsti se ujema s številko uspešnosti;

4) – vsaj ena od številk v čakalni vrsti se ujema s številko izvedbe.

Rešitev

Možni rezultati izbire kart so permutacije treh elementov, število takih permutacij je enako . Vsaka permutacija je dogodek. Označimo te dogodke kot . Vsakemu dogodku v oklepaju dodelimo ustrezno permutacijo:

; ; ; ; ; .

Našteti dogodki so enako možni in enotni, to so primeri. Označimo takole: (1h, 2h, 3h) - ustrezne številke v čakalni vrsti.

Začnimo z dogodkom. Ugoden je le en primer, torej:

Za dogodek sta ugodna dva primera in torej:

Dogodek olajšajo 3 primeri: , torej:

Poleg , dogodek prispeva tudi k , to je:

Odgovori

Verjetnost dogodka je .

Verjetnost dogodka je .

Verjetnost dogodka je .

Verjetnost dogodka je .

Klasična definicija verjetnosti - teorija in reševanje problemov posodobil: 15. september 2017 avtor: Znanstveni članki.Ru

RUSKA AKADEMIJA NARODNEGA GOSPODARSTVA IN JAVNE SLUŽBE POD PREDSEDNIKOM RUSKE FEDERACIJE

PODRUŽNICA OREL

Oddelek za sociologijo in informacijske tehnologije

Tipičen izračun št. 1

v disciplini "Teorija verjetnosti in matematična statistika"

na temo "Osnove teorije verjetnosti"

Orel - 2016.

Cilj: utrjevanje teoretičnega znanja na temo temeljev teorije verjetnosti, z reševanjem tipičnih problemov. Obvladovanje konceptov glavnih vrst naključnih dogodkov in razvijanje veščin algebraičnih operacij nad dogodki.

Zahteve za oddajo zaposlitve: delo je opravljeno v rokopisni obliki, delo mora vsebovati vsa potrebna pojasnila in zaključke, formule morajo vsebovati dekodiranje sprejetih oznak, strani morajo biti oštevilčene.

Številka različice ustreza serijski številki študenta na seznamu skupin.

Osnovne teoretične informacije

Teorija verjetnosti- veja matematike, ki proučuje vzorce naključnih pojavov.

Koncept dogodka. Razvrstitev dogodkov.

Eden od osnovnih konceptov teorije verjetnosti je koncept dogodka. Dogodki so označeni z velikimi latiničnimi črkami. AMPAK, IN, IZ,…

Dogodek- to je možen rezultat (izid) testa ali izkušnje.

Testiranje se razume kot vsako namensko dejanje.

Primer : Strelec strelja v tarčo. Strel je preizkus, zadeti tarčo je dogodek.

Dogodek se imenuje naključen , če se v pogojih danega poskusa lahko pojavi in ​​ne.

Primer : Strel iz pištole - preizkus

Inc. AMPAK- zadeti tarčo

Inc. IN– zgrešiti – naključni dogodki.

Dogodek se imenuje zanesljiv če se mora zaradi testa nujno pojaviti.

Primer : pri metanju kocke ne izpustite več kot 6 točk.

Dogodek se imenuje nemogoče če se v pogojih danega poskusa sploh ne more zgoditi.

Primer : Več kot 6 točk vrženih pri metanju kocke.

Dogodki se imenujejo nezdružljivo če pojav enega od njih izključuje pojav katerega koli drugega. V nasprotnem primeru se dogodki imenujejo skupni.

Primer : Kocka je vržena. Metek 5 izloči metek 6. To so nezdružljivi dogodki. Študent, ki dobi oceno »dobro« in »odlično« na izpitih iz dveh različnih disciplin, je skupen dogodek.

Imenujeta se dva nezdružljiva dogodka, od katerih se eden nujno zgodi nasprotno . Dogodek nasproti dogodku AMPAK določiti Ā .

Primer : Pojav "grba" in pojav "repov" pri metanju kovanca sta nasprotna dogodka.

V tej izkušnji se imenuje več dogodkov enako možno če obstaja razlog za domnevo, da nobeden od teh dogodkov ni bolj možen od drugih.

