Որի միջոցով իրականացվում է ֆինանսական պլանավորում։ Ֆինանսական պլանավորում

Եկեք վերլուծենք հավանականության դասական սահմանումը բանաձևերի և օրինակների միջոցով:

Պատահական իրադարձությունները կոչվում են անհամատեղելիեթե դրանք միաժամանակ չեն կարող առաջանալ: Օրինակ, երբ մետաղադրամ ենք նետում, մի բան դուրս կգա՝ «գերբ» կամ թիվ, «և դրանք չեն կարող միաժամանակ հայտնվել, քանի որ տրամաբանական է, որ դա անհնար է։ Իրադարձությունները, ինչպիսիք են հարվածը և բաց թողնելը կրակոցից հետո, կարող են անհամատեղելի լինել:

Վերջավոր բազմության ձևի պատահական իրադարձություններ ամբողջական խումբզույգերով անհամատեղելի իրադարձություններ, եթե յուրաքանչյուր փորձության ժամանակ հայտնվում է մեկը, և այդ իրադարձություններից միայն մեկն է միակ հնարավորը:

Դիտարկենք մետաղադրամ նետելու նույն օրինակը.

Առաջին մետաղադրամ Երկրորդ մետաղադրամ Իրադարձություններ

1) «զինանշան» «զինանշան».

2) «զինանշան» «համար».

3) «համար» «զինանշան».

4) «համար» «համար».

Կամ կրճատված - «YY», - «MS», - «CH», - «CH»:

Իրադարձությունները կոչվում են հավասարապես հնարավոր է, եթե ուսումնասիրության պայմանները ապահովում են դրանցից յուրաքանչյուրի արտաքին տեսքի նույն հնարավորությունը։

Ինչպես հասկանում եք, երբ սիմետրիկ մետաղադրամ եք նետում, ապա այն ունի նույն հնարավորությունները, և կա հավանականություն, որ թե՛ «զինանշանը», թե՛ «համարը» ընկնեն։ Նույնը վերաբերում է սիմետրիկ զառեր գցելուն, քանի որ հավանականություն կա, որ կարող են հայտնվել 1, 2, 3, 4, 5, 6 ցանկացած թվով դեմքեր:

Ասենք, որ հիմա մենք ծանրության կենտրոնի տեղաշարժով ենք նետում խորանարդը, օրինակ՝ դեպի 1 համարով կողմը, ապա հակառակ կողմը, այսինքն՝ այլ թիվ ունեցող կողմը, ամենից հաճախ դուրս կընկնի։ Այսպիսով, այս մոդելում 1-ից 6 թվանշաններից յուրաքանչյուրի առաջացման հնարավորությունները տարբեր կլինեն:

Հավասարապես հնարավոր և եզակիորեն հնարավոր պատահական իրադարձությունները կոչվում են դեպքեր:

Կան պատահական իրադարձություններ, որոնք դեպքեր են, և կան պատահական իրադարձություններ, որոնք դեպքեր չեն: Ստորև բերված են այս իրադարձությունների օրինակները:

Այն դեպքերը, որոնց արդյունքում պատահական իրադարձություն է հայտնվում, կոչվում են բարենպաստ դեպքեր այս իրադարձության համար։

Եթե ​​մենք նշում ենք , որոնք ազդում են իրադարձության վրա բոլոր հնարավոր դեպքերում, և միջոցով - պատահական իրադարձության հավանականությունը, ապա կարող ենք գրել հավանականության հայտնի դասական սահմանումը.

Սահմանում

Իրադարձության հավանականությունը այս իրադարձությանը նպաստավոր դեպքերի թվի հարաբերակցությունն է բոլոր հնարավոր դեպքերի ընդհանուր թվին, այսինքն.

Հավանականության հատկություններ

Դիտարկվել է դասական հավանականությունը, և այժմ մենք կվերլուծենք հավանականության հիմնական և կարևոր հատկությունները:

Գույք 1.Որոշակի իրադարձության հավանականությունը հավասար է մեկի։

Օրինակ, եթե դույլի բոլոր գնդակները սպիտակ են, ապա պատահականորեն սպիտակ գնդիկ ընտրելու իրադարձության վրա ազդում են դեպքերը, .

Գույք 2.Անհնարին իրադարձության հավանականությունը զրոյական է։

Գույք 3.Պատահական իրադարձության հավանականությունը դրական թիվ է.

Այսպիսով, ցանկացած իրադարձության հավանականությունը բավարարում է անհավասարությունը.

Հիմա եկեք որոշ օրինակներ լուծենք հավանականության դասական սահմանման վերաբերյալ։

Հավանականության դասական սահմանման օրինակներ

Օրինակ 1

Առաջադրանք

Զամբյուղում կա 20 գնդակ, որոնցից 10-ը սպիտակ են, 7-ը՝ կարմիր, 3-ը՝ սև։ Մեկ գնդակ ընտրվում է պատահականության սկզբունքով: Ընտրված է սպիտակ գնդակ (իրադարձություն), կարմիր գնդակ (իրադարձություն) և սև գնդակ (իրադարձություն): Գտեք պատահական իրադարձությունների հավանականությունը:

Որոշում

Ըստ խնդրի պայմանի, նպաստել , և հնարավոր դեպքերին, հետևաբար, ըստ (1) բանաձևի.

սպիտակ գնդակի հավանականությունն է:

Նմանապես կարմիրի համար.

Իսկ սևի համար.

Պատասխանել

Պատահական իրադարձության հավանականությունը , , .

Օրինակ 2

Առաջադրանք

Տուփի մեջ կա 25 միանման էլեկտրական լամպ, որոնցից 2-ը թերի են։ Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված լամպը թերի չէ:

Որոշում

Ըստ խնդրի վիճակի՝ բոլոր լամպերը նույնն են, և ընտրված է միայն մեկը։ Ընտրելու ընդհանուր հնարավորություններ. Բոլոր 25 լամպերի մեջ երկուսը թերի են, ինչը նշանակում է, որ մնացած լամպերը հարմար են։ Հետևաբար, համաձայն (1) բանաձևի, հարմար էլեկտրական լամպի (իրադարձություն) ընտրելու հավանականությունը հավասար է.

Պատասխանել

Հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված լամպը թերի չէ = .

Օրինակ 3

Առաջադրանք

Երկու մետաղադրամ են նետվում պատահականության սկզբունքով: Գտեք նման իրադարձությունների հավանականությունը.

1) - երկու մետաղադրամների վրա էլ զինանշանն ընկել է.

2) - մետաղադրամներից մեկի վրա ընկել է զինանշան, իսկ երկրորդի վրա՝ թիվ.

