Презентация на тему софизмы. Презентация на тему: Математические софизмы
СодержаниеВведение
Древние софизмы
Числовые софизмы
Геометрические софизмы
Выводы
Что такое софизм?
Софизм (от греческого sophismaуловка, выдумка, головоломка)- логическинеправильное рассуждение, выдаваемое
за правильное.
Математический софизм- удивительное
утверждение, в доказательстве которого
кроются незаметные, а подчас и довольно
тонкие ошибки.
Эффектная демонстрация явно
неверного доказательства- в этом и
состоит смысл софизма.
Древние софизмы
Где появились софизмы?В Древней Греции.
Для чего они создавались? С какой
целью?
Появление софизмов заставило
задуматься математиков о
логическом строении геометрии и
арифметики.
Кто придумал математические софизмы?
мудрец Зенон Элейский
в V веке до нашей эры.
Древние софизмы
Древний софизм «Рогатый»Равен ли полный стакан пустому
Последние годы нашей жизни короче,
чем первые.
Древний софизм «Рогатый»
То, что ты не потерял, то иимеешь. Ты не потерял рога,
следовательно, ты их имеешь.
Где ошибка?
ответ
Равен ли полный стакан пустому?
Оказывается, что да.Пусть есть стакан, наполненный водой до
половины.
Тогда стакан, наполовину полный, равен стакану,
наполовину пустому.
Увеличим обе части равенства вдвое, получим, что
стакан полный равен стакану пустому.
=
Где ошибка?
ответ
Последние годы нашей жизни короче, чем первые
Известно изречение: в молодости идет времямедленнее, а в старости скорее. Это изречение
можно доказать математически.
Человек в течение тридцатого года жизни
проживает 1/30 часть своей жизни, в течение
семидесятого -1/70 часть жизни. Очевидно, что
1/30>1/70. Откуда ясно, что последние годы
жизни короче первых.
Не подвела ли математика?
ответ
Числовые софизмы
2=35=6
2·2=5
1=0, или уравнение x-a=0
не имеет решения
2=3
Рассмотрим очевидное равенство:(2-5/2)2=(3-5/2)2
Тогда
(2-5/2)=(3-5/2)
Прибавив к обеим частям равенства по 5/2,
получим
2=3
Где ошибка?
ответы
5=6
Возьмем тождество:35+10-45=42+12-54
Вынесем за скобки общий
множитель:
5·(7+2-9)=6·(7+2-9)
Разделим обе части на (7+2-9)
Получим 5=6
ответ
2·2=5
Напишем тождество:4:4=5:5
Вынесем в каждой части общие
множители за скобки:
4·(1:1)=5·(1:1)
Так как 1:1=1, то 4=5, или
2·2=5
ответ
1=0, или уравнение х-а=0 не имеет корней
Дано уравнение x-a=0Имеем:
(X-A)
0
=
(X-A)
(X-A)
1=0
Так как это равенство неверное, то
исходное уравнение не имеет
корней.
ответ
Геометрические софизмы
Пусть ΔАВСпроизвольный.Проведем биссектрису
угла В и серединный
перпендикуляр к
отрезку АС.
Точку их пересечения
обозначим М.
Т.к. MD- высота и
медиана в ΔАМС, то он
равнобедренный
и АМ=МС
А
В
м
D
С
Геометрические софизмы
Опустим из точки Мперпендикуляры МЕ и MF на
стороны АВ и ВС
соответственно.
Из равенства треугольников
ВЕМ и ВFМ следует, что
МЕ=MF, ВЕ=BF.
В
E
F
м
А
D
С
Геометрические софизмы
Следовательно,прямоугольные
треугольники АМЕ и
CMF равны:
у них равны
гипотенузы (АМ и МС)
и катеты (ME и MF)
значит AE=CF.
Итак, АЕ=СF, BE=BF
Следует, что AB=BC.
Возник парадокс: все
треугольники
равнобедренные
В
E
F
м
А
D
C
Геометрические софизмы
Ошибка в чертеже. Правильныйчертеж:
В
E
А
F
D
M
С
Выводы:
1.2.
3.
познакомились с понятием
математические софизмы;
научились искать замаскированные
ошибки;
осознали:
важность правильных, корректных
записей и чертежей
недопустимость выполнения запрещенных
действий
важность учета применимости теорем,
формул и правил.
