Računovodstvo i analiza resursa organizacije u menadžmentu. Računovodstvo i analiza (finansijsko računovodstvo, upravljačko računovodstvo, finansijska analiza)

Između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe, osim korijenskih formula, postoje i druge korisne veze koje su date Vietin teorem. U ovom članku ćemo dati formulaciju i dokaz Vietinog teorema za kvadratnu jednadžbu. Zatim ćemo razmotriti teoremu suprotnu Vietinoj teoremi. Nakon toga ćemo analizirati rješenja najkarakterističnijih primjera. Konačno, zapisujemo Vietine formule koje definiraju vezu između pravih korijena algebarska jednačina stepen n i njegovi koeficijenti.

Navigacija po stranici.

Vietin teorem, formulacija, dokaz

Iz formula korijena kvadratne jednadžbe a x 2 +b x+c=0 oblika , gdje je D=b 2 −4 a c , relacije x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Ovi rezultati su potvrđeni Vietin teorem:

Teorema.

Ako x 1 i x 2 su korijeni kvadratne jednadžbe ax 2 +b x+c=0, tada je zbir korijena jednak omjeru koeficijenata b i a, uzetih sa suprotnim predznakom, i umnošku korijeni su jednaki omjeru koeficijenata c i a, odnosno, .

Dokaz.

Vietinu teoremu ćemo dokazati prema sljedećoj shemi: sastavljamo zbir i proizvod korijena kvadratne jednadžbe koristeći poznate korijenske formule, nakon toga transformiramo rezultirajuće izraze i uvjeravamo se da su jednaki −b /a i c/a, respektivno.

Počnimo sa zbirom korijena, sastavimo ga. Sada dovodimo razlomke do zajedničkog imenioca, imamo. U brojniku rezultirajućeg razlomka , nakon čega : . Konačno, nakon 2 , dobijamo . Ovo dokazuje prvu relaciju Vietine teoreme za zbir korijena kvadratne jednadžbe. Pređimo na drugu.

Sastavljamo proizvod korijena kvadratne jednadžbe:. Prema pravilu množenja razlomaka, posljednji proizvod se može napisati kao. Sada množimo zagradu sa zagradom u brojiocu, ali je brže sažmiti ovaj proizvod za formule razlike kvadrata, Dakle . Zatim, prisjećajući se, izvodimo sljedeći prijelaz. A pošto formula D=b 2 −4 a·c odgovara diskriminantu kvadratne jednačine, tada se b 2 −4·a·c može zamijeniti u posljednji razlomak umjesto D, dobijamo . Nakon otvaranja zagrada i smanjenja sličnih članova, dolazimo do razlomka , a njegovo smanjenje za 4·a daje . Ovo dokazuje drugu relaciju Vietine teoreme za proizvod korijena.

Ako izostavimo objašnjenja, onda će dokaz Vietine teoreme poprimiti sažet oblik:
,
.

Ostaje samo primijetiti da kada je diskriminanta jednaka nuli, kvadratna jednadžba ima jedan korijen. Međutim, ako pretpostavimo da jednačina u ovom slučaju ima dva identična korijena, onda vrijede i jednakosti iz Vietine teoreme. Zaista, za D=0 korijen kvadratne jednadžbe je , tada i , a budući da je D=0 , odnosno b ​​2 −4·a·c=0 , odakle je b 2 =4·a·c , onda .

U praksi se Vietina teorema najčešće koristi u odnosu na redukovanu kvadratnu jednačinu (sa najvećim koeficijentom a jednakim 1) oblika x 2 +p·x+q=0. Ponekad se formuliše za kvadratne jednadžbe upravo ovog tipa, što ne ograničava općenitost, budući da se svaka kvadratna jednačina može zamijeniti ekvivalentnom jednačinom dijeljenjem oba njena dijela brojem a koji nije nula. Evo odgovarajuće formulacije Vietine teoreme:

Teorema.

Zbir korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 + px + q \u003d 0 jednak je koeficijentu na x, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena je slobodni član, odnosno x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q .