3) - թվերն ընկել են երկու մետաղադրամների վրա.

4) - առնվազն մեկ անգամ զինանշանը դուրս է ընկել:

Որոշում

Այստեղ գործ ունենք չորս իրադարձությունների հետ. Եկեք պարզենք, թե որ դեպքերն են նպաստում դրանցից յուրաքանչյուրին։ Միջոցառմանը նպաստում է մեկ դեպք, երբ զինանշանն ընկել է երկու մետաղադրամների վրա (կրճատ՝ GG):

Դեպքի հետ առնչվելու համար պատկերացրեք, որ մի մետաղադրամը արծաթ է, իսկ երկրորդը` պղինձ: Մետաղադրամներ նետելիս կարող են լինել դեպքեր.

1) արծաթե զինանշանի վրա, պղնձե զինանշանի վրա՝ թիվ (նշենք այն որպես «MS»);

2) արծաթե համարի վրա, պղնձի վրա՝ զինանշան (- «ՉԳ»).

Այսպիսով, իրադարձություններին նպաստում են դեպքերը և .

Միջոցառմանը նպաստում է մեկ դեպք. երկու մետաղադրամների վրա էլ թվեր են ընկել՝ «CH»:

Այսպիսով, իրադարձությունները կամ (YY, MG, TY, FF) կազմում են իրադարձությունների ամբողջական խումբ, այս բոլոր իրադարձություններն անհամատեղելի են, քանի որ դրանցից միայն մեկն է տեղի ունենում նետման արդյունքում: Բացի այդ, սիմետրիկ մետաղադրամների համար բոլոր չորս իրադարձությունները հավասարապես հավանական են, ուստի դրանք կարելի է համարել դեպքեր: Հնարավոր է չորս իրադարձություն.

Իրադարձությանը նպաստում է միայն մեկ իրադարձություն, ուստի դրա հավանականությունը հետևյալն է.

Իրադարձությանը նպաստում են երկու դեպք, ուստի.

Իրադարձության հավանականությունը նույնն է, ինչ.

Իրադարձությանը նպաստում են երեք դեպքեր՝ YY, YY, YY և հետևաբար.

Քանի որ համարվում են GY, MS, CH, CH իրադարձությունները, որոնք հավասարապես հավանական են և ստեղծում են իրադարձությունների ամբողջական խումբ, ապա դրանցից որևէ մեկի հայտնվելը վստահելի իրադարձություն է (նշում ենք տառով, որին նպաստում են բոլոր 4-ը. դեպքեր Հետևաբար հավանականությունը.

Այսպիսով, հաստատվում է հավանականության առաջին հատկությունը։

Պատասխանել

Իրադարձության հավանականությունը.

Իրադարձության հավանականությունը.

Իրադարձության հավանականությունը.

Իրադարձության հավանականությունը.

Օրինակ 4

Առաջադրանք

Նետվում են նույն և կանոնավոր երկրաչափական ձևով երկու զառեր։ Գտե՛ք երկու կողմի բոլոր հնարավոր գումարների հավանականությունը, որոնք ընկնում են:

Որոշում

Խնդիրն ավելի հեշտ լուծելու համար պատկերացրեք, որ մի խորանարդը սպիտակ է, մյուսը՝ սև։ Սպիտակ դիակի վեց երեսներից յուրաքանչյուրի և սևի վեց երեսներից մեկը նույնպես կարող է ընկնել, ուստի կլինեն բոլոր հնարավոր զույգերը:

Քանի որ առանձին ձուլվածքի վրա դեմքերի հայտնվելու հնարավորությունը նույնն է (ճիշտ երկրաչափական ձևի խորանարդներ), ապա յուրաքանչյուր զույգ դեմքի երևալու հավանականությունը նույնը կլինի, ընդ որում, նետվելու արդյունքում միայն. զույգերից մեկը դուրս է ընկնում. Իրադարձությունների արժեքները անհամատեղելի են, եզակի: Սրանք դեպքեր են, և կա 36 հնարավոր դեպք։

Հիմա հաշվի առեք դեմքերի վրա գումարի արժեքի հավանականությունը: Ակնհայտ է, որ ամենափոքր գումարը 1 + 1 = 2 է, իսկ ամենամեծը՝ 6 + 6 = 12։ Մնացած գումարը մեծանում է մեկով՝ սկսած երկրորդից։ Նշանակենք այն իրադարձությունները, որոնց ցուցանիշները հավասար են զառերի երեսին ընկած միավորների գումարին։ Այս իրադարձություններից յուրաքանչյուրի համար մենք գրում ենք բարենպաստ դեպքեր՝ օգտագործելով նշումը, որտեղ է գումարը, սպիտակ մատիտի վերին երեսի կետերն են և սև մատիտի երեսի կետերն են:

Այսպիսով, միջոցառման համար.

համար – մեկ դեպք (1 + 1);

համար – երկու դեպք (1 + 2; 2 + 1);

- երեք դեպքի համար (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

- չորս դեպքի համար (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

- հինգ դեպքի համար (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

- վեց դեպքի համար (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

- հինգ դեպքի համար (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

- չորս դեպքի համար (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

- երեք դեպքի համար (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

երկու դեպքի համար (5 + 6; 6 + 5);

համար – մեկ դեպք (6 + 6):

Այսպիսով, հավանականությունները հետևյալն են.

Պատասխանել

Օրինակ 5

Առաջադրանք

Փառատոնից առաջ երեք մասնակցի առաջարկվել է վիճակահանություն կատարել. մասնակիցներից յուրաքանչյուրն իր հերթին մոտենում է դույլին և պատահականության սկզբունքով ընտրում 1, 2 և 3 համարներով երեք քարտերից մեկը, ինչը նշանակում է տվյալ մասնակցի ներկայացման սերիական համարը։

Գտեք նման իրադարձությունների հավանականությունը.

1) - հերթում սերիական համարը համընկնում է քարտի համարին, այսինքն՝ կատարման սերիական համարին.

2) - հերթում ոչ մի համար չի համապատասխանում կատարման համարին.

3) - հերթի թվերից միայն մեկն է համապատասխանում կատարման համարին.

4) – հերթի թվերից առնվազն մեկը համապատասխանում է կատարման համարին:

Որոշում

Քարտերի ընտրության հնարավոր արդյունքները երեք տարրերի փոխարկումներն են, որոնց թիվը հավասար է . Յուրաքանչյուր փոխակերպում իրադարձություն է: Այս իրադարձությունները նշենք որպես . Փակագծերում տրված յուրաքանչյուր իրադարձությանը նշանակում ենք համապատասխան փոխակերպում.