Primer : vlečenje asa, desetic, dam iz kroga kart - dogodki so enako verjetni.

Oblikuje se več dogodkov polna skupina če se mora zaradi testa nujno zgoditi en in samo en od teh dogodkov.

Primer : pri metanju kocke se zmanjša število točk 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Klasična definicija verjetnosti dogodka. Lastnosti verjetnosti

Za praktične dejavnosti pomembno je, da lahko dogodke primerjamo glede na stopnjo možnosti njihovega nastopa.

Verjetnost Dogodek je številčno merilo stopnje objektivne možnosti, da se dogodek zgodi.

pokličimo elementarni izid vsakega od enako verjetnih rezultatov testa.

Eksodus se imenuje ugodno (ugoden) dogodek AMPAK, če njen pojav pomeni nastanek dogodka AMPAK.

Klasična definicija : verjetnost dogodka AMPAK je enako razmerju med številom ugodnih izidov za določen dogodek in skupnim številom možnih izidov.

(1) kje P(A) je verjetnost dogodka AMPAK,

m- število ugodnih izidov,

n je število vseh možnih izidov.

Primer : V loteriji je 1000 listkov, od tega 700 ne dobitnih. Kakšna je verjetnost za zmago na eno kupljeno vstopnico.

Dogodek AMPAK- kupili zmagovalni list

Število možnih izidov n=1000 je skupno število srečk.

Število izidov, ki dajejo prednost dogodku AMPAK je število zmagovalnih listkov, tj. m=1000-700=300.

Po klasični definiciji verjetnosti:

odgovor:
.

Opomba lastnosti verjetnosti dogodka:

1) Verjetnost katerega koli dogodka je med nič in ena, tj. 0≤ P(A)≤1.

2) Verjetnost določenega dogodka je 1.

3) Verjetnost nemogočega dogodka je 0.

Poleg klasičnih obstajajo še geometrijske in statistične definicije verjetnosti.

Elementi kombinatorike.

Kombinatorične formule se pogosto uporabljajo za izračun števila izidov, ki so ugodni za zadevni dogodek, ali skupnega števila izidov.

Naj bo komplet N od n različni elementi.

1. opredelitev: Kombinacije, od katerih vsaka vključuje vse n se imenujejo elementi in se med seboj razlikujejo le po vrstnem redu elementov permutacije od n elementov.

P n=n! (2), kjer n! (n-faktorski) - izdelek n prve številke naravnega niza, t.j.

n! = 1∙2∙3∙…∙(n–1)∙n

Torej, na primer, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

2. opredelitev: m elementi ( m≤n) in se med seboj razlikujejo bodisi po sestavi elementov bodisi po njihovem vrstnem redu umestitve od n na m elementov.

(3) 
3. opredelitev: Kombinacije, od katerih vsaka vsebuje m elementi ( m≤n) in se med seboj razlikujejo le po sestavi elementov se imenujejo kombinacije od n na m elementov.


(4)
Komentar: sprememba vrstnega reda elementov v isti kombinaciji ne povzroči nove kombinacije.

Oblikujemo dve pomembni pravili, ki se pogosto uporabljata pri reševanju kombinatornih problemov

Pravilo vsote: če je predmet AMPAK je mogoče izbrati m načinov in predmeta IN – n načinov, potem je izbira eno ali drugo AMPAK oz IN je lahko narejeno m+n načine.

Pravilo izdelka: če je predmet AMPAK je mogoče izbrati m načinov in predmeta IN po vsaki takšni izbiri se lahko izbira n načinov, nato pa par predmetov AMPAK in IN lahko izberete v tem vrstnem redu. m ∙ n načine.

1. Izjava glavnih izrekov in verjetnostnih formul: izrek seštevanja, pogojna verjetnost, izrek množenja, neodvisnost dogodkov, formula skupne verjetnosti.

Cilji: ustvarjanje ugodnih pogojev za uvedbo koncepta verjetnosti dogodka; poznavanje osnovnih izrekov in formul teorije verjetnosti; vnesite formulo skupne verjetnosti.