Teorema inverzna Vietinoj teoremi

Druga formulacija Vietine teoreme, data u prethodnom pasusu, pokazuje da ako su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0, tada su relacije x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. S druge strane, iz zapisanih relacija x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, slijedi da su x 1 i x 2 korijeni kvadratne jednačine x 2 +p x+q=0. Drugim riječima, tvrdnja suprotna Vietinoj teoremi je tačna. Formuliramo ga u obliku teoreme i dokazujemo.

Teorema.

Ako su brojevi x 1 i x 2 takvi da je x 1 +x 2 =−p i x 1 x 2 =q, tada su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0 .

Dokaz.

Nakon zamjene koeficijenata p i q u jednačini x 2 +p x+q=0 njihovog izraza kroz x 1 i x 2, pretvara se u ekvivalentnu jednačinu.

Zamjenjujemo broj x 1 umjesto x u rezultirajuću jednačinu, imamo jednakost x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, što je za bilo koje x 1 i x 2 ispravna numerička jednakost 0=0, budući da x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Dakle, x 1 je korijen jednadžbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, što znači da je x 1 korijen ekvivalentne jednačine x 2 +p x+q=0 .

Ako je u jednadžbi x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 zamijenimo broj x 2 umjesto x, onda ćemo dobiti jednakost x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Ovo je tačna jednačina jer x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Dakle, x 2 je također korijen jednačine x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, a otuda i jednačine x 2 +p x+q=0 .

Ovim je završen dokaz teoreme suprotne Vietinoj teoremi.

Primjeri korištenja Vietine teoreme

Vrijeme je da razgovaramo o praktičnoj primjeni Vietine teoreme i njene inverzne teoreme. U ovom pododjeljku analizirat ćemo rješenja nekoliko najtipičnijih primjera.

Počinjemo primjenom teoreme suprotne Vietinoj teoremi. Zgodno ga je koristiti za provjeru da li su data dva broja korijeni date kvadratne jednadžbe. U tom slučaju se računa njihov zbir i razlika, nakon čega se provjerava valjanost relacija. Ako su oba ova odnosa zadovoljena, onda se, na osnovu teoreme suprotne Vietinoj teoremi, zaključuje da su ovi brojevi korijeni jednadžbe. Ako barem jedan od odnosa nije zadovoljen, onda ovi brojevi nisu korijeni kvadratne jednadžbe. Ovaj pristup se može koristiti pri rješavanju kvadratnih jednadžbi za provjeru pronađenih korijena.

Primjer.

Koji je od parova brojeva 1) x 1 =−5, x 2 =3 ili 2) ili 3) par korijena kvadratne jednačine 4 x 2 −16 x+9=0?

Rješenje.

Koeficijenti date kvadratne jednačine 4 x 2 −16 x+9=0 su a=4 , b=−16 , c=9 . Prema Vietinoj teoremi, zbir korijena kvadratne jednadžbe mora biti jednak −b/a, odnosno 16/4=4, a proizvod korijena mora biti jednak c/a, odnosno 9 /4.

Sada izračunajmo zbir i proizvod brojeva u svakom od tri data para i uporedimo ih sa upravo dobijenim vrijednostima.

U prvom slučaju imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Rezultirajuća vrijednost je drugačija od 4, stoga se daljnja provjera ne može provesti, ali prema teoremi, inverznoj Vietinoj teoremi, možemo odmah zaključiti da prvi par brojeva nije par korijena date kvadratne jednadžbe .

Pređimo na drugi slučaj. Ovdje, odnosno, prvi uslov je zadovoljen. Provjeravamo drugi uvjet: , rezultirajuća vrijednost je drugačija od 9/4 . Dakle, drugi par brojeva nije par korijena kvadratne jednadžbe.