; ; ; ; ; .

Թվարկված իրադարձությունները հավասարապես հնարավոր են ու միատեսակ, այսինքն՝ սրանք դեպքերն են։ Նշեք հետևյալ կերպ՝ (1h, 2h, 3h) - համապատասխան թվերը հերթում։

Սկսենք իրադարձությունից։ Բարենպաստ է միայն մեկ դեպք, հետևաբար.

Միջոցառման համար նպաստավոր են երկու դեպքեր և հետևաբար.

Միջոցառմանը նպաստում է 3 դեպք. հետևաբար.

Ի լրումն , միջոցառումը նաև նպաստում է , այսինքն.

Պատասխանել

Իրադարձության հավանականությունը .

Իրադարձության հավանականությունը .

Իրադարձության հավանականությունը .

Իրադարձության հավանականությունը .

Հավանականության դասական սահմանումը` տեսություն և խնդրի լուծումթարմացվել է՝ 2017 թվականի սեպտեմբերի 15-ին: Գիտական ​​հոդվածներ.Ru

ՌՈՒՍԱՍՏԱՆԻ ԱԶԳԱՅԻՆ ՏՆՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ՀԱՆՐԱՅԻՆ ՏՆՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ԱԿԱԴԵՄԻԱ ՌՈՒՍԱՍՏԱՆԻ ԴԱՇՆՈՒԹՅԱՆ ՆԱԽԱԳԱՀԻՆ ԿԻՆ.

ՕՐԵԼԻ ՄԱՍՆԱՃՅՈՒՂ

սոցիոլոգիայի բաժին և տեղեկատվական տեխնոլոգիաներ

Տիպիկ հաշվարկ թիվ 1

«Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» առարկայից.

«Հավանականությունների տեսության հիմունքները» թեմայով

Արծիվ - 2016 թ.

Նպատակը:տեսական գիտելիքների համախմբում հավանականության տեսության հիմունքների թեմայի շուրջ՝ բնորոշ խնդիրների լուծման միջոցով։ Պատահական իրադարձությունների հիմնական տեսակների հասկացությունների յուրացում և իրադարձությունների վրա հանրահաշվական գործողությունների հմտությունների զարգացում.

Աշխատանքի ներկայացման պահանջներ: աշխատանքը կատարվում է ձեռագիր ձևով, աշխատանքը պետք է պարունակի բոլոր անհրաժեշտ բացատրությունները և եզրակացությունները, բանաձևերը պետք է պարունակեն ընդունված նշանակումների վերծանում, էջերը պետք է համարակալված լինեն։

Տարբերակի համար համապատասխանում է խմբային ցանկում սովորողի հերթական համարին:

Հիմնական տեսական տեղեկատվություն

Հավանականությունների տեսություն- մաթեմատիկայի ճյուղ, որն ուսումնասիրում է պատահական երևույթների օրինաչափությունները:

Իրադարձության հայեցակարգը. Իրադարձությունների դասակարգում.

Հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացություններից մեկը իրադարձության հասկացությունն է: Իրադարձությունները նշվում են լատինատառ մեծատառերով: ԲԱՅՑ, AT, Հետ,…

Իրադարձություն- սա թեստի կամ փորձի հնարավոր արդյունք է (արդյունք):

Թեստավորումը հասկացվում է որպես ցանկացած նպատակային գործողություն:

Օրինակ Կրակողը կրակում է թիրախի վրա: Կրակոցը փորձություն է, թիրախին հարվածելը իրադարձություն է։

Միջոցառումը կոչվում է պատահական , եթե տվյալ փորձի պայմաններում այն ​​կարող է և՛ առաջանալ, և՛ չառաջանալ։

Օրինակ Կրակոց ատրճանակից - թեստ

Inc. ԲԱՅՑ- հարվածել թիրախին

Inc. AT– բաց թողնել – պատահական իրադարձություններ:

Միջոցառումը կոչվում է հուսալի եթե թեստի արդյունքում այն ​​պետք է անպայման տեղի ունենա։

Օրինակ Զառ նետելիս գցեք ոչ ավելի, քան 6 միավոր:

Միջոցառումը կոչվում է անհնարին եթե տվյալ փորձի պայմաններում այն ​​ընդհանրապես չի կարող տեղի ունենալ։

Օրինակ 6-ից ավելի միավոր գլորվել է մեռնոց նետելիս:

Իրադարձությունները կոչվում են անհամատեղելի եթե դրանցից մեկի առաջացումը բացառում է մյուսի առաջացումը։ Հակառակ դեպքում իրադարձությունները կոչվում են համատեղ։

Օրինակ Գցվում է զառ: 5-ի գլանակը վերացնում է 6-ի գլանակը: Սրանք անհամատեղելի իրադարձություններ են։ Երկու տարբեր առարկաների քննություններից «լավ» և «գերազանց» գնահատականներ ստացող ուսանողը համատեղ միջոցառում է:

Երկու անհամատեղելի իրադարձություններ, որոնցից մեկը պետք է անպայման տեղի ունենա, կոչվում են հակառակը . Իրադարձությանը հակառակ իրադարձություն ԲԱՅՑնշանակել Ā .

Օրինակ «Զինանշանի» տեսքը և մետաղադրամ նետելիս «պոչի» տեսքը հակադիր իրադարձություններ են։

Այս փորձառության մի քանի իրադարձություններ կոչվում են հավասարապես հնարավոր է եթե հիմքեր կան ենթադրելու, որ այս իրադարձություններից ոչ մեկն ավելի հնարավոր չէ, քան մյուսները:

Օրինակ խաղաթղթերի տախտակամածից նկարել ace, տասնյակ, թագուհիներ. իրադարձությունները հավասարապես հավանական են:

Ձևավորվում են մի քանի իրադարձություն ամբողջական խումբ եթե թեստի արդյունքում այս իրադարձություններից մեկը և միայն մեկը պետք է անպայման տեղի ունենա:

Օրինակ 1, 2, 3, 4, 5, 6 կետերի քանակի գցում, երբ գցում ենք մանդերը:

Իրադարձության հավանականության դասական սահմանումը. Հավանականության հատկություններ

Համար գործնական գործունեությունկարևոր է, որ կարողանանք համեմատել իրադարձությունները՝ ըստ դրանց առաջացման հավանականության աստիճանի։

ՀավանականությունԻրադարձությունը իրադարձության տեղի ունենալու օբյեկտիվ հնարավորության աստիճանի թվային չափումն է:

Եկեք զանգենք տարրական արդյունք հավասարապես հավանական թեստի արդյունքներից յուրաքանչյուրը:

Ելք կոչվում է բարենպաստ (բարենպաստ) իրադարձություն ԲԱՅՑ, եթե դրա առաջացումը ենթադրում է իրադարձության առաջացում ԲԱՅՑ.