Napredek lekcije:

Naključni poskus (eksperiment) je proces, v katerem so možni različni izidi in je nemogoče vnaprej predvideti, kakšen bo rezultat. Možni medsebojno izključujoči se izidi izkušnje imenujemo njeni osnovni dogodki . Nabor osnovnih dogodkov bo označen z W.

naključni dogodek se imenuje dogodek, o katerem je nemogoče vnaprej reči, ali se bo zgodil kot posledica izkušenj ali ne. Vsak naključni dogodek A, ki se je zgodil kot rezultat poskusa, je mogoče povezati s skupino elementarnih dogodkov iz W. Elementarni dogodki, ki sestavljajo to skupino, se imenujejo ugodno za nastanek dogodka A.

Množico W lahko obravnavamo tudi kot naključni dogodek. Ker vključuje vse osnovne dogodke, se bo nujno zgodil kot posledica izkušenj. Tak dogodek se imenuje zanesljiv .

Če za dani dogodek ni ugodnih elementarnih dogodkov iz W, potem ne more nastati kot rezultat poskusa. Tak dogodek se imenuje nemogoče.

Dogodki se imenujejo enako možno če je rezultat testa enaka možnost za nastanek teh dogodkov. Klicana sta dva naključna dogodka nasprotno če se kot rezultat poskusa pojavi eden od njih, če in samo če se drugi ne pojavi. Dogodek nasproti dogodku A je označen z .

Dogodka A in B se imenujeta nezdružljivo če pojav enega od njih izključuje pojav drugega. Dogodki A 1 , A 2 , ..., A n se imenujejo parno nezdružljivo, če sta katera koli dva nezdružljiva. Dogodki A 1 , A 2 , ..., Obrazec popoln sistem parno nezdružljivi dogodki če se zaradi testa zagotovo pojavi eden in samo eden od njih.

Vsota (kombinacija) dogodkov A 1 , A 2 , ..., A n se imenuje tak dogodek C, ki je sestavljen iz dejstva, da se je zgodil vsaj eden od dogodkov A 1 , A 2 , ..., A n Vsota dogodkov je označeno kot sledi:

C \u003d A 1 + A 2 + ... + A n.

Produkt (presečišče) dogodkov A 1 , A 2 , ..., A n se imenuje tak dogodek P, ki je sestavljen iz dejstva, da so se vsi dogodki A 1 , A 2 , ..., A n zgodili hkrati. Označen je produkt dogodkov

Verjetnost P(A) v teoriji verjetnosti deluje kot numerična značilnost stopnje možnosti pojava katerega koli določenega naključnega dogodka A z večkratnim ponavljanjem testov.



Na primer, pri 1000 metih kocke se številka 4 pojavi 160-krat. Razmerje 160/1000 = 0,16 kaže relativno pogostost izpada števila 4 v tej seriji testov. Bolj splošno pogostost naključnih dogodkov In pri izvajanju serije poskusov imenujejo razmerje med številom poskusov, v katerih se je zgodil določen dogodek, in skupnim številom poskusov:

kjer je P*(A) frekvenca dogodka A; m je število poskusov, v katerih se je zgodil dogodek A; n je skupno število poskusov.

Verjetnost naključnega dogodka A se imenuje konstantno število, okoli katerega so frekvence danega dogodka združene, ko se število poskusov povečuje ( statistično določanje verjetnosti dogodka ). Verjetnost naključnega dogodka je označena s P(A).

Seveda nihče nikoli ne bo mogel narediti neomejenega števila testov, da bi določil verjetnost. Za to ni potrebe. V praksi lahko verjetnost vzamemo kot pogostost dogodka z velikim številom poskusov. Tako je na primer iz statističnih vzorcev rojstva, ugotovljenih v večletnem opazovanju, verjetnost dogodka, da bo novorojenček fantek, ocenjena na 0,515.

