Kontabiliteti dhe analiza e burimeve të organizatës në menaxhim. Kontabiliteti dhe analiza (kontabiliteti financiar, kontabiliteti i menaxhimit, analiza financiare)

Midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit kuadratik, përveç formulave rrënjësore, ekzistojnë edhe marrëdhënie të tjera të dobishme që jepen nga Teorema e Vietës. Në këtë artikull, ne do të japim një formulim dhe vërtetim të teoremës së Vietës për një ekuacion kuadratik. Më pas, ne konsiderojmë një teoremë të kundërt me teoremën e Vieta-s. Pas kësaj do të analizojmë zgjidhjet e shembujve më karakteristikë. Së fundi, ne shkruajmë formulat Vieta që përcaktojnë lidhjen midis rrënjëve reale ekuacioni algjebrik shkalla n dhe koeficientët e saj.

Navigimi i faqes.

Teorema e Vietës, formulimi, vërtetimi

Nga formulat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik a x 2 +b x+c=0 të formës , ku D=b 2 −4 a c , marrëdhëniet x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Këto rezultate janë konfirmuar Teorema e Vietës:

Teorema.

Nëse x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik ax 2 +b x+c=0, atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me raportin e koeficientëve b dhe a, të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjët janë të barabarta me raportin e koeficientëve c dhe a, pra .

Dëshmi.

Teoremën e Vieta-s do ta vërtetojmë sipas skemës së mëposhtme: përpilojmë shumën dhe produktin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik duke përdorur formulat e njohura të rrënjës, pas kësaj transformojmë shprehjet që rezultojnë dhe sigurohemi që ato të jenë të barabarta me -b. /a dhe c/a, përkatësisht.

Le të fillojmë me shumën e rrënjëve, ta kompozojmë atë. Tani i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët, kemi. Në numëruesin e thyesës që rezulton , pas së cilës : . Më në fund, pas 2, marrim . Kjo vërteton relacionin e parë të teoremës së Vietës për shumën e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Le të kalojmë tek e dyta.

Përbëjmë prodhimin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik:. Sipas rregullit të shumëzimit të thyesave, prodhimi i fundit mund të shkruhet si. Tani ne e shumëzojmë kllapa me kllapa në numërues, por është më e shpejtë të shembet ky produkt me formula e dallimit të katrorëve, Kështu që . Pastaj, duke kujtuar , ne kryejmë tranzicionin tjetër. Dhe meqenëse formula D=b 2 −4 a·c korrespondon me diskriminuesin e ekuacionit kuadratik, atëherë b 2 −4·a·c mund të zëvendësohet në thyesën e fundit në vend të D, marrim . Pas hapjes së kllapave dhe reduktimit të termave të ngjashëm, arrijmë në thyesën , dhe reduktimi i saj me 4·a jep . Kjo vërteton lidhjen e dytë të teoremës së Vietës për produktin e rrënjëve.

Nëse i lëmë shpjegimet, atëherë vërtetimi i teoremës Vieta do të marrë një formë koncize:
,
.

Mbetet vetëm të theksohet se kur diskriminuesi është i barabartë me zero, ekuacioni kuadratik ka një rrënjë. Megjithatë, nëse supozojmë se ekuacioni në këtë rast ka dy rrënjë identike, atëherë barazimet nga teorema e Vietas gjithashtu vlejnë. Në të vërtetë, për D=0 rrënja e ekuacionit kuadratik është , atëherë dhe , dhe meqë D=0 , pra, b 2 −4·a·c=0 , prej nga b 2 =4·a·c , atëherë .

Në praktikë, teorema e Vietës përdoret më shpesh në lidhje me ekuacionin kuadratik të reduktuar (me koeficientin më të lartë a të barabartë me 1 ) të formës x 2 +p·x+q=0 . Ndonjëherë formulohet vetëm për ekuacione kuadratike të këtij lloji, gjë që nuk e kufizon përgjithësinë, pasi çdo ekuacion kuadratik mund të zëvendësohet nga një ekuacion ekuivalent duke pjesëtuar të dy pjesët e tij me një numër jo zero a. Këtu është formulimi përkatës i teoremës së Vietës:

Teorema.

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + px + q \u003d 0 është e barabartë me koeficientin në x, të marrë me shenjën e kundërt, dhe produkti i rrënjëve është termi i lirë, domethënë x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës

Formulimi i dytë i teoremës Vieta, i dhënë në paragrafin e mëparshëm, tregon se nëse x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0, atëherë marrëdhëniet x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. Nga ana tjetër, nga relacionet e shkruara x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, del se x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x 2 +p x+q=0. Me fjalë të tjera, pohimi i kundërt me teoremën e Vietës është i vërtetë. Ne e formulojmë atë në formën e një teoreme dhe e vërtetojmë atë.

