» »

Qaysi orqali moliyaviy rejalashtirish amalga oshiriladi. Moliyaviy rejalashtirish

Keling, ehtimollikning klassik ta'rifini formulalar va misollar yordamida tahlil qilaylik.

Tasodifiy hodisalar deyiladi mos kelmaydigan agar ular bir vaqtning o'zida sodir bo'lmasa. Misol uchun, biz tanga tashlaganimizda, bitta narsa tushadi - "gerb" yoki raqam" va ular bir vaqtning o'zida paydo bo'lolmaydi, chunki bu mumkin emasligi mantiqan to'g'ri keladi. O'q otilganidan keyin urish va o'tkazib yuborish kabi hodisalar mos kelmasligi mumkin.

Cheklangan to'plam shaklining tasodifiy hodisalari to'liq guruh juftlik mos kelmaydigan hodisalar, agar har bir sinovda bittasi paydo bo'lsa va bu hodisalardan faqat bittasi mumkin bo'lsa.

Xuddi shu tanga otish misolini ko'rib chiqing:

Birinchi tanga Ikkinchi tanga Voqealar

1) "gerb" "gerb"

2) "gerb" "raqam"

3) "raqam" "gerb"

4) "raqam" "raqam"

Yoki qisqartirilgan - "YY", - "MS", - "CH", - "CH".

Voqealar deyiladi teng darajada mumkin, agar tadqiqot shartlari ularning har birining paydo bo'lishining bir xil imkoniyatini ta'minlasa.

Siz tushunganingizdek, simmetrik tanga tashlaganingizda, u bir xil imkoniyatlarga ega va "gerb" ham, "raqam" ham tushib qolish ehtimoli bor. Xuddi shu narsa nosimmetrik zarlarni otish uchun ham amal qiladi, chunki har qanday 1, 2, 3, 4, 5, 6 soniga ega yuzlar paydo bo'lishi mumkin.

Aytaylik, hozir biz kubni tortishish markazida siljish bilan, masalan, 1 raqami bo'lgan tomonga tashlaymiz, keyin qarama-qarshi tomon, ya'ni boshqa raqamga ega bo'lgan tomon ko'pincha tushib ketadi. Shunday qilib, ushbu modelda 1 dan 6 gacha bo'lgan raqamlarning har birining paydo bo'lish imkoniyatlari boshqacha bo'ladi.

Bir xil darajada mumkin bo'lgan va yagona mumkin bo'lgan tasodifiy hodisalar holatlar deyiladi.

Hodisa bo'lgan tasodifiy hodisalar mavjud va holatlar bo'lmagan tasodifiy hodisalar mavjud. Quyida ushbu voqealarga misollar keltirilgan.

Natijada tasodifiy hodisa paydo bo'ladigan holatlar ushbu hodisa uchun qulay holatlar deb ataladi.

Agar biz barcha mumkin bo'lgan holatlarda hodisaga ta'sir qiluvchi , va orqali - tasodifiy hodisa ehtimoli bilan belgilasak, ehtimollikning mashhur klassik ta'rifini yozishimiz mumkin:

Ta'rif

Hodisa ehtimoli - bu hodisa uchun qulay bo'lgan holatlar sonining barcha mumkin bo'lgan holatlarning umumiy soniga nisbati, ya'ni:

Ehtimollik xususiyatlari

Klassik ehtimollik ko'rib chiqildi va endi biz ehtimollikning asosiy va muhim xususiyatlarini tahlil qilamiz.

Mulk 1. Muayyan hodisaning ehtimoli birga teng.

Misol uchun, agar chelakdagi barcha to'plar oq bo'lsa, unda hodisa , tasodifiy oq to'pni tanlab, holatlarga ta'sir qiladi, .

Mulk 2. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng.

Mulk 3. Tasodifiy hodisaning ehtimoli ijobiy sondir:

Demak, har qanday hodisaning ehtimoli tengsizlikni qanoatlantiradi:

Keling, ehtimollikning klassik ta'rifiga ba'zi misollarni yechaylik.

Ehtimolning klassik ta'rifiga misollar

1-misol

Vazifa

Savatda 20 ta to'p bor, ulardan 10 tasi oq, 7 tasi qizil va 3 tasi qora. Bitta to'p tasodifiy tanlanadi. Oq to'p (voqea), qizil to'p (voqea) va qora to'p (voqea) tanlanadi. Tasodifiy hodisalar ehtimolini toping.

Yechim

Muammoning shartiga ko'ra, ga hissa qo'shing va mumkin bo'lgan holatlar, shuning uchun (1) formula bo'yicha:

oq to'pning ehtimoli.

Xuddi shunday qizil uchun:

Va qora uchun: .

Javob

Tasodifiy hodisa ehtimoli, ,.

2-misol

Vazifa

Bir qutida 25 ta bir xil elektr lampalar mavjud, ulardan 2 tasi nosoz. Tasodifiy tanlangan lampochkaning nuqsonli emasligi ehtimolini toping.

Yechim

Muammoning holatiga ko'ra, barcha lampalar bir xil va faqat bittasi tanlanadi. Tanlash uchun umumiy imkoniyatlar. Barcha 25 lampalar orasida ikkitasi nuqsonli, ya'ni qolgan lampalar mos keladi. Shuning uchun, formula (1) ga ko'ra, mos keladigan elektr chiroqni tanlash ehtimoli (hodisa ) teng:

Javob

Tasodifiy tanlangan lampochkaning nuqsonli emasligi ehtimoli =.