Ostaje posljednji slučaj. Ovdje i . Oba uslova su ispunjena, pa su ovi brojevi x 1 i x 2 koreni date kvadratne jednačine.

odgovor:

Teorema, suprotna Vietinoj teoremi, može se koristiti u praksi za odabir korijena kvadratne jednadžbe. Obično se biraju cjelobrojni korijeni date kvadratne jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima, jer je u drugim slučajevima to prilično teško učiniti. Istovremeno, koriste činjenicu da ako je zbir dva broja jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetoj sa predznakom minus, a proizvod ovih brojeva jednak slobodnom članu, onda su ovi brojevi korijene ove kvadratne jednadžbe. Hajde da se pozabavimo ovim primerom.

Uzmimo kvadratnu jednačinu x 2 −5 x+6=0 . Da bi brojevi x 1 i x 2 bili korijeni ove jednadžbe, moraju biti zadovoljene dvije jednakosti x 1 +x 2 = 5 i x 1 x 2 = 6. Ostaje odabrati takve brojeve. U ovom slučaju, to je prilično jednostavno za napraviti: takvi brojevi su 2 i 3, budući da je 2+3=5 i 2 3=6 . Dakle, 2 i 3 su korijeni ove kvadratne jednadžbe.

Teorema suprotna Vietinoj teoremi je posebno pogodna za pronalaženje drugog korijena redukovane kvadratne jednadžbe kada je jedan od korijena već poznat ili očigledan. U ovom slučaju, drugi korijen se nalazi iz bilo koje relacije.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 512 x 2 −509 x−3=0. Ovdje je lako vidjeti da je jedinica korijen jednačine, jer je zbir koeficijenata ove kvadratne jednačine nula. Dakle, x 1 =1. Drugi korijen x 2 može se naći, na primjer, iz relacije x 1 x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512 , odakle je x 2 =−3/512 . Dakle, definirali smo oba korijena kvadratne jednadžbe: 1 i −3/512.

Jasno je da je odabir korijena svrsishodan samo u najjednostavnijim slučajevima. U drugim slučajevima, da biste pronašli korijene, možete primijeniti formule korijena kvadratne jednadžbe preko diskriminanta.

Još jedan praktična upotreba teorema, suprotna Vietinoj teoremi, sastoji se od sastavljanja kvadratnih jednadžbi za date korijene x 1 i x 2. Da biste to učinili, dovoljno je izračunati zbir korijena koji daje koeficijent x sa suprotnim predznakom date kvadratne jednadžbe i proizvod korijena koji daje slobodni član.

Primjer.

Napišite kvadratnu jednačinu čiji su korijeni brojevi −11 i 23.

Rješenje.

Označimo x 1 =−11 i x 2 =23 . Izračunavamo zbir i proizvod ovih brojeva: x 1 + x 2 = 12 i x 1 x 2 = −253. Dakle, ovi brojevi su korijeni date kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom -12 i slobodnim članom -253. To jest, x 2 −12·x−253=0 je željena jednačina.

odgovor:

x 2 −12 x−253=0 .

Vietin teorem se vrlo često koristi u rješavanju zadataka vezanih za predznake korijena kvadratnih jednadžbi. Kako je Vietin teorem povezan sa predznacima korijena redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0 ? Evo dvije relevantne izjave:

• Ako je slobodni član q pozitivan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, onda su oba pozitivna ili su oba negativna.
• Ako je slobodni član q negativan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, onda su njihovi predznaci različiti, drugim riječima, jedan korijen je pozitivan, a drugi negativan.

Ovi iskazi proizlaze iz formule x 1 x 2 =q, kao i pravila za množenje pozitivnih, negativnih brojeva i brojeva sa različitim predznacima. Razmotrite primjere njihove primjene.

Primjer.

R je pozitivan. Prema diskriminantnoj formuli nalazimo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , vrijednost izraza r 2 +8 je pozitivno za bilo koje realno r, dakle D>0 za bilo koje realno r. Prema tome, originalna kvadratna jednadžba ima dva korijena za bilo koju realnu vrijednost parametra r.

Sada hajde da saznamo kada su korijeni različiti znakovi. Ako su predznaci korijena različiti, onda je njihov proizvod negativan, a prema Vietinoj teoremi, proizvod korijena date kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. Stoga nas zanimaju one vrijednosti r za koje je slobodni član r−1 negativan. Dakle, da bismo pronašli vrijednosti r koje nas zanimaju, moramo riješiti linearnu nejednačinu r−1<0 , откуда находим r<1 .

odgovor:

na r<1 .

