การบัญชีและการวิเคราะห์ทรัพยากรขององค์กรในการจัดการ การบัญชีและการวิเคราะห์ (การบัญชีการเงิน การบัญชีการจัดการ การวิเคราะห์ทางการเงิน)

ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง นอกจากสูตรรากแล้ว ยังมีความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์อื่นๆ ที่ตั้งไว้ ทฤษฎีบทของเวียตา... ในบทความนี้ เราจะให้สูตรและการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการกำลังสอง ต่อไป ให้พิจารณาทฤษฎีบทที่สนทนากับทฤษฎีบทของเวียตา หลังจากนั้น เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างทั่วไป สุดท้าย เราเขียนสูตรของ Vieta ที่กำหนดความเชื่อมโยงระหว่างรากที่แท้จริง สมการพีชคณิตองศา n และค่าสัมประสิทธิ์

การนำทางหน้า

ทฤษฎีบทของเวียตา สูตร การพิสูจน์

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c = 0 ของรูปแบบ โดยที่ D = b 2 −4 a c หมายถึงความสัมพันธ์ x 1 + x 2 = −b / a, x 1 x 2 = c / ก. ผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการอนุมัติ ทฤษฎีบทของเวียตา:

ทฤษฎีบท.

ถ้า x 1 และ x 2 คือรากของสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นผลรวมของรากจะเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ b และ a นำด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของ รากเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ c และ a นั่นคือ ...

การพิสูจน์.

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Vieta ตามรูปแบบต่อไปนี้: เขียนผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตรรากที่รู้จักกันดี จากนั้นแปลงนิพจน์ที่ได้รับและตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีค่าเท่ากับ −b / a และ c / a ตามลำดับ

เริ่มจากผลรวมของราก เขียนมัน ตอนนี้เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมแล้ว ในตัวเศษของเศษส่วนผลลัพธ์หลังจากนั้น:. ในที่สุดหลังจาก 2 เราก็ได้ นี่เป็นการพิสูจน์ความสัมพันธ์ครั้งแรกของทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับผลรวมของรากของสมการกำลังสอง มาต่อกันที่ข้อที่สอง

เราเขียนผลคูณของรากของสมการกำลังสอง:. ตามกฎการคูณเศษส่วน ผลคูณสุดท้ายสามารถเขียนเป็น ตอนนี้เราคูณวงเล็บด้วยวงเล็บในตัวเศษ แต่จะยุบผลคูณนี้เร็วกว่าด้วย ความแตกต่างของสูตรกำลังสอง, ดังนั้น . จากนั้น จำไว้ว่า เราดำเนินการเปลี่ยนครั้งถัดไป และเนื่องจากการเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองสอดคล้องกับสูตร D = b 2 −4 · a · c ดังนั้นในเศษส่วนสุดท้ายแทนที่จะเป็น D เราจึงสามารถแทนที่ b 2 −4 · a · c ได้ หลังจากเปิดวงเล็บและการลดพจน์ที่คล้ายกัน เราก็มาถึงเศษส่วนและลดลง 4 · a ให้ นี่เป็นการพิสูจน์ความสัมพันธ์ที่สองของทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับผลคูณของราก

หากเราละเว้นคำอธิบาย การพิสูจน์ทฤษฎีบทของเวียตาจะอยู่ในรูปแบบพูดน้อย:
,
.