Ответы «Рогатый»
Ошибка здесь состоит в неправильномпереходе от общего правила к частному
случаю, который этим правилом не
предусмотрен.
Действительно, то, что ты не потерял,
подразумевает под словом «то» - все,
что ты имеешь, и ясно, что в него не
включены «рога».
Поэтому заключение «ты имеешь рога»
неправомерно.
назад
«Равен ли полный стакан пустому»
Приведенное рассуждениеневерно, так как в нем
применяется неправильное
действие: увеличение вдвое. В
данной ситуации его
применение бессмысленно.
назад
Ответ. «Последние годы нашей жизни короче, чем первые»
Действительно, 1/30>1/40>1/50.Но неверно утверждение, что в
течение тридцатого года человек
проживает 1/30 часть жизни, он
проживает 1/30 только той части
жизни, которую он к этому моменту
прожил, но именно части, а не всей
жизни. Нельзя сравнивать между
собой части различных отрезков
времени.
назад
2=3
Если (2-5/2)2=(3-5/2)2, топравильным следствием
должно быть
Ι2-5/2Ι=Ι3-5/2Ι, откуда следует
Ι-½Ι=Ι½Ι,
а вовсе не равенство 2-5/2=3-5/2
назад
5=6
Ошибка допущена при деленииверного равенства
5·(7+2-9)=6·(7+2-9)
на число (7+2-9), равное нулю.
Этого делать нельзя.
Любое равенство можно делить
только на число,
отличное от нуля!
назад
2·2=5
4:4=5:54/4=5/5
Вынесем общие множители:
4·1/4=5·1/5
В результате у нас не образуется общий
множитель, а в предложенном
доказательстве он был получен
вследствие некорректных действий:
4:4=4·(1:1)
назад
Уравнение х-а=0 не имеет корней, или 1=0
Так как х-а – кореньуравнения, то разделив
на (х-а) обе части,
мы потеряли этот корень
и поэтому получили неверное
равенство 1=0.
назад
Title="Пример 10.Из двух неравных чисел первое всегда больше второго Пусть a и b – произвольные числа и a ≠ b. Имеем:(a – b)2 > 0, т.е. a2 – 2ab – b2 > 0, или a2 + b2 > 2ab.К обеим частям этого неравенства прибавим – 2b2. Получим:a2 – b2 > 2ab – 2b2, или ( ">
1 из 23
Презентация на тему: Математические софизмы
№ слайда 1
Описание слайда:
№ слайда 2
Описание слайда:
Что такое софизм? Правильно понятая ошибка – это путь к открытиюИ.П. Павлов Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещённые» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.
№ слайда 3
Описание слайда:
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (что одну прямую, параллельную данной, можно провести – это доказывается). Это утверждение на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, вывеси из остальных аксиом геометрии, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И всё же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Можно сказать, что они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит нашему великому соотечественнику Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи. Н.И. Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных, но скоро понял, что этого сделать нельзя. И путь, идя которым Лобачевский убедился в этом, привёл его к созданию новой геометрии. Этот замечательный вклад в математику был одним из тех, которые прославили русскую науку.
№ слайда 4
Описание слайда:
Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Всё это нужно и важно. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ. Чем полезны софизмы и что они дают?
№ слайда 5
Описание слайда:
№ слайда 6
Описание слайда:
Алгебраические софизмы Вот некоторые результаты решения софизмов: (для подробного просмотра нажмите на выбранную строку) Пример 1.1 р. = 10 000 к. Пример 2.5 = 6 Пример 3.4 = 8 Пример 4.2 · 2 = 5 Пример 5.5 = 1 Пример 6.4 = 5 Пример 7.Любое число равно его половине Пример 8.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пример 9.Любое число = 0 Пример 10.Из двух неравных чисел первое всегда больше второго
№ слайда 7
Описание слайда:
Пример 1.1 р. = 10 000 к. Возьмём верное равенство: 1 р. = 100 к. Возведём его по частям в квадрат. Мы получим: 1 р. = 10 000 к.************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа.
№ слайда 8
Описание слайда:
Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).Получаем 5 = 6.************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.
№ слайда 9
Описание слайда:
№ слайда 10
Описание слайда:
Пример 4.2 · 2 = 5 Имеем числовое равенство (верное): 4: 4 = 5: 5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4 (1: 1) = 5 (1: 1).Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2 · 2 = 5.************************************************************************************Вопрос: Где здесь ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4: 4 = 5: 5.
