Za pomocą których przeprowadzane jest planowanie finansowe. Planowanie finansów

Przeanalizujmy klasyczną definicję prawdopodobieństwa za pomocą wzorów i przykładów.

Zdarzenia losowe nazywają się niekompatybilny jeśli nie mogą się zdarzyć w tym samym czasie. Na przykład, gdy rzucimy monetą, wypadnie jedna rzecz - „herb” lub numer „i nie mogą pojawić się jednocześnie, ponieważ logiczne jest, że jest to niemożliwe. Zdarzenia takie jak trafienie i chybienie po oddaniu strzału mogą być niespójne.

Zdarzenia losowe o skończonej formie zbioru pełna grupa parami niezgodne zdarzenia, jeśli w każdym teście pojawia się jedno i tylko jedno z tych zdarzeń jest jedynym możliwym.

Rozważ ten sam przykład rzucania monetą:

Pierwsza moneta Druga moneta wydarzenia

1) „herb” „herb”

2) „herb” „numer”

3) „numer” „herb”

4) „liczba” „liczba”

Lub w formie skróconej - "YY", - "ГЧ", - "ЧГ", - "ЧЧ".

Wydarzenia nazywane są równie możliwe, jeżeli warunki badania dają taką samą możliwość wystąpienia każdego z nich.

Jak możesz sobie wyobrazić, gdy rzucisz symetryczną monetą, to ma ona takie same możliwości i jest szansa, że ​​wypadnie zarówno „godło”, jak i „cyfra”. To samo dotyczy rzucania symetryczną kostką, ponieważ istnieje możliwość, że pojawią się twarze o dowolnej liczbie 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Załóżmy, że teraz rzucamy sześcianem z przesunięciem środka ciężkości, na przykład w kierunku twarzy o numerze 1, wtedy najczęściej wypadnie przeciwna ściana, czyli twarz o innym numerze. Zatem w tym modelu możliwości występowania dla każdej z cyfr od 1 do 6 będą różne.

Równie możliwe i tylko możliwe zdarzenia losowe nazywane są przypadkami.

Są zdarzenia losowe, które są przypadkowe i są zdarzenia losowe, które nie są przypadkowe. Poniżej znajdują się przykłady tych wydarzeń.

Te przypadki, w wyniku których następuje zdarzenie losowe, nazywane są przypadkami korzystnymi dla tego zdarzenia.

Jeżeli oznaczymy przez jaki wpływ na zdarzenie we wszystkich możliwych przypadkach, a przez - prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, to możemy zapisać dobrze znaną klasyczną definicję prawdopodobieństwa:

Definicja

Prawdopodobieństwo zdarzenia nazywamy stosunkiem liczby przypadków korzystnych dla tego zdarzenia do łącznej liczby wszystkich możliwych przypadków, czyli:

Właściwości prawdopodobieństwa

Rozważono klasyczne prawdopodobieństwo, a teraz przeanalizujemy główne i ważne właściwości prawdopodobieństwa.

Właściwość 1. Prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia jest równe jeden.

Na przykład, jeśli wszystkie kule w wiadrze są białe, to na zdarzenie losowo wybraną białą kulę będą miały wpływ przypadki.

Właściwość 2. Prawdopodobieństwo niemożliwego zdarzenia wynosi zero.

Właściwość 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest liczbą dodatnią:

Oznacza to, że prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia spełnia nierówność:

Rozwiążmy teraz kilka przykładów klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Przykłady klasycznej definicji prawdopodobieństwa

Przykład 1

Zadanie

W koszu znajduje się 20 bil, z których 10 jest białych, 7 czerwonych i 3 czarnych. Jedna piłka jest wybierana losowo. Wybrano białą bilę (wydarzenie), czerwoną (wydarzenie) i czarną (wydarzenie). Znajdź prawdopodobieństwo zdarzeń losowych.

Rozwiązanie

W zależności od stanu problemu przyczyniają się, a przypadki są możliwe, a zatem zgodnie ze wzorem (1):

Czy prawdopodobieństwo białej bili.

Podobnie dla czerwonego:

A dla czarnego:.

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego ,,.

Przykład 2

Zadanie

Pudełko zawiera 25 identycznych żarówek, z czego 2 są uszkodzone. Znajdź prawdopodobieństwo, że wybrana losowo żarówka nie jest uszkodzona.

Rozwiązanie

Zgodnie ze stanem problemu wszystkie lampy są takie same i wybrana jest tylko jedna. Wszystkie możliwości do wyboru. Spośród wszystkich 25 lamp dwie są wadliwe, co oznacza, że ​​pozostałe lampy nadają się do użytku. Zatem zgodnie ze wzorem (1) prawdopodobieństwo wyboru odpowiedniej żarówki (zdarzenia) wynosi:

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana żarówka nie jest uszkodzona =.

Przykład 3

Zadanie

Losowo rzuca się dwie monety. Znajdź prawdopodobieństwo takich zdarzeń:

1) - na obu monetach znajdował się herb;

2) - na jednej z monet padł herb, a na drugiej numer;

3) - numery wyrzucone na obu monetach;

4) - herb wypadł co najmniej raz.