Teorema.

Nëse numrat x 1 dhe x 2 janë të tillë që x 1 +x 2 =−p dhe x 1 x 2 =q, atëherë x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0 .

Dëshmi.

Pas zëvendësimit të koeficientëve p dhe q në ekuacionin x 2 +p x+q=0 të shprehjes së tyre përmes x 1 dhe x 2, ai shndërrohet në një ekuacion ekuivalent.

Ne e zëvendësojmë numrin x 1 në vend të x në ekuacionin që rezulton, kemi barazinë x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, që për çdo x 1 dhe x 2 është barazia numerike e saktë 0=0, pasi x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Prandaj, x 1 është rrënja e ekuacionit x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, që do të thotë se x 1 është rrënja e ekuacionit ekuivalent x 2 +p x+q=0 .

Nëse në ekuacion x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 zëvendësojmë numrin x 2 në vend të x, atëherë marrim barazinë x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Ky është ekuacioni i saktë sepse x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Prandaj, x 2 është gjithashtu rrënja e ekuacionit x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, dhe rrjedhimisht ekuacionet x 2 +p x+q=0 .

Kjo plotëson vërtetimin e teoremës së kundërt me teoremën e Vietës.

Shembuj të përdorimit të teoremës së Vietës

Është koha të flasim për zbatimin praktik të teoremës së Vietës dhe teoremës së saj të kundërt. Në këtë nënseksion, ne do të analizojmë zgjidhjet e disa prej shembujve më tipikë.

Fillojmë duke aplikuar një teoremë të kundërt me teoremën e Vietës. Është i përshtatshëm për ta përdorur atë për të kontrolluar nëse dy numrat e dhënë janë rrënjët e një ekuacioni të caktuar kuadratik. Në këtë rast, llogaritet shuma dhe diferenca e tyre, pas së cilës kontrollohet vlefshmëria e marrëdhënieve. Nëse të dyja këto marrëdhënie janë të kënaqura, atëherë, në bazë të teoremës së kundërt me teoremën e Vietës, arrihet në përfundimin se këta numra janë rrënjët e ekuacionit. Nëse të paktën një nga relacionet nuk është e kënaqur, atëherë këta numra nuk janë rrënjët e ekuacionit kuadratik. Kjo qasje mund të përdoret kur zgjidhen ekuacionet kuadratike për të kontrolluar rrënjët e gjetura.

Shembull.

Cili nga çiftet e numrave 1) x 1 =−5, x 2 =3, ose 2), ose 3) është një çift rrënjësh i ekuacionit kuadratik 4 x 2 −16 x+9=0?

Zgjidhje.

Koeficientët e ekuacionit kuadratik të dhënë 4 x 2 −16 x+9=0 janë a=4 , b=−16 , c=9 . Sipas teoremës së Vietës, shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik duhet të jetë e barabartë me −b/a, pra 16/4=4, dhe prodhimi i rrënjëve duhet të jetë i barabartë me c/a, pra 9. /4.

Tani le të llogarisim shumën dhe produktin e numrave në secilën nga tre çiftet e dhëna dhe t'i krahasojmë ato me vlerat e marra sapo.

Në rastin e parë, kemi x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Vlera që rezulton është e ndryshme nga 4, prandaj, verifikimi i mëtejshëm nuk mund të kryhet, por nga teorema, anasjellta e teoremës së Vieta, mund të konkludojmë menjëherë se çifti i parë i numrave nuk është një palë rrënjë të një ekuacioni kuadratik të caktuar. .

Le të kalojmë në rastin e dytë. Këtu, pra, plotësohet kushti i parë. Ne kontrollojmë kushtin e dytë: , vlera që rezulton është e ndryshme nga 9/4. Prandaj, çifti i dytë i numrave nuk është një çift i rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Rasti i fundit ka mbetur. Këtu dhe. Të dy kushtet janë plotësuar, kështu që këta numra x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik.