Če med testom ni razlogov, zaradi katerih bi se en naključni dogodek zgodil pogosteje kot drugi ( enako verjetni dogodki), lahko določimo verjetnost na podlagi teoretičnih premislekov. Ugotovimo na primer v primeru metanja kovanca pogostost izpadanja grba (dogodek A). Različni eksperimentatorji so v več tisoč poskusih pokazali, da je relativna pogostost takšnega dogodka vrednosti blizu 0,5. glede na to, da sta videz grba in nasprotna stran kovanca (dogodek B) enako verjetna dogodka, če je kovanec simetričen, je mogoče presoditi P(A)=P(B)=0,5 brez določanja pogostosti teh dogodkov. Na podlagi koncepta "enake verjetnosti" dogodkov je oblikovana druga definicija verjetnosti.

Naj se obravnavani dogodek A zgodi v m primerih, ki se imenujejo ugodni za A, in se ne zgodi v preostalih n-m, neugodnih za A.

Potem je verjetnost dogodka A enaka razmerju med številom elementarnih dogodkov, ki so zanj ugodni, in njihovim skupnim številom(klasična definicija verjetnosti dogodka):

kjer je m število elementarnih dogodkov, ki dajejo prednost dogodku A; n - Skupno število elementarnih dogodkov.

Poglejmo si nekaj primerov:

Primer #1:Urna vsebuje 40 kroglic: 10 črnih in 30 belih. Poišči verjetnost, da je naključno izbrana žogica črna.

Število ugodnih primerov je enako številu črnih kroglic v žari: m = 10. Skupno število enako verjetnih dogodkov (odvzem ene kroglice) je enako skupnemu številu kroglic v žari: n = 40. Ti dogodki so nezdružljivi, saj se izvleče ena in samo ena žogica. P(A) = 10/40 = 0,25

Primer #2:Poiščite verjetnost, da dobite sodo število, ko mečete kocko.

Pri metanju kocke se uresniči šest enako možnih nezdružljivih dogodkov: pojav ene števke: 1,2,3,4,5 ali 6, t.j. n = 6. Ugodni primeri so izguba enega od številk 2,4 ali 6: m = 3. Želena verjetnost P(A) = m/N = 3/6 = ½.

Kot lahko vidimo iz definicije verjetnosti dogodka, za vse dogodke

0 < Р(А) < 1.

Očitno je verjetnost določenega dogodka 1, verjetnost nemogočega dogodka pa 0.

Izrek o seštevanju verjetnosti: verjetnost pojava enega (ne glede na kakšen) dogodka iz več nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti njihovih verjetnosti.

Za dva nezdružljiva dogodka A in B je verjetnosti teh dogodkov enaka vsoti njunih verjetnosti:

P(A ali B)=P(A) + P(B).

Primer #3:Poiščite verjetnost, da dobite 1 ali 6, ko mečete kocko.

Dogodek A (roll 1) in B (roll 6) sta enako verjetna: P(A) = P(B) = 1/6, torej P(A ali B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Seštevanje verjetnosti ne velja samo za dva, ampak tudi za poljubno število nezdružljivih dogodkov.

Primer #4:Urna vsebuje 50 kroglic: 10 belih, 20 črnih, 5 rdečih in 15 modrih. Poišči verjetnost, da se bela, črna ali rdeča krogla pojavi pri eni sami operaciji odstranitve žoge iz žare.

Verjetnost vlečenja bele krogle (dogodek A) je P(A) = 10/50 = 1/5, črne krogle (dogodek B) je P(B) = 20/50 = 2/5 in rdeče krogle ( dogodek C) je P (C) = 5/50 = 1/10. Od tu po formuli za seštevanje verjetnosti dobimo P (A ali B ali C) \u003d P (A) + P (B) \u003d P (C) \u003d 1/5 + 2/5 + 1/ 10 \u003d 7/10

Vsota verjetnosti dveh nasprotnih dogodkov, kot izhaja iz izreka o seštevanju verjetnosti, je enaka ena:

P(A) + P() = 1

V zgornjem primeru bo odvzem bele, črne in rdeče kroglice dogodek A 1 , P(A 1) = 7/10. Nasprotni dogodek od 1 je vlečenje modre kroglice. Ker je modrih kroglic 15 in skupni znesek 50 kroglic, potem dobimo P(1) = 15/50 = 3/10 in P(A) + P() = 7/10 + 3/10 = 1.