Vieta formule

Iznad smo govorili o Vietinoj teoremi za kvadratnu jednačinu i analizirali odnose koje ona tvrdi. Ali postoje formule koje povezuju prave korijene i koeficijente ne samo kvadratnih jednadžbi, već i kubnih jednadžbi, četverostrukih jednadžbi i općenito, algebarske jednačine stepen n. Oni se nazivaju Vieta formule.

Pišemo Vietine formule za algebarsku jednadžbu stepena n oblika, dok pretpostavljamo da ima n realnih korijena x 1, x 2, ..., x n (među njima može biti i isti):

Nabavite Vieta formule dozvoljava teorema polinomske faktorizacije, kao i definicija jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata. Dakle, polinom i njegova ekspanzija u linearne faktore oblika su jednaki. Otvarajući zagrade u posljednjem proizvodu i izjednačavajući odgovarajuće koeficijente, dobijamo Vietine formule.

Konkretno, za n=2 već imamo poznate Vietine formule za kvadratnu jednačinu.

Za kubnu jednačinu, Vieta formule imaju oblik

Ostaje samo napomenuti da se na lijevoj strani Vietinih formula nalaze tzv. elementarne simetričnih polinoma.

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoa / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 2010.- 368 str. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Prije nego što pređemo na Vietin teorem, uvodimo definiciju. Kvadratna jednadžba oblika x² + px + q= 0 se naziva redukovanim. U ovoj jednačini vodeći koeficijent je jednak jedan. Na primjer, jednadžba x² - 3 x- 4 = 0 se smanjuje. Bilo koja kvadratna jednadžba oblika sjekira² + b x + c= 0 se može smanjiti, za to podijelimo obje strane jednačine sa a≠ 0. Na primjer, jednačina 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 podijeljeno sa 4 svodi se na oblik: x² + x- 3/4 = 0. Izvodimo formulu za korijene date kvadratne jednadžbe, za to koristimo formulu za korijene opće kvadratne jednačine: sjekira² + bx + c = 0

Redukovana jednačina x² + px + q= 0 poklapa se sa opštom jednačinom u kojoj a = 1, b = str, c = q. Stoga, za datu kvadratnu jednačinu, formula ima oblik:

posljednji izraz se zove formula korijena redukovane kvadratne jednadžbe, posebno je zgodno koristiti ovu formulu kada R- čak broj. Na primjer, riješimo jednačinu x² - 14 x — 15 = 0

Kao odgovor, pišemo da jednačina ima dva korijena.

Za redukovanu kvadratnu jednačinu s pozitivnom vrijedi sljedeća teorema.

Vietin teorem

Ako x 1 i x 2 - korijeni jednadžbe x² + px + q= 0, tada su formule važeće:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q, to jest, zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

Na osnovu formule korijena gornje kvadratne jednadžbe, imamo:

Zbrajanjem ovih jednakosti dobijamo: x 1 + x 2 = —R.

Množenjem ovih jednakosti, koristeći formulu razlike kvadrata, dobijamo:

Imajte na umu da je Vietina teorema također važeća kada je diskriminanta nula, ako pretpostavimo da u ovom slučaju kvadratna jednadžba ima dva identična korijena: x 1 = x 2 = — R/2.

Ne rješavanje jednačina x² - 13 x+ 30 = 0 pronađite zbir i proizvod njegovih korijena x 1 i x 2. ovu jednačinu D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, tako da možete primijeniti Vietinu teoremu: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Razmotrite još nekoliko primjera. Jedan od korijena jednadžbe x² — px- 12 = 0 je x 1 = 4. Pronađite koeficijent R i drugi korijen x 2 ove jednačine. Prema Vietinoj teoremi x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Jer x 1 = 4 pa 4 x 2 = - 12, odakle x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Kao odgovor, zapisujemo drugi korijen x 2 = - 3, koeficijent p = - 1.