Rozwiązanie

Tutaj mamy do czynienia z czterema wydarzeniami. Ustalmy, które przypadki przyczyniają się do każdego z nich. Imprezę ułatwia jeden przypadek, kiedy herb padł na obie monety (w skrócie „ГГ”).

Aby zrozumieć to wydarzenie, wyobraź sobie, że jedna moneta jest srebrna, a druga miedziana. Podczas rzucania monetami mogą wystąpić przypadki:

1) na srebrnym herbie, na miedzianym - liczba (oznaczamy - "ГЧ");

2) na srebrnym numerze, na miedzianym - herbie (- "ChG").

Oznacza to, że wydarzenie jest ułatwione przez przypadki i.

Imprezę ułatwia jeden przypadek: na obu monetach wypadły cyfry - "HH".

Tak więc zdarzenia lub (YY, RG, CH, CH) tworzą kompletną grupę zdarzeń, wszystkie te zdarzenia są niezgodne, ponieważ tylko jedno z nich występuje w wyniku rzutu. Ponadto w przypadku monet symetrycznych wszystkie cztery zdarzenia są jednakowo możliwe, więc można je uznać za przypadki. Istnieją cztery możliwe zdarzenia.

Tylko jedno zdarzenie przyczynia się do zdarzenia, więc jego prawdopodobieństwo jest równe:

Imprezę ułatwiają dwa przypadki, a więc:

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest takie samo jak dla:

Imprezę ułatwiają trzy przypadki: GG, GH, CHG, a więc:

Ponieważ brane są pod uwagę zdarzenia GG, GH, ChG, HH, które są jednakowo możliwe i tworzą kompletną grupę zdarzeń, to pojawienie się któregokolwiek z nich jest zdarzeniem wiarygodnym (oznaczamy to literą, co ułatwiają wszystkie 4 przypadków.W związku z tym prawdopodobieństwo:

Oznacza to, że pierwsza własność prawdopodobieństwa została potwierdzona.

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia.

Przykład 4

Zadanie

Rzucane są dwie kości o tym samym i regularnym kształcie geometrycznym. Znajdź prawdopodobieństwo wypadnięcia wszystkich możliwych sum po obu stronach.

Rozwiązanie

Aby ułatwić rozwiązanie problemu, wyobraź sobie, że jedna kostka jest biała, a druga czarna. Każda z sześciu ścian białego sześcianu może również zawierać jedną z sześciu ścian czarnego sześcianu, więc będą wszystkie możliwe pary.

Skoro możliwość pojawienia się twarzy na osobnym sześcianie jest taka sama (kostki o prawidłowym kształcie geometrycznym!), to możliwość pojawienia się każdej pary twarzy będzie taka sama, ponadto w wyniku rzutu, odpada tylko jedna z par. Znaczenia wydarzeń są nie do pogodzenia, jednorazowe. To są przypadki i ze wszystkich możliwych przypadków - 36.

Rozważmy teraz możliwość wartości sumy na krawędziach. Oczywiście najmniejsza suma to 1 + 1 = 2, a największa to 6 + 6 = 12. Reszta sumy rośnie o jeden, zaczynając od drugiej. Wyznaczmy zdarzenia, których indeksy są równe sumie punktów, które spadły na boki kostki. Dla każdego z tych zdarzeń wypiszemy korzystne przypadki za pomocą notacji, gdzie jest sumą, są punktami na górnej krawędzi białego sześcianu i są punktami na krawędzi czarnego sześcianu.

Tak więc na wydarzenie:

dla - jednego przypadku (1 + 1);

dla - dwóch przypadków (1 + 2; 2 + 1);

dla - trzech przypadków (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

dla - cztery przypadki (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

dla - pięciu przypadków (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

dla - sześciu przypadków (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

dla - pięciu przypadków (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

dla - cztery przypadki (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

dla - trzech przypadków (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

dla - dwóch przypadków (5 + 6; 6 + 5);

za - jeden przypadek (6 + 6).

Zatem wartości prawdopodobieństwa są następujące:

Odpowiedź

Przykład 5

Zadanie

Przed festiwalem trzech uczestników poproszono o losowanie: każdy z uczestników po kolei podchodzi do wiadra i losowo wybiera jedną z trzech kart z cyframi 1, 2 i 3, co oznacza numer seryjny występu tego uczestnika.

Znajdź prawdopodobieństwo takich zdarzeń:

1) - numer seryjny w kolejce pokrywa się z numerem karty, czyli numerem seryjnym spektaklu;

2) - żaden numer w kolejce nie pokrywa się z numerem spektaklu;

3) - tylko jeden z numerów w kolejce pasuje do numeru spektaklu;

4) - przynajmniej jeden z numerów w kolejce będzie pasował do numeru występu.

Rozwiązanie

Możliwymi wynikami doboru kart są permutacje trzech elementów, liczba takich permutacji jest równa. Każda z permutacji jest wydarzeniem. Oznaczmy te wydarzenia wg. Każdemu zdarzeniu przypiszemy odpowiednią permutację w nawiasach:

; ; ; ; ; .