ยังคงเป็นเพียงข้อสังเกตว่าเมื่อ discriminant เท่ากับศูนย์ สมการกำลังสองจะมีหนึ่งราก อย่างไรก็ตาม หากเราคิดว่าสมการในกรณีนี้มีสองรากที่เหมือนกัน ความเท่าเทียมกันจากทฤษฎีบทของเวียตาก็ถือเช่นกัน อันที่จริง สำหรับ D = 0 รากของสมการกำลังสองจะเท่ากัน และเนื่องจาก D = 0 นั่นคือ b 2 −4 · a · c = 0, ดังนั้น b 2 = 4 · a · c ดังนั้น

ในทางปฏิบัติ ทฤษฎีบทของ Vieta มักใช้กับสมการกำลังสองที่ลดลง (โดยมีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1) ของรูปแบบ x 2 + p x + q = 0 บางครั้งมันถูกสร้างสูตรสำหรับสมการกำลังสองของแบบฟอร์มนี้ ซึ่งไม่จำกัดความทั่วไป เนื่องจากสมการกำลังสองใดๆ สามารถแทนที่ด้วยสมการที่เท่ากันได้โดยการหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ a ให้เราให้สูตรที่สอดคล้องกันของทฤษฎีบทของเวียตา:

ทฤษฎีบท.

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลด x 2 + px + q = 0 เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x ที่ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากคือการสกัดกั้น นั่นคือ x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q

บทสนทนาของทฤษฎีบทของเวียตา

สูตรที่สองของทฤษฎีบทของเวียตาที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า ระบุว่าถ้า x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสองลด x 2 + px + q = 0 แล้วความสัมพันธ์ x 1 + x 2 = −p x 1 x 2 = คิว ในทางกลับกัน จากความสัมพันธ์ที่เป็นลายลักษณ์อักษร x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q ตามมาว่า x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสอง x 2 + p x + q = 0 ตรงกันข้ามกับทฤษฎีบทของเวียตาเป็นความจริง ให้เรากำหนดมันในรูปแบบของทฤษฎีบทและพิสูจน์มัน

ทฤษฎีบท.

หากตัวเลข x 1 และ x 2 เป็นจำนวนที่ x 1 + x 2 = −p และ x 1 x 2 = q ดังนั้น x 1 และ x 2 จะเป็นรากของสมการกำลังสองลด x 2 + p x + q = 0

การพิสูจน์.

หลังจากแทนที่สัมประสิทธิ์ p และ q ในสมการ x 2 + p x + q = 0 นิพจน์ของพวกมันในรูปของ x 1 และ x 2 จะถูกแปลงเป็นสมการที่เทียบเท่ากัน

แทนจำนวน x 1 ในสมการผลลัพธ์แทน x เรามีความเท่าเทียมกัน x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0ซึ่งสำหรับ x 1 และ x 2 ใด ๆ เป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขจริง 0 = 0 เนื่องจาก x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0... ดังนั้น x 1 จึงเป็นรากของสมการ x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0ซึ่งหมายความว่า x 1 เป็นรากของสมการเทียบเท่า x 2 + p x + q = 0

ถ้าสมการ x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0แทนที่ x ตัวเลข x 2 แล้วเราจะได้ความเท่าเทียมกัน x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0... นี่เป็นความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องตั้งแต่ x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 + x 1 x 2 = 0... ดังนั้น x 2 จึงเป็นรากของสมการด้วย x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0และด้วยเหตุนี้สมการ x 2 + p x + q = 0

เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สนทนากับทฤษฎีบทของเวียตา

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทของเวียตา

ถึงเวลาที่จะพูดถึงการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเวียตาและทฤษฎีบทที่ขัดแย้งกันในทางปฏิบัติแล้ว ในย่อหน้านี้ เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างทั่วไปหลายตัว

เราเริ่มต้นด้วยการใช้ทฤษฎีบทที่สนทนากับทฤษฎีบทของเวียตา สะดวกในการใช้ตรวจสอบว่าตัวเลขสองตัวที่ให้มานั้นเป็นรากของสมการกำลังสองที่ให้มาหรือไม่ ในกรณีนี้จะคำนวณผลรวมและส่วนต่างหลังจากนั้นจะตรวจสอบความถูกต้องของอัตราส่วน หากความสัมพันธ์ทั้งสองนี้ได้รับการตอบสนองแล้ว โดยอาศัยอำนาจตามทฤษฎีบทที่ผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา สรุปได้ว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นรากของสมการ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งความสัมพันธ์ไม่พอใจ ตัวเลขเหล่านี้ก็ไม่ใช่รากของสมการกำลังสอง วิธีนี้สามารถใช้เมื่อแก้สมการกำลังสองเพื่อตรวจสอบรากที่พบ

ตัวอย่าง.