Ne rješavanje jednačina x² + 2 x- 4 = 0 naći zbir kvadrata njegovih korijena. Neka x 1 i x 2 su korijeni jednadžbe. Prema Vietinoj teoremi x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Jer x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, dakle x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) = 12.

Odredite zbir i proizvod korijena jednadžbe 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. Ova jednadžba ima dva različita korijena, budući da je diskriminanta D= 16 + 4*3*5 > 0. Za rješavanje jednačine koristimo Vietinu teoremu. Ova teorema je dokazana za redukovanu kvadratnu jednačinu. Dakle, podijelimo ovu jednačinu sa 3.

Dakle, zbir korijena je -4/3, a njihov proizvod je -5/3.

Općenito, korijeni jednadžbe sjekira² + b x + c= 0 povezani su sljedećim jednakostima: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Da biste dobili ove formule, dovoljno je podijeliti obje strane ove kvadratne jednadžbe sa a ≠ 0 i primijeniti Vietin teorem na rezultirajuću redukovanu kvadratnu jednačinu. Razmotrimo primjer, potrebno je sastaviti datu kvadratnu jednadžbu, čiji su korijeni x 1 = 3, x 2 = 4. Jer x 1 = 3, x 2 = 4 su korijeni kvadratne jednadžbe x² + px + q= 0, onda prema Vietinoj teoremi R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Kao odgovor pišemo x² - 7 x+ 12 = 0. Sljedeća teorema se koristi u rješavanju nekih problema.

Teorema inverzna Vietinoj teoremi

Ako brojevi R, q, x 1 , x 2 su takvi da x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, onda x 1 i x2 su korijeni jednadžbe x² + px + q= 0. Zamjena na lijevoj strani x² + px + q umjesto R izraz - ( x 1 + x 2), ali umjesto toga q- posao x 1 * x 2 . Dobijamo: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Dakle, ako su brojevi R, q, x 1 i x 2 su povezani ovim odnosima, onda za sve X jednakost x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), iz čega sledi da x 1 i x 2 - korijeni jednadžbe x² + px + q= 0. Koristeći teoremu suprotnu Vietinoj teoremi, ponekad je moguće pronaći korijene kvadratne jednačine odabirom. Razmotrimo primjer, x² - 5 x+ 6 = 0. Evo R = — 5, q= 6. Odaberite dva broja x 1 i x 2 tako da x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Uzimajući u obzir da je 6 = 2 * 3 i 2 + 3 = 5, prema teoremi obrnutoj Vietinoj teoremi, dobijamo da x 1 = 2, x 2 = 3 - korijeni jednadžbe x² - 5 x + 6 = 0.

Vietin teorem

Neka i označimo korijene redukovane kvadratne jednadžbe
(1) .
Tada je zbir korijena jednak koeficijentu na uzetom sa suprotnim predznakom. Umnožak korijena jednak je slobodnom članu:
;
.

Napomena o više korijena

Ako je diskriminanta jednačine (1) nula, onda ova jednačina ima jedan korijen. Ali, kako bi se izbjegle glomazne formulacije, općenito je prihvaćeno da u ovom slučaju jednačina (1) ima dva višestruka ili jednaka korijena:
.

Dokaz jedan

Nađimo korijene jednačine (1). Da biste to učinili, primijenite formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
;
;
.

Pronalaženje zbira korijena:
.

Da bismo pronašli proizvod, primjenjujemo formulu:
.
Onda

.

Teorema je dokazana.

Dokaz dva

Ako su brojevi i korijeni kvadratne jednadžbe (1), onda
.
Otvaramo zagrade.

.
Dakle, jednačina (1) će poprimiti oblik:
.
Upoređujući sa (1) nalazimo:
;
.

Teorema je dokazana.

Inverzna Vieta teorema

Neka postoje proizvoljni brojevi. Tada su i korijeni kvadratne jednadžbe
,
gdje
(2) ;
(3) .

Dokaz Vietine obrnute teoreme

Razmotrimo kvadratnu jednačinu
(1) .
Moramo dokazati da ako i , tada su i korijeni jednadžbe (1).