Դասական սահմանում Իրադարձության հավանականությունը ԲԱՅՑհավասար է տվյալ իրադարձության համար նպաստավոր արդյունքների քանակի և հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թվի հարաբերակցությանը:

(1) որտեղ Պ(Ա) իրադարձության հավանականությունն է ԲԱՅՑ,

մ- բարենպաստ արդյունքների քանակը,

nբոլոր հնարավոր արդյունքների թիվն է:

Օրինակ Վիճակախաղում կա 1000 տոմս, որից 700-ը շահում չէ։ Որքա՞ն է շահելու հավանականությունը մեկ գնված տոմսով:

Իրադարձություն ԲԱՅՑ- գնել է շահող տոմս

Հնարավոր արդյունքների քանակը n=1000-ը վիճակախաղի տոմսերի ընդհանուր թիվն է:

Միջոցառմանը նպաստող արդյունքների քանակը ԲԱՅՑշահած տոմսերի թիվն է, այսինքն. մ=1000-700=300.

Ըստ հավանականության դասական սահմանման.

Պատասխան.
.

Նշում իրադարձությունների հավանականության հատկությունները:

1) Ցանկացած իրադարձության հավանականությունը զրոյի և մեկի միջև է, այսինքն. 0≤ Պ(Ա)≤1.

2) Որոշակի իրադարձության հավանականությունը 1 է:

3) Անհնարին իրադարձության հավանականությունը 0 է:

Բացի դասականից, կան նաև հավանականության երկրաչափական և վիճակագրական սահմանումներ։

Կոմբինատորիկայի տարրեր.

Կոմբինատորիկայի բանաձևերը լայնորեն օգտագործվում են տվյալ իրադարձության համար բարենպաստ արդյունքների կամ արդյունքների ընդհանուր թիվը հաշվարկելու համար:

Թող լինի հավաքածու Ն-ից nտարբեր տարրեր.

Սահմանում 1: Համակցություններ, որոնցից յուրաքանչյուրը ներառում է բոլորը nայն տարրերը, որոնք միմյանցից տարբերվում են միայն տարրերի հերթականությամբ, կոչվում են փոխարկումներ -ից nտարրեր.

Պ n=n! (2), որտեղ n! (n-գործոնային) - արտադրանք nբնական շարքի առաջին թվերը, այսինքն.

n! = 1∙2∙3∙…∙(n–1)∙n

Այսպիսով, օրինակ, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

Սահմանում 2: մտարրեր ( մ≤n) և միմյանցից տարբերվող կամ տարրերի կազմով կամ դրանց հերթականությամբ կոչվում են տեղաբաշխումներ -ից nվրա մտարրեր.

(3) 
Սահմանում 3: Համակցություններ, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է մտարրեր ( մ≤n) և միմյանցից տարբերվող միայն տարրերի կազմով կոչվում են համակցություններ -ից nվրա մտարրեր.

(4)
Մեկնաբանություն:Նույն համակցության մեջ տարրերի հերթականության փոփոխությունը չի հանգեցնում նոր համակցության:

Մենք ձևակերպում ենք երկու կարևոր կանոն, որոնք հաճախ օգտագործվում են կոմբինատոր խնդիրներ լուծելիս

Գումարի կանոն. եթե օբյեկտ ԲԱՅՑկարելի է ընտրել մուղիները և առարկան AT – nուղիներ, ապա ընտրությունը կամ ԲԱՅՑկամ ATկարելի է անել մ+nուղիները.

Ապրանքի կանոն. եթե օբյեկտ ԲԱՅՑկարելի է ընտրել մուղիները և առարկան ATյուրաքանչյուր նման ընտրությունից հետո կարելի է ընտրել nուղիներ, ապա զույգ առարկաներ ԲԱՅՑև ATկարելի է ընտրել այդ հերթականությամբ: մ ∙ nուղիները.

1. Հիմնական թեորեմների և հավանականության բանաձևերի ներկայացում՝ գումարման թեորեմ, պայմանական հավանականություն, բազմապատկման թեորեմ, իրադարձությունների անկախություն, ընդհանուր հավանականության բանաձև։

Նպատակները:իրադարձության հավանականության հայեցակարգի ներդրման համար բարենպաստ պայմանների ստեղծում. հավանականությունների տեսության հիմնական թեորեմների և բանաձևերի իմացություն; մուտքագրեք ընդհանուր հավանականության բանաձևը.

Դասի առաջընթաց.

Պատահական փորձ (փորձ)գործընթաց է, որի ընթացքում հնարավոր են տարբեր արդյունքներ, և հնարավոր չէ նախապես կանխատեսել, թե ինչ արդյունք կունենա: Փորձառության հնարավոր փոխադարձ բացառող արդյունքները կոչվում են իր տարրական իրադարձություններ . Տարրական իրադարձությունների ամբողջությունը կնշանակվի Վ.

պատահական իրադարձությունկոչվում է իրադարձություն, որի մասին հնարավոր չէ նախապես ասել՝ դա տեղի կունենա փորձի արդյունքում, թե ոչ։ Յուրաքանչյուր պատահական A իրադարձություն, որը տեղի է ունեցել փորձի արդյունքում, կարող է կապված լինել W-ի տարրական իրադարձությունների խմբի հետ: Այս խումբը կազմող տարրական իրադարձությունները կոչվում են. նպաստավոր իրադարձության առաջացման համար Ա.

W բազմությունը կարող է դիտվել նաև որպես պատահական իրադարձություն։ Քանի որ այն ներառում է բոլոր տարրական իրադարձությունները, այն անպայման տեղի կունենա փորձի արդյունքում։ Նման իրադարձություն կոչվում է հուսալի .

Եթե ​​տվյալ իրադարձության համար W-ից չկան բարենպաստ տարրական իրադարձություններ, ապա այն չի կարող տեղի ունենալ փորձի արդյունքում։ Նման իրադարձություն կոչվում է անհնարին.

Իրադարձությունները կոչվում են հավասարապես հնարավոր է եթե թեստի արդյունքում այս իրադարձությունները տեղի կունենան հավասար հնարավորություններ: Երկու պատահական իրադարձություն են կոչվում հակառակը եթե փորձի արդյունքում դրանցից մեկը տեղի ունենա, եթե և միայն այն դեպքում, եթե մյուսը տեղի չունենա: A-ին հակառակ իրադարձությունը նշանակվում է .