№ слайда 11
Описание слайда:
Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3.Получим числа 2 и – 2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 И 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.
№ слайда 12
Описание слайда:
Имеем числовое равенство (верное):16 – 36 = 25 – 45; 16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25;(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2; 4 – 4,5 = 5 – 4,5; 4 = 5. ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): (4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2 ↔ |4 – 4,5| = |5 – 4,5|. Пример 6.4 = 5
№ слайда 13
Описание слайда:
Пример 7.Любое число равно его половине Возьмём два равных числа a и b, a = b. Обе части этого равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b2. Получим:a2 – b2 = ab – b2, или (a + b) (a – b) = b (a – b).Отсюда a + b = b, или a + a = a, так как b = a.Значит, 2a = a, a = . ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Нельзя делить на (a – b), так как (a – b) = 0.
№ слайда 14
Описание слайда:
Пример 8.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пусть a (м) – расстояние от Земли до Солнца, а b (м) – толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. Имеем:a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем:a2 – 2av = b2 – 2bv. Прибавим к каждой части v2. Получим:a2 – 2av + v2 = b2 – 2bv + v2, или (a – v)2 = (b – v)2, т.е. (a – v) = (b – v), и, значит, a = b. ************************************************************************************Вопрос: Где здесь ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Ошибка как в примере №6.
№ слайда 15
Описание слайда:
Пример 9.Любое число = 0 Каково бы ни было число a, верны равенства:(+a)2 = a2 и (– a)2 = a2. Следовательно, (+a)2 = (– a)2, а значит, +a = – a, или 2a = 0, и поэтому a = 0. ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»):
№ слайда 16
Описание слайда:
Пример 10.Из двух неравных чисел первое всегда больше второго Пусть a и b – произвольные числа и a ≠ b. Имеем:(a – b)2 > 0, т.е. a2 – 2ab – b2 > 0, или a2 + b2 > 2ab.К обеим частям этого неравенства прибавим – 2b2. Получим:a2 – b2 > 2ab – 2b2, или (a + b) (a – b) > 2b (a – b). После деления обеих частей на (a – b) имеем:a + b > 2b, откуда следует, что a > b. ************************************************************************************Вопрос: Где допущена ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): При делении обеих частей неравенства (a + b) (a – b) > 2b (a – b) на (a – b) знак неравенства может измениться на противоположный (если a – b < 0).
№ слайда 17
Описание слайда:
Геометрические софизмы Вот некоторые примеры геометрических софизмов: (для подробного просмотра нажмите на выбранную строку) Пример 1.Загадочное исчезновение. Пример 2.Земля и апельсин Пример 4.Два перпендикуляра Пример 5.«Новое доказательство» теоремы Пифагора
№ слайда 18
Описание слайда:
Пример 1.Загадочное исчезновение У нас есть произвольный прямоугольник, на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга, так, как показано на рисунке 1. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. ************************************************************************************Вопрос: Куда исчезла 13-я линия?Ответ (нажмите «Enter»):
№ слайда 19
Описание слайда:
Пример 2.Земля и апельсин Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел и образуют некоторый зазор************************************************************************************Вопрос: Где зазор будет больше: у апельсина или у Земли?Ответ (нажмите «Enter»): Пусть длина окружности земного шара = C, а апельсина с метрам. Тогда радиус Земли R = C/2 и радиус апельсина r = c/2 . После прибавки к радиусам 1 метра окружность обруча у Земли будет C + 1, а у апельсина c + 1. Радиусы их соответственно будут: (C + 1)/2 и (c + 1)/2 . Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же.(C + 1)/2 - C/2 = 1/2 - для Земли, (c + 1)/2 - c/2 = 1/2 - для апельсина Итак, у Земли и у апельсина получается один и тот же зазор в 1/2 метра (примерно 16 см).