3-misol

Vazifa

Ikki tanga tasodifiy tashlanadi. Bunday hodisalarning ehtimolini toping:

1) - ikkala tangada gerb tushib ketgan;

2) - tangalardan birida gerb, ikkinchisida esa raqam tushgan;

3) - ikkala tangada ham raqamlar tushdi;

4) - kamida bir marta gerb tushib ketgan.

Yechim

Bu erda biz to'rtta voqea bilan shug'ullanamiz. Keling, ularning har biriga qaysi holatlar hissa qo'shishini aniqlaylik. Tadbirga bitta holat yordam beradi, ya'ni gerb ikkala tangada (qisqartirilgan "GG") tushganida.

Hodisa bilan shug'ullanish uchun, bir tanga kumush, ikkinchisi esa mis deb tasavvur qiling. Tanga tashlashda quyidagi holatlar bo'lishi mumkin:

1) kumush gerbda, mis gerbda - raqam (uni “MS” deb belgilaymiz);

2) kumush raqamda, misda - gerb (- "ChG").

Demak, hodisalar va holatlar orqali osonlashtiriladi.

Tadbirga bitta holat yordam beradi: ikkala tangada raqamlar tushgan - "CH".

Shunday qilib, hodisalar yoki (YY, MG, TY, FF) hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi, bu hodisalarning barchasi bir-biriga mos kelmaydi, chunki ulardan faqat bittasi otish natijasida yuzaga keladi. Bundan tashqari, nosimmetrik tangalar uchun barcha to'rtta hodisaning ehtimoli bir xil, shuning uchun ularni holatlar deb hisoblash mumkin. To'rtta mumkin bo'lgan hodisa mavjud.

Hodisa faqat bitta hodisa bilan ta'minlanadi, shuning uchun uning ehtimoli:

Ikki holat hodisaga hissa qo'shadi, shuning uchun:

Voqea ehtimoli quyidagi bilan bir xil:

Uchta holat hodisaga hissa qo'shadi: YY, YY, YY va shuning uchun:

GY, MS, CH, CH hodisalari bir xil ehtimolga ega bo'lgan va hodisalarning to'liq guruhini yaratganligi sababli, ularning har qandayining paydo bo'lishi ishonchli hodisadir (biz uni harf bilan belgilaymiz, bu barcha 4 tomonidan osonlashtiriladi. Demak, ehtimollik:

Demak, ehtimollikning birinchi xossasi tasdiqlanadi.

Javob

Voqea ehtimoli.

Voqea ehtimoli.

Voqea ehtimoli.

Voqea ehtimoli.

4-misol

Vazifa

Bir xil va muntazam geometrik shaklga ega bo'lgan ikkita zar tashlanadi. Ikkala tomonning barcha mumkin bo'lgan summalarining tushishi ehtimolini toping.

Yechim

Muammoni hal qilishni osonlashtirish uchun, bir kub oq, ikkinchisi qora ekanligini tasavvur qiling. Oq o'limning oltita yuzining har biri va qora o'limning oltita yuzidan biri ham tushishi mumkin, shuning uchun barcha mumkin bo'lgan juftliklar bo'ladi.

Alohida matritsada yuzlarning paydo bo'lish ehtimoli bir xil bo'lgani uchun (to'g'ri geometrik shakldagi kublar!), Keyin har bir juft yuzning paydo bo'lish ehtimoli bir xil bo'ladi, bundan tashqari, otish natijasida, faqat juftlardan biri tushib ketadi. Voqea qiymatlari mos kelmaydi, noyobdir. Bu holatlar va 36 ta mumkin bo'lgan holatlar mavjud.

Endi yuzlardagi summaning qiymatini ko'rib chiqing. Shubhasiz, eng kichik yig'indi 1 + 1 = 2, eng kattasi esa 6 + 6 = 12. Qolgan yig'indi ikkinchisidan boshlab birga ortadi. Indekslari zarlarning yuzlariga tushgan nuqtalar yig‘indisiga teng bo‘lgan hodisalarni belgilaylik. Ushbu hodisalarning har biri uchun biz qulay holatlarni belgidan foydalanib yozamiz, bu erda yig'indi, oq matritsaning yuqori yuzidagi nuqtalar va qora matritsaning yuzidagi nuqtalar.

Shunday qilib, tadbir uchun:

uchun - bitta holat (1 + 1);

uchun – ikkita holat (1 + 2; 2 + 1);

uchun – uchta holat (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

uchun – to‘rtta holat (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

uchun – beshta holat (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

uchun – oltita holat (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

uchun – beshta holat (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

uchun – to‘rtta holat (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

uchun – uchta holat (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

uchun – ikki holat (5 + 6; 6 + 5);

uchun - bitta holat (6 + 6).

Shunday qilib, ehtimolliklar:

Javob

5-misol

Vazifa

Festival oldidan uchta ishtirokchiga qur'a tashlash taklif qilindi: ishtirokchilarning har biri o'z navbatida chelakka yaqinlashadi va tasodifiy ravishda 1, 2 va 3 raqamlari bo'lgan uchta kartadan birini tanlaydi, bu esa ushbu ishtirokchining chiqish seriya raqamini bildiradi.

Bunday hodisalarning ehtimolini toping:

1) - navbatdagi seriya raqami karta raqamiga, ya'ni spektaklning seriya raqamiga to'g'ri keladi;

2) - navbatdagi hech bir raqam ijro raqamiga mos kelmaydi;

3) - navbatdagi raqamlardan faqat bittasi ishlash raqamiga mos keladi;

4) - navbatdagi raqamlardan kamida bittasi ishlash raqamiga mos keladi.

Yechim

Kartochkalarni tanlashning mumkin bo'lgan natijalari uchta elementning almashtirishlari bo'lib, bunday almashtirishlar soni ga teng. Har bir almashtirish hodisadir. Bu hodisalarni deb belgilaymiz. Qavslar ichida har bir hodisaga mos almashtirishni tayinlaymiz:

; ; ; ; ; .