A և B իրադարձությունները կոչվում են անհամատեղելի եթե դրանցից մեկի առաջացումը բացառում է մյուսի առաջացումը. Իրադարձությունները A 1 , A 2 , ..., A n են կոչվում զույգերով անհամատեղելի, եթե դրանցից որևէ մեկը անհամատեղելի է: Իրադարձություններ A 1 , A 2 , ..., An form ամբողջական համակարգզույգերով անհամատեղելի իրադարձություններ եթե թեստի արդյունքում դրանցից մեկը և միայն մեկը վստահ կլինի:

Իրադարձությունների գումարը (համակցությունը). A 1 , A 2 , ..., A n-ն այնպիսի իրադարձություն է C, որը բաղկացած է նրանից, որ A 1, A 2, ..., A n իրադարձություններից առնվազն մեկը տեղի է ունեցել Իրադարձությունների գումարը նշվում է. Ինչպես նշված է հետեւյալում:

C \u003d A 1 + A 2 + ... + A n.

Իրադարձությունների արտադրանքը (հատումը): A 1 , A 2 , ..., A n նման իրադարձություն P կոչվում է, որը բաղկացած է նրանից, որ A 1 , A 2 , ..., A n բոլոր իրադարձությունները տեղի են ունեցել միաժամանակ։ Նշվում է իրադարձությունների արտադրյալը

Հավանականությունը P(A) հավանականության տեսության մեջ գործում է որպես ցանկացած կոնկրետ պատահական իրադարձության A-ի առաջացման հնարավորության աստիճանի թվային բնութագիր՝ թեստերի բազմակի կրկնություններով:

Օրինակ՝ 1000 գցման դեպքում 4 թիվը 160 անգամ բարձրանում է։ 160/1000 = 0,16 հարաբերակցությունը ցույց է տալիս 4 թվի հարաբերական հաճախականությունը, որն ընկնում է այս թեստերի շարքում: Ավելի ընդհանուր պատահական իրադարձությունների հաճախականություն Իսկ մի շարք փորձեր կատարելիս նրանք անվանում են փորձերի քանակի հարաբերակցությունը, որոնցում տեղի է ունեցել տվյալ իրադարձությունը փորձերի ընդհանուր թվին.

որտեղ P*(A)-ն A իրադարձության հաճախականությունն է. m-ը փորձերի քանակն է, որոնցում տեղի է ունեցել A իրադարձությունը. n-ը փորձերի ընդհանուր թիվն է:

Պատահական իրադարձության հավանականությունը A կոչվում է հաստատուն թիվ, որի շուրջ խմբավորվում են տվյալ իրադարձության հաճախականությունները, քանի որ փորձերի թիվը մեծանում է ( իրադարձության հավանականության վիճակագրական որոշում ). Պատահական իրադարձության հավանականությունը նշվում է P(A):

Բնականաբար, ոչ ոք երբեք չի կարողանա անսահմանափակ թվով թեստեր անել՝ հավանականությունը որոշելու համար։ Սրա կարիքը չկա։ Գործնականում հավանականությունը կարելի է ընդունել որպես մեծ թվով փորձարկումներով իրադարձության հաճախականություն: Այսպես, օրինակ, երկար տարիների դիտարկման ընթացքում հաստատված ծննդյան վիճակագրական օրինաչափություններից, իրադարձության հավանականությունը, որ նորածինը տղա կլինի, գնահատվում է 0,515:

Եթե ​​թեստի ընթացքում չկան պատճառներ, որոնց պատճառով մեկ պատահական իրադարձություն տեղի կունենա ավելի հաճախ, քան մյուսները ( նույնքան հավանական իրադարձություններ), մենք կարող ենք որոշել հավանականությունը՝ հիմնվելով տեսական նկատառումների վրա։ Օրինակ՝ մետաղադրամ նետելու դեպքում պարզենք զինանշանի ընկնելու հաճախականությունը (իրադարձություն Ա)։ Տարբեր փորձարարներ մի քանի հազար փորձարկումներով ցույց են տվել, որ նման իրադարձության հարաբերական հաճախականությունը մոտ 0,5 արժեք է ստանում: Հաշվի առնելով, որ զինանշանի տեսքը և մետաղադրամի հակառակ կողմը (իրադարձություն B) հավասարապես հավանական իրադարձություններ են, եթե մետաղադրամը սիմետրիկ է, P(A)=P(B)=0.5 դատողությունը կարելի է անել առանց հաճախականությունը որոշելու։ այս իրադարձություններից։ Իրադարձությունների «հավասար հավանականություն» հասկացության հիման վրա ձևակերպվում է հավանականության մեկ այլ սահմանում.

Դիտարկվող A իրադարձությունը թող լինի m դեպքերում, որոնք կոչվում են բարենպաստ A-ի համար, և չեն լինում մնացած n-m-ում, որոնք անբարենպաստ են A-ի համար:

Այնուհետև Ա իրադարձության հավանականությունը հավասար է դրան նպաստավոր տարրական իրադարձությունների քանակի և դրանց ընդհանուր թվի հարաբերությանը.(Իրադարձության հավանականության դասական սահմանում):

որտեղ m-ը տարրական իրադարձությունների թիվն է, որոնք նպաստում են A-ին. n - Տարրական իրադարձությունների ընդհանուր թիվը:

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

Օրինակ #1:Սուրը պարունակում է 40 գնդակ՝ 10 սև և 30 սպիտակ: Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված գնդակը սև է:

Նպաստավոր դեպքերի թիվը հավասար է սև գնդերի քանակին՝ m = 10: Հավասար հավանական իրադարձությունների ընդհանուր թիվը (մեկ գնդակ հանելը) հավասար է ափսեի գնդակների ընդհանուր թվին. n = 40: Այս իրադարձությունները անհամատեղելի են, քանի որ մեկ ու միայն մեկ գնդակ է հանվում։ P (A) = 10/40 = 0,25

Օրինակ #2:Գտեք զույգ թիվ ստանալու հավանականությունը, երբ գցեք ձեռը:

Մեռնոց նետելիս կատարվում են վեց հավասարապես հնարավոր անհամատեղելի իրադարձություններ՝ մեկ թվանշանի տեսք՝ 1,2,3,4,5 կամ 6, այսինքն. n = 6. Բարենպաստ դեպքերն են 2,4 կամ 6 թվերից մեկի կորուստը. m = 3: Ցանկալի հավանականությունը P(A) = m/N = 3/6 = ½:

Ինչպես տեսնում ենք իրադարձության հավանականության սահմանումից՝ բոլոր իրադարձությունների համար

0 < Р(А) < 1.