Wymienione zdarzenia są jednakowo możliwe i niepowtarzalne, to znaczy takie są przypadki. Oznaczmy następująco: (1h, 2h, 3h) - odpowiednie liczby w kolejce.

Zacznijmy od wydarzenia. Jest tylko jeden korzystny przypadek, dlatego:

Korzystne dla wydarzenia - dwa przypadki, a co za tym idzie:

Imprezę ułatwiają 3 przypadki: a więc:

Wydarzenie to dodatkowo przyczynia się do tego, że:

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi.

Prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi.

Prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi.

Prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa – teoria i rozwiązywanie problemów aktualizacja: 15 września 2017 r. przez autora: Artykuły naukowe.Ru

ROSYJSKA AKADEMIA GOSPODARKI LUDOWEJ I SŁUŻBY PUBLICZNEJ POD PREZYDENTEM FEDERACJI ROSYJSKIEJ

ODDZIAŁ ORLOW

Katedra Socjologii i Technologie informacyjne

Typowa kalkulacja nr 1

w dyscyplinie „Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna”

na temat „Podstawy teorii prawdopodobieństwa”

Orzeł - 2016.

Cel: utrwalenie wiedzy teoretycznej na temat podstaw rachunku prawdopodobieństwa, poprzez rozwiązywanie typowych problemów. Opanowanie pojęć głównych typów zdarzeń losowych oraz ćwiczenie umiejętności działań algebraicznych na zdarzeniach.

Wymagania dotyczące rejestracji pracy: praca wykonywana jest w formie odręcznej, praca musi zawierać wszystkie niezbędne wyjaśnienia i wnioski, wzory muszą zawierać dekodowanie przyjętych oznaczeń, strony muszą być ponumerowane.

Numer opcji odpowiada kolejnemu numerowi ucznia na liście grupowej.

Podstawowe informacje teoretyczne

Teoria prawdopodobieństwa- dział matematyki zajmujący się badaniem wzorców zjawisk losowych.

Koncepcja imprezy. Klasyfikacja wydarzeń.

Jednym z podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa jest pojęcie zdarzenia. Wydarzenia są oznaczone wielkimi łacińskimi literami A, V, Z,…

Wydarzenie Jest możliwym wynikiem (wynikiem) testu lub eksperymentu.

Przez test rozumie się każde celowe działanie.

Przykład : Strzelec strzela do celu. Strzał to próba, trafienie w cel to wydarzenie.

Wydarzenie nazywa się losowy jeśli w warunkach danego eksperymentu może się to wydarzyć, jak to się nigdy nie wydarzyło.

Przykład : Strzał z karabinu - Wyzwanie

Własny. A- trafienie w cel,

Własny. V- miss - zdarzenia losowe.

Wydarzenie nazywa się wiarygodny jeśli w wyniku testu musi to koniecznie nastąpić.

Przykład : Upadek nie więcej niż 6 punktów podczas rzucania kostką.

Wydarzenie nazywa się niemożliwy jeśli w warunkach danego eksperymentu nie może się to w ogóle wydarzyć.

Przykład : Upadek o więcej niż 6 punktów podczas rzucania kostką.

Wydarzenia nazywane są niespójny jeśli ofensywa jednego z nich wyklucza możliwość wystąpienia innego. W przeciwnym razie wydarzenia nazywane są wspólnymi wydarzeniami.

Przykład : Kości są rzucane. Spadek o 5 punktów wyklucza spadek o 6 punktów. To są zdarzenia niezgodne. Zdanie studenta na egzaminy oznacza ocenę „dobrą” i „doskonałą” w dwóch różnych dyscyplinach - imprezy są wspólne.

Nazywa się dwa niekompatybilne zdarzenia, z których jedno musi koniecznie zajść odwrotny ... Wydarzenie przeciwne do wydarzenia A oznaczać Ā .

Przykład : Pojawienie się „herbu” i „ogonów” podczas rzucania monetą to przeciwne zdarzenia.

Kilka wydarzeń w tym eksperymencie nosi nazwę równie możliwe jeśli istnieją powody, by sądzić, że żadne z tych wydarzeń nie jest bardziej możliwe niż inne.

Przykład : wyciąganie asa, dziesiątki, damy z talii kart - wydarzenia są równie możliwe.

Forma kilku wydarzeń pełna grupa jeśli jedno i tylko jedno z tych zdarzeń musi koniecznie wystąpić w wyniku testu.

Przykład : Wypadnięcie z liczby punktów 1, 2, 3, 4, 5, 6 podczas rzucania kostką.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia. Właściwości prawdopodobieństwa

Do zajęcia praktyczne ważne jest, aby móc porównywać zdarzenia według stopnia prawdopodobieństwa ich wystąpienia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia nazywane miarą liczbową stopnia obiektywnej możliwości wystąpienia zdarzenia.

Zadzwońmy elementarny wynik każdy z równie możliwych wyników testu.

Exodus nazywa się korzystny (korzystne) wydarzenie A jeśli jego pojawienie się pociąga za sobą zajście zdarzenia A.