Përgjigje:

Teorema, e kundërta e teoremës së Vietës, mund të përdoret në praktikë për të zgjedhur rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Zakonisht, zgjidhen rrënjët e plota të ekuacioneve kuadratike të dhëna me koeficientë të plotë, pasi në raste të tjera kjo është mjaft e vështirë për t'u bërë. Në të njëjtën kohë, ata përdorin faktin se nëse shuma e dy numrave është e barabartë me koeficientin e dytë të ekuacionit kuadratik, marrë me shenjën minus, dhe prodhimi i këtyre numrave është i barabartë me termin e lirë, atëherë këta numra janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik. Le ta trajtojmë këtë me një shembull.

Marrim ekuacionin kuadratik x 2 −5 x+6=0 . Që numrat x 1 dhe x 2 të jenë rrënjët e këtij ekuacioni, duhet të plotësohen dy barazi x 1 +x 2 \u003d 5 dhe x 1 x 2 \u003d 6. Mbetet për të zgjedhur numra të tillë. Në këtë rast, kjo është mjaft e thjeshtë për t'u bërë: numra të tillë janë 2 dhe 3, pasi 2+3=5 dhe 2 3=6 . Kështu, 2 dhe 3 janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës është veçanërisht e përshtatshme për gjetjen e rrënjës së dytë të ekuacionit kuadratik të reduktuar kur njëra prej rrënjëve është tashmë e njohur ose e dukshme. Në këtë rast, rrënja e dytë gjendet nga ndonjë prej marrëdhënieve.

Për shembull, le të marrim ekuacionin kuadratik 512 x 2 −509 x−3=0 . Këtu është e lehtë të shihet se njësia është rrënja e ekuacionit, pasi shuma e koeficientëve të këtij ekuacioni kuadratik është zero. Pra x 1 = 1 . Rrënja e dytë x 2 mund të gjendet, për shembull, nga relacioni x 1 x 2 =c/a. Kemi 1 x 2 =−3/512, prej nga x 2 =−3/512. Pra, ne kemi përcaktuar të dy rrënjët e ekuacionit kuadratik: 1 dhe −3/512.

Është e qartë se zgjedhja e rrënjëve është e përshtatshme vetëm në rastet më të thjeshta. Në raste të tjera, për të gjetur rrënjët, mund të aplikoni formulat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik përmes diskriminuesit.

Një tjetër përdorim praktik teorema, e kundërta e teoremës së Vietës, konsiston në hartimin e ekuacioneve kuadratike për rrënjët e dhëna x 1 dhe x 2. Për ta bërë këtë, mjafton të llogaritet shuma e rrënjëve, e cila jep koeficientin e x me shenjën e kundërt të ekuacionit të dhënë kuadratik, dhe produktin e rrënjëve, që jep termin e lirë.

Shembull.

Shkruani një ekuacion kuadratik, rrënjët e të cilit janë numrat −11 dhe 23.

Zgjidhje.

Shënoni x 1 =−11 dhe x 2 =23 . Ne llogarisim shumën dhe prodhimin e këtyre numrave: x 1 + x 2 \u003d 12 dhe x 1 x 2 \u003d −253. Prandaj, këta numra janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik me koeficientin e dytë -12 dhe termin e lirë -253. Domethënë, x 2 −12·x−253=0 është ekuacioni i dëshiruar.

Përgjigje:

x 2 −12 x−253=0 .

Teorema e Vietës përdoret shumë shpesh në zgjidhjen e detyrave që lidhen me shenjat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Si lidhet teorema e Vietës me shenjat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0 ? Këtu janë dy deklarata përkatëse:

• Nëse prerja q është një numër pozitiv dhe nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, atëherë ose janë të dyja pozitive ose të dyja janë negative.
• Nëse termi i lirë q është numër negativ dhe nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, atëherë shenjat e tyre janë të ndryshme, me fjalë të tjera, njëra rrënjë është pozitive dhe tjetra negative.

Këto pohime rrjedhin nga formula x 1 x 2 =q, si dhe nga rregullat për shumëzimin e numrave pozitivë, negativë dhe numrave me shenja të ndryshme. Konsideroni shembuj të aplikimit të tyre.

Shembull.

R është pozitiv. Sipas formulës diskriminuese gjejmë D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , vlerën e shprehjes r 2 +8 është pozitive për çdo r real, pra D>0 për çdo r real. Prandaj, ekuacioni kuadratik origjinal ka dy rrënjë për çdo vlerë reale të parametrit r.

Tani le të zbulojmë se kur kanë rrënjët shenja të ndryshme. Nëse shenjat e rrënjëve janë të ndryshme, atëherë produkti i tyre është negativ, dhe nga teorema e Vietas, prodhimi i rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është i barabartë me termin e lirë. Prandaj, ne jemi të interesuar për ato vlera të r për të cilat termi i lirë r−1 është negativ. Kështu, për të gjetur vlerat e r-së që janë me interes për ne, duhet zgjidhni një pabarazi lineare r−1<0 , откуда находим r<1 .