Če dogodki А 1 , А 2 , ..., А n tvorijo popoln sistem parno nezdružljivih dogodkov, je vsota njihovih verjetnosti enaka 1.

Na splošno se verjetnost vsote dveh dogodkov A in B izračuna kot

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB).

Teorem množenja verjetnosti:

Dogodka A in B se imenujeta neodvisna Če verjetnost nastanka dogodka A ni odvisna od tega, ali se je dogodek B zgodil ali ne, in obratno, verjetnost pojava dogodka B ni odvisna od tega, ali se je dogodek A zgodil ali ne.

Verjetnost skupnega nastopa neodvisnih dogodkov je enaka zmnožku njihovih verjetnosti. Za dva dogodka P(A in B)=P(A) P(B).

Primer: Ena žara vsebuje 5 črnih in 10 belih kroglic, druga 3 črne in 17 belih. Poišči verjetnost, da bosta ob prvem vlečenju kroglic iz vsake žare obe žogici črni.

Rešitev: verjetnost, da iz prve žare potegnemo črno kroglo (dogodek A) - P(A) = 5/15 = 1/3, črno kroglo iz druge žare (dogodek B) - P(B) = 3/ 20

P (A in B) \u003d P (A) P (B) \u003d (1/3) (3/20) \u003d 3/60 \u003d 1/20.

V praksi je verjetnost dogodka B pogosto odvisna od tega, ali se je zgodil kakšen drug dogodek A ali ne. V tem primeru se govori o pogojna verjetnost , tj. verjetnost dogodka B glede na to, da se je zgodil dogodek A. Pogojno verjetnost označimo s P(B/A).

Kratka teorija

Za kvantitativno primerjavo dogodkov glede na stopnjo možnosti njihovega nastopa je uvedena številčna mera, ki se imenuje verjetnost dogodka. Verjetnost naključnega dogodka imenuje se število, ki je izraz mere objektivne možnosti nastanka dogodka.

Vrednosti, ki določajo, kako pomembne so objektivne podlage za računanje na nastanek dogodka, so označene z verjetnostjo dogodka. Poudariti je treba, da je verjetnost objektivna količina, ki obstaja neodvisno od spoznavca in je pogojena s celoto pogojev, ki prispevajo k nastanku dogodka.

Razlage, ki smo jih dali pojmu verjetnosti, niso matematična definicija, saj tega pojma ne opredeljujejo kvantitativno. Obstaja več definicij verjetnosti naključnega dogodka, ki se pogosto uporabljajo pri reševanju specifičnih problemov (klasična, geometrijska definicija verjetnosti, statistična itd.).

Klasična definicija verjetnosti dogodka ta koncept reducira na bolj elementarni koncept enako verjetnih dogodkov, ki ni več predmet definicije in se predpostavlja, da je intuitivno jasen. Na primer, če je kocka homogena kocka, bo izpad katere koli ploskve te kocke enako verjeten dogodek.

Določen dogodek naj razdelimo na enako verjetne primere, katerih vsota daje dogodek. To pomeni, da se primeri iz , v katere se razpade, imenujejo ugodni za dogodek, saj nastop enega od njih zagotavlja ofenzivo.

Verjetnost dogodka bo označena s simbolom .

Verjetnost dogodka je enaka razmerju med številom zanj ugodnih primerov od skupnega števila edinstvenih, enako možnih in nezdružljivih primerov s številom, t.j.

To je klasična definicija verjetnosti. Torej, da bi našli verjetnost dogodka, je treba po preučitvi različnih izidov testa najti nabor edinih možnih, enako možnih in nezdružljivih primerov, izračunati njihovo skupno število n, število primerov m, ki dajejo prednost temu dogodku, in nato opravite izračun po zgornji formuli.

Verjetnost dogodka, ki je enaka razmerju med številom izidov izkušenj, ugodnih za dogodek, in skupnim številom izidov izkušenj se imenuje klasična verjetnost naključni dogodek.

Iz definicije izhajajo naslednje lastnosti verjetnosti:

Lastnost 1. Verjetnost določenega dogodka je enaka ena.

Lastnost 2. Verjetnost nemogočega dogodka je nič.