№ слайда 20
Описание слайда:
В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, т.е. площадь пробоины = 65 см2. Судовой плотник взял квадратную дощечку со стороной квадрата 8 см (т.е. площадь = 64 см2), разрезал её прямыми линиями на четыре части A, B, C, D так, как показано на рисунке 2, а затем сложил их так, что получился прямоугольник, как раз соответствующий пробоине, см. рисунок 3. Этим прямоугольником он и заделал пробоину. Вышло, что плотник сумел квадрат в 64 см2 обратить в прямоугольник с площадью 65 см2.*******************************************************Вопрос: Как такое могло получиться?Ответ (нажмите «Enter»): Легко видеть, что получившиеся при разрезании квадрата треугольники A и B равны между собой. Также равны и трапеции C, D. Меньшее основание трапеций и меньший катет треугольников равны 3 см и поэтому должны совпасть при совмещении треугольника A с трапецией C и треугольника B с трапецией D. В чём же секрет? Дело в том, что точки G, H, E не лежат на одной прямой, tg EHK = 8/3 , а tg HGJ = 5/2. Так как 8/3 – 5/2 = 1/6 > 0, то EHK > HGJ. Точно так же линия EFG – ломанная. Площадь полученного прямоугольника действительно равна 65 см2, но в нём имеется щель в виде параллелограмма, площадь которого в точности равна 1 см2. Наибольшая ширина щели равна 5 – 3 – (5·3)/8 = 1/8 см. Таким образом плотнику всё равно придётся замазывать небольшую щель.
№ слайда 21
Описание слайда:
Пример 4. Два перпендикуляра Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмём треугольник ABC (рисунок 4). На сторонах AB и BC этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной AC в точках E и D. Соединим точки E и D прямыми с точкой B. Угол AEB прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол BDC также прямой. Следовательно, BE AC и BD AC. Через точку B проходят два перпендикуляра к прямой AC. ****************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Рассуждения опирались на ошибочный чертёж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной AC в одной точке, т.е. BE совпадает с BD.
Описание слайда:
«Аванта +. Математика». – Москва, изд. «Аванта +»,1998.«БЭКМ – 2007». – Москва, 2007. Игнатьев Е.И. «Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы». – Москва, изд. «Омега»,1994.Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка». – Москва, изд. «Просвещение»,1988.
- Тема занятия
- «Математические софизмы»
- Цель занятия:
- Углубить знания по математике. Интересно и организованно проверить знания у присутствующих по математике.
- 2. Развивать логику, воображение, творчество.
- 3. Повлиять на познавательную активность коллег в сторону её интенсификации.
- Софизм - доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована
- Софизм - слово греческого происхождения и в переводе означает головоломку, хитроумную выдумку. Математические софизмы являются примерами таких ошибок в математических рассуждениях, когда при очевидной неправильности результата ошибка, приводящая к нему, хорошо замаскирована.
- К софизмам можно отнести доказательство того, что Ахиллес, бегущий в 10 раз быстрее черепахи, не сможет ее догнать.
- Пусть черепаха на 100 м впереди Ахиллеса.
- Тогда Ахиллес пробежит эти 100 м, черепаха будет впереди его на 10 м.
- Пробежит Ахиллес эти 10 м, а черепаха окажется впереди на 1 м и т.д.
- Расстояние между ними будет сокращаться, но никогда не обратится в нуль. Значит Ахиллес никогда не догонит черепаху
- Софистами называют группу древнегреческих философов 4-5 вв. до н.э., достигших большого искусства в логике.
- В истории математики софизмы
- играли существенную роль, они способствовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.
- Академик Иван Петрович Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка – это путь к откровению». Уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики. В этом плане особенно поучительна история аксиомы Евклида о параллельных прямых.
- Примеры
- Если равны половины, то равны и целые.
- Полуполное есть то же, что и полупустое, полное – то же самое, что и пустое
- Найдите ошибки в следующих рассуждениях:
- Задача № 1.
- Четырежды четыре – двадцать пять.
- Доказательство:
- 16:16=25:25
- 16 (1:1)=25(1:1)
- 4*4=25
- Ответ: Ошибка заключается в том, что распределительный закон умножения автоматически переносится на деление, что неверно
- Задача № 2
- С руб.=10000 С коп.
- Доказательство:
- С руб. = 100 С коп.
- 1 руб. = 100 коп.
- Ответ: Умножать С руб., на 1 рубль нельзя, так как никаких «квадратных рублей» и «квадратных копеек» не существует
- Практическая задача
- После нового года цена на товар повысились дважды на 20 %. На сколько процентов повысилась цена товар после двух последовательных повышений?
- Решение: стоимость товара – а руб.