คู่ใดของตัวเลข 1) x 1 = −5, x 2 = 3 หรือ 2) หรือ 3) เป็นคู่ของรากของสมการกำลังสอง 4 x 2 −16 x + 9 = 0

สารละลาย.

สัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองที่ให้มา 4 x 2 -16 x + 9 = 0 คือ a = 4, b = -16, c = 9 ตามทฤษฎีบทของ Vieta ผลรวมของรากของสมการกำลังสองควรเท่ากับ −b / a นั่นคือ 16/4 = 4 และผลิตภัณฑ์ของรากควรเท่ากับ c / a นั่นคือ 9 /4.

ตอนนี้ มาคำนวณผลรวมและผลคูณของตัวเลขในสามคู่ที่ให้มาแต่ละคู่ แล้วเปรียบเทียบกับค่าที่เพิ่งได้รับ

ในกรณีแรก เรามี x 1 + x 2 = −5 + 3 = −2 ค่าผลลัพธ์แตกต่างจาก 4 ดังนั้นจึงไม่สามารถตรวจสอบเพิ่มเติมได้ และตามทฤษฎีบทที่ผกผันกับทฤษฎีบทของ Vieta เราสามารถสรุปได้ทันทีว่าตัวเลขคู่แรกไม่ใช่คู่ของรากของสมการกำลังสองที่กำหนด

มาต่อกันที่กรณีที่สอง นั่นคือเงื่อนไขแรกเป็นจริง เราตรวจสอบเงื่อนไขที่สอง: ค่าผลลัพธ์แตกต่างจาก 9/4 ดังนั้น จำนวนคู่ที่สองจึงไม่ใช่คู่ของรากของสมการกำลังสอง

คดีสุดท้ายยังคงอยู่ ที่นี่และ. ทั้งสองเงื่อนไขเป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้ x 1 และ x 2 จึงเป็นรากของสมการกำลังสองที่ให้มา

ตอบ:

ทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตาสามารถใช้ในทางปฏิบัติเพื่อค้นหารากของสมการกำลังสอง โดยปกติ รากทั้งหมดของสมการกำลังสองลดรูปพร้อมสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มจะถูกเลือก เนื่องจากในกรณีอื่น การทำเช่นนี้ค่อนข้างยาก ในกรณีนี้ พวกเขาใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าหากผลรวมของตัวเลขสองตัวเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองของสมการกำลังสอง นำด้วยเครื่องหมายลบ และผลคูณของจำนวนเหล่านี้เท่ากับพจน์ว่าง ตัวเลขเหล่านี้ก็คือ รากของสมการกำลังสองนี้ ลองดูสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

หาสมการกำลังสอง x 2 −5 x + 6 = 0 เพื่อให้ตัวเลข x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการนี้ ต้องมีค่าเท่ากันทั้งสอง x 1 + x 2 = 5 และ x 1 x 2 = 6 มันยังคงค้นหาตัวเลขดังกล่าว ในกรณีนี้ ทำได้ค่อนข้างง่าย: ตัวเลขดังกล่าวคือ 2 และ 3 เนื่องจาก 2 + 3 = 5 และ 2 · 3 = 6 ดังนั้น 2 และ 3 จึงเป็นรากของสมการกำลังสองนี้

ทฤษฎีบทที่สนทนากับทฤษฎีบทของเวียตาสะดวกอย่างยิ่งที่จะใช้ในการหารากที่สองของสมการกำลังสองที่ลดรูปเมื่อรากใดรากหนึ่งทราบอยู่แล้วหรือชัดเจน ในกรณีนี้ จะพบรูทที่สองจากความสัมพันธ์ใดๆ