Ակնհայտ է, որ որոշակի իրադարձության հավանականությունը 1 է, անհնարին իրադարձության հավանականությունը 0 է:

Հավանականությունների գումարման թեորեմ. մի քանի անհամատեղելի իրադարձություններից մեկ (անկախ նրանից, թե ինչ) իրադարձության առաջանալու հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների գումարին:

Երկու անհամատեղելի A և B իրադարձությունների համար այս իրադարձությունների հավանականությունները հավասար են դրանց հավանականությունների գումարին.

P(A կամ B)=P(A) + P(B):

Օրինակ #3:Գտեք զառ նետելիս 1 կամ 6 ստանալու հավանականությունը:

Իրադարձությունը A (գլոր 1) և B (գլոր 6) հավասարապես հավանական են. P(A) = P(B) = 1/6, ուստի P(A կամ B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Հավանականությունների գումարումը վավեր է ոչ միայն երկու, այլ նաև անհամատեղելի ցանկացած իրադարձությունների համար։

Օրինակ #4:Սուրը պարունակում է 50 գնդակ՝ 10 սպիտակ, 20 սև, 5 կարմիր և 15 կապույտ։ Գտեք սպիտակ, կամ սև կամ կարմիր գնդակի հայտնվելու հավանականությունը՝ գունդը ուրցից հանելու մեկ գործողության ընթացքում:

Սպիտակ գնդակ (իրադարձություն A) նկարելու հավանականությունը P(A) = 10/50 = 1/5 է, սև գնդակը (իրադարձություն B) P(B) = 20/50 = 2/5 է և կարմիր գնդակը ( իրադարձություն C) P (C) = 5/50 = 1/10 է: Այստեղից, ըստ հավանականությունների գումարման բանաձևի, մենք ստանում ենք P (A կամ B կամ C) \u003d P (A) + P (B) \u003d P (C) \u003d 1/5 + 2/5 + 1/ 10 \u003d 7/10

Երկու հակադիր իրադարձությունների հավանականությունների գումարը, ինչպես հետևում է հավանականության գումարման թեորեմից, հավասար է մեկի.

P(A) + P() = 1

Վերոնշյալ օրինակում սպիտակ, սև և կարմիր գնդակները հանելը կլինի A 1, P(A 1) = 7/10 իրադարձությունը: 1-ի հակառակ իրադարձությունը կապույտ գնդակը նկարելն է: Քանի որ կան 15 կապույտ գնդակներ, և ընդհանուր 50 գնդակ, այնուհետև մենք ստանում ենք P( 1) = 15/50 = 3/10 և P(A) + P() = 7/10 + 3/10 = 1:

Եթե ​​А 1 , А 2 , ..., А n իրադարձությունները կազմում են զույգ անհամատեղելի իրադարձությունների ամբողջական համակարգ, ապա դրանց հավանականությունների գումարը հավասար է 1-ի։

Ընդհանուր առմամբ, A և B երկու իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հաշվարկվում է այսպես

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB):

Հավանականության բազմապատկման թեորեմ.

A և B իրադարձությունները կոչվում են անկախ Եթե ​​A իրադարձության առաջացման հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե B իրադարձությունը տեղի է ունեցել, թե ոչ, և հակառակը, B իրադարձության հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե դեպքը տեղի է ունեցել, թե ոչ:

Անկախ իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների արտադրյալին. Երկու իրադարձությունների համար P(A and B)=P(A) P(B):

Օրինակ:Մեկ urn պարունակում է 5 սեւ եւ 10 սպիտակ գնդակներ, մյուսը 3 սեւ եւ 17 սպիտակ. Գտեք այն հավանականությունը, որ առաջին անգամ, երբ յուրաքանչյուր urn-ից գնդակներ են քաշվում, երկու գնդակներն էլ սև են:

Լուծում. առաջին կարասից սև գնդիկ նկարելու հավանականությունը (իրադարձություն A) - P(A) = 5/15 = 1/3, սև գնդիկ երկրորդ կարասից (իրադարձություն B) - P(B) = 3/ 20

P (A և B) \u003d P (A) P (B) \u003d (1/3) (3/20) \u003d 3/60 \u003d 1/20:

Գործնականում B իրադարձության հավանականությունը հաճախ կախված է նրանից, թե արդյոք տեղի է ունեցել որևէ այլ իրադարձություն, թե ոչ: Այս դեպքում խոսվում է պայմանական հավանականություն , այսինքն. B իրադարձության հավանականությունը հաշվի առնելով, որ A իրադարձությունը տեղի է ունեցել: Պայմանական հավանականությունը նշվում է P(B/A):

Համառոտ տեսություն

Իրադարձությունների քանակական համեմատության համար՝ ըստ դրանց առաջացման հնարավորության աստիճանի, ներմուծվում է թվային չափում, որը կոչվում է իրադարձության հավանականություն։ Պատահական իրադարձության հավանականությունըկոչվում է թիվ, որը իրադարձության առաջացման օբյեկտիվ հնարավորության չափման արտահայտություն է։

Այն արժեքները, որոնք որոշում են, թե որքան կարևոր են իրադարձության առաջացման վրա հաշվելու օբյեկտիվ հիմքերը, բնութագրվում են իրադարձության հավանականությամբ: Պետք է ընդգծել, որ հավանականությունը օբյեկտիվ մեծություն է, որը գոյություն ունի ճանաչողից անկախ և պայմանավորված է իրադարձության առաջացմանը նպաստող պայմանների ամբողջությամբ։

Այն բացատրությունները, որոնք մենք տվել ենք հավանականության հայեցակարգին, մաթեմատիկական սահմանում չեն, քանի որ դրանք քանակապես չեն սահմանում այս հասկացությունը: Կան պատահական իրադարձության հավանականության մի քանի սահմանումներ, որոնք լայնորեն կիրառվում են կոնկրետ խնդիրներ լուծելիս (դասական, հավանականության երկրաչափական սահմանում, վիճակագրական և այլն)։

Իրադարձության հավանականության դասական սահմանումընվազեցնում է այս հասկացությունը հավասարապես հավանական իրադարձությունների ավելի տարրական հասկացության, որն այլևս ենթակա չէ սահմանման և ենթադրվում է, որ ինտուիտիվորեն պարզ է: Օրինակ, եթե զառը միատարր խորանարդ է, ապա այս խորանարդի ցանկացած դեմքի անկումը հավասարապես հավանական իրադարձություններ կլինի:

Թող որոշակի իրադարձություն բաժանվի հավասարապես հավանական դեպքերի, որոնց գումարը տալիս է իրադարձությունը։ Այսինքն՝ այն դեպքերը, որոնցից այն տրոհվում է, կոչվում են իրադարձության համար բարենպաստ, քանի որ դրանցից մեկի հայտնվելն ապահովում է վիրավորականությունը։

Իրադարձության հավանականությունը կնշվի նշանով:

Իրադարձության հավանականությունը հավասար է իրեն ձեռնտու դեպքերի թվի հարաբերակցությանը՝ եզակի, հավասարապես հնարավոր և անհամատեղելի դեպքերի ընդհանուր թվից թվին, այսինքն.

