Če je treba v problemu izvesti popolno študijo funkcije f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijo njenega grafa, bomo to načelo podrobno obravnavali.

Za rešitev te vrste problema je treba uporabiti lastnosti in grafe glavnih osnovnih funkcij. Algoritem raziskave vključuje naslednje korake:

Iskanje domene definicije

Ker se raziskave izvajajo na domeni funkcije, je treba začeti s tem korakom.

Primer 1

Naveden primer vključuje iskanje ničel imenovalca, da jih izključimo iz DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Kot rezultat, lahko dobite korenine, logaritme itd. Nato lahko ODZ iščemo za koren sode stopnje tipa g (x) 4 po neenakosti g (x) ≥ 0 , za logaritem log a g (x) po neenakosti g (x) > 0 .

Raziskovanje meja ODZ in iskanje vertikalnih asimptot

Na mejah funkcije obstajajo navpične asimptote, ko so enostranske meje na takih točkah neskončne.

Primer 2

Na primer, upoštevajte mejne točke, ki so enake x = ± 1 2 .

Nato je treba preučiti funkcijo, da najdemo enostransko mejo. Potem dobimo: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

To kaže, da so enostranske meje neskončne, kar pomeni, da sta premici x = ± 1 2 navpične asimptote grafa.

Preiskava funkcije in za sodo ali liho

Ko je izpolnjen pogoj y (- x) = y (x), se funkcija šteje za sodo. To nakazuje, da se graf nahaja simetrično glede na O y. Ko je izpolnjen pogoj y (- x) = - y (x), se funkcija šteje za liho. To pomeni, da gre simetrija glede na izvor koordinat. Če vsaj ena neenakost ne uspe, dobimo funkcijo splošne oblike.

Izpolnjevanje enakosti y (- x) = y (x) pomeni, da je funkcija soda. Pri konstruiranju je treba upoštevati, da bo obstajala simetrija glede na O y.

Za rešitev neenakosti se uporabita intervala povečanja in zmanjšanja s pogoji f "(x) ≥ 0 in f" (x) ≤ 0.

Opredelitev 1

Stacionarne točke so točke, ki obrnejo izpeljanko na nič.

Kritične točke so notranje točke iz domene, kjer je izvod funkcije enak nič ali ne obstaja.

Pri odločanju je treba upoštevati naslednje točke:

• za obstoječe intervale naraščanja in zmanjševanja neenakosti oblike f "(x) > 0 kritične točke niso vključene v rešitev;
• točke, na katerih je funkcija definirana brez končnega odvoda, je treba vključiti v intervale povečanja in zmanjšanja (na primer y = x 3, kjer točka x = 0 naredi funkcijo definirano, izpeljanka ima vrednost neskončnosti na tej točki je y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 vključen v interval povečanja);
• da bi se izognili nesoglasjem, je priporočljiva uporaba matematične literature, ki jo priporoča Ministrstvo za šolstvo.

Vključitev kritičnih točk v intervale naraščanja in padanja v primeru, da izpolnjujejo domeno funkcije.

2. opredelitev

Za določanje intervalov povečanja in zmanjšanja funkcije, je treba najti:

• izpeljanka;
• kritične točke;
• prelomiti domeno definicije s pomočjo kritičnih točk na intervale;
• določi predznak odvoda na vsakem od intervalov, kjer je + povečanje in - zmanjšanje.

Primer 3

Poiščite izvod na domeni f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Rešitev

Za rešitev potrebujete:

• poiščite stacionarne točke, ta primer ima x = 0 ;
• poiščemo ničle imenovalca, primer vzame vrednost nič pri x = ± 1 2 .

Izpostavimo točke na številčni osi, da določimo izvod na vsakem intervalu. Če želite to narediti, je dovolj, da vzamete katero koli točko iz intervala in naredite izračun. Če je rezultat pozitiven, na grafu narišemo +, kar pomeni povečanje funkcije, - pomeni njeno zmanjšanje.

Na primer, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, kar pomeni, da ima prvi interval na levi znak +. Razmislite o številu vrstico.

odgovor:

• pride do povečanja funkcije na intervalu - ∞ ; - 1 2 in (- 1 2 ; 0 ];
• pride do zmanjšanja intervala [0; 1 2) in 1 2 ; +∞ .