Ro'yxatga olingan hodisalar bir xil darajada mumkin va bir xil, ya'ni bu holatlar. Quyidagicha belgilang: (1h, 2h, 3h) - navbatdagi mos keladigan raqamlar.

Keling, voqeadan boshlaylik. Faqat bitta holat qulay, shuning uchun:

Tadbir uchun ikkita holat qulay va shuning uchun:

Hodisaga 3 ta holat yordam beradi: , shuning uchun:

ga qo'shimcha ravishda, tadbir ham hissa qo'shadi , ya'ni:

Javob

Hodisa ehtimoli .

Hodisa ehtimoli .

Hodisa ehtimoli .

Hodisa ehtimoli .

Ehtimollikning klassik ta'rifi - nazariya va muammolarni hal qilish yangilangan: 2017 yil 15 sentyabr Ilmiy maqolalar.Ru

ROSSIYA FEDERATSIYASI PREZIDENTI HUZURIDAGI RUSSIYA XALQ IQTISODIYoTI VA DAVLAT XIZMATI AKADEMİYASI

OREL FILIALI

Sotsiologiya kafedrasi va axborot texnologiyalari

Odatdagi hisob-kitob No 1

“Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika” fanidan

“Ehtimollar nazariyasi asoslari” mavzusida

Burgut - 2016 yil.

Ishning maqsadi: ehtimollar nazariyasi asoslari mavzusidagi nazariy bilimlarni tipik masalalarni yechish orqali mustahkamlash. Tasodifiy hodisalarning asosiy turlari haqida tushunchalarni o`zlashtirish va hodisalar ustida algebraik amallarni bajarish malakalarini shakllantirish.

Ishni topshirish talablari: ish qo'lda yozilgan shaklda amalga oshiriladi, ishda barcha kerakli tushuntirishlar va xulosalar bo'lishi kerak, formulalar qabul qilingan belgilarning dekodlanishini o'z ichiga olishi kerak, sahifalar raqamlangan bo'lishi kerak.

Variant raqami guruh ro‘yxatidagi talabaning tartib raqamiga mos keladi.

Asosiy nazariy ma'lumotlar

Ehtimollar nazariyasi- matematikaning tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini o'rganadigan bo'limi.

Hodisa tushunchasi. Voqealarning tasnifi.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri hodisa tushunchasidir. Voqealar katta lotin harflari bilan ko'rsatilgan. LEKIN, IN, FROM,…

Tadbir- bu test yoki tajribaning mumkin bo'lgan natijasi (natijasi).

Sinov deganda har qanday maqsadli harakat tushuniladi.

Misol : Otuvchi nishonga otadi. Otish - bu sinov, nishonga tegish - voqea.

Tadbir deyiladi tasodifiy , agar berilgan tajriba sharoitida u ham sodir bo'lishi mumkin, ham bo'lmasligi mumkin.

Misol : Quroldan otilgan - sinov

Inc. LEKIN- nishonga tegish

Inc. IN– miss – tasodifiy hodisalar.

Tadbir deyiladi haqiqiy agar sinov natijasida u albatta sodir bo'lishi kerak.

Misol : Zar otishda 6 balldan ko'p bo'lmagan ball tushiring.

Tadbir deyiladi imkonsiz agar berilgan tajriba shartlariga ko'ra, u umuman sodir bo'lolmasa.

Misol : Zalni uloqtirganda 6 dan ortiq ochko to'plandi.

Voqealar deyiladi mos kelmaydigan agar ulardan birining paydo bo'lishi boshqasining paydo bo'lishini istisno qilsa. Aks holda, hodisalar qo'shma deyiladi.

Misol : Zar tashlanadi. 5 ta rulon 6 ta rulonni yo'q qiladi. Bular mos kelmaydigan hodisalar. Ikki xil fan bo'yicha imtihonlarda "yaxshi" va "a'lo" baholarni olgan talaba qo'shma tadbirdir.

Ikki mos kelmaydigan hodisa deyiladi, ulardan biri albatta sodir bo'lishi kerak qarama-qarshi . Hodisaga qarama-qarshi hodisa LEKIN tayinlash Ā .

Misol : "gerb"ning ko'rinishi va tanga otishda "dumlar" paydo bo'lishi bir-biriga qarama-qarshi hodisalardir.

Ushbu tajribada bir nechta voqealar chaqiriladi teng darajada mumkin agar bu hodisalarning hech biri boshqalardan ko'ra mumkin emasligiga ishonish uchun asos bo'lsa.

Misol : kartochkalar to'plamidan ace, o'nlab, malika chizish - voqealar bir xil darajada bo'lishi mumkin.

Bir nechta hodisalar shakllanadi to'liq guruh agar sinov natijasida ushbu hodisalardan bittasi va faqat bittasi ro'y berishi kerak bo'lsa.

Misol : Zarb otishda 1, 2, 3, 4, 5, 6 ball sonini tushirish.

Hodisa ehtimolining klassik ta'rifi. Ehtimollik xususiyatlari

Uchun amaliy faoliyat hodisalarni yuzaga kelish ehtimoli darajasiga ko‘ra taqqoslay bilish muhimdir.

Ehtimollik Hodisa - bu sodir bo'lishining ob'ektiv imkoniyati darajasining raqamli o'lchovidir.

Qo'ng'iroq qilaylik elementar natija test natijalarining har biri bir xil bo'lishi mumkin.

Chiqish deyiladi qulay (qulay) hodisa LEKIN, agar uning paydo bo'lishi voqea sodir bo'lishiga olib keladigan bo'lsa LEKIN.