Zamijenite (2) i (3) u (1):
.
Grupiramo članove lijeve strane jednačine:
;
;
(4) .

Zamjena u (4) :
;
.

Zamjena u (4) :
;
.
Jednačina je ispunjena. To jest, broj je korijen jednačine (1).

Teorema je dokazana.

Vietin teorem za kompletnu kvadratnu jednačinu

Sada razmotrite kompletnu kvadratnu jednačinu
(5) ,
gdje , i su neki brojevi. i .

Jednačinu (5) dijelimo sa:
.
To jest, dobili smo gornju jednačinu
,
gdje ; .

Tada Vieta teorema za kompletnu kvadratnu jednačinu ima sljedeći oblik.

Neka i označimo korijene potpune kvadratne jednadžbe
.
Tada se zbir i proizvod korijena određuju formulama:
;
.

Vietin teorem za kubičnu jednačinu

Slično, možemo uspostaviti veze između korijena kubične jednadžbe. Razmotrimo kubnu jednačinu
(6) ,
gdje su , , , neki brojevi. i .
Podijelimo ovu jednačinu sa:
(7) ,
gdje , , .
Neka su , , korijeni jednadžbe (7) (i jednačine (6)). Onda

.

Upoređujući sa jednačinom (7) nalazimo:
;
;
.

Vietin teorem za jednačinu n-og stepena

Na isti način možete pronaći veze između korijena , , ... , , za jednadžbu n-tog stepena
.

Vietin teorem za jednačinu n-tog stepena ima sljedeći oblik:
;
;
;

.

Da bismo dobili ove formule, zapisujemo jednačinu u sljedećem obliku:
.
Zatim izjednačavamo koeficijente na , , , ... , i poredimo slobodni član.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov i dr., Algebra: udžbenik za 8. razred obrazovnih ustanova, Moskva, Prosveta, 2006.

Jedna od metoda za rješavanje kvadratne jednadžbe je aplikacija VIETA formule, koji je dobio ime po FRANCOIS VIETE.

Bio je poznati advokat, a služio je u 16. veku kod francuskog kralja. U slobodno vrijeme studirao je astronomiju i matematiku. Uspostavio je vezu između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe.

Prednosti formule:

1 . Primjenom formule možete brzo pronaći rješenje. Zato što ne morate unositi drugi koeficijent u kvadrat, zatim od njega oduzeti 4ac, pronaći diskriminanta, zamijeniti njegovu vrijednost u formulu za pronalaženje korijena.

2 . Bez rješenja možete odrediti znakove korijena, pokupiti vrijednosti korijena.

3 . Nakon što smo riješili sistem od dva zapisa, nije teško pronaći same korijene. U gornjoj kvadratnoj jednačini, zbir korijena jednak je vrijednosti drugog koeficijenta sa predznakom minus. Proizvod korijena u gornjoj kvadratnoj jednadžbi jednak je vrijednosti trećeg koeficijenta.

4 . Prema datim korijenima napišite kvadratnu jednačinu, odnosno riješite inverzni zadatak. Na primjer, ova metoda se koristi u rješavanju problema u teorijskoj mehanici.

5 . Pogodno je primijeniti formulu kada je vodeći koeficijent jednak jedan.

Nedostaci:

1 . Formula nije univerzalna.

Vietina teorema 8. razred

Formula
Ako su x 1 i x 2 korijeni date kvadratne jednadžbe x 2 + px + q \u003d 0, tada:

Primjeri
x 1 \u003d -1; x 2 = 3 - korijeni jednadžbe x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Inverzna teorema

Formula
Ako su brojevi x 1 , x 2 , p, q povezani uslovima:

Tada su x 1 i x 2 korijeni jednadžbe x 2 + px + q = 0.

Primjer
Napravimo kvadratnu jednačinu po korijenu:

X 1 \u003d 2 -? 3 i x 2 \u003d 2 +? 3 .

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 = (2 -? 3) (2 +? 3) = 4 - 3 = 1.

Željena jednačina ima oblik: x 2 - 4x + 1 = 0.