Përgjigje:

në r<1 .

Formulat Vieta

Më sipër, folëm për teoremën e Vietës për një ekuacion kuadratik dhe analizuam marrëdhëniet që ajo pohon. Por ka formula që lidhin rrënjët reale dhe koeficientët jo vetëm të ekuacioneve kuadratike, por edhe të ekuacioneve kubike, ekuacioneve të katërfishta dhe në përgjithësi, ekuacionet algjebrike shkallë n. Ata quhen Formulat Vieta.

Ne shkruajmë formulat Vieta për një ekuacion algjebrik të shkallës n të formës, ndërsa supozojmë se ka n rrënjë reale x 1, x 2, ..., x n (midis tyre mund të ketë të njëjtat):

Merrni formulat Vieta lejon teorema e faktorizimit polinom, si dhe përcaktimi i polinomeve të barabarta nëpërmjet barazimit të të gjithë koeficientëve të tyre përkatës. Pra, polinomi dhe zgjerimi i tij në faktorë linearë të formës janë të barabartë. Duke hapur kllapat në produktin e fundit dhe duke barazuar koeficientët përkatës, marrim formulat Vieta.

Në veçanti, për n=2 kemi tashmë formula të njohura Vieta për ekuacionin kuadratik.

Për një ekuacion kub, formulat Vieta kanë formën

Mbetet vetëm të theksohet se në anën e majtë të formulave Vieta ka të ashtuquajturat elementare polinomet simetrike.

Bibliografi.

• Algjebra: teksti shkollor për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 16-të. - M. : Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algjebër dhe fillimi i analizës matematikore. Klasa 10: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm institucionet: bazë dhe profili. nivelet / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - botimi i 3-të. - M.: Iluminizmi, 2010.- 368 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Para se të vazhdojmë me teoremën e Vietës, ne prezantojmë një përkufizim. Ekuacioni kuadratik i formës x² + px + q= 0 quhet e reduktuar. Në këtë ekuacion, koeficienti kryesor është i barabartë me një. Për shembull, ekuacioni x² - 3 x- 4 = 0 zvogëlohet. Çdo ekuacion kuadratik i formës sëpatë² + b x + c= 0 mund të zvogëlohet, për këtë ne ndajmë të dyja anët e ekuacionit me por≠ 0. Për shembull, ekuacioni 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 pjesëtuar me 4 reduktohet në formën: x² + x- 3/4 = 0. Ne nxjerrim formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar, për këtë përdorim formulën për rrënjët e një ekuacioni të përgjithshëm kuadratik: sëpatë² + bx + c = 0

Ekuacioni i reduktuar x² + px + q= 0 përkon me një ekuacion të përgjithshëm në të cilin por = 1, b = fq, c = q. Prandaj, për ekuacionin e dhënë kuadratik, formula merr formën:

shprehja e fundit quhet formula e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar, është veçanërisht e përshtatshme të përdoret kjo formulë kur R- numër çift. Për shembull, le të zgjidhim ekuacionin x² - 14 x — 15 = 0

Si përgjigje, ne shkruajmë se ekuacioni ka dy rrënjë.

Për një ekuacion kuadratik të reduktuar me pozitiv, vlen teorema e mëposhtme.

Teorema e Vietës

Nëse x 1 dhe x 2 - rrënjët e ekuacionit x² + px + q= 0, atëherë formulat janë të vlefshme:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q, domethënë, shuma e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është e barabartë me koeficientin e dytë, marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.

Bazuar në formulën e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të mësipërm, kemi:

Duke shtuar këto barazi, marrim: x 1 + x 2 = —R.

Duke shumëzuar këto barazi, duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve, marrim:

Vini re se teorema Vieta është gjithashtu e vlefshme kur diskriminuesi është zero, nëse supozojmë se në këtë rast ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë identike: x 1 = x 2 = — R/2.

Jo zgjidhjen e ekuacioneve x² - 13 x+ 30 = 0 gjeni shumën dhe prodhimin e rrënjëve të tij x 1 dhe x 2. këtë ekuacion D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, kështu që mund të aplikoni teoremën Vieta: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Shqyrtoni disa shembuj të tjerë. Një nga rrënjët e ekuacionit x² — px- 12 = 0 është x 1 = 4. Gjeni koeficientin R dhe rrënja e dytë x 2 të këtij ekuacioni. Sipas teoremës së Vietës x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Sepse x 1 = 4 pastaj 4 x 2 = - 12, prej nga x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Si përgjigje, ne shkruajmë rrënjën e dytë x 2 = - 3, koeficienti p = - 1.