Klassik ta'rif : hodisa ehtimoli LEKIN ma'lum bir hodisa uchun qulay natijalar sonining mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbatiga tengdir.

(1) qayerda P(A) hodisaning ehtimoli LEKIN,

m- ijobiy natijalar soni;

n barcha mumkin bo'lgan natijalar soni.

Misol : Lotereyada 1000 ta chipta mavjud bo'lib, ulardan 700 tasi yutuq emas. Bitta sotib olingan chiptada yutish ehtimoli qancha.

Tadbir LEKIN- yutuqli chiptani sotib oldi

Mumkin bo'lgan natijalar soni n=1000 - lotereya chiptalarining umumiy soni.

Tadbirga ijobiy ta'sir ko'rsatadigan natijalar soni LEKIN yutgan chiptalar soni, ya'ni m=1000-700=300.

Ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra:

Javob:
.

Eslatma hodisa ehtimoli xossalari:

1) Har qanday hodisaning ehtimoli noldan birgacha, ya'ni. 0≤ P(A)≤1.

2) Muayyan hodisaning ehtimoli 1 ga teng.

3) Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli 0 ga teng.

Klassikdan tashqari, ehtimollikning geometrik va statistik ta'riflari ham mavjud.

Kombinatorikaning elementlari.

Kombinatorik formulalar ko'rib chiqilayotgan hodisa uchun qulay natijalar sonini yoki natijalarning umumiy sonini hisoblash uchun keng qo'llaniladi.

To'plam bo'lsin N dan n turli elementlar.

Ta'rif 1: Kombinatsiyalar, ularning har biri hammasini o'z ichiga oladi n Bir-biridan faqat elementlarning joylashish tartibi bilan farq qiladigan elementlar deyiladi almashtirishlar dan n elementlar.

P n=n! (2), qayerda n! (n-faktorial) - mahsulot n tabiiy qatorning birinchi raqamlari, ya'ni.

n! = 1∙2∙3∙…∙(n–1)∙n

Masalan, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

Ta'rif 2: m elementlar ( m≤n) va elementlarning tarkibi yoki tartibida bir-biridan farq qiluvchilar deyiladi joylashtirishlar dan n yoqilgan m elementlar.

(3) 
Ta'rif 3: Kombinatsiyalar, ularning har biri o'z ichiga oladi m elementlar ( m≤n) va bir-biridan faqat tarkibi jihatidan farq qiluvchi elementlar deyiladi kombinatsiyalar dan n yoqilgan m elementlar.


(4)
Izoh: bir xil kombinatsiya ichidagi elementlarning tartibini o'zgartirish yangi kombinatsiyani keltirib chiqarmaydi.

Kombinatoriy muammolarni hal qilishda tez-tez ishlatiladigan ikkita muhim qoidani shakllantiramiz

Jamlama qoidasi: ob'ekt bo'lsa LEKIN tanlanishi mumkin m yo'llar va ob'ekt IN – n yo'llar, keyin tanlov yo LEKIN yoki IN qilish mumkin m+n yo'llari.

Mahsulot qoidasi: ob'ekt bo'lsa LEKIN tanlanishi mumkin m yo'llar va ob'ekt IN har bir bunday tanlovdan keyin tanlash mumkin n yo'llar, keyin bir juft ob'ekt LEKIN Va IN shu tartibda tanlanishi mumkin. m ∙ n yo'llari.

1. Asosiy teoremalarning bayoni va ehtimollik formulalari: qo‘shish teoremasi, shartli ehtimollik, ko‘paytirish teoremasi, hodisalarning mustaqilligi, umumiy ehtimollik formulasi.

Maqsadlar: hodisa ehtimoli tushunchasini joriy etish uchun qulay shart-sharoitlar yaratish; ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalari va formulalari bilan tanishish; umumiy ehtimollik formulasini kiriting.

Darsning borishi:

Tasodifiy tajriba (tajriba) turli xil natijalarga erishish mumkin bo'lgan jarayon bo'lib, natija qanday bo'lishini oldindan aytib bo'lmaydi. Tajribaning mumkin bo'lgan bir-birini istisno qiladigan natijalari uning deyiladi elementar hodisalar . Elementar hodisalar to'plami V bilan belgilanadi.

tasodifiy hodisa hodisa deb ataladi, bu haqda tajriba natijasida sodir bo'ladimi yoki yo'qligini oldindan aytish mumkin emas. Tajriba natijasida sodir bo'lgan har bir tasodifiy A hodisani V dan elementar hodisalar guruhi bilan bog'lash mumkin. Bu guruhni tashkil etuvchi elementar hodisalar deyiladi. A hodisasining yuzaga kelishi uchun qulay.

W to'plamini tasodifiy hodisa sifatida ham ko'rish mumkin. U barcha elementar hodisalarni o'z ichiga olganligi sababli, u albatta tajriba natijasida yuzaga keladi. Bunday hodisa deyiladi haqiqiy .

Agar berilgan hodisa uchun V dan qulay elementar hodisalar bo'lmasa, u tajriba natijasida yuzaga kelishi mumkin emas. Bunday hodisa deyiladi imkonsiz.

Voqealar chaqiriladi teng darajada mumkin agar test natijalari ushbu hodisalarning yuzaga kelishi uchun teng imkoniyat yaratsa. Ikki tasodifiy hodisa chaqiriladi qarama-qarshi agar tajriba natijasida ulardan biri yuzaga kelsa va faqat ikkinchisi sodir bo'lmasa. A hodisaga qarama-qarshi hodisa bilan belgilanadi.