Սա հավանականության դասական սահմանումն է։ Այսպիսով, իրադարձության հավանականությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է թեստի տարբեր արդյունքները դիտարկելուց հետո գտնել միակ հնարավոր, հավասարապես հնարավոր և անհամատեղելի դեպքերի մի շարք, հաշվարկել դրանց ընդհանուր թիվը n, դեպքերի քանակը m, որ նպաստել այս իրադարձությանը, այնուհետև կատարել հաշվարկը վերը նշված բանաձևի համաձայն:

Իրադարձության հավանականությունը, որը հավասար է իրադարձությանը նպաստավոր փորձի արդյունքների քանակի և փորձի արդյունքների ընդհանուր թվի հարաբերությանը, կոչվում է. դասական հավանականությունպատահական իրադարձություն.

Սահմանումից բխում են հավանականության հետևյալ հատկությունները.

Հատկություն 1. Որոշակի իրադարձության հավանականությունը հավասար է մեկի։

Հատկություն 2. Անհնարին իրադարձության հավանականությունը զրոյական է։

Հատկություն 3. Պատահական իրադարձության հավանականությունը դրական թիվ է զրոյի և մեկի միջև:

Հատկություն 4. Ամբողջական խումբ կազմող իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը հավասար է մեկի։

Հատկություն 5. Հակառակ իրադարձության առաջացման հավանականությունը սահմանվում է այնպես, ինչպես Ա-ի դեպքի հավանականությունը։

Այն դեպքերի թիվը, որոնք նպաստում են հակառակ իրադարձության առաջացմանը: Հետևաբար, հակառակ իրադարձության հավանականությունը հավասար է 1-ի և A իրադարձության հավանականության տարբերությանը.

Իրադարձության հավանականության դասական սահմանման կարևոր առավելությունն այն է, որ դրա օգնությամբ հնարավոր է իրադարձության հավանականությունը որոշել առանց փորձի դիմելու, բայց տրամաբանական հիմնավորման հիման վրա։

Երբ մի շարք պայմաններ կատարվեն, որոշակի իրադարձություն անպայման տեղի կունենա, իսկ անհնարինը հաստատ չի լինի։ Իրադարձությունների շարքում, երբ պայմանների բարդույթ է ստեղծվում, կարող է տեղի ունենալ կամ չլինել, ոմանց արտաքին տեսքը կարելի է հաշվել ավելի շատ պատճառաբանությամբ, մյուսների՝ ավելի քիչ պատճառաբանությամբ: Եթե, օրինակ, ափսեի մեջ ավելի շատ սպիտակ գնդիկներ կան, քան սևերը, ապա ավելի շատ հիմքեր կան հուսալու, որ երբ պատահականորեն դուրս են բերվում սպիտակ գնդակը, քան սև գնդակի տեսքը:

Տեսվում է հաջորդ էջում:

Խնդրի լուծման օրինակ

Օրինակ 1

Տուփը պարունակում է 8 սպիտակ, 4 սև և 7 կարմիր գնդակ: Պատահականության սկզբունքով խաղարկվում է 3 գնդակ: Գտեք հետևյալ իրադարձությունների հավանականությունները՝ - նկարված է առնվազն 1 կարմիր գնդակ, - կա առնվազն 2 նույն գույնի գնդակ, - կա առնվազն 1 կարմիր և 1 սպիտակ գնդակ:

Խնդրի լուծումը

Մենք գտնում ենք թեստի արդյունքների ընդհանուր թիվը որպես 3-ից 19 (8 + 4 + 7) տարրերի համակցությունների քանակ.

Գտեք իրադարձության հավանականությունը- նկարել է առնվազն 1 կարմիր գնդակ (1,2 կամ 3 կարմիր գնդակ)

Պահանջվող հավանականություն:

Թող իրադարձությունը- կան նույն գույնի առնվազն 2 գնդակ (2 կամ 3 սպիտակ գնդակ, 2 կամ 3 սև գնդակ և 2 կամ 3 կարմիր գնդակ)

Միջոցառմանը նպաստող արդյունքների քանակը.

Պահանջվող հավանականություն:

Թող իրադարձությունը- կա առնվազն մեկ կարմիր և մեկ սպիտակ գնդակ

(1 կարմիր, 1 սպիտակ, 1 սև կամ 1 կարմիր, 2 սպիտակ կամ 2 կարմիր, 1 սպիտակ)

Միջոցառմանը նպաստող արդյունքների քանակը.

Պահանջվող հավանականություն:

Պատասխան. P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0,6068

Օրինակ 2

Գցվում է երկու զառ: Գտե՛ք հավանականությունը, որ միավորների գումարը լինի առնվազն 5։

Որոշում

Թող իրադարձությունը լինի միավորների գումարը 5-ից ոչ պակաս

Եկեք օգտագործենք հավանականության դասական սահմանումը.

Փորձարկման հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թիվը

Փորձությունների քանակը, որոնք նպաստում են մեզ հետաքրքրող իրադարձությանը

Առաջին զառի ընկած երեսին կարող են հայտնվել մեկ միավոր, երկու միավոր ..., վեց միավոր: Նմանապես, վեց արդյունք հնարավոր է երկրորդ գլանափաթեթի վրա: Առաջին դիակի արդյունքից յուրաքանչյուրը կարող է համակցվել երկրորդի յուրաքանչյուր արդյունքի հետ: Այսպիսով, թեստի հնարավոր տարրական արդյունքների ընդհանուր թիվը հավասար է կրկնություններով տեղաբաշխումների քանակին (ընտրություն 6 հատորի հավաքածուից 2 տարրի տեղադրմամբ).

Գտե՛ք հակառակ իրադարձության հավանականությունը՝ միավորների գումարը 5-ից փոքր է

Բաց թողնված միավորների հետևյալ համակցությունները կնպաստեն իրադարձությանը.