Jo zgjidhjen e ekuacioneve x² + 2 x- 4 = 0 gjeni shumën e katrorëve të rrënjëve të saj. Le te jete x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit. Sipas teoremës së Vietës x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Sepse x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, atëherë x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

Gjeni shumën dhe prodhimin e rrënjëve të ekuacionit 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. Ky ekuacion ka dy rrënjë të ndryshme, që nga diskriminuesi D= 16 + 4*3*5 > 0. Për të zgjidhur ekuacionin, përdorim teoremën Vieta. Kjo teoremë është vërtetuar për ekuacionin kuadratik të reduktuar. Pra, le ta ndajmë këtë ekuacion me 3.

Prandaj, shuma e rrënjëve është -4/3, dhe prodhimi i tyre është -5/3.

Në përgjithësi, rrënjët e ekuacionit sëpatë² + b x + c= 0 lidhen me barazitë e mëposhtme: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Për të marrë këto formula, mjafton të pjesëtohen të dyja anët e këtij ekuacioni kuadratik me por ≠ 0 dhe zbatoni teoremën e Vietës në ekuacionin kuadratik të reduktuar që rezulton. Konsideroni një shembull, ju duhet të hartoni një ekuacion të caktuar kuadratik, rrënjët e të cilit x 1 = 3, x 2 = 4. Sepse x 1 = 3, x 2 = 4 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x² + px + q= 0, pastaj nga teorema Vieta R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Si përgjigje, ne shkruajmë x² - 7 x+ 12 = 0. Teorema e mëposhtme përdoret në zgjidhjen e disa problemave.

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës

Nëse numrat R, q, x 1 , x 2 janë të tilla që x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, pastaj x 1 Dhe x2 janë rrënjët e ekuacionit x² + px + q= 0. Zëvendësim në anën e majtë x² + px + q në vend të R shprehje - ( x 1 + x 2), por në vend të kësaj q- punë x 1 * x 2 . Ne marrim: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Kështu, nëse numrat R, q, x 1 dhe x 2 janë të lidhura nga këto marrëdhënie, pastaj për të gjithë X barazisë x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), nga e cila rrjedh se x 1 dhe x 2 - rrënjët e ekuacionit x² + px + q= 0. Duke përdorur teoremën e kundërt me teoremën e Vietës, ndonjëherë është e mundur të gjenden rrënjët e një ekuacioni kuadratik me përzgjedhje. Konsideroni një shembull, x² - 5 x+ 6 = 0. Këtu R = — 5, q= 6. Zgjidh dy numra x 1 dhe x 2 në mënyrë që x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Duke vënë në dukje se 6 = 2 * 3, dhe 2 + 3 = 5, nga teorema e kundërt me teoremën e Vietës, marrim se x 1 = 2, x 2 = 3 - rrënjët e ekuacionit x² - 5 x + 6 = 0.

Teorema e Vietës

Le të shënojmë dhe shënojmë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar
(1) .
Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin në të marrë me shenjën e kundërt. Produkti i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë:
;
.

Një shënim për rrënjët e shumta

Nëse diskriminuesi i ekuacionit (1) është zero, atëherë ky ekuacion ka një rrënjë. Por, për të shmangur formulimet e rënda, përgjithësisht pranohet se në këtë rast, ekuacioni (1) ka dy rrënjë të shumëfishta ose të barabarta:
.

Prova një

Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit (1). Për ta bërë këtë, aplikoni formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik:
;
;
.

Gjetja e shumës së rrënjëve:
.

Për të gjetur produktin, ne aplikojmë formulën:
.
Pastaj

.

Teorema është vërtetuar.

Prova dy

Nëse numrat dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik (1), atëherë
.
Hapim kllapat.

.
Kështu, ekuacioni (1) do të marrë formën:
.
Duke krahasuar me (1) gjejmë:
;
.

Teorema është vërtetuar.

Teorema e anasjelltë Vieta

Le të ketë numra arbitrar. Pastaj dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik
,
ku
(2) ;
(3) .

Vërtetimi i teoremës së kundërt të Vietës

Merrni parasysh ekuacionin kuadratik
(1) .
Ne duhet të vërtetojmë se nëse dhe , atëherë dhe janë rrënjët e ekuacionit (1).