Na diagramu sta z uporabo + in - prikazana pozitivnost in negativnost funkcije, puščice pa kažejo padajoče in naraščajoče.

Ekstremne točke funkcije so točke, kjer je funkcija definirana in skozi katere izpeljanka spremeni predznak.

Primer 4

Če upoštevamo primer, kjer je x = 0, potem je vrednost funkcije v njem f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Ko se predznak izvoda spremeni iz + v - in gre skozi točko x \u003d 0, se točka s koordinatami (0; 0) šteje za največjo točko. Ko se predznak spremeni iz - v +, dobimo minimalno točko.

Konveksnost in konkavnost se določita z reševanjem neenakosti v obliki f "" (x) ≥ 0 in f "" (x) ≤ 0 . Manj pogosto uporabljajo ime izbočilo navzdol namesto vbokline in izboklino navzgor namesto izbokline.

Opredelitev 3

Za določanje vrzeli konkavnosti in konveksnosti potrebno:

• poišči drugo izpeljanko;
• poišči ničle funkcije drugega izvoda;
• razdeli domeno definicije s točkami, ki se pojavljajo na intervale;
• določi predznak vrzeli.

Primer 5

Poiščite drugo izpeljanko iz področja definicije.

Rešitev

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Najdemo ničli števca in imenovalca, kjer na našem primeru imamo, da sta ničli imenovalca x = ± 1 2

Zdaj morate na številski premici postaviti točke in določiti predznak druge izpeljanke iz vsakega intervala. To razumemo

odgovor:

• funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 12 ;
• funkcija je konkavna iz vrzeli - ∞ ; - 1 2 in 1 2 ; +∞ .

Opredelitev 4

pregibna točka je točka oblike x 0 ; f(x0) . Ko ima tangento na graf funkcije, potem ko gre skozi x 0, funkcija spremeni predznak v nasprotni.

Z drugimi besedami, to je taka točka, skozi katero gre druga izpeljanka in spremeni predznak, na samih točkah pa je enaka nič ali pa ne obstaja. Vse točke se štejejo za domeno funkcije.

V primeru je bilo razvidno, da pregibnih točk ni, saj druga izpeljanka pri prehodu skozi točke x = ± 1 2 spremeni predznak. Ti pa niso vključeni v področje definicije.

Iskanje vodoravnih in poševnih asimptot

Pri definiranju funkcije v neskončnosti je treba iskati horizontalne in poševne asimptote.

Definicija 5

Poševne asimptote so narisane z uporabo premic, ki jih poda enačba y = k x + b, kjer je k = lim x → ∞ f (x) x in b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Za k = 0 in b ni enako neskončnosti ugotovimo, da poševna asimptota postane vodoravno.

Z drugimi besedami, asimptote so črte, ki se jim graf funkcije približuje v neskončnosti. To prispeva k hitri gradnji grafa funkcije.

Če ni asimptot, vendar je funkcija definirana na obeh neskončnostih, je treba izračunati mejo funkcije na teh neskončnostih, da bi razumeli, kako se bo obnašal graf funkcije.

Primer 6

Kot primer upoštevajte to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontalna asimptota. Ko raziščete funkcijo, jo lahko začnete graditi.

Izračunavanje vrednosti funkcije na vmesnih točkah

Da bi bila risba najbolj natančna, je priporočljivo najti več vrednosti funkcije na vmesnih točkah.

Primer 7

Iz primera, ki smo ga obravnavali, je treba najti vrednosti funkcije v točkah x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Ker je funkcija soda, dobimo, da vrednosti sovpadajo z vrednostmi na teh točkah, torej dobimo x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x = 1 4.

Zapišimo in rešimo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Za določitev maksimumov in minimumov funkcije, pregibnih točk, vmesnih točk je potrebno zgraditi asimptote. Za priročno označevanje so določeni intervali povečanja, zmanjšanja, konveksnosti, konkavnosti. Upoštevajte spodnjo sliko.

Skozi označene točke je potrebno narisati grafične črte, ki vam bodo omogočile, da se po puščicah približate asimptotam.