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสอง 512 x 2 −509 x − 3 = 0 มันง่ายที่จะเห็นว่าอันหนึ่งเป็นรากของสมการ เนื่องจากผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองนี้เป็นศูนย์ ดังนั้น x 1 = 1 รากที่สอง x 2 สามารถหาได้จากความสัมพันธ์ x 1 x 2 = c / a เรามี 1 x 2 = −3 / 512 ดังนั้น x 2 = −3 / 512 นี่คือวิธีที่เราหารากทั้งสองของสมการกำลังสอง: 1 และ −3/512

เป็นที่ชัดเจนว่าควรเลือกรากในกรณีที่ง่ายที่สุดเท่านั้น ในกรณีอื่นๆ ในการหาราก คุณสามารถใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองผ่านตัวจำแนกได้

อีกหนึ่ง การใช้งานจริงทฤษฎีบทสนทนากับทฤษฎีบทของเวียตาประกอบด้วยการวาดสมการกำลังสองสำหรับรากที่กำหนด x 1 และ x 2 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะคำนวณผลรวมของราก ซึ่งให้สัมประสิทธิ์ที่ x กับเครื่องหมายตรงข้ามของสมการกำลังสองที่ลดลง และผลิตภัณฑ์ของราก ซึ่งให้เทอมอิสระ

ตัวอย่าง.

เขียนสมการกำลังสองด้วยตัวเลข -11 และ 23 เป็นราก

สารละลาย.

เราตั้งค่า x 1 = -11 และ x 2 = 23 ประเมินผลรวมและผลิตภัณฑ์ของตัวเลขเหล่านี้: x 1 + x 2 = 12 และ x 1 x 2 = −253 ดังนั้น ตัวเลขที่ระบุจึงเป็นรากของสมการกำลังสองที่ลดลงด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง -12 และค่าตัดขวางของ −253 นั่นคือ x 2 -12 x − 253 = 0 เป็นสมการที่ต้องการ

ตอบ:

x 2 -12 x − 253 = 0

ทฤษฎีบทของเวียตามักใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสัญญาณของรากของสมการกำลังสอง ทฤษฎีบทของ Vieta เกี่ยวข้องกับสัญญาณของรากของสมการกำลังสองลด x 2 + p x + q = 0 อย่างไร ต่อไปนี้คือข้อความที่เกี่ยวข้องสองข้อความ:

• ถ้าค่าตัดขวาง q เป็นจำนวนบวก และถ้าสมการกำลังสองมีรากจริง ทั้งคู่จะเป็นค่าบวกหรือค่าลบทั้งคู่
• ถ้าเทอมอิสระ q เป็นจำนวนลบ และถ้าสมการกำลังสองมีรากจริง เครื่องหมายของพวกมันจะต่างกัน กล่าวคือ รากหนึ่งเป็นค่าบวกและอีกค่าหนึ่งเป็นค่าลบ

ข้อความเหล่านี้เป็นไปตามสูตร x 1 x 2 = q เช่นเดียวกับกฎสำหรับการคูณจำนวนบวก ค่าลบ และตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน ลองพิจารณาตัวอย่างการใช้งานของพวกเขา

ตัวอย่าง.

R เป็นบวก เมื่อใช้สูตรจำแนกประเภท เราจะพบ D = (r + 2) 2 −4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4-4 r + 4 = r 2 +8 ค่าของนิพจน์ r 2 + 8 เป็นบวกสำหรับ r จำนวนจริงใดๆ ดังนั้น D> 0 สำหรับ r จำนวนจริงใดๆ ดังนั้นสมการกำลังสองดั้งเดิมจึงมีรากที่สองสำหรับค่าจริงของพารามิเตอร์ r

ตอนนี้เรามาดูกันว่าเมื่อใดที่รากมี สัญญาณต่างๆ... หากเครื่องหมายของรากต่างกัน ผลคูณของรากก็จะเป็นลบ และตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลคูณของรากของสมการกำลังสองที่ลดรูปแล้วจะเท่ากับเทอมว่าง ดังนั้นเราจึงสนใจค่าของ r ซึ่งพจน์อิสระ r − 1 เป็นค่าลบ ดังนั้นเพื่อค้นหาค่าของ r ที่เราสนใจเราจึงต้องการ แก้อสมการเชิงเส้น r − 1<0 , откуда находим r<1 .