№

1-ին ոսկոր

2-րդ ոսկոր

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Միջինլուծման արժեքը վերահսկողական աշխատանք 700 - 1200 ռուբլի (բայց ոչ պակաս, քան 300 ռուբլի ամբողջ պատվերի համար): Գնի վրա խիստ ազդում է որոշման հրատապությունը (օրից մինչև մի քանի ժամ): Քննության / թեստի առցանց օգնության արժեքը `1000 ռուբլիից: տոմսերի լուծման համար.

Հավելվածը կարելի է ուղղակիորեն չաթում թողնել՝ նախապես հրաժարվելով առաջադրանքների վիճակից և տեղեկացնելով դրա լուծման ժամկետների մասին։ Արձագանքման ժամանակը մի քանի րոպե է:

Հավանականությունը հավանականության տեսության հիմնական հասկացություններից է։ Այս հասկացության մի քանի սահմանումներ կան. Եկեք մի սահմանում տանք, որը կոչվում է դասական։

Հավանականությունիրադարձությունը տարրական արդյունքների քանակի հարաբերակցությունն է, որոնք նպաստում են տվյալ իրադարձությանը և փորձի բոլոր հավասարապես հնարավոր արդյունքների թվին, որոնցում կարող է հայտնվել այս իրադարձությունը:

A իրադարձության հավանականությունը նշանակվում է P(A)(այստեղ Ռ- ֆրանսերեն բառի առաջին տառը հավանականությունը- հավանականություն):

Ըստ սահմանման

որտեղ է տարրական թեստի արդյունքների քանակը, որոնք նպաստում են իրադարձության տեսքին.

Դատավարության հնարավոր տարրական արդյունքների ընդհանուր թիվը:

Հավանականության այս սահմանումը կոչվում է դասական. Այն առաջացել է սկզբնական փուլհավանականության տեսության մշակում։

Թիվը հաճախ կոչվում է իրադարձության հարաբերական հաճախականություն: ԲԱՅՑփորձառության մեջ։

Ինչքան մեծ է իրադարձության հավանականությունը, այնքան ավելի հաճախ է այն տեղի ունենում, և հակառակը, որքան փոքր է իրադարձության հավանականությունը, այնքան քիչ է այն տեղի ունենում: Երբ իրադարձության հավանականությունը մոտ է մեկին կամ հավասար է մեկին, ապա այն տեղի է ունենում գրեթե բոլոր փորձարկումներում։ Ասում են, որ նման իրադարձություն է գրեթե հաստատ, այսինքն, որ անշուշտ կարելի է հույս դնել նրա հարձակման վրա:

Եվ հակառակը, երբ հավանականությունը զրոյական է կամ շատ փոքր, ապա իրադարձությունը տեղի է ունենում չափազանց հազվադեպ. ասվում է, որ նման իրադարձություն է գրեթե անհնար է.

Երբեմն հավանականությունը արտահայտվում է որպես տոկոս. R(A) 100%իրադարձության դեպքերի թվի միջին տոկոսն է Ա.

Օրինակ 2.13.Հեռախոսահամար հավաքելիս բաժանորդը մոռացել է մեկ թվանշան և հավաքել այն պատահականության սկզբունքով: Գտեք ցանկալի թվանշանի հավաքման հավանականությունը:

Որոշում.

Նշել ըստ ԲԱՅՑիրադարձություն - «պահանջվող համարը հավաքված է»:

Բաժանորդը կարող է հավաքել 10 թվանշաններից որևէ մեկը, ուստի հնարավոր տարրական արդյունքների ընդհանուր թիվը 10 է: Այս արդյունքները անհամատեղելի են, հավասարապես հնարավոր են և կազմում են ամբողջական խումբ: Նախապատվությունը տալիս է իրադարձությանը ԲԱՅՑմիայն մեկ արդյունք (պահանջվող թիվը միայն մեկն է):

Ցանկալի հավանականությունը հավասար է իրադարձությանը նպաստող արդյունքների թվի հարաբերակցությանը բոլոր տարրական արդյունքների թվին.

Դասական հավանականության բանաձևը տալիս է հավանականությունները հաշվարկելու շատ պարզ միջոց, որը փորձարկումներ չի պահանջում: Այնուամենայնիվ, այս բանաձեւի պարզությունը շատ խաբուսիկ է: Փաստն այն է, որ այն օգտագործելիս, որպես կանոն, երկու շատ բարդ հարց է առաջանում.

1. Ինչպե՞ս ընտրել փորձի արդյունքների համակարգ, որպեսզի դրանք հավասարապես հավանական լինեն, և հնարավո՞ր է դա անել ընդհանրապես:

2. Ինչպես գտնել թվեր մև n?

Եթե ​​մի քանի առարկաներ ներգրավված են փորձի մեջ, միշտ չէ, որ հեշտ է տեսնել նույնքան հավանական արդյունքները:

Ֆրանսիացի մեծ փիլիսոփա և մաթեմատիկոս դ'Ալեմբերը մտավ հավանականությունների տեսության պատմություն իր հայտնի սխալով, որի էությունը կայանում էր նրանում, որ նա սխալ որոշեց արդյունքների համարժեքությունը միայն երկու մետաղադրամով փորձի ժամանակ:

Օրինակ 2.14. ( d'Alembert սխալ). Նետվում են երկու նույնական մետաղադրամներ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նրանք ընկնեն նույն կողմում։

դ'Ալեմբերի լուծումը.

Փորձը ունի երեք հավասարապես հնարավոր արդյունք.

1. Երկու մետաղադրամն էլ կընկնեն «արծվի» վրա;

2. Երկու մետաղադրամները կընկնեն «պոչերի» վրա;

3. Մետաղադրամներից մեկը կիջնի գլխներին, մյուսը՝ պոչերին:

Ճիշտ լուծում.

Փորձը ունի չորս հավասարապես հնարավոր արդյունք.

1. Առաջին մետաղադրամը կընկնի «արծվի», երկրորդը՝ նաև «արծվի» վրա;

2. Առաջին մետաղադրամը կընկնի «պոչերի» վրա, երկրորդը նույնպես կընկնի «պոչերի» վրա;

3. Առաջին մետաղադրամը կիջնի գլխին, իսկ երկրորդը՝ պոչերին.

4. Առաջին մետաղադրամը կիջնի պոչերի վրա, իսկ երկրորդը` գլխին:

Դրանցից երկու արդյունքը բարենպաստ կլինի մեր իրադարձության համար, ուստի ցանկալի հավանականությունը հավասար է .

Դ'Ալեմբերը թույլ տվեց հավանականությունը հաշվարկելիս թույլ տրված ամենատարածված սխալներից մեկը. նա միավորեց երկու տարրական արդյունքները մեկի մեջ՝ դրանով իսկ անհավասարեցնելով այն փորձի մնացած արդյունքների հավանականությամբ: