On iki yüzlünün özellikleri ve ilginç gerçekler. "Düzenli çokyüzlüler" konulu sunum - sunum Düzenli çokyüzlüler örnekleri

Düzenli çokyüzlülerden en eski sözlerden biri Platon'un (M.Ö.) Timaus incelemesindedir. Bu nedenle düzenli çokyüzlülere Platonik katılar da denir (her ne kadar Platon'dan çok önce biliniyor olsalar da). Her biri normal çokyüzlülerden ve toplamda beş tane var. Platon dört "dünyevi" elementle ilişkilidir: toprak (küp), su (ikosahedron), ateş (tetrahedron), hava (oktahedron) ve ayrıca "dünyevi" element - gökyüzü (dodecahedron).

Düzenli bir çokyüzlü veya Platonik katı, mümkün olan en büyük simetriye sahip dışbükey bir çokyüzlüdür. Bir çokgen şu durumlarda düzenli olarak adlandırılır: dışbükeyse, tüm yüzleri eşitse, düzenli çokgenlerse, her köşede aynı sayıda yüz birleşiyorsa, tüm dihedral açıları eşitse

Altı yüzlü (küp) ve oktahedronla ilgili ilginç bir gerçeğe dikkat çekelim. Bir küpün 6 ​​yüzü, 12 kenarı ve 8 köşesi vardır ve bir oktahedronun 8 yüzü, 12 kenarı ve 6 köşesi vardır. Yani, bir çokyüzlünün yüz sayısı diğerinin köşe sayısına eşittir ve bunun tersi de geçerlidir. Dedikleri gibi, küp ve altıyüzlü birbirine çifttir. Bu aynı zamanda bir küp alıp yüzlerinin ortasında köşeleri olan bir çokyüzlü oluşturursanız, o zaman kolayca görebileceğiniz gibi bir oktahedron elde etmeniz gerçeğinde de kendini gösterir. Bunun tersi de doğrudur; oktahedron yüzlerinin merkezleri küpün köşeleri görevi görür. Bu, oktahedron ve küpün ikiliğidir (şekil). Düzgün bir tetrahedronun yüzlerinin merkezlerini alırsak, yine düzgün bir tetrahedrona sahip olacağımızı anlamak kolaydır (Şekil). Dolayısıyla tetrahedron kendine ikilitir.

Ünlü matematikçi ve gökbilimci Kepler, güneş sisteminin bir modelini, sıralı olarak yazılmış ve tanımlanmış düzenli çokyüzlüler ve kürelerden oluşan bir seri olarak inşa etti. Kepler gezegenlerin nasıl bir düzene sahip olduğunu (düzenli çokyüzlülerin "gereksinimlerine" uygun olarak) elde etti? Satürn'ün yörüngesinin küresine bir küp yazılmıştı ve Jüpiter'in yörüngesinin küresi de onun içine yazılmıştı; tetrahedron bu küreye uyar ve Mars'ın yörüngesinin küresi de ona uyar; ayrıca: dodecahedron - Dünya'nın yörüngesinin küresi - ikosahedron - Venüs'ün yörüngesinin küresi - oktahedron - Merkür'ün yörüngesinin küresi.

Düzenli ve yarı düzenli çokyüzlüler

Faaliyetinde, kişi her yerde mekansal figürlerin şeklini, boyutunu ve göreceli konumunu inceleme ihtiyacıyla karşı karşıya kalır. Önemli bir cisim sınıfı, sınırları çokgenlerden oluşan çokyüzlü cisimler tarafından oluşturulur. Çok yönlü formların geniş okyanusunda, beş düzenli çokyüzlü veya Platonik katı, mükemmellikleriyle öne çıkıyor.

Çokyüzlü - her tarafı yüz adı verilen düz çokgenlerle sınırlanan geometrik bir gövde.

Yüzlerin kenarlarına çokyüzlünün kenarları, kenarların uçlarına ise çokyüzlünün köşeleri denir. Yüz sayısına göre tetrahedronlar, pentahedronlar vb. ayırt edilir.

Bir çok yüzlü, her bir yüzünün düzleminin bir tarafında tamamen yer alıyorsa dışbükey olarak adlandırılır. Dışbükey bir çokyüzlüye, tüm yüzleri düzenli aynı çokgenler ise ve köşelerdeki tüm çokyüzlü açılar eşitse, düzenli denir.

Tetrahedron (Yunanca'dan tetra – dört ve hedra – yüz) 4 eşkenar üçgenden oluşan düzenli bir çokyüzlüdür.

Beyaz fosfor kristalleriP4 moleküllerinden oluşan böyle bir molekül tetrahedron şeklindedir. Laktik asidin ayna izomerlerinin molekülleri de tetrahedronlardır. Metanın kristal kafesi tetrahedron şeklindedir. Metan renksiz bir alevle yanar. Hava ile patlayıcı karışımlar oluşturur. Yakıt olarak kullanılır.

Sfalerit - çinko sülfür (ZnS).Bu mineralin kristalleri tetrahedron şeklindedir, daha az sıklıkla - eşkenar dörtgen dodekahedronlar

Küp (altı yüzlü)

Küpün 8 köşesinin her biri 3 karenin tepe noktasıdır.

Küpün eşit uzunlukta 12 ayrıtı vardır.

Simetri merkeziKüpün köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Simetri merkezinden geçen 9 simetri ekseni vardır. Bir küpün simetri ekseni, aynı yüze ait olmayan paralel kenarların orta noktalarından veya karşıt yüzlerin köşegenlerinin kesişme noktasından geçebilir.

Küp sodyum klorür kristalleri NaCl'nin şeklini taşır.

Birçok metalin kristal kafesleri küp şeklindedir ( Li, Na, Cr, Pb, Al, Au ve diğerleri)

Oktahedron (Yunanca okto - sekiz ve hedra - yüz kelimesinden) - 8 eşkenar üçgenden oluşan düzenli bir çokyüzlü.

Tek bir potasyum alüminyum kuvars kristali oktahedral bir şekle sahiptir ve formülü şu şekildedir: K (AL (SO 4)2) * 12 H 2 O . Kumaşları aşındırmak ve deriyi işlemek için kullanılırlar.

Karbonun polimer molekülünün grafit ile birlikte hallerinden biri elmastır. Elmasların kesim şekli genellikle bir oktahedrondur.

Elmas (Yunanca'dan adamas - yok edilemez) oktahedron şeklinde güçlü bir parlaklığa sahip renksiz veya renkli bir kristaldir.

Elmas kristalleri dev polimer molekülleridir ve genellikle oktahedron, eşkenar dörtgen dodekahedron veya daha az yaygın olarak küp veya tetrahedron şeklindedir.

Dodecahedron (Yunanca dodeka'dan - on iki ve hedra – yüz), on iki eşkenar beşgenden oluşan düzenli bir çokyüzlüdür. Dodecahedronun 20 köşesi ve 30 kenarı vardır

Çocuk felci virüsüon iki yüzlü bir şekle sahiptir. Yalnızca insan ve primat hücrelerinde yaşayabilir ve çoğalabilir.

Mikroskobik düzeyde, dodekahedron ve ikosahedron DNA'nın göreceli parametreleridir. DNA molekülünün dönen bir küp olduğunu da görebilirsiniz. Küp belirli bir modele göre sırayla 72 derece döndürüldüğünde, bir ikosahedron elde edilir ve bu da on iki yüzlü bir çift oluşturur. Böylece, DNA sarmalının çift sarmalı iki yönlü yazışma prensibi üzerine inşa edilmiştir: ikosahedron'u dodekahedron, ardından tekrar ikosahedron takip eder ve bu şekilde devam eder. Küpün içindeki bu dönüş bir DNA molekülü oluşturur.

Dan Winter'ın Heartmath adlı kitabı, DNA molekülünün dodekahedronlar ve ikosahedronların ikili ilişkilerinden oluştuğunu gösteriyor.

Ikozahedron - 20 düzenli üçgenden oluşan düzenli bir dışbükey çokyüzlü. İkosahedronun 30 kenarı vardır.

Platon, diyaloglarından birinde düzenli çokyüzlüleri 4 elementle ilişkilendirdi. Tetrahedron ateşe, küp dünyaya, oktahedron havaya ve ikosahedron suya karşılık geliyordu. Dodecahedron beşinci element olan etere karşılık geliyordu.

Sonsuz sayıda düzenli çokgen vardır: her biri için N =>3 doğru N – bir kare (ve benzerliğe kadar yalnızca bir tane). Yalnızca beş düzenli çokyüzlü vardır.

Dışbükey çokyüzlülerin belki de en önemli özelliği 1620 civarında Rene Descartes tarafından keşfedildi. aynı formül Leonhard Euler tarafından köşe sayısına bağlı olarak dışbükey çokyüzlülerin türlerini tanımlarken yeniden keşfedildi.

Dışbükey bir çokyüzlünün köşe sayısı B, kenarlarının sayısı P ve yüzlerin sayısı G olsun. O zaman V-P+G=2 eşitliği doğrudur.

Bu bu sayıya çokyüzlünün Euler karakteristiği denir.

Ancak çokyüzlülerin tarihi beş düzenli cisimle bitmedi. Platon'un düzenli katılarının ardından Arşimet'in yarı düzenli katıları keşfedildi.

Arşimet katıları yarı düzenli, homojen dışbükey çokyüzlüler, yani tüm çokyüzlü açıları eşit olan ve yüzleri çeşitli türlerde düzenli çokyüzlüler olan dışbükey çokyüzlülerdir (bu bakımdan yüzleri düzenli çokgen olan Platonik katılardan farklıdırlar) aynı türden). On üç yarı düzenli dışbükey çokyüzlünün keşfi Arşimet'e atfedilir. Johannes Kepler de bu cisimlerin teorisi üzerinde çalıştı.

Arşimet çokyüzlüsünün en basit örneği Arşimet prizmasıdır, yani kare yan yüzleri olan düzenli bir n-gonal prizmadır.

Başka bir örnek, n-gonal Arşimet antiprizması olarak adlandırılan şeydir. Düzenli bir n-gonal prizmanın (n>4) tabanlarından birinin, prizmanın ekseni etrafında bir açıyla döndürülmesi ve ardından bu tabanın her bir köşesinin segmentlerle diğerinin en yakın köşelerine bağlanması durumunda elde edilebilir. temel; bu durumda prizmanın yüksekliği, bu bölümler tabanın kenarına eşit olacak şekilde seçilmelidir (başka bir deyişle antiprizmanın yan yüzleri düzgün üçgenler olmalıdır). N'yi değiştirerek iki sonsuz Arşimet polihedra serisi elde ederiz - prizmalar ve antiprizmalar.

En basit şekiller, normal çokyüzlülerden, çokyüzlülerin köşelerinin düzlemlerle kesilmesinden oluşan "kesme" yoluyla elde edilir.

Bir tetrahedronun köşelerini, her biri bir köşeden çıkan kenarlarının üçte birini kesen düzlemlerle kesersek, sekiz yüzü olan kesik bir tetrahedron elde ederiz. Bunlardan dördü düzgün altıgen ve dördü düzgün üçgendir. Bu çokyüzlünün her köşesinde üç yüz buluşuyor.

Bir futbol topunun yüzeyinin kesik bir ikosahedron yüzeyi şeklinde yapıldığını lütfen unutmayın.

Yarı düzenli çokyüzlüler elde etmenin ikinci yolu, küpün parçalarını, bir köşeden çıkan kenarlarının orta noktalarından geçen bir düzlemle kesmektir. Sonuç, küpoktahedron adı verilen yarı düzenli bir çokyüzlüdür. Yüzleri küp gibi altı kare ve oktahedron gibi sekiz düzgün üçgenden oluşuyor.

Üçüncü yöntem ise birinci ve ikinci yöntemlerin birleşimidir. Bir tepe noktasından çıkan kenarların orta noktalarından kesme düzlemleri çizin ve bir "kesme" işlemi gerçekleştirin.

İlginçtir ki ikinci yarıda XX V. Başka bir Arşimet cismi keşfedildi - Platonik cismin benzer şekilde kesilmesiyle elde edilemeyen ve bu nedenle 2000 yıl boyunca fark edilmeyen bir psödorhombocubooctahedron.

20. yüzyılın 50'li yılların sonlarında - 20. yüzyılın 60'lı yıllarının başlarında, birkaç matematikçi neredeyse aynı anda, birbirlerinden bağımsız olarak, bir psödorhombocubooctahedronun varlığına dikkat çekti. Sözde eşkenar dörtgen, bir küpün yüzlerinden ve buna 12 karenin daha eklendiği bir oktahedrondan oluşur.

Alman gökbilimci Johannes Kepler'in Güneş sisteminin bazı özelliklerini normal çokyüzlülerin özellikleriyle ilişkilendirdiği kozmolojik hipotezi çok orijinaldir. Kepler, o zamanlar bilinen altı gezegen arasındaki mesafelerin, beş düzenli dışbükey çokyüzlünün boyutları cinsinden ifade edildiğini öne sürdü. Bu hipoteze göre, gezegenlerin döndüğü her bir "gök küresi" çiftinin arasına Kepler, Platonik katılardan birini yazmıştır. Güneş'e en yakın gezegen olan Merkür küresinin etrafında bir oktahedron tanımlanmaktadır. Bu oktahedron, çevresinde ikosahedron'un tanımlandığı Venüs küresine yazılmıştır. Dünyanın küresi ikosahedron etrafında, dodekahedron ise bu küre etrafında tanımlanmaktadır.

Dodecahedron, çevresinde tetrahedronun tanımlandığı Mars küresinde yazılıdır. Küpün içine yazılan Jüpiter küresi, tetrahedronun etrafında tanımlanmaktadır. Son olarak küpün etrafında Satürn'ün küresi anlatılmaktadır.Bu model kendi zamanına göre oldukça makul görünüyordu. Şu anda bu teori tamamen reddedildi.

Yıldız oktahedron.Leonardo Da Vinci tarafından keşfedilen bu yıldız, yaklaşık 100 yıl sonra I. Kepler tarafından yeniden keşfedilmiş ve ona sekizgen bir yıldız olan “Stella octangula” adını vermiştir. Bu nedenle oktahedronun ikinci adı "Kepler'in stella octangula'sı"dır. Oktahedronun yalnızca bir yıldız şekli vardır. İki tetrahedronun bağlantısı olarak düşünülebilir.

Büyük yıldız şeklindeki dodecahedron, Kepler-Poinsot katıları ailesine, yani düzenli dışbükey olmayan çokyüzlülere aittir. Büyük yıldız şeklinde dodekahedronun yüzleri, küçük yıldız şeklinde dodekahedronun yüzleri gibi pentagramlardır. Her köşenin birbirine bağlı üç yüzü vardır. Büyük yıldız şeklinde dodekahedronun köşeleri, tanımlanan dodekahedronun köşeleriyle çakışmaktadır. Büyük yıldız şeklindeki dodecahedron ilk kez 1619'da Kepler tarafından tanımlandı.

Kepler elde ettiği rakamın iki katı olduğunun farkında değildi. "Büyük dodecahedron" olarak adlandırılan çokyüzlü, Kepler'in yıldız figürlerinden iki yüz yıl sonra Fransız geometri uzmanı Louis Punchon tarafından inşa edildi.

yıldız şeklinde ikosahedron. İkosahedron'un yirmi yüzü vardır. Bunların her biri süresiz olarak devam ettirilirse, vücut çok çeşitli bölmelerle (yüzlerin düzlemleriyle sınırlı uzay parçaları) çevrelenecektir. İkosahedronun tüm yıldız şekilli formları, bu tür bölmelerin orijinal gövdeye eklenmesiyle elde edilebilir. İkosahedronun kendisi hariç, yüzlerinin uzantıları, on farklı şekil ve boyuttaki 20+30+60+20+60+120+12+30+60+60 bölmeyle uzaydan ayrılmıştır. Büyük ikosahedron (şekle bakın), son altmış tanesi hariç tüm bu parçalardan oluşur.

İkozidodekahedronun 32 yüzü vardır; bunların 12'si normal beşgen yüz ve geri kalan 20'si düzgün üçgendir.

İnsanlık tarihi boyunca düzenli çokyüzlüler, formlarının simetrisi, bilgeliği ve mükemmelliğiyle meraklı zihinleri şaşırtmaktan asla vazgeçmedi.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Dersin Hedefleri:

• Öğrencilere düzenli çokyüzlü kavramını ve beş tür düzenli çokyüzlüyü tanıtmak,
• Yeni materyal öğrenirken bilgisayar teknolojisini kullanma becerilerinin oluşumunu teşvik etmek
• bağımsız aktivitenin gelişimini, karşılaştırma ve genelleme yeteneğini teşvik etmek.

Ders ekipmanları:

• Multimedya projektörü, ekran, bilgisayarlar
• Sunum “Düzenli çokyüzlüler”
• Düzenli çokyüzlülerin modelleri
• Kartlar – görevler “Bitmiş çizimlere dayalı görevler” – Ek 1
• Tablo "Düzenli çokyüzlüler"
• Broşür “Bulmaca” – Ek 2

DERSLER SIRASINDA

1. Organizasyon anı(5 dakika.)

Dersin hedef belirlemesi (Konunun mesajı, dersin amacı ve çalışma düzeni)
Düzenli çokyüzlülerle ilgili bölüm doğası gereği tanımlayıcıdır; bir ders bunun çalışmasına ayrılmıştır. Düzenli çokyüzlülerle ilgili materyal, "Çokyüzlüler" bölümünü önemli ölçüde tamamlar ve mantıksal olarak tamamlar. Aslında çokyüzlülerin sınıflandırılması burada da devam ediyor; Düzenli çokyüzlüler dışbükey çokyüzlülerden ayırt edilir.

2. Yeni materyal öğrenmek(15 dakika.)

Öğretmenin çalışmayı, öğrencilerin düzenli prizmalar, piramitler ve düzenli çokgenler hakkındaki önceden oluşturulmuş fikirlerine dayanarak yeni bir "düzenli çokyüzlü" kavramı oluşturacak şekilde düzenlemesi gerekir.
Yalnızca beş tür düzenli çokyüzlünün varlığı kanıt olmadan rapor edilmiştir. Bu teoremin kanıtı ilgili seçmeli dersin derslerinde düşünülebilir.

Sunum “Düzenli çokyüzlüler”

Ortaokul 10-11. sınıf öğrencileri ve meslek yüksekokulu öğrencileri için “Düzenli çokyüzlüler” konulu sunum hazırlandı. Materyal, düzenli çokyüzlüler, bunların özellikleri ve özellikleri hakkında tarihsel bilgiler sunmaktadır. Çokyüzlülerin bulunabileceği dış dünyadan örnekler verilmiştir. Sunum geometri derslerinde, seçmeli derslerde ve ayrıca matematikteki ders dışı etkinliklerde kullanılabilir.

Sınıfta bir sunum kullanmak zamandan tasarruf sağlar ve materyalin öğrenilmesini daha ilginç, renkli ve sıradışı hale getirir.

Slayt 2, 3– Düzenli çokyüzlünün tanımı tanıtılır ve öğrenciler tanım konusundaki ustalıklarını kendi kendilerine izlerler.
“Endişe verici derecede az sayıda düzenli çokyüzlü var” L. Carroll bir keresinde şöyle yazmıştı: "Fakat bu çok mütevazi müfreze, çeşitli bilimlerin derinliklerine inmeyi başardı."

Slayt 4-9– Düzenli çokyüzlülerin yalnızca beş tipinin varlığı bildirilmiş ve her çokyüzlü için çizimi, üç boyutlu görüntüsü, yüzey gelişimi ve temel özellikleri sunulmuştur.
Antik çağlardan beri çokyüzlüler güzelliği, mükemmelliği ve uyumuyla insanların ilgisini çekmiştir.

Slayt 10– Tarihsel arka plan – Platon ve düzenli çokyüzlüler hakkında tarihten bilgiler.

Slayt 11– Düzenli çokyüzlülerin elemanları, elemanlar arasındaki ilişkiler. Euler teoremi.

Slayt15– Leonhard Euler

Düzenli çokyüzlülere özel ilgi, formlarının güzelliği ve mükemmelliği ile ilişkilidir. Doğada oldukça yaygındırlar.

Slaytlar 12, 13– Doğada, özellikle kristalografide düzenli çokyüzlüler.

Slayt 14– Sonuç ve ödev
Yeni materyal öğrenildikten sonra, çokyüzlülerin tel kafes ve düzlemsel modelleri ve “Düzenli çokyüzlüler” tablosu kullanılarak malzemenin asimilasyonu kontrol edilir. Daha sonra öğrenciler hazır çizimler kullanarak problem çözmeye başlarlar.

3. Sorun çözme(17 dk.) – Ek 1

№1. Bir kenarı 10 cm olan düzgün bir dört yüzlünün yüksekliğini bulunuz.

Verilen: ABCD – düzenli tetrahedron,
AB = 10 cm

Bulmak: tetrahedronun yüksekliği

Çözüm.

1) AF, ΔABC'nin medyanıdır, yani BF = ______

2) _______ teoremini kullanarak ΔABF'den AF'yi buluyoruz

AF 2 = AB 2 – BF 2

3) O, AF segmentini 2:1 oranında böler, dolayısıyla AO = _____________________

4) Pisagor teoremini kullanarak ΔADO'dan DO'yu buluruz

DO 2 = ____________
DO = ____________

Cevap: ______cm

2 numara. Çözüm planı kullanarak sorunu çözün

Kristal, ortak bir tabana sahip iki düzenli piramitten oluşan bir oktahedron şeklindedir, piramidin tabanının kenarı 6 cm'dir. Oktahedronun yüksekliği 14 cm'dir. .

Çözüm.

1) Skenar = 2 Spyr = p ∙ SK (burada SK apothemdir, p ABCD yarı çevredir)

2) Tamam'ı bulun _________________________

3) SO’yu bulun _________________________________
______________________________________

4) SK _________________________________'yı bulun
______________________________________

5) Tarafı Hesaplayın ______________________
______________________________________

№3. Bir küpün karşıt yüzlerinin paralel olmayan iki köşegeninin uçlarının bir tetrahedronun köşeleri olduğunu kanıtlayın.

4. Ek görev.

Bulmaca (çiftler halinde çalışın) Ek 2
Sınıfın veya öğrenci grubunun hazırlık düzeyine bağlı olarak onlara teklif verebilirsiniz. ek görev bir bulmaca şeklinde. Bir sınıfın veya grubun matematik becerileri düşükse, daha önce çalışılan materyalin tekrarı olarak bir sonraki derste çözüm için bir bulmaca önerilebilir.

5. Ders özeti(5 dakika.)

Dersin sonucu, dersin sonunda öğrencilerle sadece hedeflere ulaşmanın başarısı değil, aynı zamanda neyi sevdikleri (beğenmedikleri) ve neden, kişisel olarak onun için neyin yararlı olduğu, ne yapacağı hakkında da bir tartışmayı içerir. Gelecekteki çalışmalarda nelerin değişeceğini tekrarlamaktan hoşlanıyorum.

6. Ödev(3 dakika.)

Düzgün çokyüzlülerin (düzgün tetrahedron, küp, oktahedron) yüzeylerini geliştirin.
30, 31 s. 243 numaralı soruları yanıtlayın, Pogorelov A.V. "Geometri 10-11".
Sorunları çözün No. 57 s. 249, No. 70 s.

Ödev, problem çözmeyi ve ağlar ve düzenli çokyüzlüler modelleri oluşturmayı içerir. Öğrenciler, dikkate alınan çokyüzlülerden hangisini yapacaklarını kendileri seçerler (sınıf veya grubu, normal çokyüzlü türlerinin sayısına göre beş gruba "bölebilir" ve her gruba normal çokyüzlülerden yalnızca birini yapmasını önerebilirsiniz).

İçerik: Projenin amacı Projenin amacı Projenin amacı Dönem Çokyüzlüler Dönem Çokyüzlüler Dönem Çokyüzlüler Tarih Tarih Tarih Platon Platon Platon Platonik katılar Platonik katılar Platonik katılar Platonik katılar Öklid Öklid Öklid Arşimet Arşimet Arşimet Arşimet Arşimet katıları Arşimet katıları Arşimet katıları Arşimet katıları Johannes Kepler Johannes Kepler Johann Kepler Johann Kepler Kepler'in Kozmolojik Hipotezi Kepler'in Kozmolojik Hipotezi Kepler'in Kozmolojik Hipotezi Tetrahedron Tetrahedron Tetrahedron Icosahedron Icosahedron Onikiyüzlü Onikiyüzlü Onikiyüzlü Altıyüzlü(küp) Altıyüzlü(küp) Oktahedron Oktahedron Tamam edron Özel durum Özel durum Özel durum Özel durum Düzenli çokyüzlülerin geliştirilmesi Düzenli çokyüzlülerin gelişmeleri Düzenli çokyüzlülerin gelişmeleri Düzenli çokyüzlülerin gelişmeleri Teorem Teorem Teorem Özellikler tablosu Özellikler tablosu Özellikler tablosu Özellikler tablosu Yarı düzenli çokyüzlüler Yarı düzenli çokyüzlüler Yarı düzenli çokyüzlüler Yarı düzenli çokyüzlüler Doğada bulma Doğada bulma Bulma doğada Bulgular Doğada Bulgular Tarihsel Yardım İlginç gerçekler İlginç gerçekler İlginç gerçekler İlginç gerçekler

Bir çokyüzlüye, tüm yüzleri eşit düzgün çokgenler ise, köşelerinin her biri aynı sayıda kenara sahipse ve tüm dihedral açılar eşitse, normal denir. Bir çokyüzlüye, tüm yüzleri eşit düzgün çokgenler ise, köşelerinin her biri aynı sayıda kenara sahipse ve tüm dihedral açılar eşitse, normal denir.

Düzenli çokyüzlülerin tarihi Bilim adamları, kuyumcular, rahipler ve mimarlar tarafından incelendiler. Bu çokyüzlülere büyülü özellikler bile atfedildi. Antik Yunan bilim adamı ve filozof Platon (MÖ IV – V yüzyıllar), bu bedenlerin doğanın özünü temsil ettiğine inanıyordu. Platon, “Timaeus” diyaloğunda ateş atomunun tetrahedron, toprak atomunun altı yüzlü (küp), hava atomunun oktahedron, su atomunun ikosahedron biçiminde olduğunu söyler. Bu yazışmada yalnızca on iki yüzlüye yer yoktu ve Platon, atomları tam olarak on iki yüzlü şeklinde olan başka bir beşinci varlığın - eterin - varlığını öne sürdü. Platon'un öğrencileri listelenen organların incelenmesinde çalışmalarına devam ettiler. Bu nedenle bu çokyüzlülere Platonik katılar denir. Bilim adamları, kuyumcular, rahipler ve mimarlar tarafından incelendiler. Bu çokyüzlülere büyülü özellikler bile atfedildi. Antik Yunan bilim adamı ve filozof Platon (MÖ IV – V yüzyıllar), bu bedenlerin doğanın özünü temsil ettiğine inanıyordu. Platon, “Timaeus” diyaloğunda ateş atomunun tetrahedron, toprak atomunun altı yüzlü (küp), hava atomunun oktahedron, su atomunun ikosahedron biçiminde olduğunu söyler. Bu yazışmada yalnızca on iki yüzlüye yer yoktu ve Platon, atomları tam olarak on iki yüzlü şeklinde olan başka bir beşinci özün - eterin - varlığını öne sürdü. Platon'un öğrencileri listelenen organların incelenmesinde çalışmalarına devam ettiler. Bu nedenle bu çokyüzlülere Platonik katılar denir.

Platon MÖ 429 – 347 civarında. Platonik katılar, tüm yüzleri ve açıları eşit olan ve yüzleri düzgün çokgen olan düzenli homojen dışbükey çokyüzlüler yani dışbükey çokyüzlülerdir. Platonik katılar, düz düzenli çokgenlerin üç boyutlu bir analogudur. Bununla birlikte, iki boyutlu ve üç boyutlu durumlar arasında önemli bir fark vardır: Sonsuz sayıda farklı düzgün çokgen vardır, ancak yalnızca beş farklı düzgün çokyüzlü vardır. Bu gerçeğin kanıtı iki bin yılı aşkın süredir bilinmektedir; Bu kanıt ve beş düzenli cismin incelenmesiyle Öklid'in Elementleri tamamlandı.

“Öklid'in başlangıcı. 365 - 300 civarında "...bilimde kraliyet yolu yoktur". M.Ö. Öklid'in ana eseri “Elementler”dir (orijinal “Stoheia”da. “Elementler” 13 kitaptan oluşur, daha sonra bunlara 2 kitap daha eklenmiştir. İlk altı kitap planimetriye ayrılmıştır. VII – X. Kitaplar sayılar teorisini içerir, Kitap XI, XII ve XIII "İlkeler" stereometriye ayrılmıştır. Öklid'in önermelerinden onun uzayı boş, sınırsız, izotropik ve üç boyutlu olarak temsil ettiği açıktır. Öklid'in "İlkeleri"nin bir tanımla açılması ilginçtir. Düzgün bir üçgenin inşası ve beş düzgün çokyüzlü cismin incelenmesiyle son bulması, günümüzde Platonik katılar olarak bilinmektedir.

Siraküza Arşimet'i 287 - 212 civarında. M.Ö. Matematikçi, fizikçi ve mühendis Sirakuzalı Arşimet arkasında pek çok buluş, on üç makale (“Küre ve Silindir Üzerine”, “Çemberin Ölçülmesi”, “Düzlemlerin Dengesi”, “Mide”, “Düzenli Yedigen” ve diğerleri) bıraktı. ). Arşimet bir geometri adamı olarak kürenin yüzeyini ve hacmini belirlemiş, paraboloitler ve hiperboloitler üzerinde çalışmış, “Arşimet spirali”ni incelemiş, “pi” sayısının 3.141 ile 3.142 arasında olduğunu tespit etmiştir. Arşimet'in çokyüzlüler teorisine katkısı, 13 yarı-düzenli dışbükey homojen çokyüzlülerin (Arşimet katıları) tanımlanmasıdır.

Arşimet katıları Arşimet katılarının çoğu çeşitli gruplara ayrılabilir. Bunlardan ilki, Platonik katıların kesilmesi sonucu elde edilen beş çokyüzlüden oluşacaktır. Bu şekilde beş Arşimet katısı elde edilebilir: kesik tetrahedron, kesik altı yüzlü (küp), kesik oktahedron, kesik dodekahedron ve kesik ikosahedron. Diğer grup ise yarı düzenli çokyüzlüler olarak da adlandırılan yalnızca iki cisimden oluşur. Bu iki cisme, büyük eşkenar dörtgen ve büyük eşkenar dörtgenden farklı olarak küpoktahedron ve ikosidodekahedron adı verilir. Sonraki iki çokyüzlüye eşkenar dörtgen ve eşkenar dörtgen denir. Bazen büyük eşkenar dörtgen ve büyük eşkenar dörtgenlerin aksine "küçük eşkenar dörtgen" ve "küçük eşkenar dörtgen" olarak da adlandırılırlar. Son olarak, biri küp için, diğeri dodecahedron için olmak üzere "küçültülmüş" olarak adlandırılan iki değişiklik vardır. Her biri, yüzlerin hafifçe döndürülmüş bir konumu ile karakterize edilir, bu da aynı "kalkık burunlu" polihedronun iki farklı versiyonunun oluşturulmasını mümkün kılar (her biri diğerinin ayna görüntüsüdür).

Johannes Kepler 1571 – 1630 Alman gökbilimci ve matematikçi. Modern astronominin kurucularından biri. Alman gökbilimci ve matematikçi. Modern astronominin kurucularından biri. Kepler'in çokyüzlü teorisine katkısı, ilk olarak Arşimed'in yarı düzenli dışbükey homojen çokyüzlüler hakkındaki kayıp incelemesinin matematiksel içeriğinin restorasyonudur. Kepler'in çokyüzlü teorisine katkısı, ilk olarak Arşimed'in yarı düzenli dışbükey homojen çokyüzlüler hakkındaki kayıp incelemesinin matematiksel içeriğinin restorasyonudur. Daha da önemlisi, Kepler'in pentagrama benzer yıldız şeklinde yüzlere sahip dışbükey olmayan çokyüzlüleri dikkate alma önerisi ve ardından iki düzenli dışbükey olmayan homojen çokyüzlünün (küçük yıldız şeklinde dodekahedron ve büyük yıldız şeklinde dodekahedron) keşfiydi. Daha da önemlisi, Kepler'in pentagrama benzer yıldız şeklinde yüzlere sahip dışbükey olmayan çokyüzlüleri dikkate alma önerisi ve ardından iki düzenli dışbükey olmayan homojen çokyüzlünün (küçük yıldız şeklinde dodekahedron ve büyük yıldız şeklinde dodekahedron) keşfiydi.

Kepler'in kozmolojik hipotezi Kepler, Güneş sisteminin bazı özelliklerini düzenli çokyüzlülerin özellikleriyle ilişkilendirmeye çalıştı. O zamanlar bilinen altı gezegen arasındaki mesafelerin, beş düzenli dışbükey çokyüzlülerin (Platonik katılar) boyutları cinsinden ifade edildiğini öne sürdü. Bu hipoteze göre, gezegenlerin döndüğü her bir "gök küresi" çiftinin arasına Kepler, Platonik katılardan birini yazmıştır. Güneş'e en yakın gezegen olan Merkür küresinin etrafında bir oktahedron tanımlanmaktadır. Bu oktahedron, çevresinde ikosahedron'un tanımlandığı Venüs küresine yazılmıştır. Dünyanın küresi ikosahedron etrafında, dodekahedron ise bu küre etrafında tanımlanmaktadır. Dodecahedron, çevresinde tetrahedronun tanımlandığı Mars küresinde yazılıdır. Küpün içine yazılan Jüpiter küresi, tetrahedronun etrafında tanımlanmaktadır. Son olarak küpün etrafında Satürn'ün küresi anlatılmaktadır.

Tetrahedron Tetrahedron (tetra – dört, hedra – yüz). Düzenli tetrahedron - düzenli bir tetrahedron, yani eşit kenarları olan bir tetrahedron, tüm yüzleri düzenli üçgenler olan ve her bir köşeden tam olarak üç kenarı çıkan (tetra - dört, hedra - yüz) düzenli bir çokyüzlüdür. Düzenli bir tetrahedron, düzgün bir tetrahedrondur, yani kenarları eşit olan bir tetrahedron, tüm yüzleri düzgün üçgen olan ve her köşesinden tam olarak üç kenarı çıkan düzgün bir çokyüzlüdür. 4 köşesi, 4 yüzü, 6'sı vardır. Kenarları 4 köşesi, 4 yüzü, 6 kenarı vardır. Her köşedeki düzlem açıların toplamı 180 derecedir. Her köşedeki düzlem açıların toplamı 180 derecedir.

İkosahedron (20 üçgenden oluşur) (20 üçgenden oluşur) İkosahedronun her bir köşesinde İkozahedronun her bir köşesinde beş yüz buluşur. beş yüz birleşiyor. Tüm yüzlerin düzenli üçgen olduğu ve her köşenin 5 kenarı olduğu düzenli bir çokyüzlü vardır. Bu çokyüzlünün 20 yüzü, 30 kenarı, 12 köşesi vardır ve ikosahedron (icosi - yirmi) olarak adlandırılır. Tüm yüzlerin düzenli üçgen olduğu ve her köşenin 5 kenarı olduğu düzenli bir çokyüzlü vardır. Bu çokyüzlünün 20 yüzü, 30 kenarı, 12 köşesi vardır ve ikosahedron (icosi - yirmi) olarak adlandırılır. Her tepe noktasındaki düzlem açıların toplamı 300 derecedir Her tepe noktasındaki düzlem açıların toplamı 300 derecedir

Dodecahedron Tüm yüzleri düzgün beşgen olan ve her köşeden 3 kenar çıkan düzgün bir çokyüzlü vardır. Bu çokyüzlünün 12 yüzü, 30 kenarı ve 20 köşesi vardır ve dodekahedron (dodeka - on iki) olarak adlandırılır. Tüm yüzlerin düzgün beşgen olduğu ve her köşeden 3 kenarın çıktığı düzgün bir çokyüzlü vardır. Bu çokyüzlünün 12 yüzü, 30 kenarı ve 20 köşesi vardır ve dodekahedron (dodeka - on iki) olarak adlandırılır. Her tepe noktasındaki düzlem açıların toplamı 324 derecedir Her tepe noktasındaki düzlem açıların toplamı 324 derecedir

Altı yüzlü (küp) Altı yüzlü (küp, altıgen – altı). Altı yüzlü, tüm yüzleri kare olan ve her köşeden üç kenar çıkan düzenli bir çokyüzlüdür. Altı yüzlü (küp, altıgen – altı). Altı yüzlü, tüm yüzleri kare olan ve her köşeden üç kenar çıkan düzenli bir çokyüzlüdür. 6 yüzü, 8 köşesi, 12 kenarı vardır 6 yüzü, 8 köşesi, 12 kenarı vardır Her tepe noktasındaki düzlem açıların toplamı 270 derecedir Her tepe noktasındaki düzlem açıların toplamı 270 derecedir

Oktahedron Oktahedron. Bu, tüm yüzleri düzenli üçgen olan ve dört Oktahedron yüzü her köşeye bitişik olan düzenli bir çokyüzlüdür. Bu, tüm yüzleri düzgün üçgenlerden oluşan ve her köşeye dört yüzü bitişik olan düzgün bir çokyüzlüdür. 8 yüzü, 12 kenarı, 6 köşesi vardır. 8 yüzü, 12 kenarı ve 6 köşesi vardır.