ตอบ:

ที่ r<1 .

สูตรเวียต้า

ด้านบนเราได้พูดถึงทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการกำลังสองและวิเคราะห์ความสัมพันธ์ที่อ้างสิทธิ์ แต่มีสูตรที่เชื่อมโยงรากจริงและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสมการลูกบาศก์ สมการสี่เท่า และโดยทั่วไป สมการพีชคณิตองศา น. พวกเขาถูกเรียกว่า สูตรเวียต้า.

ให้เราเขียนสูตรของ Vieta สำหรับสมการพีชคณิตของดีกรี n ของรูปแบบ ในกรณีนี้ เราคิดว่ามันมี n รากจริง x 1, x 2, ..., x n (ในจำนวนนั้นอาจมีคำที่ตรงกัน):

รับสูตรของ Vieta ช่วยให้ ทฤษฎีการแยกตัวประกอบเชิงเส้นเช่นเดียวกับคำจำกัดความของพหุนามเท่ากันผ่านความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันทั้งหมด ดังนั้นพหุนามและการแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเชิงเส้นของรูปแบบจึงเท่ากัน การขยายวงเล็บในผลิตภัณฑ์สุดท้ายและเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน เราได้รับสูตรของ Vieta

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ n = 2 เรามีสูตรเวียตาสำหรับสมการกำลังสองที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว

สำหรับสมการลูกบาศก์ สูตรของเวียตาคือ

เหลือเพียงสังเกตว่าทางด้านซ้ายของสูตรของ Vieta คือสิ่งที่เรียกว่าระดับประถมศึกษา พหุนามสมมาตร.

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:ศึกษา. สำหรับ 8 ซล. การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551 .-- 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
• A.G. Mordkovichพีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำราสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich - ครั้งที่ 11 ลบ. - M.: Mnemozina, 2009 .-- 215 p.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [อ. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; เอ็ด เอ.บี.จิจเชนโก. - ครั้งที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2553.- 368 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-022771-1

ก่อนดำเนินการตามทฤษฎีบทของเวียตา เราขอนำเสนอคำจำกัดความ สมการกำลังสองของรูปแบบ x² + px + q= 0 เรียกว่า ลดลง ในสมการนี้ สัมประสิทธิ์นำหน้าคือหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สมการ x² - 3 x- 4 = 0 ลดลง สมการกำลังสองใดๆ ของรูปแบบ ขวาน² + ข x + ค= 0 สามารถลดลงได้ สำหรับสิ่งนี้ เราหารสมการทั้งสองข้างด้วย เอ≠ 0 ตัวอย่างเช่น สมการ 4 x² + 4 x- 3 = 0 โดยหารด้วย 4 จะลดลงตามรูปแบบ: x² + x- 3/4 = 0 เราได้รับสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองที่ลดลง สำหรับสิ่งนี้ เราใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองของรูปแบบทั่วไป: ขวาน² + bx + ค = 0

สมการลดลง x² + px + q= 0 ตรงกับสมการทั่วไปซึ่ง เอ = 1, ข = พี, ค = ถามดังนั้น สำหรับสมการกำลังสองที่ให้มา สูตรจะมีรูปแบบดังนี้

นิพจน์สุดท้ายเรียกว่าสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองที่ลดลงจะสะดวกอย่างยิ่งที่จะใช้สูตรนี้เมื่อ R- เลขคู่. ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการ x² - 14 x — 15 = 0