S tem je zaključena popolna študija funkcije. Obstajajo primeri konstruiranja nekaterih elementarnih funkcij, za katere se uporabljajo geometrijske transformacije.

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Že nekaj časa je v TheBatu (ni jasno iz kakšnega razloga) vgrajena baza potrdil za SSL prenehala delovati pravilno.

Pri preverjanju objave se pojavi napaka:

Neznano potrdilo CA
Strežnik v seji ni predstavil korenskega potrdila in ustreznega korenskega potrdila ni bilo mogoče najti v imeniku.
Ta povezava ne more biti tajna. prosim
se obrnite na skrbnika strežnika.

Ponujena je izbira odgovorov - DA / NE. In tako vsakič, ko posnamete pošto.

Rešitev

V tem primeru morate implementacijski standard S/MIME in TLS zamenjati z Microsoft CryptoAPI v TheBat!

Ker sem moral vse datoteke združiti v eno, sem najprej vse pretvoril doc datoteke v eno samo datoteko pdf (s programom Acrobat) in jo nato prek spletnega pretvornika prenesti v fb2. Datoteke lahko pretvorite tudi posamezno. Formati so lahko popolnoma kateri koli (vir) in doc, jpg in celo zip arhiv!

Ime strani ustreza bistvu:) Online Photoshop.

Posodobitev maja 2015

Našel sem še eno odlično spletno stran! Še bolj priročno in funkcionalno za ustvarjanje povsem poljubnega kolaža! To spletno mesto je http://www.fotor.com/ru/collage/. Uporabite za zdravje. In tudi sam ga bom uporabil.

V življenju se soočil s popravilom električnih štedilnikov. Veliko stvari sem že naredil, se veliko naučil, a s ploščicami nekako nisem imel veliko opravka. Treba je bilo zamenjati kontakte na regulatorjih in gorilnikih. Pojavilo se je vprašanje - kako določiti premer gorilnika na električnem štedilniku?

Izkazalo se je, da je odgovor preprost. Ni vam treba ničesar meriti, lahko mirno določite, katero velikost potrebujete.

Najmanjši gorilnik je 145 milimetrov (14,5 centimetra)

Srednji gorilnik je 180 milimetrov (18 centimetrov).

In končno največ velik gorilnik je 225 milimetrov (22,5 centimetra).

Dovolj je, da določite velikost na oko in razumete, kakšen premer potrebujete gorilnik. Ko tega nisem vedel, sem se vzpenjal s temi velikostmi, nisem vedel, kako izmeriti, po katerem robu navigirati itd. Zdaj sem modra :) Upam, da je tudi tebi pomagalo!

V življenju sem se soočil s tako težavo. Mislim, da nisem edina.

Rešebnik Kuznecov.
III Grafi

Naloga 7. Izvedite popolno študijo funkcije in zgradite njen graf.

        Preden začnete prenašati svoje možnosti, poskusite rešiti težavo po spodnjem primeru za možnost 3. Nekatere možnosti so arhivirane v formatu .rar

        7.3 Izvedite popolno študijo funkcije in jo narišite

Rešitev.

        1) Obseg:         ali        , tj.        .
.
Tako:         .

        2) Ni presečišč z osjo Ox. Dejansko enačba         nima rešitev.
Ni presečišč z osjo Oy, ker        .

        3) Funkcija ne sodo ne liho. Glede na os y ni simetrije. Tudi glede izvora ni simetrije. Ker
.
Vidimo, da         in        .

        4) Funkcija je neprekinjena v domeni
.

; .

; .
Zato je točka         diskontinuiteta druge vrste (neskončna diskontinuiteta).

5) Vertikalne asimptote:       

Poiščite poševno asimptoto        . tukaj

;
.
Zato imamo vodoravno asimptoto: y=0. Poševnih asimptot ni.

        6) Poiščite prvo izpeljanko. Prva izpeljanka:
.
In zato
.
Poiščimo stacionarne točke, kjer je izvod enak nič, tj
.

        7) Poiščite drugo izpeljanko. Druga izpeljanka:
.
In to je enostavno preveriti, saj