Çokyüzlülerin özellikleri. Ad: Bir tepe noktasındaki kenar sayısı Bir yüzün kenar sayısı Yüz sayısı Kenar sayısı Köşe sayısı Dörtyüzlü 33464 Küp Oktahedron Onikiyüzlü İkosahedron

Yarı düzenli çokyüzlüler Snub küpü. Bu çokyüzlü, altı kare yüzünün düzlemleri küpün yüzlerinin düzlemleriyle çakışacak şekilde bir küpün içine yazılabilir ve kalkık küpün bu kare yüzleri, karşılık gelenlere göre hafifçe döndürülmüş gibi görünecektir. küpün yüzleri. Küfür küpü. Bu çokyüzlü, altı kare yüzünün düzlemleri küpün yüzlerinin düzlemleriyle çakışacak şekilde bir küpün içine yazılabilir ve kalkık küpün bu kare yüzleri, karşılık gelenlere göre hafifçe döndürülmüş gibi görünecektir. küpün yüzleri. Eşkenar dörtgen. Bu model, Arşimet katılarının diğer tüm modelleri arasında en çekici olanlardan biridir. Yüzler üçgen, kare ve beşgendir. Eşkenar dörtgen. Bu model, Arşimet katılarının diğer tüm modelleri arasında en çekici olanlardan biridir. Yüzler üçgen, kare ve beşgendir. Eşkenar dörtgen kesik küpoktahedron. Kesik küpoktahedron olarak da bilinen bu çokyüzlünün yüzlerinde kareler, altıgenler ve sekizgenler bulunur. Eşkenar dörtgen kesik küpoktahedron. Kesik küpoktahedron olarak da bilinen bu çokyüzlünün yüzlerinde kareler, altıgenler ve sekizgenler bulunur. Kalkık dodecahedron, dışbükey tekdüze çokyüzlüler ailesinin sonuncusudur. Yüzler üçgen ve beşgendir. Kalkık dodecahedron, dışbükey tekdüze çokyüzlüler ailesinin sonuncusudur. Yüzler üçgen ve beşgendir.

Rhombododecahedron. (proluregular katılar) Uzaysal bir "çapraz" ve bir oniki yüzlü oluşturan yedi küpten oluşur.

Doğada bulma Kristalin cisimlerde parçacıklar katı bir düzende düzenlenir ve vücudun tüm hacmi boyunca uzamsal periyodik olarak tekrarlanan yapılar oluşturur. Bu tür yapıları görsel olarak temsil etmek için, belirli bir maddenin atomlarının veya moleküllerinin merkezlerinin bulunduğu düğümlerde uzamsal kristal kafesler kullanılır. Çoğu zaman, belirli bir maddenin molekülünün bir parçası olan iyonlardan (pozitif ve negatif yüklü) atomlardan bir kristal kafes oluşturulur. Örneğin sofra tuzunun yapısı, NaCl moleküllerini oluşturacak şekilde çiftler halinde bir araya gelmeyen Na+ ve Cl- iyonlarını içerir. Bu tür kristallere iyonik denir. Kristalin cisimlerde parçacıklar katı bir düzende düzenlenir ve vücudun tüm hacmi boyunca uzamsal periyodik olarak tekrarlanan yapılar oluşturur. Bu tür yapıları görsel olarak temsil etmek için, belirli bir maddenin atomlarının veya moleküllerinin merkezlerinin bulunduğu düğümlerde uzamsal kristal kafesler kullanılır. Çoğu zaman, belirli bir maddenin molekülünün bir parçası olan iyonlardan (pozitif ve negatif yüklü) atomlardan bir kristal kafes oluşturulur. Örneğin sofra tuzunun yapısı, NaCl moleküllerini oluşturacak şekilde çiftler halinde bir araya gelmeyen Na+ ve Cl- iyonlarını içerir. Bu tür kristallere iyonik denir.

Kristaller Metallerin kristal kafesleri genellikle altıgen prizma (çinko, magnezyum), yüzey merkezli küp (bakır, altın) veya vücut merkezli küp (demir) şeklini alır. Metallerin kristal kafesleri genellikle altıgen prizma (çinko, magnezyum), yüzey merkezli küp (bakır, altın) veya vücut merkezli küp (demir) şeklini alır. Kristalin cisimler tek kristaller veya polikristaller olabilir. Çok kristalli cisimler, kristalitler olarak adlandırılan, birbirine kaynaşmış birçok rastgele yönlendirilmiş küçük kristalden oluşur. Büyük tek kristaller doğada ve teknolojide nadiren bulunur. Yapay olarak elde edilenler de dahil olmak üzere çoğu zaman kristal katılar polikristallerdir. Kristalin cisimler tek kristaller veya polikristaller olabilir. Çok kristalli cisimler, kristalitler olarak adlandırılan, birbirine kaynaşmış birçok rastgele yönlendirilmiş küçük kristalden oluşur. Büyük tek kristaller doğada ve teknolojide nadiren bulunur. Yapay olarak elde edilenler de dahil olmak üzere çoğu zaman kristal katılar polikristallerdir: 1 – basit kübik kafes; 2 – yüz merkezli kübik kafes; 3 - vücut merkezli kübik kafes; 4 – altıgen kafes.

Kristaller çokyüzlü Kalsiyumdur. Vurulduğunda kalsit kristalleri, her bir yüzü paralelkenar şeklinde olan düzenli şekillere bölünür. Kalsiyum, plastikten uzun prizmatik şekillere kadar çeşitli kristaller oluşturur. Kalsiyum. Vurulduğunda kalsit kristalleri, her bir yüzü paralelkenar şeklinde olan düzenli şekillere bölünür. Kalsiyum, plastikten uzun prizmatik şekillere kadar çeşitli kristaller oluşturur. Apatit. Dikdörtgen prizma şeklinde kristaller oluştururlar. Apatit. Dikdörtgen prizma şeklinde kristaller oluştururlar. Berilyum. Tipik olarak sütunlu altıgen kristaller halinde bulunur. Berilyum. Tipik olarak sütunlu altıgen kristaller halinde bulunur.

Düzenli çokyüzlülerin tarihi eski zamanlara kadar uzanır. MÖ 7. yüzyıldan başlayarak, pratikten felsefi geometriye kademeli bir geçişin olduğu Antik Yunanistan'da felsefi okullar oluşturuldu. Yeni geometrik özelliklerin elde edilmesini mümkün kılan akıl yürütme bu okullarda büyük önem kazanmıştır. Tarihsel arka plan İlk ve en ünlü okullardan biri, kurucusu Pisagor'un adını taşıyan Pisagor okuluydu. Pisagorluların ayırt edici işareti pentagramdı; matematik dilinde, dışbükey olmayan veya yıldız şeklinde düzenli bir beşgendir. Pentagrama bir kişiyi kötü ruhlardan koruma yeteneği verildi.