ในการตอบสนอง เราเขียนสมการที่มีสองราก

สำหรับสมการกำลังสองลดรูปด้วยค่าบวก ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบทของเวียตา

ถ้า x 1 และ x 2 - รากของสมการ x² + px + q= 0 ดังนั้นสูตรต่อไปนี้จะถูกต้อง:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 = คิว,นั่นคือ ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ให้มาจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง นำด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากจะเท่ากับเทอมว่าง

จากสูตรหารากของสมการกำลังสองลดรูป เรามี:

เพิ่มความเท่าเทียมกันเหล่านี้ เราได้รับ: x 1 + x 2 = —ร.

คูณความเท่าเทียมกันเหล่านี้โดยใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง เราได้รับ:

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทของ Vieta นั้นใช้ได้เมื่อ discriminant เป็นศูนย์ หากเราคิดว่าในกรณีนี้สมการกำลังสองมีรากที่เหมือนกันสองอัน: x 1 = x 2 = — R/2.

โดยไม่ต้องแก้สมการ x² - 13 x+ 30 = 0 หาผลรวมและผลคูณของรากของมัน x 1 และ x 2. สมการนี้ ดี= 169 - 120 = 49> 0 ดังนั้นจึงสามารถใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ได้: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. ขอพิจารณาอีกสองสามตัวอย่าง รากหนึ่งของสมการ x² — px- 12 = 0 เท่ากับ x 1 = 4. หาค่าสัมประสิทธิ์ Rและรากที่สอง x 2 ของสมการนี้ โดยทฤษฎีบทของเวียตา x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — ร.เพราะ x 1 = 4 จากนั้น 4 x 2 = - 12 ดังนั้น x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. ในการตอบสนอง ให้เขียนรากที่สอง x 2 = - 3 สัมประสิทธิ์ พี = - 1.

โดยไม่ต้องแก้สมการ x² + 2 x- 4 = 0 หาผลรวมของกำลังสองของรากของมัน อนุญาต x 1 และ x 2 - รากของสมการ โดยทฤษฎีบทของเวียตา x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. เพราะ x 1 ² + x 2 ² = ( x 1 + x 2) ² - 2 x 1 x 2 แล้ว x 1 ² + x 2 ² = (- 2) ² -2 (- 4) = 12.

หาผลรวมและผลคูณของรากของสมการ 3 x² + 4 x- 5 = 0. สมการนี้มีรากต่างกันสองราก เนื่องจาก discriminant ดี= 16 + 4 * 3 * 5> 0 ในการแก้สมการ เราใช้ทฤษฎีบทของเวียตา ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับสมการกำลังสองที่ลดลง ดังนั้นเราจึงหารสมการนี้ด้วย 3

ดังนั้น ผลรวมของรากคือ -4/3 และผลิตภัณฑ์ของรากคือ -5/3

ในกรณีทั่วไปรากของสมการ ขวาน² + ข x + ค= 0 สัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: x 1 + x 2 = — b / a, x 1 * x 2 = c / a,เพื่อให้ได้สูตรเหล่านี้ ก็เพียงพอที่จะหารทั้งสองข้างของสมการกำลังสองนี้ด้วย เอ ≠ 0 และใช้ทฤษฎีบทของเวียตากับผลลัพธ์ของสมการกำลังสองที่ลดลง ลองพิจารณาตัวอย่าง จำเป็นต้องเขียนสมการกำลังสองลดรูปซึ่งรากของ x 1 = 3, x 2 = 4. เพราะ x 1 = 3, x 2 = 4 - รากของสมการกำลังสอง x² + px + q= 0 จากนั้นตามทฤษฎีบทของเวียตา R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. ตอบกลับ เขียน x² - 7 x+12 = 0 ในการแก้ปัญหาบางอย่าง ใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