Klasyczna definicja : prawdopodobieństwo zdarzenia A równa się stosunkowi liczby korzystnych wyników dla danego zdarzenia do łącznej liczby możliwych wyników.

(1) gdzie P(A) Czy prawdopodobieństwo zdarzenia? A,

m- liczba korzystnych wyników,

n- liczba wszystkich możliwych wyników.

Przykład : W loterii jest 1000 losów, z których 700 nie wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania za jeden zakupiony los?

Wydarzenie A- kupiłeś zwycięski bilet

Liczba możliwych wyników n= 1000 to całkowita liczba losów w loterii.

Liczba wyników korzystnych dla wydarzenia A Czy liczba zwycięskich kuponów, tj. m=1000-700=300.

Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa:

Odpowiedź:
.

Notatka właściwości prawdopodobieństwa zdarzeń:

1) Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia wynosi od zera do jednego, tj. 0≤ P(A)≤1.

2) Prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia wynosi 1.

3) Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0.

Oprócz klasycznej, istnieją również geometryczne i statystyczne definicje prawdopodobieństwa.

Elementy kombinatoryczne.

Wzory kombinatoryczne są powszechnie stosowane do obliczania liczby korzystnych wyników dla rozważanego wydarzenia lub łącznej liczby wyników.

Biorąc pod uwagę zestaw n z n różne elementy.

Definicja 1: Kombinacje, z których każda zawiera wszystkie n elementy i które różnią się od siebie tylko w kolejności elementów są nazywane permutacje z n elementy.

P n=n! (2), gdzie n! (n-silnik) - produkt n pierwsze liczby liczb naturalnych, tj.

n! = 1∙2∙3∙…∙(n–1)∙n

Na przykład 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 4 ∙ 5 = 120

Definicja 2: m elementy ( m≤n) i różniące się od siebie składem elementów lub ich kolejnością są nazywane staże z n na m elementy.

(3) 
Definicja 3: Kombinacje, z których każda zawiera m elementy ( m≤n) i różniące się od siebie jedynie składem elementów nazywane są kombinacje z n na m elementy.

(4)
Komentarz: zmiana kolejności elementów w ramach jednej kombinacji nie skutkuje nową kombinacją.

Sformułujmy dwie ważne zasady, które są często stosowane w rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych

Zasada sumy: jeśli obiekt A można wybrać m sposoby i przedmiot V – n sposoby, to wybór jest albo A lub V można przeprowadzić m+n sposoby.

Zasada produktu: jeśli obiekt A można wybrać m sposoby i przedmiot V po każdym takim wyborze możesz wybrać n sposoby, potem kilka przedmiotów A oraz V w określonej kolejności można wybrać m ∙ n sposoby.

1. Zestawienie głównych twierdzeń i wzorów prawdopodobieństw: twierdzenie o dodawaniu, prawdopodobieństwo warunkowe, twierdzenie o mnożeniu, niezależność zdarzeń, wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

Cele: stworzenie sprzyjających warunków do wprowadzenia pojęcia prawdopodobieństwa zdarzenia; znajomość głównych twierdzeń i wzorów rachunku prawdopodobieństwa; wprowadzić wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

Przebieg lekcji:

Eksperyment losowy (doświadczenie) nazywa się procesem, w którym możliwe są różne wyniki i nie można z góry przewidzieć, jaki będzie wynik. Ewentualne wzajemnie wykluczające się skutki doświadczenia nazywane są jego wydarzenia elementarne ... Zbiór zdarzeń elementarnych oznaczamy przez W.

Przez losowe wydarzenie nazywa się wydarzeniem, o którym nie można z góry powiedzieć, czy nastąpi w wyniku doświadczenia, czy nie. Każde zdarzenie losowe A, które nastąpiło w wyniku eksperymentu, można powiązać z grupą zdarzeń elementarnych z W. Zdarzenia elementarne tworzące tę grupę są nazywane sprzyjające zaistnieniu zdarzenia A.

Zestaw W można również postrzegać jako zdarzenie losowe. Ponieważ obejmuje wszystkie zdarzenia elementarne, na pewno stanie się to w wyniku doświadczenia. Takie wydarzenie nazywa się wiarygodny .

Jeżeli nie ma sprzyjających zdarzeń elementarnych z W dla danego zdarzenia, to nie może ono wystąpić w wyniku eksperymentu. Takie wydarzenie nazywa się niemożliwy.

Wydarzenia nazywane są równie możliwe jeśli test wykaże równe szanse wystąpienia tych zdarzeń. Nazywa się dwa zdarzenia losowe odwrotny , jeśli w wyniku eksperymentu jedno z nich wystąpi wtedy i tylko wtedy, gdy drugie nie nastąpi. Wyznaczono zdarzenie przeciwne do zdarzenia A.

Wydarzenia A i B nazywają się niespójny jeśli pojawienie się jednego z nich wyklucza pojawienie się drugiego. Zdarzenia А 1, А 2, ..., А n są nazywane parami niezgodne, jeśli którekolwiek z nich są niespójne. Wydarzenia А 1, А 2, ..., Аw formie kompletny system parami niezgodne zdarzenia jeśli w wyniku testu koniecznie wystąpi jeden i tylko jeden z nich.