A va B hodisalar deyiladi mos kelmaydigan agar ulardan birining paydo bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lishini istisno qilsa. A 1, A 2, ..., A n hodisalar deyiladi juftlik mos kelmaydigan, agar ulardan ikkitasi mos kelmasa. Hodisalar A 1 , A 2 , ..., An shakl to'liq tizim juftlik mos kelmaydigan hodisalar agar test natijasida ulardan biri va faqat bittasi ro'y berishi aniq bo'lsa.

Hodisalarning yig'indisi (birlashmasi). A 1 , A 2 , ..., A n shunday hodisa C deyiladi, u A 1 , A 2 , ..., A n hodisalaridan kamida bittasi sodir boʻlganligidan iborat boʻlgan hodisalar yigʻindisi quyidagicha ifodalanadi:

C \u003d A 1 + A 2 + ... + A n.

Voqealarning mahsuli (kesishmasi). A 1, A 2, ..., A n shunday P hodisa deyiladi, bu A 1, A 2, ..., A n barcha hodisalarning bir vaqtda sodir bo'lishidan iborat. Voqealarning mahsuli belgilanadi

Ehtimollik nazariyasidagi ehtimollik P(A) testlarning takroriy takrorlanishi bilan har qanday aniq tasodifiy A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli darajasining raqamli xarakteristikasi vazifasini bajaradi.



Masalan, 1000 ta o'limda 4 raqami 160 marta keladi. 160/1000 = 0,16 nisbati ushbu testlar seriyasida tushib qolgan 4 raqamining nisbiy chastotasini ko'rsatadi. Umuman olganda tasodifiy hodisalar chastotasi Va bir qator eksperimentlarni o'tkazishda ular ma'lum bir voqea sodir bo'lgan tajribalar sonining tajribalarning umumiy soniga nisbati deb ataladi:

bu yerda P*(A) A hodisaning chastotasi; m - A hodisasi sodir bo'lgan tajribalar soni; n - tajribalarning umumiy soni.

Tasodifiy hodisa ehtimoli A doimiy son deb ataladi, uning atrofida tajribalar soni ortishi bilan berilgan hodisaning chastotalari guruhlanadi ( hodisa ehtimolini statistik aniqlash ). Tasodifiy hodisaning ehtimoli P(A) bilan belgilanadi.

Tabiiyki, hech kim hech qachon ehtimollikni aniqlash uchun cheksiz miqdordagi testlarni o'tkaza olmaydi. Bunga hojat yo'q. Amalda, ehtimollik ko'p miqdordagi sinovlarga ega bo'lgan hodisaning chastotasi sifatida qabul qilinishi mumkin. Masalan, ko'p yillik kuzatishlar davomida aniqlangan tug'ilishning statistik shakllaridan yangi tug'ilgan chaqaloqning o'g'il bo'lish ehtimoli 0,515 ga baholanadi.

Agar test paytida bitta tasodifiy hodisa boshqalarga qaraganda tez-tez sodir bo'ladigan sabablar bo'lmasa ( teng darajada ehtimoliy hodisalar), biz nazariy mulohazalar asosida ehtimollikni aniqlashimiz mumkin. Masalan, tanga otish holatida gerbning tushish chastotasini aniqlaymiz (A hodisasi). Turli eksperimentchilar bir necha ming sinovlarda bunday hodisaning nisbiy chastotasi 0,5 ga yaqin qiymatlarni olishini ko'rsatdi. tanga simmetrik bo‘lsa, gerbning ko‘rinishi va tanganing qarama-qarshi tomoni (B hodisasi) bir xil ehtimoliy hodisa ekanligini hisobga olsak, chastotani aniqlamasdan P(A)=P(B)=0,5 hukmini chiqarish mumkin edi. ushbu voqealardan. Hodisalarning “teng ehtimolligi” tushunchasi asosida ehtimollikning yana bir ta’rifi shakllantiriladi.

Ko'rib chiqilayotgan A hodisa A ga qulay deb ataladigan m holatda sodir bo'lsin, qolgan n-m larda esa A uchun noqulay bo'lmagan holda sodir bo'lsin.

U holda A hodisaning ehtimoli unga qulay bo'lgan elementar hodisalar sonining ularning umumiy soniga nisbatiga teng bo'ladi.(hodisa ehtimolining klassik ta'rifi):

bu yerda m - A hodisaga mos keladigan elementar hodisalar soni; n - elementar hodisalarning umumiy soni.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

1-misol:Bir urnada 40 ta shar bor: 10 ta qora va 30 ta oq. Tasodifiy tanlangan to'pning qora bo'lish ehtimolini toping.

Qulay holatlar soni urnadagi qora sharlar soniga teng: m = 10. Teng ehtimolli hodisalarning umumiy soni (bitta to'pni chiqarish) urnadagi to'plarning umumiy soniga teng: n = 40. Bu hodisalar mos kelmaydi, chunki bitta va faqat bitta to'p chiqariladi. P (A) = 10/40 = 0,25

2-misol:Zarb otishda juft sonni olish ehtimolini toping.

O'limni tashlashda oltita bir xil darajada mos kelmaydigan hodisalar amalga oshiriladi: bitta raqamning ko'rinishi: 1,2,3,4,5 yoki 6, ya'ni. n = 6. Qulay holatlar 2,4 yoki 6 raqamlaridan birining yo'qolishi: m = 3. Kerakli ehtimollik P (A) = m / N = 3/6 = ½.

Hodisa ehtimolining ta'rifidan ko'rib turganimizdek, barcha hodisalar uchun

0 < Р(А) < 1.

Shubhasiz, ma'lum bir hodisaning ehtimoli 1 ga, mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli 0 ga teng.

Ehtimollarni qo'shish teoremasi: bir nechta mos kelmaydigan hodisalardan bitta (nima bo'lishidan qat'iy nazar) hodisaning paydo bo'lish ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng.