Dünya dünya altıyüzlü altıyüzlü (küp) (küp) evren evrenDodecahedron Pisagorcular ve daha sonra Platon, maddenin dört temel elementten oluştuğuna inanıyorlardı: ateş, toprak, hava ve su. Beş düzenli çokyüzlünün varlığını maddenin ve Evrenin yapısına bağladılar. Bu görüşe göre temel elementlerin atomları çeşitli Platonik katılar biçiminde olmalıdır:

Sanatçılar düzenli çokyüzlüler hakkında Rönesans sırasında heykeltıraşlar, mimarlar ve SANATÇILAR düzenli çokyüzlülerin biçimlerine büyük ilgi gösterdiler. Leonardo da Vinci çokyüzlüler teorisinden etkilenmiş ve bunları sıklıkla tuvallerinde tasvir etmiştir. Arkadaşı keşiş Luca Pacioli'nin “İlahi Orantı Üzerine” kitabını düzenli ve yarı düzenli çokyüzlülerin resimleriyle resimledi. Rönesans sırasında heykeltıraşlar, mimarlar ve SANATÇILAR düzenli çokyüzlülerin formlarına büyük ilgi gösterdi. Leonardo da Vinci çokyüzlüler teorisine düşkündü ve bunları sıklıkla tuvallerinde tasvir ediyordu. Arkadaşı keşiş Luca Pacioli'nin “İlahi Orantı Üzerine” kitabını düzenli ve yarı düzenli çokyüzlülerin görselleriyle resimledi.

Sanatçı Salvador Dali'nin "Son Akşam Yemeği" adlı tablosunda, İsa ve öğrencileri devasa şeffaf bir on iki yüzlünün arka planında tasvir ediliyor. Kadim insanlara göre EVREN on iki yüzlü bir şekle sahipti; düzgün bir on iki yüzlünün yüzeyine benzeyen bir tonozun içinde yaşadığımıza inanıyorlardı.

Mısır piramitleri Mısır piramitleri arasında Firavun Keops'un piramidi özel bir yere sahiptir. Tabanının kenar uzunluğu L = 233,16 m'dir; yükseklik H =146,6; 148,2 m. Başlangıçta yükseklik doğru olarak tahmin edilememişti. Bunun nedeni dikişlerin oturması, blokların deformasyonu ve tepenin S 66'dan 1010 m'ye kadar kısmen sökülmesidir. Mısır piramitleri arasında Firavun Keops piramidi özel bir yere sahiptir. Tabanının kenar uzunluğu L = 233,16 m'dir; yükseklik H =146,6; 148,2 m. Başlangıçta yükseklik doğru olarak tahmin edilememişti. Bunun nedeni dikişlerin oturması, blokların deformasyonu ve üst kısmın S 66'dan 1010 m'ye kadar kısmen sökülmesidir.

Yüzlerin eğim açısı = 5151. İlk kez 1837 yılında İngiliz Albay G. Wise tarafından ölçülmüştür. tg = 1.27306 = vd = 1, Yüzlerin eğim açısı = 5151. İlk kez 1837 yılında İngiliz Albay G. Wise tarafından ölçülmüştür. tg = 1,27306 = vd = 1,27202.

Kraliyet Mezarı Büyük Piramit, Yunanlılar tarafından Keops olarak bilinen Khufu'nun mezarı olarak inşa edilmiştir. Eski Mısır'ın firavunlarından veya krallarından biriydi ve mezarı M.Ö. 2580'de tamamlandı. Daha sonra Giza'da Khufu'nun oğlu ve torunu için iki piramit ve kraliçeleri için daha küçük piramitler inşa edildi. Resimdeki en uzaktaki Khufu piramidi en büyüğüdür. Oğlunun piramidi ortadadır ve daha yüksek bir yerde durduğu için daha yüksek görünür.

MÖ 3. yüzyılda. Gemilerin İskenderiye Körfezi'ne giderken resifleri güvenli bir şekilde geçebilmesi için bir deniz feneri inşa edildi. Geceleri alevlerin yansıması ve gündüzleri bir duman sütunu onlara bu konuda yardımcı oldu. Dünyanın ilk deniz feneriydi ve 1.500 yıldır ayaktaydı. Faros feneri, masif taş bloklardan oluşan bir temel üzerinde duran üç mermer kuleden oluşuyordu. İlk kule dikdörtgen şeklindeydi ve içinde işçi ve askerlerin yaşadığı odalar vardı. Bu kulenin üzerinde, üst kuleye giden spiral rampalı daha küçük, sekizgen bir kule vardı. Üst kule, içinde ateş yanan silindir şeklindeydi ve bu da gemilerin körfeze güvenli bir şekilde ulaşmasını sağlıyordu. Kulenin tepesinde Kurtarıcı Zeus'un bir heykeli duruyordu. Deniz fenerinin toplam yüksekliği 117 metredir. İskenderiye feneri

En basit hayvan Tek hücreli bir organizma olan Circogonia icosahedra'nın iskeleti bir ikosahedron şeklindedir. Tek hücreli organizma Circogonia icosahedra'nın iskeleti ikosahedron şeklindedir. Çoğu feodaria denizin derinliklerinde yaşar ve mercan balıkları için av görevi görür. Ancak en basit hayvan, iskeletinin 12 köşesinden çıkan on iki dikenle kendini korur. Daha çok bir yıldız polihedronuna benziyor. Çoğu feodaria denizin derinliklerinde yaşar ve mercan balıkları için av görevi görür. Ancak en basit hayvan, iskeletinin 12 köşesinden çıkan on iki dikenle kendini korur. Daha çok bir yıldız polihedronuna benziyor. Aynı sayıda yüze sahip tüm çokyüzlüler arasında ikosahedron en küçük yüzey alanına sahip en büyük hacme sahiptir. Bu özellik deniz organizmasının su sütununun basıncını aşmasına yardımcı olur.

İlginçtir ki, ikosahedron, virüslerin şekline ilişkin anlaşmazlıklarda biyologların ilgi odağı haline geldi. İkosahedron, biyologların virüslerin şekli hakkındaki tartışmalarının odak noktası haline geldi. Virüs, daha önce düşünüldüğü gibi tamamen yuvarlak olamaz. Şeklini belirlemek için çeşitli çokyüzlüleri aldılar ve ışığı virüsteki atomların akışıyla aynı açılarda yönlendirdiler. Yalnızca bir çokyüzlünün tam olarak aynı gölgeyi verdiği ortaya çıktı - ikosahedron.