Suma (kombinacja) zdarzeńА 1, А 2, ..., А n nazywamy zdarzeniem С, które polega na tym, że wystąpiło co najmniej jedno ze zdarzeń А 1, А 2, ..., А n. Suma zdarzeń wynosi oznaczone następująco:

C = A 1 + A 2 + ... + A n.

Według iloczynu (przecięcia) zdarzeńА 1, А 2, ..., А n nazywamy takim zdarzeniem P, które polega na tym, że wszystkie zdarzenia А 1, А 2, ..., А n wystąpiły jednocześnie. Iloczyn wydarzeń jest wskazywany przez

Prawdopodobieństwo P(A) w teorii prawdopodobieństwa pełni funkcję numeryczną charakterystykę stopnia prawdopodobieństwa wystąpienia określonego zdarzenia losowego A przy wielokrotnych powtórzeniach testów.

Załóżmy, że przy 1000 rzutach kostką liczba 4 wypadnie 160 razy. Stosunek 160/1000 = 0,16 pokazuje względną częstość występowania cyfry 4 w tej serii testów. Bardziej ogólnie częstotliwość zdarzenia losowego A podczas przeprowadzania serii eksperymentów stosunek liczby eksperymentów, w których to zdarzenie miało miejsce, do całkowitej liczby eksperymentów nazywa się:

gdzie Р * (А) - częstotliwość zdarzenia А; m to liczba eksperymentów, w których miało miejsce zdarzenie A; n to całkowita liczba eksperymentów.

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego I nazywają stałą liczbą, wokół której grupowane są częstotliwości danego zdarzenia wraz ze wzrostem liczby eksperymentów ( statystyczne określenie prawdopodobieństwa zdarzenia ). Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego oznaczono przez P (A).

Oczywiście nikt nigdy nie będzie w stanie przeprowadzić nieograniczonej liczby testów w celu określenia prawdopodobieństwa. Nie jest to nawet konieczne. W praktyce prawdopodobieństwo można przyjąć jako częstotliwość zdarzenia z dużą liczbą prób. Na przykład na podstawie statystycznych wzorców urodzeń ustalonych przez wiele lat obserwacji prawdopodobieństwo zdarzenia, że ​​noworodek będzie chłopcem szacuje się na 0,515.

Jeżeli w trakcie testu nie ma powodów, dla których jedno zdarzenie losowe pojawiałoby się częściej niż inne ( równie możliwe wydarzenia), prawdopodobieństwo można określić na podstawie rozważań teoretycznych. Na przykład dowiedzmy się, w przypadku rzutu monetą, częstotliwość spadania herbu (zdarzenie A). różni eksperymentatorzy wykazali w kilku tysiącach testów, że względna częstość takiego zdarzenia przybiera wartości bliskie 0,5. Biorąc pod uwagę, że pojawienie się herbu i przeciwnej strony monety (zdarzenie B) są jednakowo możliwymi zdarzeniami, jeśli moneta jest symetryczna, osąd P (A) = P (B) = 0,5 można by dokonać bez określania częstotliwość tych zdarzeń. Inną definicję prawdopodobieństwa formułuje się na podstawie pojęcia „równych szans” zdarzeń.

Niech rozpatrywane zdarzenie A wystąpi w m przypadkach, które nazywamy korzystnymi dla A, a nie wystąpi w pozostałych n-m, niekorzystnych dla A.

Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby korzystnych zdarzeń elementarnych do ich całkowitej liczby(klasyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia):

gdzie m jest liczbą zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A; n - Całkowita liczba zdarzeń elementarnych.

Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykład 1:W urnie znajduje się 40 kul: 10 czarnych i 30 białych. Znajdź prawdopodobieństwo, że wybrana losowo piłka będzie czarna.

Liczba korzystnych przypadków jest równa liczbie czarnych kul w urnie: m = 10. Całkowita liczba jednakowo możliwych zdarzeń (wyjęcie jednej kuli) jest równa całkowitej liczbie kul w urnie: n = 40. Zdarzenia te są niespójne, ponieważ jedna i tylko jedna piłka zostaje wyjęta. P (A) = 10/40 = 0,25

Przykład nr 2:znajdź prawdopodobieństwo uzyskania liczby parzystej podczas rzucania kostką.

Rzucając kostką, realizuje się sześć równie możliwych niespójnych zdarzeń: pojawienie się jednej liczby: 1,2,3,4,5 lub 6, czyli n = 6. przypadki korzystne to wystąpienie jednej z cyfr 2,4 lub 6: m = 3. pożądane prawdopodobieństwo P (A) = m / N = 3/6 = ½.

Jak widać z definicji prawdopodobieństwa zdarzenia, dla wszystkich zdarzeń

0 < Р(А) < 1.

Oczywiście prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia wynosi 1, prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw: prawdopodobieństwo wystąpienia jednego (niezależnie od jakiego) zdarzenia z kilku niezgodnych zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw.