Ikki mos kelmaydigan A va B hodisalari uchun bu hodisalarning ehtimolliklari ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

P(A yoki B)=P(A) + P(B).

3-misol:Zar otishda 1 yoki 6 ni olish ehtimolini toping.

A hodisasi (1-rulon) va B (6-rulon) bir xil ehtimoli bor: P (A) = P (B) = 1/6, shuning uchun P (A yoki B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Ehtimollar qo'shilishi nafaqat ikkita, balki har qanday miqdordagi mos kelmaydigan hodisalar uchun ham amal qiladi.

4-misol:Bir urnada 50 ta shar bor: 10 ta oq, 20 ta qora, 5 ta qizil va 15 ta ko'k. To'pni urnadan olib tashlashning bitta operatsiyasida oq, qora yoki qizil sharning paydo bo'lish ehtimolini toping.

Oq sharni chizish ehtimoli (A hodisasi) P(A) = 10/50 = 1/5, qora shar (B hodisasi) P (B) = 20/50 = 2/5 va qizil shar ( hodisa C) P (C) = 5/50 = 1/10. Bu erdan, ehtimolliklarni qo'shish formulasiga ko'ra, biz P (A yoki B yoki C) \u003d P (A) + P (B) \u003d P (C) \u003d 1/5 + 2/5 + 1/ ni olamiz. 10 \u003d 7/10

Ikki qarama-qarshi hodisaning ehtimollar yig'indisi, ehtimollarni qo'shish teoremasidan kelib chiqqan holda, bir ga teng:

P(A) + P() = 1

Yuqoridagi misolda oq, qora va qizil to'plarni chiqarish A 1, P(A 1) = 7/10 hodisasi bo'ladi. 1 ning qarama-qarshi hodisasi ko'k to'pni chizishdir. 15 ta ko'k to'p borligi sababli, va jami 50 ta to'p, keyin biz P( 1) = 15/50 = 3/10 va P (A) + P () = 7/10 + 3/10 = 1 ni olamiz.

Agar A 1 , A 2 , ..., A n hodisalar juftlik mos kelmaydigan hodisalarning toʻliq tizimini tashkil qilsa, ularning ehtimollik yigʻindisi 1 ga teng.

Umuman olganda, A va B ikkita hodisa yig'indisining ehtimoli quyidagicha hisoblanadi

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB).

Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi:

A va B hodisalar deyiladi mustaqil Agar A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli B hodisaning sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmaganligiga bog'liq bo'lmasa va aksincha, B hodisaning yuzaga kelish ehtimoli A hodisaning sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmaganligiga bog'liq emas.

Mustaqil hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli ularning ehtimolliklarining ko'paytmasiga teng. Ikki voqea uchun P(A va B)=P(A) P(B).

Misol: Bitta urnada 5 ta qora va 10 ta oq shar, ikkinchisida 3 ta qora va 17 ta oq shar bor. Har bir urnadan birinchi marta sharlar chiqarilganda ikkala shar ham qora rangda bo'lish ehtimolini toping.

Yechish: birinchi urnadan qora sharni chizish ehtimoli (A hodisasi) - P(A) = 5/15 = 1/3, ikkinchi urnadan qora shar (B hodisasi) - P(B) = 3/ 20

P (A va B) \u003d P (A) P (B) \u003d (1/3) (3/20) \u003d 3/60 \u003d 1/20.

Amalda, B hodisaning ehtimoli ko'pincha boshqa A hodisasi sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmaganiga bog'liq. Bunday holda, kimdir gapiradi shartli ehtimollik , ya'ni. A hodisasi sodir bo'lganligini hisobga olsak, B hodisasining ehtimoli. Shartli ehtimollik P(B/A) bilan belgilanadi.

Qisqacha nazariya

Hodisalarni sodir bo'lish ehtimoli darajasiga ko'ra miqdoriy taqqoslash uchun hodisaning ehtimolligi deb ataladigan raqamli o'lchov kiritiladi. Tasodifiy hodisa ehtimoli voqea sodir bo'lishining ob'ektiv imkoniyati o'lchovining ifodasi bo'lgan raqam deyiladi.

Voqea sodir bo'lishini hisoblash uchun ob'ektiv asoslar qanchalik muhimligini aniqlaydigan qiymatlar hodisaning ehtimoli bilan tavsiflanadi. Shuni ta'kidlash kerakki, ehtimollik - bu idrok etuvchidan mustaqil ravishda mavjud bo'lgan va voqea sodir bo'lishiga yordam beradigan shartlar yig'indisi bilan shartlangan ob'ektiv miqdor.

Biz ehtimollik tushunchasiga bergan tushuntirishlarimiz matematik ta'rif emas, chunki ular bu tushunchani miqdoriy jihatdan aniqlamaydi. Tasodifiy hodisa ehtimolining bir nechta ta'riflari mavjud bo'lib, ular aniq muammolarni hal qilishda keng qo'llaniladi (klassik, ehtimollikning geometrik ta'rifi, statistik va boshqalar).

Hodisa ehtimolining klassik ta'rifi bu kontseptsiyani endi ta'rifga bo'ysunmaydigan va intuitiv ravishda aniq deb taxmin qilinadigan teng ehtimolli hodisalarning elementar kontseptsiyasiga qisqartiradi. Misol uchun, agar zar bir hil kub bo'lsa, u holda bu kubning har qanday yuzining tushishi bir xil ehtimoliy hodisalar bo'ladi.

Muayyan hodisani yig'indisi hodisani beradigan teng ehtimolli holatlarga bo'linsin. Ya'ni, u bo'linadigan holatlar voqea uchun qulay deb ataladi, chunki ulardan birining paydo bo'lishi hujumni ta'minlaydi.