บทสนทนาของทฤษฎีบทของเวียตา

ถ้าตัวเลข R, q, x 1 , x 2 เป็นอย่างนั้น x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, แล้ว x 1และ x2- รากของสมการ x² + px + q= 0. ตัวสำรองทางด้านซ้าย x² + px + qแทน Rการแสดงออก - ( x 1 + x 2) และแทน q- งาน x 1 * x 2เราได้รับ: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2)ดังนั้นหากตัวเลข R, q, x 1 และ x 2 มีความเกี่ยวข้องกันด้วยความสัมพันธ์เหล่านี้ ดังนั้นเพื่อทุกคน Xความเสมอภาคถือ x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2),จากที่มันเป็นไปตามนั้น x 1 และ x 2 - รากของสมการ x² + px + q= 0 การใช้ทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา บางครั้งเป็นไปได้ที่จะหารากของสมการกำลังสองโดยการเลือก ลองพิจารณาตัวอย่าง x² - 5 x+ 6 = 0 ที่นี่ R = — 5, q= 6. มาเลือกเลขสองตัวกัน x 1 และ x 2 ดังนั้น x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. สังเกตว่า 6 = 2 * 3 และ 2 + 3 = 5 โดยทฤษฎีบทที่สนทนากับทฤษฎีบทของเวียตา เราได้ x 1 = 2, x 2 = 3 - รากของสมการ x² - 5 x + 6 = 0.

ทฤษฎีบทของเวียตา

ให้และแสดงถึงรากของสมการกำลังสองที่ลดลง
(1) .
แล้วผลรวมของรากจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่ กับเครื่องหมายตรงข้าม ผลคูณของรากเท่ากับระยะอิสระ:
;
.

หมายเหตุเกี่ยวกับหลายราก

ถ้าดิสคริมิแนนต์ของสมการ (1) เท่ากับศูนย์ สมการนี้มีรากเดียว แต่เพื่อหลีกเลี่ยงการกำหนดสูตรที่ยุ่งยาก เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าในกรณีนี้ สมการ (1) มีรากสองผลคูณหรือเท่ากัน:
.

พิสูจน์หนึ่ง

ให้เราหารากของสมการ (1) เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง:
;
;
.

เราพบผลรวมของราก:
.

หากต้องการหางานให้ใช้สูตร:
.
แล้ว

.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

หลักฐานที่สอง

หากตัวเลขและเป็นรากของสมการกำลังสอง (1) แล้ว
.
เราขยายวงเล็บ

.
ดังนั้นสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับ (1) เราพบว่า:
;
.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทสนทนาของเวียตา

ให้มีตัวเลขโดยพลการ แล้วก็เป็นรากของสมการกำลังสอง
,
ที่ไหน
(2) ;
(3) .

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทสนทนาของเวียตา

พิจารณาสมการกำลังสอง
(1) .
เราต้องพิสูจน์ว่าถ้าแล้วคุณคือรากของสมการ (1)

แทนที่ (2) และ (3) ใน (1):
.
เราจัดกลุ่มเงื่อนไขทางด้านซ้ายของสมการ:
;
;
(4) .

ทดแทนใน (4):
;
.

ทดแทนใน (4):
;
.
สมการเป็นจริง นั่นคือ ตัวเลขคือรากของสมการ (1)

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการกำลังสองที่สมบูรณ์
(5) ,
ที่ไหนและมีตัวเลขอยู่บ้าง นอกจากนี้.

ให้เราหารสมการ (5) โดย:
.
นั่นคือเราได้สมการลดลง
,
ที่ไหน ; ...

จากนั้นทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์จะมีรูปแบบดังนี้

ให้และแสดงว่ารากของสมการกำลังสองสมบูรณ์
.
จากนั้นผลรวมและผลิตภัณฑ์ของรากจะถูกกำหนดโดยสูตร:
;
.

ทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการลูกบาศก์

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถสร้างการเชื่อมต่อระหว่างรากของสมการลูกบาศก์ได้ พิจารณาสมการลูกบาศก์
(6) ,
โดยที่,,, เป็นตัวเลขบางตัว นอกจากนี้.
ลองแบ่งสมการนี้ออกเป็น:
(7) ,
ที่ไหน , , .
ให้ เป็นรากของสมการ (7) (และสมการ (6)) แล้ว

.

เมื่อเปรียบเทียบกับสมการ (7) เราพบว่า:
;
;
.

ทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการดีกรีที่ n

ในทำนองเดียวกัน คุณจะพบความเชื่อมโยงระหว่างราก , ..., สำหรับสมการของดีกรีที่ n
.

ทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการระดับที่ n มีรูปแบบดังนี้:
;
;
;

.

เพื่อให้ได้สูตรเหล่านี้ เราเขียนสมการในรูปแบบต่อไปนี้:
.
จากนั้นเราหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ ,,, ... และเปรียบเทียบพจน์ว่าง

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษาของสถาบันเทคนิค "Lan", 2009
ซม. Nikolsky, เอ็ม.เค. Potapov et al., พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาเกรด 8, มอสโก, การศึกษา, 2549

วิธีหนึ่งในการแก้สมการกำลังสองคือการใช้ สูตรเวียตต้าซึ่งได้รับการตั้งชื่อตาม FRANCOIS VIET

เขาเป็นทนายความที่มีชื่อเสียงและรับใช้ภายใต้กษัตริย์ฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 16 ในเวลาว่างเขาเรียนดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ เขาสร้างการเชื่อมต่อระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ข้อดีของสูตร:

1 ... เมื่อใช้สูตร คุณจะพบวิธีแก้ปัญหาอย่างรวดเร็ว เนื่องจากคุณไม่จำเป็นต้องป้อนสัมประสิทธิ์ที่สองลงในกำลังสอง จากนั้นลบ 4ac จากนั้นหาตัวแยกแยะ แทนที่ค่าของมันในสูตรเพื่อหาราก

2 ... หากไม่มีวิธีแก้ปัญหา คุณสามารถกำหนดสัญญาณของราก หาความหมายของรากได้

3 ... เมื่อแก้ไขระบบของสองเร็กคอร์ดแล้ว มันง่ายที่จะหารูทเอง ในสมการกำลังสองที่ให้มา ผลรวมของรากจะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายลบ ผลคูณของรากในสมการกำลังสองที่กำหนดจะเท่ากับค่าของสัมประสิทธิ์ที่สาม

4 ... ใช้รากเหล่านี้ เขียนสมการกำลังสอง นั่นคือ แก้ปัญหาผกผัน ตัวอย่างเช่น วิธีนี้ใช้เพื่อแก้ปัญหาในกลศาสตร์เชิงทฤษฎี

5 ... สะดวกในการใช้สูตรเมื่อสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับหนึ่ง

ข้อบกพร่อง:

1 ... สูตรไม่เป็นสากล

ทฤษฎีบทของ Vieta เกรด 8

สูตร
ถ้า x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสองลด x 2 + px + q = 0 ดังนั้น:

ตัวอย่างของ
x 1 = -1; x 2 = 3 - รากของสมการ x 2 - 2x - 3 = 0

P = -2, q = -3

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

ทฤษฎีบทการสนทนา

สูตร
หากตัวเลข x 1, x 2, p, q สัมพันธ์กันโดยเงื่อนไข:

จากนั้น x 1 และ x 2 จะเป็นรากของสมการ x 2 + px + q = 0

ตัวอย่าง
มาเขียนสมการกำลังสองสำหรับรากของมันกัน:

X 1 = 2 -? 3 และ x 2 = 2 +? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; พี = -4; q = x 1 x 2 = (2 -? 3) (2 +? 3) = 4 - 3 = 1

สมการที่ต้องการคือ: x 2 - 4x + 1 = 0