Dla dwóch niespójnych zdarzeń A i B prawdopodobieństwa tych zdarzeń są równe sumie ich prawdopodobieństw:

P (A lub B) = P (A) + P (B).

Przykład nr 3:znajdź prawdopodobieństwo wypadnięcia 1 lub 6 podczas rzucania kostką.

Zdarzenie A (rzut 1) i B (rzut 6) są jednakowo możliwe: P (A) = P (B) = 1/6, zatem P (A lub B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Dodawanie prawdopodobieństw jest ważne nie tylko dla dwóch, ale także dla dowolnej liczby niespójnych zdarzeń.

Przykład nr 4:urna zawiera 50 kul: 10 białych, 20 czarnych, 5 czerwonych i 15 niebieskich. Znajdź prawdopodobieństwo pojawienia się białej, czarnej lub czerwonej kuli podczas jednej operacji wyjmowania kuli z urny.

Prawdopodobieństwo wyrzucenia bili białej (zdarzenie A) wynosi P (A) = 10/50 = 1/5, bili czarnej (zdarzenie B) wynosi P (B) = 20/50 = 2/5, a kuli czerwonej (zdarzenie C) to P (C) = 5/50 = 1/10. Stąd, używając wzoru na dodawanie prawdopodobieństw, otrzymujemy P (A lub B lub C) = P (A) + P (B) = P (C) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7 /10

Suma prawdopodobieństw dwóch przeciwstawnych zdarzeń, jak wynika z twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństw, jest równa jeden:

P (A) + P () = 1

W powyższym przykładzie wybicie białej, czarnej i czerwonej bili będzie zdarzeniem А 1, Р (А 1) = 7/10. Naprzeciwko zdarzenia 1 jest dotarcie do niebieskiej kuli. Ponieważ jest 15 niebieskich kulek i całkowity kule 50, wtedy otrzymujemy P (1) = 15/50 = 3/10 i P (A) + P () = 7/10 +3/10 = 1.

Jeżeli zdarzenia А 1, А 2, ..., А n tworzą kompletny system zdarzeń niekompatybilnych parami, to suma ich prawdopodobieństw jest równa 1.

W ogólnym przypadku prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń A i B oblicza się jako

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa:

Wydarzenia A i B nazywają się niezależny , jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A nie zależy od tego, czy zdarzenie B miało miejsce, czy nie, i odwrotnie, prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B nie zależy od tego, czy zdarzenie A miało miejsce, czy nie.

Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw... Na dwa wydarzenia P (A i B) = P (A) P (B).

Przykład: W jednej urnie znajduje się 5 czarnych i 10 białych kul, w drugiej 3 czarne i 17 białych kul. Znajdź prawdopodobieństwo, że kiedy kule zostaną po raz pierwszy wyjęte z każdej urny, obie kule okażą się czarne.

Rozwiązanie: prawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej kuli z pierwszej urny (zdarzenie A) – P(A) = 5/15 = 1/3, czarnej kuli z drugiej urny (zdarzenie B) – P(B) = 3 /20

P (A i B) = P (A) P (B) = (1/3) (3/20) = 3/60 = 1/20.

W praktyce prawdopodobieństwo zdarzenia B często zależy od tego, czy zaszło jakieś inne zdarzenie A, czy nie. W tym przypadku mówią o warunkowe prawdopodobieństwo , tj. prawdopodobieństwo zdarzenia B, pod warunkiem, że zdarzenie A miało miejsce. Prawdopodobieństwo warunkowe oznaczono przez P (B / A).

Krótka teoria

W celu ilościowego porównania zdarzeń według stopnia prawdopodobieństwa ich wystąpienia wprowadza się miarę liczbową, którą nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego wywoływana jest liczba, która jest wyrazem miary obiektywnej możliwości zajścia zdarzenia.

Wartości, które określają, jak istotne są obiektywne przesłanki do przewidywania wystąpienia zdarzenia, charakteryzują się prawdopodobieństwem zdarzenia. Należy podkreślić, że prawdopodobieństwo jest wartością obiektywną, która istnieje niezależnie od poznającego i jest uwarunkowana całym zbiorem warunków, które przyczyniają się do powstania zdarzenia.

Wyjaśnienia, które podaliśmy do pojęcia prawdopodobieństwa, nie są definicją matematyczną, ponieważ nie stanowią kwantyfikacji tego pojęcia. Istnieje kilka definicji prawdopodobieństwa zdarzenia losowego, które są szeroko stosowane w rozwiązywaniu konkretnych problemów (klasyczna, geometryczna definicja prawdopodobieństwa, statystyczna itp.).

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia sprowadza to pojęcie do bardziej elementarnego pojęcia równie możliwych zdarzeń, które nie podlega już definicji i z założenia jest intuicyjnie jasne. Na przykład, jeśli kostka jest jednolitym sześcianem, to wypadnięcie którejkolwiek ze ścian tego sześcianu będzie równie możliwym zdarzeniem.

Niech wiarygodne zdarzenie rozbije się na równie możliwe przypadki, których suma daje zdarzenie. Oznacza to, że przypadki, z których się dzieli, nazywane są korzystnymi dla wydarzenia, ponieważ pojawienie się jednego z nich zapewnia ofensywę.