Hodisa ehtimoli belgisi bilan belgilanadi.

Hodisa ehtimoli noyob, teng darajada mumkin bo'lgan va mos kelmaydigan holatlarning umumiy sonidan unga qulay bo'lgan holatlar sonining soniga nisbatiga teng, ya'ni.

Bu ehtimollikning klassik ta'rifi. Shunday qilib, hodisaning ehtimolini topish uchun testning turli natijalarini ko'rib chiqqandan so'ng, yagona mumkin bo'lgan, teng darajada mumkin bo'lgan va mos kelmaydigan holatlar to'plamini topish, ularning umumiy sonini n, holatlar sonini hisoblash kerak. m, bu hodisani ma'qullaydi va keyin yuqoridagi formula bo'yicha hisob-kitobni bajaring.

Hodisa uchun qulay bo'lgan tajriba natijalari sonining tajriba natijalarining umumiy soniga nisbatiga teng bo'lgan hodisa ehtimoli deyiladi. klassik ehtimollik tasodifiy hodisa.

Ta'rifdan ehtimollikning quyidagi xossalari kelib chiqadi:

Mulk 1. Muayyan hodisaning ehtimoli birga teng.

Mulk 2. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng.

3-xususiyat. Tasodifiy hodisaning ehtimoli noldan birgacha bo'lgan musbat sondir.

Xossa 4. To'liq guruhni tashkil etuvchi hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli birga teng.

Xossa 5. Qarama-qarshi hodisaning yuzaga kelish ehtimoli A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bilan bir xil tarzda aniqlanadi.

Qarama-qarshi hodisaning yuzaga kelishiga yordam beradigan hodisalar soni. Demak, qarama-qarshi hodisaning sodir bo'lish ehtimoli 1 va A hodisasining sodir bo'lish ehtimoli o'rtasidagi farqga teng:

Hodisa ehtimolining klassik ta'rifining muhim afzalligi shundaki, uning yordami bilan voqea ehtimolini tajribaga murojaat qilmasdan, balki mantiqiy fikrlash asosida aniqlash mumkin.

Shartlar majmui bajarilganda, ma'lum bir voqea albatta sodir bo'ladi va imkonsiz narsa albatta bo'lmaydi. Sharoitlar majmuasi vujudga kelganda, yuzaga kelishi yoki bo‘lmasligi mumkin bo‘lgan hodisalar orasida ba’zilarining ko‘rinishini ko‘proq sabab bilan, ba’zilarining ko‘rinishini kamroq sabab bilan hisoblash mumkin. Agar, masalan, urnada qora to'plardan ko'ra ko'proq oq sharlar bo'lsa, unda qora to'pning paydo bo'lishidan ko'ra tasodifiy urnadan chiqarilganda oq shar paydo bo'lishiga umid qilish uchun ko'proq sabablar bor.

Keyingi sahifada ko'rilgan.

Muammoni hal qilish misoli

1-misol

Bir qutida 8 ta oq, 4 ta qora va 7 ta qizil shar bor. Tasodifiy ravishda 3 ta to'p tortiladi. Quyidagi hodisalarning ehtimolini toping: - kamida 1 ta qizil shar chizilgan, - bir xil rangdagi kamida 2 ta shar bor, - kamida 1 ta qizil va 1 ta oq shar bor.

Muammoning yechimi

Sinov natijalarining umumiy sonini har biri 3 tadan 19 ta (8 + 4 + 7) elementlarning kombinatsiyasi soni sifatida topamiz:

Hodisa ehtimolini toping- kamida 1 qizil to'p (1,2 yoki 3 qizil to'p) chizilgan

Kerakli ehtimollik:

Tadbirga ruxsat bering- bir xil rangdagi kamida 2 ta shar bor (2 yoki 3 oq shar, 2 yoki 3 qora shar va 2 yoki 3 qizil shar)

Tadbirga yordam beradigan natijalar soni:

Kerakli ehtimollik:

Tadbirga ruxsat bering- kamida bitta qizil va bitta oq to'p bor

(1 qizil, 1 oq, 1 qora yoki 1 qizil, 2 oq yoki 2 qizil, 1 oq)

Tadbirga yordam beradigan natijalar soni:

Kerakli ehtimollik:

Javob: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

2-misol

Ikkita zar tashlanadi. Ballar yig‘indisi kamida 5 bo‘lish ehtimolini toping.

Yechim

Hodisa 5 dan kam bo'lmagan ballar yig'indisi bo'lsin

Keling, ehtimollikning klassik ta'rifidan foydalanamiz:

Mumkin bo'lgan sinov natijalarining umumiy soni

Bizni qiziqtirgan hodisaga yordam beradigan sinovlar soni

Birinchi zarning tushgan yuzida bir nuqta, ikki nuqta ..., olti nuqta paydo bo'lishi mumkin. xuddi shunday, ikkinchi o'lim rulosida oltita natija mumkin. Birinchi o'limning har bir natijasi ikkinchisining har bir natijasi bilan birlashtirilishi mumkin. Shunday qilib, testning mumkin bo'lgan elementar natijalarining umumiy soni takroriy joylashtirishlar soniga teng (6-jild to'plamidan 2 ta elementni joylashtirish bilan tanlash):

Qarama-qarshi hodisaning ehtimolini toping - ballar yig'indisi 5 dan kichik

Yo'qotilgan ballarning quyidagi kombinatsiyasi tadbirga yordam beradi:

№ 1-suyak 2- suyak 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 3 1 5 1 3

O'rta yechim narxi nazorat ishlari 700 - 1200 rubl (lekin butun buyurtma uchun kamida 300 rubl). Narxga qarorning shoshilinchligi (kunlardan bir necha soatgacha) kuchli ta'sir ko'rsatadi. Imtihon / testda onlayn yordam narxi - 1000 rubldan. chipta yechimi uchun.