Zëvendësoni (2) dhe (3) në (1):
.
Ne grupojmë termat e anës së majtë të ekuacionit:
;
;
(4) .

Zëvendësimi në (4):
;
.

Zëvendësimi në (4):
;
.
Ekuacioni është përmbushur. Kjo do të thotë, numri është rrënja e ekuacionit (1).

Teorema është vërtetuar.

Teorema e Vietës për ekuacionin e plotë kuadratik

Tani merrni parasysh ekuacionin e plotë kuadratik
(5) ,
ku , dhe janë disa numra. Dhe .

Ne e ndajmë ekuacionin (5) me:
.
Kjo do të thotë, ne kemi marrë ekuacionin e mësipërm
,
ku ; .

Atëherë teorema Vieta për ekuacionin e plotë kuadratik ka formën e mëposhtme.

Le të shënojmë dhe shënojmë rrënjët e ekuacionit të plotë kuadratik
.
Pastaj shuma dhe produkti i rrënjëve përcaktohen nga formula:
;
.

Teorema e Vietës për një ekuacion kub

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të vendosim lidhje midis rrënjëve të një ekuacioni kub. Merrni parasysh ekuacionin kub
(6) ,
ku , , , janë disa numra. Dhe .
Le ta ndajmë këtë ekuacion me:
(7) ,
ku , , .
Le të jenë , , rrënjët e ekuacionit (7) (dhe ekuacionit (6)). Pastaj

.

Duke krahasuar me ekuacionin (7) gjejmë:
;
;
.

Teorema e Vietës për një ekuacion të shkallës së n-të

Në të njëjtën mënyrë, ju mund të gjeni lidhje midis rrënjëve , , ... , , për ekuacionin e shkallës së n-të
.

Teorema e Vietës për një ekuacion të shkallës së n-të ka formën e mëposhtme:
;
;
;

.

Për të marrë këto formula, ne shkruajmë ekuacionin në formën e mëposhtme:
.
Pastaj barazojmë koeficientët në , , , ... , dhe krahasojmë termin e lirë.

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i Matematikës për Inxhinierë dhe Studentë të Institucioneve të Arsimit të Lartë, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algjebra: një libër shkollor për klasën e 8-të të institucioneve arsimore, Moskë, Edukimi, 2006.

Një nga metodat për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik është aplikimi Formulat VIETA, i cili u emërua pas FRANCOIS VIETE.

Ai ishte një avokat i famshëm dhe shërbeu në shekullin e 16-të me mbretin francez. Në kohën e lirë studionte astronomi dhe matematikë. Ai vendosi një lidhje midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik.

Përparësitë e formulës:

1 . Duke aplikuar formulën, mund ta gjeni shpejt zgjidhjen. Sepse nuk keni nevojë të futni koeficientin e dytë në katror, ​​pastaj zbritni 4ac prej tij, gjeni diskriminuesin, zëvendësoni vlerën e tij në formulën për gjetjen e rrënjëve.

2 . Pa një zgjidhje, ju mund të përcaktoni shenjat e rrënjëve, të zgjidhni vlerat e rrënjëve.

3 . Pasi të keni zgjidhur sistemin e dy regjistrimeve, nuk është e vështirë të gjesh vetë rrënjët. Në ekuacionin kuadratik të mësipërm, shuma e rrënjëve është e barabartë me vlerën e koeficientit të dytë me shenjën minus. Prodhimi i rrënjëve në ekuacionin kuadratik të mësipërm është i barabartë me vlerën e koeficientit të tretë.

4 . Sipas rrënjëve të dhëna, shkruani një ekuacion kuadratik, pra zgjidhni problemin e anasjelltë. Për shembull, kjo metodë përdoret në zgjidhjen e problemeve në mekanikën teorike.

5 . Është i përshtatshëm për të aplikuar formulën kur koeficienti kryesor është i barabartë me një.

Disavantazhet:

1 . Formula nuk është universale.

Teorema e Vietës Klasa 8

Formula
Nëse x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik x 2 + px + q \u003d 0, atëherë:

Shembuj
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - rrënjët e ekuacionit x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Teorema e anasjelltë

Formula
Nëse numrat x 1 , x 2 , p, q lidhen me kushtet:

Atëherë x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit x 2 + px + q = 0.

Shembull
Le të bëjmë një ekuacion kuadratik nga rrënjët e tij:

X 1 \u003d 2 -? 3 dhe x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Ekuacioni i dëshiruar ka formën: x 2 - 4x + 1 = 0.