Prawdopodobieństwo zdarzenia będzie oznaczone symbolem.

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe stosunkowi liczby przypadków mu sprzyjających z ogólnej liczby jedynych możliwych, jednakowo możliwych i niespójnych przypadków do liczby, tj.

To jest klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Tak więc, aby znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia, konieczne jest, po rozważeniu różnych wyników testu, znalezienie zbioru jedynych możliwych, równie możliwych i niespójnych przypadków, aby obliczyć ich całkowitą liczbę n, liczbę przypadkach m, sprzyjających temu zdarzeniu, a następnie wykonać obliczenia zgodnie z powyższym wzorem.

Nazywa się prawdopodobieństwo zdarzenia równe stosunkowi liczby korzystnych skutków zdarzenia z doświadczenia do całkowitej liczby skutków doświadczenia klasyczne prawdopodobieństwo przypadkowe wydarzenie.

Z definicji wynikają następujące własności prawdopodobieństwa:

Własność 1. Prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia jest równe jeden.

Właściwość 2. Prawdopodobieństwo niemożliwego zdarzenia wynosi zero.

Własność 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego to liczba dodatnia od zera do jednego.

Własność 4. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń tworzących kompletną grupę jest równe jeden.

Właściwość 5. Prawdopodobieństwo wystąpienia przeciwnego zdarzenia określa się w taki sam sposób, jak prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A.

Liczba wystąpień sprzyjających wystąpieniu przeciwnego zdarzenia. Stąd prawdopodobieństwo wystąpienia przeciwnego zdarzenia jest równe różnicy między jednością a prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A:

Ważną zaletą klasycznej definicji prawdopodobieństwa zdarzenia jest to, że z jej pomocą można określić prawdopodobieństwo zdarzenia bez uciekania się do doświadczenia, ale kierując się logicznym rozumowaniem.

Gdy spełniony zostanie zestaw warunków, na pewno wydarzy się pewne wydarzenie, a niemożliwe niekoniecznie się wydarzy. Wśród zdarzeń, które przy tworzeniu zespołu uwarunkowań mogą wystąpić lub nie, można liczyć na pojawienie się jednych z większą racją, na pojawienie się innych bez powodu. Jeśli na przykład w urnie jest więcej białych kul niż czarnych, to jest więcej powodów, aby mieć nadzieję na pojawienie się białej kuli po wyjęciu z urny losowo niż na pojawienie się czarnej kuli.

Następna strona jest sprawdzana.

Przykład rozwiązania problemu

Przykład 1

Pudełko zawiera 8 białych, 4 czarne i 7 czerwonych kulek. Losowane są 3 kule. Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: - wylosowano co najmniej 1 bilę czerwoną, - co najmniej 2 bile tego samego koloru, - co najmniej 1 bilę czerwoną i 1 białą.

Rozwiązanie problemu

Całkowitą liczbę wyników testu znajdujemy jako liczbę kombinacji 19 (8 + 4 + 7) elementów 3:

Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia- usunięto co najmniej 1 czerwoną kulkę (1,2 lub 3 czerwone kule)

Szukam prawdopodobieństwa:

Niech wydarzenie- są co najmniej 2 bile tego samego koloru (2 lub 3 bile białe, 2 lub 3 bile czarne i 2 lub 3 bile czerwone)

Liczba wyników korzystnych dla wydarzenia:

Szukam prawdopodobieństwa:

Niech wydarzenie- jest co najmniej jedna czerwona i 1 biała kula

(1 czerwony, 1 biały, 1 czarny lub 1 czerwony, 2 białe lub 2 czerwone, 1 biały)

Liczba wyników korzystnych dla wydarzenia:

Szukam prawdopodobieństwa:

Odpowiedź: P(A) = 0,773;P(C) = 0,7688; P (D) = 0,6068

Przykład 2

Rzuca się dwiema kośćmi. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma punktów wynosi co najmniej 5.

Rozwiązanie

Niech zdarzenie będzie sumą punktów nie mniejszą niż 5

Użyjmy klasycznej definicji prawdopodobieństwa:

Całkowita liczba możliwych wyników badania

Liczba procesów sprzyjających interesującemu nas wydarzeniu

Jeden punkt, dwa punkty…, sześć punktów może pojawić się na wyrzuconej krawędzi pierwszej kości. podobnie, przy drugim rzucie kostką możliwych jest sześć wyników. Każdy z wyników rzucenia pierwszą kostką można łączyć z każdym z wyników drugiej. Zatem łączna liczba możliwych wyników testu elementarnego jest równa liczbie plasowań z powtórzeniami (do wyboru z plasowaniami 2 elementów z zestawu 6):

Znajdź prawdopodobieństwo przeciwnego zdarzenia - suma punktów jest mniejsza niż 5

Następujące kombinacje upuszczonych punktów będą sprzyjać wydarzeniu:

№

pierwsza kość

Druga kość

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Przeciętny koszt rozwiązania praca testowa 700 - 1200 rubli (ale nie mniej niż 300 rubli za całe zamówienie). Na cenę duży wpływ ma pilność decyzji (od dnia do kilku godzin). Koszt pomocy online do egzaminu / testu wynosi od 1000 rubli. za rozwiązanie biletu.