Lastnost 3. Verjetnost naključnega dogodka je pozitivno število med nič in eno.

Lastnost 4. Verjetnost pojava dogodkov, ki tvorijo popolno skupino, je enaka ena.

Lastnost 5. Verjetnost nastopa nasprotnega dogodka je opredeljena na enak način kot verjetnost pojava dogodka A.

Število dogodkov, ki podpirajo pojav nasprotnega dogodka. Zato je verjetnost, da se zgodi nasprotni dogodek, enaka razliki med 1 in verjetnostjo, da se zgodi dogodek A:

Pomembna prednost klasične definicije verjetnosti dogodka je, da je z njeno pomočjo mogoče določiti verjetnost dogodka brez uporabe izkušenj, temveč na podlagi logičnega sklepanja.

Ko je izpolnjen niz pogojev, se bo določen dogodek zagotovo zgodil, nemogoče pa se zagotovo ne bo zgodilo. Med dogodki, ki se ob ustvarjanju kompleksa pogojev lahko zgodijo ali pa tudi ne, je na pojav enih mogoče računati z več razlogom, na pojav drugih z manj. Če je na primer v žari več belih kroglic kot črnih, potem obstaja več razlogov za upanje na pojav bele krogle, ko jo naključno vzamemo iz žare, kot pa na pojav črne krogle.

Videno na naslednji strani.

Primer rešitve problema

Primer 1

Škatla vsebuje 8 belih, 4 črne in 7 rdečih kroglic. Naključno se izžrebajo 3 kroglice. Poišči verjetnosti naslednjih dogodkov: - izvlečena je vsaj 1 rdeča krogla, - sta vsaj 2 krogli enake barve, - vsaj 1 rdeča in 1 bela kroglica.

Rešitev problema

Skupno število rezultatov testa najdemo kot število kombinacij 19 (8 + 4 + 7) elementov po 3:

Poiščite verjetnost dogodka– izvlečena najmanj 1 rdeča žogica (1,2 ali 3 rdeče žogice)

Zahtevana verjetnost:

Naj dogodek– obstajata vsaj 2 žogici enake barve (2 ali 3 bele kroglice, 2 ali 3 črne kroglice in 2 ali 3 rdeče kroglice)

Število izidov, ki dajejo prednost dogodku:

Zahtevana verjetnost:

Naj dogodek– obstaja vsaj ena rdeča in ena bela kroglica

(1 rdeča, 1 bela, 1 črna ali 1 rdeča, 2 bela ali 2 rdeča, 1 bela)

Število izidov, ki dajejo prednost dogodku:

Zahtevana verjetnost:

odgovor: P(A)=0,773; P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Primer 2

Vržeta se dve kocki. Poiščite verjetnost, da je vsota točk najmanj 5.

Rešitev

Naj bo dogodek vsota točk najmanj 5

Uporabimo klasično definicijo verjetnosti:

Skupno število možnih izidov poskusa

Število poskusov, ki dajejo prednost dogodku, ki nas zanima

Na izpadli strani prve kocke se lahko pojavi ena točka, dve točki ..., šest točk. podobno je pri drugem metu kocke možnih šest izidov. Vsak od rezultatov prve kocke je mogoče kombinirati z vsakim izidom druge. Tako je skupno število možnih elementarnih izidov testa enako številu umestitev s ponovitvami (izbor z umestitvami 2 elementov iz niza obsega 6):

Poiščite verjetnost nasprotnega dogodka - vsota točk je manjša od 5

Naslednje kombinacije izgubljenih točk bodo dale prednost dogodku:

№ 1. kost 2. kost 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 3 1 5 1 3

srednje strošek rešitve nadzorno delo 700 - 1200 rubljev (vendar ne manj kot 300 rubljev za celotno naročilo). Na ceno močno vpliva nujnost odločitve (od dni do nekaj ur). Stroški spletne pomoči pri izpitu / testu - od 1000 rubljev. za rešitev vstopnice.

Aplikacijo lahko pustite neposredno v klepetu, predhodno zavržete pogoj nalog in vas obvestimo o rokih za njeno rešitev. Odzivni čas je nekaj minut.