Ilova to'g'ridan-to'g'ri chatda qoldirilishi mumkin, avvalroq vazifalarning holatini o'chirib tashlab, uni hal qilish muddatlari haqida sizni xabardor qiladi. Javob vaqti bir necha daqiqa.

Ehtimollik - ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri. Ushbu kontseptsiyaning bir nechta ta'riflari mavjud. Keling, klassik deb ataladigan ta'rifni beraylik.

Ehtimollik hodisa - bu ma'lum bir hodisani qo'llab-quvvatlaydigan elementar natijalar sonining ushbu hodisa yuzaga kelishi mumkin bo'lgan tajribaning barcha teng darajada mumkin bo'lgan natijalari soniga nisbati.

A hodisaning ehtimolligi bilan belgilanadi P(A)(Bu yerga R- frantsuzcha so'zning birinchi harfi ehtimollik- ehtimollik).

Ta'rifga ko'ra

hodisaning ko'rinishini qo'llab-quvvatlaydigan elementar test natijalarining soni qaerda;

Sinovning mumkin bo'lgan elementar natijalarining umumiy soni.

Ehtimollikning bunday ta'rifi deyiladi klassik. U paydo bo'ldi dastlabki bosqich ehtimollik nazariyasining rivojlanishi.

Raqam ko'pincha hodisaning nisbiy chastotasi deb ataladi. LEKIN tajribada.

Voqea sodir bo'lish ehtimoli qanchalik katta bo'lsa, u shunchalik tez-tez sodir bo'ladi va aksincha, hodisaning ehtimoli qanchalik past bo'lsa, u kamroq sodir bo'ladi. Hodisa ehtimoli birga yaqin yoki birga teng bo'lsa, u deyarli barcha sinovlarda sodir bo'ladi. Bunday hodisa aytiladi deyarli aniq, ya'ni, bu, albatta, uning hujumiga tayanishi mumkin.

Aksincha, ehtimol nolga teng yoki juda kichik bo'lsa, hodisa juda kam uchraydi; shunday hodisa bo'lishi aytiladi deyarli imkonsiz.

Ba'zida ehtimollik foiz sifatida ifodalanadi: R(A) 100% hodisaning sodir bo'lish sonining o'rtacha foizi A.

2.13-misol. Telefon raqamini terayotganda, abonent bitta raqamni unutib, uni tasodifiy tergan. Istalgan raqam terilishi ehtimolini toping.

Yechim.

tomonidan belgilang LEKIN hodisa - "kerakli raqam terilgan".

Abonent 10 ta raqamdan istalgan birini terishi mumkin, shuning uchun mumkin bo'lgan elementar natijalarning umumiy soni 10 tani tashkil qiladi. Bu natijalar mos kelmaydi, bir xil darajada mumkin va to'liq guruhni tashkil qiladi. Tadbirni yaxshi ko'radi LEKIN faqat bitta natija (kerakli raqam faqat bitta).

Istalgan ehtimollik hodisani ma'qullaydigan natijalar sonining barcha elementar natijalar soniga nisbatiga teng:

Klassik ehtimollik formulasi tajribani talab qilmaydigan ehtimollarni hisoblashning juda oddiy usulini taqdim etadi. Biroq, bu formulaning soddaligi juda aldamchi. Gap shundaki, uni ishlatishda, qoida tariqasida, ikkita juda qiyin savol tug'iladi:

1. Tajriba natijalari tizimini qanday tanlash mumkin, shunda ular teng darajada bo'ladi va buni umuman qilish mumkinmi?

2. Raqamlarni qanday topish mumkin m Va n?

Agar eksperimentda bir nechta sub'ektlar ishtirok etsa, bir xil natijalarni ko'rish har doim ham oson emas.

Buyuk frantsuz faylasufi va matematigi d'Alember ehtimollar nazariyasi tarixiga o'zining mashhur xatosi bilan kirdi, uning mohiyati shundan iboratki, u faqat ikkita tanga bilan tajribada natijalarning teng ehtimolligini noto'g'ri aniqlagan!

2.14-misol. ( d'Alembert xatosi). Ikkita bir xil tanga tashlangan. Ularning bir tarafga tushish ehtimoli qanday?

d'Alembert yechimi.

Tajriba uchta teng natijaga ega:

1. Ikkala tanga ham “burgut”ga tushadi;

2. Ikkala tanga ham "dumlar" ga tushadi;

3. Tangalardan biri boshlarga, ikkinchisi dumlarga tushadi.

To'g'ri yechim.

Tajriba bir xil darajada mumkin bo'lgan to'rtta natijaga ega:

1. Birinchi tanga “burgut”ga, ikkinchisi ham “burgut”ga tushadi;

2. Birinchi tanga "dumlar" ga tushadi, ikkinchisi ham "dumlar" ga tushadi;

3. Birinchi tanga boshlarga, ikkinchisi esa dumlarga tushadi;

4. Birinchi tanga quyruqlarga, ikkinchisi esa boshlarga tushadi.

Ulardan ikkitasi bizning hodisamiz uchun qulay bo'ladi, shuning uchun kerakli ehtimollik tengdir.

d'Alembert ehtimollikni hisoblashda eng ko'p yo'l qo'yilgan xatolardan birini qildi: u ikkita elementar natijani bitta natijaga birlashtirdi va shu bilan uni tajribaning qolgan natijalariga ehtimollik bilan tengsiz qildi.