Możesz opuścić aplikację bezpośrednio na czacie, po uprzednim odrzuceniu stanu zadań i poinformowaniu Cię o warunkach rozwiązania, którego potrzebujesz. Czas odpowiedzi to kilka minut.

Prawdopodobieństwo jest jednym z podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa. Istnieje kilka definicji tego pojęcia. Oto definicja, która nazywa się klasyczną.

Prawdopodobieństwo zdarzenie jest stosunkiem liczby elementarnych skutków korzystnych dla danego zdarzenia do liczby wszystkich równie możliwych skutków doświadczenia, w którym to zdarzenie może się pojawić.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest oznaczone przez P (A)(tutaj r- pierwsza litera francuskiego słowa prawdopodobieństwo- prawdopodobieństwo).

Zgodnie z definicją

gdzie jest liczba elementarnych wyników testów, które sprzyjają wystąpieniu zdarzenia;

Całkowita liczba możliwych elementarnych wyników badania.

Ta definicja prawdopodobieństwa nazywa się klasyczny... Powstał on etap początkowy rozwój teorii prawdopodobieństwa.

Liczba ta jest często określana jako względna częstotliwość zdarzenia. A w doświadczeniu.

Im większe prawdopodobieństwo zdarzenia, tym częściej ono występuje i odwrotnie, im mniejsze prawdopodobieństwo zdarzenia, tym rzadziej ono występuje. Gdy prawdopodobieństwo zdarzenia jest bliskie lub równe jedności, to występuje ono w prawie wszystkich testach. Mówi się, że takie wydarzenie jest praktycznie pewne czyli że z pewnością można liczyć na jego ofensywę.

Wręcz przeciwnie, gdy prawdopodobieństwo jest zerowe lub bardzo małe, zdarzenie występuje niezwykle rzadko; takie wydarzenie ma być Prawie niemożliwe.

Czasami prawdopodobieństwo wyrażane jest w procentach: R(A) 100% występuje średni procent liczby wystąpień zdarzenia A.

Przykład 2.13. Podczas wybierania numeru telefonu abonent zapomniał jeden numer i wybrał go losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że została wpisana poprawna liczba.

Rozwiązanie.

Oznaczmy przez A zdarzenie - "wybrano żądaną cyfrę".

Abonent może wybrać dowolną z 10 cyfr, więc łączna liczba możliwych wyników elementarnych wynosi 10. Wyniki te są niespójne, jednakowo możliwe i tworzą kompletną grupę. Sprzyja wydarzeniu A tylko jeden wynik (tylko jedna wymagana liczba).

Pożądane prawdopodobieństwo jest równe stosunkowi liczby wyników korzystnych dla zdarzenia do liczby wszystkich wyników elementarnych:

Wzór na klasyczne prawdopodobieństwo zapewnia bardzo prosty, bez eksperymentowania sposób obliczania prawdopodobieństw. Jednak prostota tej formuły jest bardzo myląca. Faktem jest, że podczas korzystania z niego z reguły pojawiają się dwa bardzo trudne pytania:

1. Jak wybrać taki system efektów doświadczenia, aby były one jednakowo możliwe i czy w ogóle można to zrobić?

2. Jak znaleźć liczby m oraz n?

Jeśli w eksperymencie zaangażowanych jest kilka obiektów, nie zawsze łatwo jest zobaczyć równie możliwe wyniki.

Wielki francuski filozof i matematyk D'Alembert wszedł do historii rachunku prawdopodobieństwa ze swoim słynnym błędem, którego istotą jest to, że błędnie określił równość wyników w eksperymencie z tylko dwiema monetami!

Przykład 2.14. ( błąd d'Alembert). Rzuca się dwie identyczne monety. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spadną na tę samą stronę?

Rozwiązanie d'Alemberta.

Doświadczenie ma trzy równie możliwe wyniki:

1. Obie monety spadną na „orła”;

2. Obie monety lądują na ogonach;

3. Jedna moneta spadnie na „głowy”, druga na „ogon”.

Dobra decyzja.

Doświadczenie ma cztery równie możliwe rezultaty:

1. Pierwsza moneta spadnie na „orła”, druga również na „orła”;

2. Pierwsza moneta spadnie na „ogony”, druga również na „ogony”;

3. Pierwsza moneta spadnie na „głowy”, a druga na „reszki”;

4. Pierwsza moneta spada na „reszki”, a druga na „orzełki”.

Spośród nich dwa wyniki będą korzystne dla naszego wydarzenia, więc pożądane prawdopodobieństwo jest równe.

D'Alembert popełnił jeden z najczęstszych błędów popełnianych przy obliczaniu prawdopodobieństwa: połączył dwa podstawowe wyniki w jeden, czyniąc go tym samym nierównym pod względem prawdopodobieństwa pozostałych wyników eksperymentu.