Verjetnost je eden od osnovnih konceptov teorije verjetnosti. Obstaja več definicij tega koncepta. Dajmo definicijo, ki se imenuje klasična.

Verjetnost dogodek je razmerje med številom elementarnih izidov, ki dajejo prednost določenemu dogodku, in številom vseh enako možnih izidov izkušenj, v katerih se ta dogodek lahko pojavi.

Verjetnost dogodka A je označena z P(A)(tukaj R- prva črka francoske besede verjetnost- verjetnost).

Po definiciji

kjer je število osnovnih rezultatov testa, ki dajejo prednost videzu dogodka;

Skupno število možnih elementarnih izidov preskušanja.

Ta definicija verjetnosti se imenuje klasična. Nastalo je na začetna faza razvoj teorije verjetnosti.

Število se pogosto imenuje relativna pogostost pojavljanja dogodka. AMPAK v izkušnjah.

Večja kot je verjetnost dogodka, pogosteje se zgodi, in obratno, manjša kot je verjetnost dogodka, manj pogosto se zgodi. Ko je verjetnost dogodka blizu ena ali enaka eni, se pojavi v skoraj vseh poskusih. Tak dogodek naj bi bil skoraj gotovo, se pravi, da se na njeno ofenzivo zagotovo lahko zanese.

Nasprotno, ko je verjetnost nič ali zelo majhna, se dogodek zgodi izjemno redko; tak dogodek naj bi bil skoraj nemogoče.

Včasih je verjetnost izražena v odstotkih: R(A) 100 % je povprečni odstotek števila pojavov dogodka A.

Primer 2.13. Pri klicanju telefonske številke je naročnik pozabil eno številko in jo naključno poklical. Poiščite verjetnost, da je izbrana želena številka.

Rešitev.

Označi z AMPAK dogodek - "zahtevana številka je poklicana".

Naročnik lahko izbere katero koli od 10 števk, tako da je skupno število možnih elementarnih izidov 10. Ti izidi so nezdružljivi, enako možni in tvorijo popolno skupino. Naklonjen dogodku AMPAK samo en izid (zahtevano število je samo en).

Želena verjetnost je enaka razmerju med številom izidov, ki dajejo prednost dogodku, in številom vseh elementarnih izidov:

Klasična formula verjetnosti zagotavlja zelo preprost način za izračun verjetnosti, ki ne zahteva eksperimentiranja. Vendar pa je preprostost te formule zelo zavajajoča. Dejstvo je, da se pri njegovi uporabi praviloma pojavita dve zelo težki vprašanji:

1. Kako izbrati sistem izidov izkušenj, da bodo enako verjetni, in ali je to sploh mogoče?

2. Kako najti številke m in n?

Če je v poskus vključenih več subjektov, ni vedno lahko videti enako verjetnih rezultatov.

Veliki francoski filozof in matematik d'Alembert se je v zgodovino teorije verjetnosti vpisal s svojo znamenito napako, katere bistvo je bilo, da je napačno določil enakoverjetnost izidov v poskusu le z dvema kovancema!

Primer 2.14. ( d'Alembertova napaka). Vržeta se dva enaka kovanca. Kolikšna je verjetnost, da padejo na isto stran?

d'Alembertova rešitev.

Izkušnje imajo tri enako možne izide:

1. Oba kovanca bosta padla na "orla";

2. Oba kovanca bosta padla na "repke";

3. Eden od kovancev bo pristal na glavi, drugi na repu.

Pravilna rešitev.

Izkušnje imajo štiri enako možne izide:

1. Prvi kovanec bo padel na »orla«, drugi tudi na »orla«;

2. Prvi kovanec bo padel na "repe", drugi bo padel tudi na "repe";

3. Prvi kovanec bo pristal na glavi, drugi pa na repu;

4. Prvi kovanec bo pristal na repu, drugi pa na glavi.

Od tega bosta dva izida ugodna za naš dogodek, zato je želena verjetnost enaka .

d'Alembert je naredil eno najpogostejših napak pri izračunu verjetnosti: dva elementarna izida je združil v enega, s čimer je bil verjetnost neenake s preostalimi izidi poskusa.