- после 1 повышения - 1,2 а руб.
- после 2 повышения – 1,44 а руб.
- Вывод: цена на товар повысилась на 44 %.
- Всякие два равенства можно почленно перемножить. Применим это утверждение к написанным выше равенствам, получим новые равенства
- С руб. = 10000 С коп
- Ответ: следует задать вопрос: «Вы живете в этом городе?»
- Ответ: «Да» - независимо от того, кто отвечает – житель города А или житель города Б означает, что Вы находитесь в городе А. Ответ: «Нет» при любых условиях будет означать, что Вы находитесь в городе Б.
- Логическая задача – шутка:
- Два города А и Б расположены рядом. Жители обоих городов часто навещают друг друга. Известно, что все жители города А всегда говорят только правду, а жители города Б всегда лгут.
- Какой вопрос следует задать жителю, которого Вы встречаете в одном из городов (Вы не знаете в каком), чтобы по его ответу «Да» или «Нет» можно было сразу определить в каком городе Вы находитесь.
- Математические софизмы могут быть очень полезны. Разбор софизмов развивает логическое мышление, помогает сознательному усвоению обучаемого материала, воспитывает вдумчивость, наблюдательность, критическое отношение к тому, что изучается. Кроме того, разбор софизмов увлекателен. Учащиеся с большим интересом воспринимают софизмы, и, чем труднее софизм, тем больше удовлетворение доставляет его разбор.
- Особенно интересно эта работа может быть поставлена на дополнительных занятия учащихся старших классов. Знания по математике в начальном и среднем звене еще невелики. Однако на дополнительных занятиях можно познакомить учащихся с несложными математическими софизмами, основанными на нарушении законов действия. При этом, если учесть, что учащиеся начальной и средней школы склонны эмоционально реагировать на абсурдность утверждений, прочность усвоения математического факта значительно повышается
- В педагогическом плане математические софизмы должны использоваться не столько для предупреждения ошибок, сколько для проверки степени сознательности усвоения материала. Начинать надо с самых простых софизмов, доступных пониманию учащихся, постепенно усложняя задачи по мере накопления учащимися математических знаний.
- (кликните на картинке)
Cлайд 1
Математические софизмы Презентацию сделала ученица 7 класса Верхеиндырчинской основной школы Фатыхова АделяCлайд 2
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img1.jpg)
Cлайд 3
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img2.jpg)
Cлайд 4
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img3.jpg)
Cлайд 5
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img4.jpg)
Cлайд 6
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img5.jpg)
Cлайд 7
![](https://i1.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img6.jpg)
Cлайд 8
![](https://i1.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img7.jpg)
Cлайд 9
![](https://i1.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img8.jpg)
Cлайд 10
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img9.jpg)
Cлайд 11
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img10.jpg)
Cлайд 12
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img11.jpg)
Cлайд 13
![](https://i1.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img12.jpg)
Cлайд 14
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img13.jpg)
Cлайд 15
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img14.jpg)
Cлайд 16
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img15.jpg)
Cлайд 17
![](https://i1.wp.com/bigslide.ru/images/4/3833/389/img16.jpg)
Cлайд 1
Cлайд 2
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/38/37889/389/img1.jpg)
Cлайд 3
![](https://i1.wp.com/bigslide.ru/images/38/37889/389/img2.jpg)
Cлайд 4
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/38/37889/389/img3.jpg)
Cлайд 5
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/38/37889/389/img4.jpg)
Cлайд 6
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/38/37889/389/img5.jpg)
Cлайд 7
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/38/37889/389/img6.jpg)
Cлайд 8
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/38/37889/389/img7.jpg)
Популярное
- Стратегический менеджмент на предприятии
- Град Свияжск (малый ракетный корабль)
- Творческая работа на английском языке «Гиппократ –отец медицины Уровень знаний о методах обследования больного
- Презентация на тему: "Что такое светская этика" Презентации по этике для вузов
- Презентация на тему: "Что такое светская этика" Презентации по этике для студентов
- " Презентация на классный час Любовь - это
- Кадровая политика в организации Какие факторы влияют на кадровую политику компании
- Познавательная сказка для детей о зимующих и перелетных птицах Сказки про птиц для детей 3 4
- Блошиный рынок на тишинке
- Как лечить шов после кесарева, если он гноится